Формальное определение определителя: $$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$ где сумма распространяется на всевозможные перестановки $ (\alpha_{1},\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ элементов $ \{ 1,2,\dots,n\} $, а $ \operatorname{inv} $ означает число инверсий в перестановке. Из этого определения выведем несколько свойств определителя как функции его столбцов или строк.

Теорема 1. Если $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $ — произвольные перестановки чисел $ \{ 1,2,\dots,n\} $, то в разложение определителя обязательно встретится слагаемое

$$ (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)+\operatorname{inv}(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)} a_{\alpha_1 \beta_1}a_{\alpha_2 \beta_2} \times \dots \times a_{\alpha_n \beta_n} \, . $$

Доказательство. Для последовательности пар индексов $$ \Theta= \left( {\alpha_1 \choose \beta_1},{\alpha_2 \choose \beta_2},\dots, {\alpha_k \choose \beta_k},\dots,{\alpha_{\ell} \choose \beta_{\ell}}, \dots, {\alpha_n \choose \beta_n} \right) $$ где $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $ — произвольные перестановки элементов $ \{1,2,\dots,n\} $, рассмотрим обобщение понятия числа инверсий: $$ \mathfrak{Inv} \, (\Theta) = \operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_n) +\operatorname{inv} (\beta_1,\beta_2,\dots, \beta_n) \, . $$ Покажем, что при произвольной перестановке любого числа пар в последовательности величина $ \mathfrak{Inv} \, (\Theta) $ меняется на четное число. Справедливость утверждения для перестановки двух пар следует из теоремы $ 2 $ ЗДЕСЬ: $$ \mathfrak{Inv} \, \left( {\alpha_1 \choose \beta_1},{\alpha_2 \choose \beta_2},\dots, {\alpha_{\ell} \choose \beta_{\ell}},\dots,{\alpha_k \choose \beta_k}, \dots, {\alpha_n \choose \beta_n} \right)= $$ $$=\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{\ell},\dots,\alpha_k,\dots, \alpha_n) +\operatorname{inv} (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_{\ell},\dots,\beta_k,\dots,\beta_n)= $$ $$=\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k,\dots,\alpha_{\ell},\dots, \alpha_n)+ \Omega_1+ \operatorname{inv} (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k,\dots,\beta_{\ell},\dots, \beta_n)+\Omega_2= $$ $$= \mathfrak{Inv} \, (\Theta)+\Omega_1+\Omega_2.$$ Поскольку $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ — нечетные, то $ \Omega_1+\Omega_2 $ — четное. Доказательство для произвольного числа перестановок пар проводится индукцией по числу пар. ♦

Определение определителя можно переписать, распространив суммирование на первые индексы его элементов:

$$ \det A = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} a_{\alpha_1 1} a_{\alpha_2 2} \times \dots \times a_{\alpha_n n} $$

Теорема 2. Определитель матрицы не меняется при транспонировании: $$ \det A = \det A^{\top} \, . $$

Доказательство. Обозначим $ B = A^{\top} $, таким образом $ B=\left[b_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} $ при $ b_{jk}=a_{kj} $. На основании определения определителя: $$ \det B = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} b_{1\alpha_1} b_{2\alpha_2}\times \dots \times b_{n\alpha_n}= $$ $$ = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} a_{\alpha_11} a_{\alpha_22}\times \dots \times a_{\alpha_nn} \, . $$ Однако последняя сумма совпадает с правой частью формулы из последнего следствия и, следовательно, $ \det B = \det A $. ♦

Пример. Доказать, что при $ \{u_{jk},v_{jk} \}_{j,k=1}^n \subset \mathbb R $ определитель

$$ \det A=\left| \begin{array}{сссcс} u_{11} & u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & \dots & u_{1n}+ \mathbf i v_{1n} \\ u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & \dots & u_{2n}+ \mathbf i v_{2n} \\ u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{33}& \dots & u_{3n}+ \mathbf i v_{3n} \\ \quad \dots & & & & \quad \dots \\ u_{1n}- \mathbf i v_{1n}& u_{2n}- \mathbf i v_{2n} & u_{3n}- \mathbf i v_{3n} & \dots & u_{nn} \end{array} \right| $$ является числом вещественным.

Решение. Пусть $ \det A=a + \mathbf i b $, где $ \{a,b\}\subset \mathbb R $. Тогда по теореме 2 имеем: $$ a + \mathbf i b=\det A = \det A^{\top} = $$ $$ =\left|\begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & \dots & u_{1n}- \mathbf i v_{1n} \\ u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}- \mathbf i v_{23} & \dots & u_{2n}- \mathbf i v_{2n} \\ u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{33}& \dots & u_{3n}- \mathbf i v_{3n} \\ \quad \dots & & & & \quad \dots \\ u_{1n}+ \mathbf i v_{1n}& u_{2n}+ \mathbf i v_{2n} & u_{3n}+ \mathbf i v_{3n} & \dots & u_{nn} \end{array} \right| = a - \mathbf i b \, . $$ Например, для $ n=3 $: $$ \left|\begin{array}{lll} u_{11} & u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{13}- \mathbf i v_{13} \\ u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}- \mathbf i v_{23} \\ u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & u_{33} \end{array} \right|= $$ $$ = u_{11}u_{22}u_{33}-u_{11}\left(u_{23}^2+ v_{23}^2 \right) -u_{22}\left(u_{13}^2+ v_{13}^2 \right) -u_{33}\left(u_{12}^2+ v_{12}^2 \right) + $$ $$ +2 \left(u_{12}u_{13}u_{23} + u_{12}v_{13}v_{23}+v_{12}u_{13}v_{23} +v_{12}v_{13}u_{23} \right) \in \mathbb R \, . $$ ♦

Будем называть строку или столбец матрицы (или определителя) ее рядом — соответственно горизонтальным или вертикальным.

Теорема 3. Общий множитель элементов любого ряда определителя можно вынести за знак определителя:

$$ \det \left[ A_{[1]},\dots, c\cdot A_{[j]},\dots, A_{[n]} \right]=c \cdot \det \left[ A_{[1]},\dots, A_{[j]},\dots, A_{[n]} \right] \, , $$ $$ \det \left[ \begin{array}{r} A^{[1]} \\ \vdots \quad \\ c\cdot A^{[k]} \\ \vdots \quad \\ A^{[n]} \end{array} \right] = c\cdot \det \left[ \begin{array}{l} A^{[1]} \\ \ \vdots \\ A^{[k]} \\ \ \vdots \\ A^{[n]} \end{array} \right] \, . $$

Доказательство справедливости второй формулы: $$ \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times \left(c \cdot a_{k \alpha_k} \right)\times \dots \times a_{n\alpha_n}= $$ $$ = c \cdot \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times a_{k \alpha_k} \times \dots \times a_{n\alpha_n} =c\, \det A \, . $$ ♦

Доказать, что a) $ \det (-A)= (-1)^n \det A $ ;

б) определитель кососимметричной матрицы нечетного порядка равен нулю;

в) $ \det \left[(-1)^{j+k}a_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} = \det \left[a_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} $.

Теорема 4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Доказательство. Докажем утверждение теоремы для строк. Пусть $ j\ne k $. В разложение $$ \det A = \sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n}, $$ обязательно войдут по одному элементу $ j $-й и $ k $-й строк и это разложение можно разбить на пары слагаемых вида: $$(-1)^{\operatorname{inv} (1,\dots, j, \dots , k, \dots , n) + \operatorname{inv} (\alpha_1,\dots, \alpha_j, \dots , \alpha_k, \dots , \alpha_n)} a_{1\alpha_1}\times \dots \times a_{j\alpha_j} \times \dots \times a_{k\alpha_k}\times \dots \times a_{n\alpha_n} $$ и $$(-1)^{\operatorname{inv} (1,\dots, k, \dots , j, \dots , n) + \operatorname{inv} (\alpha_1,\dots, \alpha_j, \dots , \alpha_k, \dots , \alpha_n)} a_{1\alpha_1}\times \dots \times a_{k\alpha_j} \times \dots \times a_{j\alpha_k}\times \dots \times a_{n\alpha_n} \, , $$ различающихся лишь двумя сомножителями и знаками. По теореме $ 2 $ ☞ ЗДЕСЬ четность перестановки $ (1,\dots,j, \dots, k, \dots , n) $ противоположна четности перестановки $ (1,\dots,k, \dots, j, \dots , n) $, следовательно знаки противоположны. Если $ j $-я и $ k $-я строки матрицы $ A $ одинаковы: $$ \begin{array}{lllllll} a_{j1} & \dots & a_{jj} & \dots & a_{jk} & \dots & a_{jn} \\ \Vert & \dots & \Vert & \dots & \Vert & \dots & \Vert \\ a_{k1} & \dots & a_{kj} & \dots & a_{kk} & \dots & a_{kn} \end{array} $$ то указанные слагаемые дают в сумме нуль. ♦

Показать, что уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) $ и $ (x_{2},y_2) $, имеет вид:

$$ \left| \begin{array}{lll} 1& x & y \\ 1& x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \end{array} \right|=0 \, . $$

Теорема 5. Пусть имеются три определителя: $ \det A_1,\, \det A_2 $ и $ \det A $, имеющие все ряды, кроме одного, одинаковыми. Исключительный ряд содержит:

• в $ \det A_1 $ — элементы $ {\mathfrak u}_1,\dots,{\mathfrak u}_n $;
• в $ \det A_2 $ — элементы $ {\mathfrak v}_1,\dots,{\mathfrak v}_n $;
• в $ \det A $ — элементы $ {\mathfrak u}_1+{\mathfrak v}_1,\dots,{\mathfrak u}_n +{\mathfrak v}_n $.

Тогда $$ \det A = \det A_1 + \det A_2 \, . $$ Например,

$$ \det \big[ A_{[1]},\dots, \overbrace{{\mathfrak U}+ {\mathfrak V}}^{A_{[j]}},\dots, A_{[n]}\big]= $$ $$ =\det \left[ A_{[1]},\dots, {\mathfrak U},\dots, A_{[n]} \right] + \det \left[ A_{[1]},\dots, {\mathfrak V},\dots, A_{[n]} \right] \, , $$ где $$ {\mathfrak U}=\left[\begin{array}{l} {\mathfrak u}_1 \\ {\mathfrak u}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak u}_n \end{array} \right],\ {\mathfrak V} = \left[\begin{array}{l} {\mathfrak v}_1 \\ {\mathfrak v}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak v}_n \end{array} \right] \, . $$

Доказательство. $$ \det A = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times ({\mathfrak u}_{\alpha_j}+{\mathfrak v}_{\alpha_j})\times \dots \times a_{n\alpha_n } = $$ $$ = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times {\mathfrak u}_{\alpha_j}\times \dots \times a_{n\alpha_n } + $$ $$ + \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times {\mathfrak v}_{\alpha_j}\times \dots \times a_{n\alpha_n} = \det A_1 + \det A_2 \, . $$

Утверждение теоремы распространимо на любое количество слагаемых рядов.

Определитель не изменится, если к любому его ряду прибавить любой другой ряд, умноженный на произвольное число из $ \mathbb A $.

Доказательство. Для конкретности рассмотрим столбцы определителя $ \det A $: $$ \det \left[ \dots, A_{[j]}+c \cdot A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] = $$ $$ = \det \left[ \dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] + \det \left[ \dots, c \cdot A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] $$ $$ = \det \left[ \dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] + c \cdot \det \left[ \dots, A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right]= $$ по теореме $ 4 $ $$ = \det \left[ \dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] = \det A \, . $$ ♦

Верно ли равенство $ \det (A+B) = \det A+ \det B $ для любых квадратных матриц $ A $ и $ B $?

Теорема 6. При перестановке местами двух его рядов определитель меняет знак.

Доказательство. Для конкретности рассмотрим столбцы определителя. По теореме $ 4 $ следующий определитель с двумя одинаковыми $ j $-м и $ k $-м столбцами: $$ \det \left[ \dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots , A_{[j]}+A_{[k]},\dots \right] \, , $$ равен нулю. Далее имеем цепочку равенств: $$ 0= \det \left[ \dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots , A_{[j]}+A_{[k]},\dots \right] \ = $$ $$ = \det \left[ \dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] + \det \left[\dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right]= $$ $$ = \det \left[\dots, A_{[j]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] + \det \left[\dots, A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] + $$ $$ + \det \left[\dots, A_{[j]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] + \det \left[\dots, A_{[k]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] = $$ по теореме $ 4 $: $$ = \det \left[\dots, A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] + \det \left[\dots, A_{[j]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] \, . $$ ♦

Свойства определителя, выраженные теоремами $ 3 $ и $ 5 $, называются его линейными, а теоремой $ 6 $ — кососимметрическим свойствами относительно рядов этого определителя.

Эти свойства, вместе с равенством $ \det E=1 $, называются определяющими свойствами определителя: можно доказать, что любая функция от набора рядов матрицы $ A $, обладающая этими свойствами, должна совпадать с $ \det A $, вычисляемым по формуле $$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n} \, .$$