Программа разработана А.Ю.Утешевым на основе опыта чтения курса на факультете ПМ-ПУ СПбГУ.

Метод математической индукции

Элементы комбинаторики

Бином Ньютона. Треугольник Паскаля

Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД, континуанта.

Делимость чисел. Взаимно простые числа. Простые числа. Каноническое разложение числа. Признаки делимости. Факторизация.

Функция Эйлера.

Сравнения. Алгоритм "квадрирования-умножения". Классы вычетов. Теоремы Ферма и Эйлера

Решение линейных сравнений с одним неизвестным. Нахождение обратного по модулю. Теорема Вильсона. Китайская теорема об остатках.

Определение (равенство, алгебраические действия, запись, комплексное сопряжение)

Тригонометрическая форма комплексного числа (действия с к.ч., представленными в тригонометрической форме, формула Муавра, неравенства для модуля, выведение тригонометрических формул ).

Извлечение корня из комплексного числа (cведéние к решению системы нелинейных уравнений, решение квадратных уравнений; тригонометрическая форма, корни из единицы, первообразные корни )

Определения. Форма записи, моном, степень, равенство, приведение подобных, сложение, умножение. Схема Хорнера

Основная теорема высшей алгебры (формулировка). Формулы Виета. Разложение на линейные множители. Кратность корня

Решение уравнений в радикалах (уравнения третьей и четвертой степени; неразрешимость уравнений высших степеней).

Делимость полиномов. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. Взаимно простые полиномы. Тождество Безу.

Формула Тейлора

Выделение кратных корней. Установление кратности корня. Решение уравнений, имеющих кратные корни

Корни полинома с вещественными коэффициентами. Приводимость; границы расположения корней: оценки Маклорена, Лагранжа, Ньютона; геометрия вещественных корней,правило знаков Декарта.

Приводимость полиномов в $ \mathbb{Q}_{} $ (условия существования рациональных корней, критерий неприводимости Эйзенштейна ).

Численные методы нахождения корней полинома (Руффини-Хорнера¹⁾, Лагранжа²⁾, Ньютона ).

Рациональные дроби. Разложение на простейшие над $ \mathbb{C}_{} $ и $ \mathbb{R}_{} $. Формула Лагранжа

Полиномы нескольких переменных (способы их представления, формула Тейлора, условия экстремума, алгебраические уравнения)

Решение системы линейных уравнений:метод Гаусса

Матрицы. Действия над ними: линейные, умножение,транспонирование, матричный полином, обращение

Определение определителя

Элементарные свойства определителя

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Метод Гаусса

Формулы Крамера

Теорема Лапласа

Теорема Бине-Коши. Неравенство Коши

Определители специального вида: Вандермонда, ганкелев, трехдиагональный, целочисленный, характеристический полином

Обратная матрица

Ранг

Условие совместности линейной системы ( теорема Кронекера-Капелли, общее решение, система однородных уравнений, фундаментальная система решений ).

Интерполяционный полином; формы Лагранжа и Ньютона. Обобщенная задача интерполяции³⁾.

Приближенная интерполяция: метод наименьших квадратов. Псевдорешения системы линейных уравнений.

Результант. Его линейное представление, связь с алгоритмом Евклида

Дискриминант

Субрезультанты. Линейное представление НОД

Приложения: уничтожение иррациональности в знаменателе, преобразование Чирнгауза⁴⁾.

Исключение переменных в системе уравнений

Число решений системы уравнений: теорема Безу, исключительные случаи теории исключения⁵⁾.

Основная теорема высшей алгебры (доказательство)⁶⁾..

Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа

Формула Якоби. Матричный формализм метода Гаусса: LDU-разложение матрицы

Закон инерции. Ранг, сигнатура, конгруэнтность квадратичных форм

Положительная определенность

Теорема Штурма. Построение системы полиномов Штурма по алгоритму Евклида.⁷⁾

Ганкелевы матрицы в задаче локализации корней. Суммы Ньютона. Теоремы Якоби и Йоахимшталя.⁸⁾

Устойчивость полинома, теоремы Рауса, Льенара-Шипара. Теорема Шура-Кона.⁹⁾

Группа. Подгруппа, факторгруппа. Изоморфизм групп.

Кольцо, поле, алгебра. Кватернионы

Основные определения. Изоморфизм

Линейная зависимость, базис. Относительная линейная независимость. Система $ A_{}X=\mathbb{O} $ и ее фундаментальная система решений

Сумма и пересечение линейных подпространств. Система $ A_{}X= \mathcal B $. Линейные многообразия, их геометрическая интерпретация

Прямая сумма линейных подпространств

Преобразование координат при замене базиса

Определения

Ортогональный базис. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта

Расстояние от точки до линейного многообразия

Свойства определителя Грама. Неотрицательность, использование для нахождения расстояния, неравенство Адамара, геометрическая интерпретация

Пространство линейных отображений

Ядро и образ линейного отображения

Матрица линейного отображения

Линейный оператор

Инвариантные подпространства оператора. Собственные векторы и собственные числа. Характеристический полином. Диагонализуемость матрицы оператора над $ \mathbb{C}_{} $

Структура и свойства характеристического полинома. Теорема Гамильтона-Кэли. Диагонализуемость матрицы лин.оператора над $ \mathbb{R}_{} $

Диагонализуемость симметричной матрицы над $ \mathbb{R}_{} $. Локализация ее собственных чисел и их экстремальное свойство

Жорданова нормальная форма в $ \mathbb{C}_{} $. Аннулирующий полином. Корневое подпространство. Циклическое подпространство

Жорданова нормальная форма в $ \mathbb{R}_{} $

Вычисление полинома от матрицы

Линейное разностное уравнение

Задача о разорении игрока. Цепи Маркова.

Матричный степенной ряд. Норма матрицы. Аналитические функции матрицы. Устойчивость по Ляпунову.

Методы вычисления характеристического полинома (Леверье, Крылова).

Частичная проблема собственных чисел