Интерполяция или интерполирование — приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же величины, или других величин, с ней связанных.

Пример. Вставить пропущенные буквы: ИНТ...РПО...ЯЦИЯ ; ...КСТРАПОЛЯЦ... .

Происхождение слова «интерполяция» ☞ ЗДЕСЬ.

Задача интерполяции решается в разных классах функций — полиномов алгебраических или тригонометрических, комбинаций экспонент; в классе рациональных функций. Начинаем изложение материала с самого простого случая —

Задача. Построить полином $ y_{}=f(x) $, принимающий значения согласно следующей таблице: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_n \end{array} $$ Здесь числа $ \{ x_{j}, y_{j} \}_{j=1}^n $ — рациональные (т.е. из $ \mathbb Q_{} $), вещественные (из $ \mathbb R_{} $) или комплексные (из $ \mathbb C_{} $); числа $ \{ x_{j} \}_{j=1}^n $ называются узлами интерполяции; искомый полином называется интерполяционным. Для однообразия любое из упомянутых множеств будем обозначать через $ \mathbb A_{} $.

Геометрическая интерпретация для случая $ \mathbb A_{} = \mathbb R_{} $: построить алгебраическую кривую $ y_{} = f(x) $, проходящую через заданные точки $ (x_{j},y_{j}) $ плоскости $ (x_{},y_{}) $.

Теорема. При $ x_{1},\dots,x_{n} $ различных существует единственный полином $ f(x) \in \mathbb A_{}[x] $ степени $ \le n_{}-1 $ такой, что

$$ f(x_{1})=y_{1},\dots,f(x_{n})=y_{n} . $$

Доказательство. Коэффициенты полинома $ f(x)=A_{0}+A_1x+\dots+A_{n-1}x^{n-1} $ можно определить из системы уравнений $$ \left\{\begin{array}{ccl} A_0+A_1x_1+\dots+A_{n-1}x_1^{n-1}&=&y_1 \\ A_0+A_1x_2+\dots+A_{n-1}x_2^{n-1}&=&y_2 \\ \dots & & \dots \\ A_0+A_1x_n+\dots+A_{n-1}x_n^{n-1}&=&y_n, \end{array} \right. $$ которая имеет единственное решение поскольку определитель системы (см. ☞ определитель Вандермонда, формулы Крамера ) отличен от нуля. ♦

Все множество интерполяционных полиномов, принимающих значения по таблице, можно представить в виде

$$ f(x)+(x-x_1)\times \dots \times(x-x_n)q(x) \ , $$ где $ f_{}(x) $ – полином из предыдущей теоремы, а $ q_{}(x) \in \mathbb A[x] $ – произвольный полином.

Придумать упрощение схемы вычисления интерполяционного полинома для таблицы с набором узлов симметричным относительно $ 0_{} $:

$$ \begin{array}{c|cccccccc} x & -x_n & -x_{n-1} & \dots & -x_1 & x_1 & \dots & x_{n-1} & x_n \\ \hline y & y_{-n} & y_{-(n-1)} &\dots & y_{-1} & y_1 & \dots & y_{n-1} & y_n \end{array} $$

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Пусть имеется интерполяционная таблица

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline y & F(x_1) & F(x_2) &\dots & F(x_n) \end{array} $$ построенная для полинома $ F_{}(x) $ степени $ \ge n $. Какое отношение имеет интерполяционный полином, построенный по этой таблице, к полиному $ F_{}(x) $?

Вычисление интерполяционного полинома посредством решения системы линейных уравнений из теоремы в общем случае затрудняется тем обстоятельством, что матрица Вандермонда является плохо обусловленной, т.е. небольшая погрешность в представлении ее элементов или значений $ y_1,\dots,y_n $ может приводить к существенному изменению решений системы уравнений.

Пример. Интерполяционный полином для таблицы

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 1 & -2 & 33 & 166 & 481 \end{array} $$ имеет вид $$ x^4-6\,x^2 + 6 .$$ Если немного изменить значения $ y $: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 1.05 & -2.05 & 32.95 & 166.05 & 480.95 \end{array} $$ то полином изменится не очень существенно: $$ 0.9875x^4+0.125x^3-6.3875x^2+0.375x+5.95 \, . $$ Но вот если осуществить следующие изменения того же порядка малости $$ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 1.02 & -2.05 & 33.05 & 165.95 & 481 \end{array} $$ то полином меняется гораздо существенней: $$ 1.03x^4-0.361(6)x^3-4.495x^2-2.50(3)x+7.35 \, . $$

Следовательно, применение вычислительных методов решения систем линейных уравнений — типа метода Гаусса — к системе с матрицей Вандермонда столкнется с необходимостью строгого контроля округлений. ♦

Практическое построение интерполяционного полинома производится альтернативными алгоритмами — посредством вспомогательных промежуточных представлений полинома в специальных, сравнительно просто вычисляемых, видах. Самыми распространенными являются формы Лагранжа и Ньютона.

Уравнение для определения интерполяционного полинома можно записать в детерминантной форме: $$ 0\equiv \left| \begin{array}{llrrrl} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} & -y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} & -y_2 \\ \vdots & & & & & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} & -y_n \\ 1 & x & x^2 & \dots & x^{n-1} & - f(x) \end{array} \right|_{(n+1)\times (n+1)} \ . $$ Представив последний столбец в виде суммы, получим отсюда: $$ f(x) \equiv \left| \begin{array}{llrrrr} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} & -y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} & -y_2 \\ \dots & & & & & \dots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} & -y_n \\ 1 & x & x^2 & \dots & x^{n-1} & 0 \end{array} \right| \Big/ \left| \begin{array}{lrrrr} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \dots & & & & \dots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{array} \right| \ . $$ Теперь разложим определитель из числителя по последнему столбцу и вспомним выражение определителя Вандермонда. Обозначим $$ W(x) = (x-x_1)\times \dots \times (x-x_n) \ , $$ $$ W_j(x) = \frac{W(x)}{x-x_j} =(x-x_1)\times \dots \times (x-x_{j-1}) (x-x_{j+1})\times \dots \times (x-x_n) . $$ Тогда интерполяционный полином в форме Лагранжа записывается в виде: $$ f(x) \equiv \sum_{j=1}^n \frac{y_jW_j(x)}{W_j(x_j)}= $$ $$ = y_1\frac{(x-x_2)\times \dots \times (x-x_n)}{(x_1-x_2)\times \dots \times (x_1-x_n)}+ $$ $$ +y_2\frac{(x-x_1)(x-x_3)\times \dots \times (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\times \dots \times (x_2-x_n)}+ \dots+ $$ $$ +y_n\frac{(x-x_1)\times \dots \times (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)\times \dots \times (x_n-x_{n-1})} . $$

Доказать, что

а) $ W_j(x_j)=W^{\prime}(x_j) $;

б) $ \displaystyle \sum_{j=1}^n {\widetilde W}_j(x) \equiv 1 $ .

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & -29 & -8 & -2 & 7 \end{array} $$ и с его помощью интерполировать значение неизвестной функции при $ x_{}=0 $.

Решение. Имеем: $ W_{}(x)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2) $, и полином в форме Лагранжа: $$ f(x)=\frac{-29}{-12}(x+1)(x-1)(x-2)+ \frac{-8}{6}(x+2)(x-1)(x-2)+ \frac{-2}{-6}(x+2)(x+1)(x-2) + $$ $$ + \frac{7}{12} (x+2)(x+1)(x-1) \ . $$ Подставляем сюда $ x_{}=0 $:

Ответ. $ f_{}(0)=-3 $.

Заметим, что представление интерполяционного полинома в форме Лагранжа еще не дает его канонической формы, т.е. явного выражения для коэффициентов $ A_0,A_1,\dots, A_{n-1} $. Для получения последних требуется разложить по степеням переменной базисные интерполяционные полиномы. $$ {\widetilde W}_j(x)\equiv w_{j0}+w_{j1}x+\dots+ w_{j,n-1}x^{n-1} \, . $$ Кстати, осуществив такие разложения, мы получим и возможность обращения матрицы Вандермонда: $$ \left( \begin{array}{lllll} 1& x_1 &x_1^2 & \ldots& x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2 & \ldots& x_2^{n-1}\\ \vdots& \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n}& x_{n}^2& \ldots& x_n^{n-1} \end{array} \right)^{-1}= \left( \begin{array}{llll} w_{10}& w_{11}& \ldots& w_{1,n-1}\\ w_{20}& w_{21}& \ldots& w_{2,n-1}\\ \dots & \dots & & \dots \\ w_{n0}& w_{n1}& \ldots& w_{n,n-1}\\ \end{array} \right)^{\top} \, . $$ Подробности ☞ ЗДЕСЬ; решение этой задачи востребовано не только для целей интерполяции.

В настоящем пункте мы произведем «доводку» метода Лагранжа до коэффициентов интерполяционного полинома

Теорема. Пусть числа $ x_{1},\dots,x_n $ все различны. Для полинома

$$ W(x)=(x-x_{1})\times \dots \times (x-x_n) $$ справедливы следующие равенства Эйлера-Лагранжа : $$ \sum_{j=1}^n \frac{x_j^k}{W'(x_j)}=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & npu \ k< n-1; \\ 1 & npu \ k= n-1. \end{array} \right. $$

Доказательство. Построим интерполяционный полином по следующей таблице: $$ \begin{array}{c|ccc} x & x_1 & \dots & x_n \\ \hline y & x_1^k & \dots & x_n^k \end{array} $$ С одной стороны, ответ известен заранее: $ f(x)\equiv x^k $. С другой стороны, формула Лагранжа дает его же в виде суммы: $$ x^k \equiv \sum_{j=1}^n x_j^k \frac{W_j(x)}{W_j(x_j)} \equiv x^{n-1}\sum_{j=1}^n \frac{x_j^k}{W'(x_j)}+ \dots \ , $$ где в правой части стоит разложение по убывающим степеням $ x_{} $. В этом тождестве степени полиномов слева и справа должны быть одинаковыми. Если $ k< n-1 $, то старший коэффициент правого полинома должен обратиться в нуль. Если же $ k= n-1 $, то должны совпасть старшие коэффициенты обоих полиномов. ♦

Для любого полинома $ g(x)\in \mathbb C[x], \deg g < n-1 $ выполняется равенство

$$ \sum_{j=1}^n \frac{g(x_j)}{W'(x_j)}=0 \, . $$

Теорема. Обозначим

$$ \sigma_k = \sum_{j=1}^{n} \frac{x_j^{n+k-1}}{W^{\prime}(x_j)} \ , \ \tau_k = \sum_{j=1}^{n} y_j \frac{x_j^{k}}{W^{\prime}(x_j)} \ . $$ Имеют место равенства, связывающие коэффициенты интерполяционного полинома $$ f(x)=A_{0}x^{n-1}+\dots+A_{n-1} $$ с величинами $ \sigma_{} $ и $ \tau_{} $: $$ \tau_0=A_0,\ \tau_k=A_0\sigma_k+A_1\sigma_{k-1}+\dots+A_{k-1}\sigma_1 + A_k \ npu \ k\in \{1,\dots,n-1 \} \ . $$

Формулы позволяют рекурсивно, начиная со старшего, вычислить коэффициенты интерполяционного полинома по величинам $ \sigma_{} $ и $ \tau_{} $.

Пример. Найти корни интерполяционного полинома, заданного таблицей

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 1 & -2 & 33 & 166 & 481 \end{array} $$

Решение. Здесь $ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)_{} $, $$ W^{\prime}(1)=24,\ W^{\prime}(2)=-6,\ W^{\prime}(3)=4,\ W^{\prime}(4)=-6,\ W^{\prime}(5)=24 \ . $$ $$ \sigma_1=\frac{1^5}{W^{\prime}(1)}+\frac{2^5}{W^{\prime}(2)}+ \frac{3^5}{W^{\prime}(3)}+\frac{4^5}{W^{\prime}(4)}+\frac{5^5}{W^{\prime}(5)}=15 , $$ $$ \sigma_2=\frac{1^6}{W^{\prime}(1)}+\frac{2^6}{W^{\prime}(2)}+ \frac{3^6}{W^{\prime}(3)}+\frac{4^6}{W^{\prime}(4)}+\frac{5^6}{W^{\prime}(5)}=140, $$ $$\sigma_3=1050,\ \sigma_4=6951 \ . $$ $$ \tau_0=\frac{1^0 \cdot 1}{W^{\prime}(1)}+\frac{2^0\cdot (-2)}{W^{\prime}(2)}+ \frac{3^0 \cdot 33}{W^{\prime}(3)}+\frac{4^0 \cdot 166}{W^{\prime}(4)} +\frac{5^0 \cdot 481}{W^{\prime}(5)}=1,\ $$ $$ \tau_1=\frac{1^1 \cdot 1}{W^{\prime}(1)}+\frac{2^1\cdot (-2)}{W^{\prime}(2)}+ \frac{3^1 \cdot 33}{W^{\prime}(3)}+\frac{4^1 \cdot 166}{W^{\prime}(4)} +\frac{5^1 \cdot 481}{W^{\prime}(5)}=15, $$ $$ \tau_2=134,\ \tau_3= 960,\ \tau_4=6117 \ . $$ Формулы: $$ \begin{array}{lcll} 1 &=&A_0 & \Rightarrow \ A_0=1 \ , \\ 15&=&15\, A_0 +A_1 & \Rightarrow \ A_1=0 \ , \\ 134&=&140\, A_0+ 15\, A_1 +A_2 & \Rightarrow \ A_2=-6 \ , \\ 960&=&1050\, A_0+ 140\, A_1+ 15\, A_2 +A_3 & \Rightarrow \ A_3=0 \ , \\ 6117&=&6951\, A_0+ 1050\, A_1+ 140\, A_2+ 15\, A_3 +A_4 & \Rightarrow \ A_4=6 \ . \end{array} $$ Уравнение $ x^{4}-6\, x^2 +6=0 $ легко решается подстановкой $ X = x^{2} $.

Ответ. $ \sqrt{3 \pm \sqrt{3}},\, - \sqrt{3_{} \pm \sqrt{3}} $.

Основной недостаток построения интерполяционного полинома по методу (в форме) Лагранжа заключается в том, что при добавлении в таблицу нового узла (новых результатов измерений), в формуле приходится пересчитывать все слагаемые. От этого недостатка свободен метод Ньютона, в котором добавление нового узла ведет к добавлению лишь одного слагаемого к построенному ранее полиному.

Вывод представления этого полинома с помощью аппарата определителей ☞ ЗДЕСЬ. А само представление имеет вид $$ f(x)=B_1+(x-x_1)B_2+(x-x_1)(x-x_2)B_3 + \dots + (x-x_1)\times \dots \times (x-x_{n-1})B_n \ ; $$ он и называется интерполяционным полиномом в форме Ньютона.

Коэффициенты $ B_{1},B_2,\dots,B_n $ в этой форме определяются с помощью интерполяционной таблицы: $$ \begin{array}{rcl} y_1 & = & B_1, \\ y_2 & = & B_1 +(x_2-x_1)B_2, \\ y_3 & = & B_1 +(x_3-x_1)B_2+ (x_3-x_1)(x_3-x_2)B_3, \\ \dots & & \dots \\ y_n&= & B_1+(x_n-x_1)B_2+(x_n-x_1)(x_n-x_2)B_3 + \dots + \\ &+ &(x_n-x_1)\times \dots \times (x_n-x_{n-1})B_n \end{array} $$ Получаем последовательно: $$ B_1 = y_1,\ B_2= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\ B_3=\frac{\displaystyle \frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}{x_3-x_2},\dots $$ Схему вычисления коэффициентов можно оформить в виде таблицы, если ввести следующее обозначение. Выражение $$ [x_j,x_k]=\frac{y_j-y_k}{x_j-x_k} \quad npu \quad j,k \in \{1,\dots,n \}, j\ne k $$ называется разделенной разностью первого порядка. Выражение $$[x_{j+p},x_{j+p-1},\dots,x_{j+1},x_j]=\frac{[x_{j+p},x_{j+p-1},\dots,x_{j+1}]-[x_{j+p-1},\dots,x_{j+1},x_j]}{x_{j+p}-x_j} $$ называется разделенной разностью порядка $ \mathbf p $.

Теорема. Интерполяционный полином в форме Ньютона записывается в виде:

$$ f(x)=y_1+[x_2,x_1](x-x_1)+[x_3,x_2,x_1](x-x_1)(x-x_2)+\dots+ $$ $$ +[x_n,x_{n-1},\dots,x_1] (x-x_1)\times \dots \times (x-x_{n-1}) $$

Поясним схему вычисления разделенных разностей для случая $ n_{}=5 $. В первых двух столбцах стоят данные интерполяционной таблицы (со вставленными пустыми строками между соседними): $$ \begin{array}{r|ccccc} x & y & \\ \hline x_1 & y_1 & \\ & & [x_2,x_1] \\ x_2 & y_2 & & [x_3,x_2,x_1] & \\ & & [x_3,x_2] & & [x_4,x_3,x_2,x_1] \\ x_3 & y_3 & & [x_4,x_3,x_2] & & [x_5,x_4,x_3,x_2,x_1] \\ & & [x_4,x_3] & & [x_5,x_4,x_3,x_2] \\ x_4 & y_4 & & [x_5,x_4,x_3] \\ & & [x_5,x_4] \\ x_5 & y_5 \end{array} $$ Для вычисления третьего столбца мы вычитаем соседние значения $ y_{} $ и делим на соответствующую разность $ x_{} $: $$ [x_2,x_1] = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\ [x_3,x_2]= \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2},\dots $$ и ставим получившиеся числа между соответствующими значениями $ x_{} $. Четвертый столбец заполняется аналогично: вычитаются соседние числа третьего столбца и делятся на разность крайних задействованных значений $ x_{} $: $$ [x_3,x_2,x_1] = \frac{[x_3,x_2]-[x_2,x_1]}{x_3-x_1},\ [x_4,x_3,x_2] = \frac{[x_4,x_3]-[x_3,x_2]}{x_4-x_2}, \dots $$ И так далее. После получения треугольной таблицы выбираются числа из верхней стороны треугольника: именно они и являются искомыми коэффициентами интерполяционного полинома в форме Ньютона.

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

$$ \begin{array}{c|ccccr} x & 1 & -2 & 3 & 0 & -1 \\ \hline y & 2 & 17 & 82 & 1 & 2 \end{array} $$

Решение. $$ \begin{array}{r|ccccc} x & y & \\ \hline 1 & \underline{2} & \\ & & \underline{-5} \\ -2 & 17 & & \underline{9} & \\ & & 13 & & \underline{2} \\ 3 & 82 & & 7 & & \underline{1} \\ & & 27 & & 0 \\ 0 & 1 & & 7 \\ & & -1 \\ -1 & 2 \end{array} $$

Ответ. $$ f(x)=2 -5(x-1)+9(x-1)(x+2)+2(x-1)(x+2)(x-3)+(x-1)(x+2)(x-3)x \equiv $$ $$\equiv x^4+1 \ . $$

Вычисления особенно упрощаются в случае равноотстоящих узлов интерполяции. Если $$ x_2-x_1=x_3-x_2=\dots=x_n-x_{n-1}=h , $$ то $$ f(x)=y_1+\Delta y_1 \frac{x-x_1}{h}+\Delta^2 y_1 \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{2!h^2}+\dots+ $$ $$ +\Delta^{n-1} y_1 \frac{(x-x_1)(x-x_2)\times \dots \times (x-x_{n-1})}{(n-1)!h^{n-1}} $$ где $$ \Delta^k y_1=y_{k+1}-C_{k}^1y_{k}+ C_{k}^2y_{k-1}+\dots+(-1)^{k}y_1 \ , $$ и $ C_{k}^j $ означает биномиальный коэффициент.

☞ ЗДЕСЬ

В одном из предшествующих ☝ пунктов решалcя следующий

Пример. Найти корни интерполяционного полинома, заданного таблицей

$$ \begin{array}{c|ccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 1 & -2 & 33 & 166 & 481 \end{array} $$

Способ решения этой задачи предлагался стандартный: сначала строился интерполяционный полином $ f_{}(x) $, потом искались его корни. Можно, однако, попробовать идти следующим обходным путем. Именно, исходя из заданной таблицы попытаться восстановить обратную функцию для неизвестной, т.е. функцию $ g_{}(y) $ такую, что $ g(f(x)) \equiv x $ или же, эквивалентно, $ f(g(y)) \equiv y $. Разумеется, точно эту функцию — для полинома $ f_{}(x) $ — построить крайне сложно²⁾, но ведь и сам интерполяционный полином является лишь некоторым приближением реальности! Имеет смысл решить поставленную задачу непосредственным использованием результатов таблицы, которая задает соответствие $ x\leftrightarrow y_{} $ для некоторых пар значений; это соответствие можно использовать не только в направлении $ x\rightarrow y_{} $, но и в направлении $ x \leftarrow y_{} $, т.е. строить интерполяционный полином для $ x_{} $ как функции от $ y_{} $ (фактически, «перевернуть» интерполяционную таблицу).

Для рассматриваемого примера форма Лагранжа дает представление полинома в виде: $$ g(y) =1 \times \frac{(y+2)(y-33)(y-166)(y-481)}{(1+2)(1-33)(1-166)(1-481)}+ 2\times \frac{(y-1)(y-33)(y-166)(y-481)}{(-2-1)(-2-33)(-2-166)(-2-481)}+ $$ $$ +3\times \frac{(y-1)(y+2)(y-166)(y-481)}{(33-1)(33+2)(33-166)(33-481)}+4\times \frac{(y-1)(y+2)(y-33)(y-481)}{(166-1)(166+2)(166-33)(166-481)}+ $$ $$ +5\times \frac{(y-1)(y+2)(y-33)(y-166)}{(481-1)(481+2)(481-33)(481-166)} \ . $$ Чтобы найти какому значению $ x_{} $ соответствует значение $ y_{}=0 $ мы просто подставляем это последнее в формулу и получаем $$ g(0) =\frac{33789444007}{25901164800} \approx 1.304553 \ . $$ Сравнивая этот ответ с полученным ☝ ВЫШЕ, мы видим некоторое соответствие с корнем $ \sqrt{3-\sqrt{3}} \approx 1.126032 $. ♦

Задача [Эрмит]. Построить полином $ y_{}=f(x) $, имеющий заданные значения своих производных в узлах интерполяции $ \{x_j\}_{j=1}^s $: $$ \begin{array}{ccc} P(x_1), & \dots &, P^{(m_1-1)}(x_1), \\ P(x_2), & \dots &, P^{(m_2-1)}(x_2), \\ \dots ,& & \dots, \\ P(x_s), & \dots & , \ P^{(m_s-1)}(x_s) . \\ \end{array} $$ При $ m_j=1 $ узел $ x_{j} $ называется простым узлом интерполяции, при $ m_j>1 $ узел $ x_{j} $ называется кратным узлом.

Интерполяционная таблица дает $ m_{1}+\dots + m_{s} $ условий на коэффициенты неизвестного полинома. По аналогии со стандартной задачей полиномиальной интерполяции, можно ожидать, что искомый полином будет существовать среди полиномов степени $ \le m_{1}+\dots + m_s -1 $. Будем искать этот полином методом неопределенных коэффициентов. Обозначим $$ \widehat{W}(x) = (x-x_1)^{m_1}\times \dots \times (x-x_s)^{m_s} \ , $$ $$ \widehat{W_j}(x) = \frac{\widehat{W}(x)}{(x-x_j)^{m_j}} =(x-x_1)^{m_1}\times \dots \times (x-x_{j-1})^{m_{j-1}} (x-x_{j+1})^{m_{j+1}} \times \dots \times (x-x_s)^{m_s} . $$ Пусть $ f_{}(x) $ — произвольный полином степени $ \le m_1+\dots + m_{s} -1 $. Разложим дробь $ f_{}(x)\big/\widehat{W}(x) $ на сумму простейших над множеством $ \mathbb A_{} $: $$ \begin{array}{lcll} \displaystyle \frac{f(x)}{\widehat{W}(x)} &\equiv & \displaystyle \frac{A_{1,1}}{(x-x_1)}+\frac{A_{1,2}}{(x-x_1)^2}+ \dots+ \frac{A_{1,m_1}}{(x-x_1)^{m_1}}+ & \\ \\ &+& \displaystyle \frac{A_{2,1}}{(x-x_2)}+\frac{A_{2,2}}{(x-x_2)^2}+ \dots+ \frac{A_{2,m_2}}{(x-x_2)^{m_2}}+ & \\ \\ &+&\dots + & \\ \\ &+& \displaystyle \frac{A_{s,1}}{(x-x_s)}+\frac{A_{s,2}}{(x-x_s)^2}+ \dots+ \frac{A_{s,m_s}}{(x-x_s)^{m_s}} & \\ && & \displaystyle = \sum_{j=1}^{s} \sum_{\ell=1}^{{\mathfrak m}_j}\frac{A_{j,\ell}}{(x-\lambda_j)^{\ell}} \end{array} $$ Определим числители дробей $ A_{jk}^{} $ с помощью интерполяционных данных. Домножим обе части тождества на $ (x-x_{1})^{m_1} $, получим: $$ \frac{f(x)}{\widehat{W_1}(x)} \equiv A_{1,1}(x-x_1)^{m_1-1}+A_{1,2}(x-x_1)^{m_1-2}+ \dots+ A_{1,m_1} + (x-x_1)^{m_1} G(x) \ ; $$ здесь через $ G_{}(x) $ обозначена дробно-рациональная функция по $ x_{} $, знаменатель которой не обращается в нуль при $ x=x_{1} $. Подставим это значение $ x_{} $ в обе части последнего равенства: $$ A_{1,m_1} = \frac{P(x_1)}{\widehat{W_1}(x_1)} \ . $$ Теперь продифференцируем последнее тождество по $ x_{} $, подставим $ x=x_{1} $ и воспользуемся данными интерполяционной таблицы: $$ A_{1,m_1-1} = \frac{d}{d\, x} \left[ \frac{f(x)}{\widehat{W_1}(x)} \right] \Bigg|_{_{x=x_1}} = \frac{P^{\prime}(x_1)\widehat{W_1}(x_1)-P(x_1)\widehat{W_1}^{\prime}(x_1)}{\left[\widehat{W_1}(x_1)\right]^2} \ . $$ Снова продифференцируем по $ x_{} $ и т.д. В результате получаем: $$ A_{1,m_1-k}=\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d\, x^k} \left[ \frac{f(x)}{\widehat{W_1}(x)} \right] \Bigg|_{_{x=x_1}} \ . $$ Аналогично поступаем и с другими узлами интерполяции. В результате, получаем решение задачи в виде интерполяционного полинома Эрмита: $$ f(x)=\sum_{j=1}^s \left[ A_{j,1}(x-x_j)^{m_j-1}+A_{j,2}(x-x_j)^{m_j-2}+ \dots+ A_{j,m_j} \right] \widehat{W_j}(x) \ . $$

Теорема. Подмножество всевозможных полиномов из $ \mathbb A[x] $, принимающих значения по таблице, можно представить в виде

$$ \{ f(x)+\widehat{W}(x)q(x) \ \big| \ q_{}(x) \in \mathbb A[x] \} \ ; $$ здесь $ f_{}(x) $ — интерполяционный полином Эрмита.

Можно указать и явное представление для этого полинома — с использованием формализма определителей. На основании правила дифференцирования дробно-рациональной функции, получаем: $$ f(x) = $$ $$ =- \sum_{j=1}^s \frac{\widehat{W_j}(x)}{\left[ \widehat{W_j} (x_j)\right]^{\mathfrak m_j}} \left|\begin{array}{cccccc} \widehat{W_j} (x_j) & 0 & 0 & \dots & 0 & P(x_j) \\ \widehat{W_j}^{\prime} (x_j) & \widehat{W_j} (x_j) & 0 & \dots & 0 & P^{\prime}(x_j) \\ \widehat{W_j}^{\prime \prime}(x_j) & 2 \widehat{W_j}^{\prime}(x_j) & \widehat{W_j}(x_j) & \dots & 0 & P^{\prime \prime}(x_j) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \widehat{W_j}^{[\mathfrak m_j-1]}(x_j) & C_{\mathfrak m_j-1}^1 \widehat{W_j}^{[\mathfrak m_j-2]}(x_j) & C_{\mathfrak m_j-1}^2 \widehat{W_j}^{[\mathfrak m_j-3]}(x_j) & \dots & \widehat{W_j} (x_j) & f^{[\mathfrak m_j-1]}(x_j) \\ 1 & \displaystyle{\frac{x-x_j}{1!}} & \displaystyle{\frac{(x-x_j)^2}{2!}} & \dots & \displaystyle{\frac{(x-x_j)^{\mathfrak m_j - 1} }{(\mathfrak m_j-1)!}}& 0 \end{array} \right|_{(\mathfrak m_j+1)\times (\mathfrak m_j+1)} \ . $$ Здесь $ C_N^M $ — биномиальный коэффициент. Еще один подход к построению полинома см. ☞ [8].

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

$$ \begin{array}{c|crrr} x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 16 & 7 & 8 & 217 \\ \hline f^{\prime}(x) & & -1 & -4 & 1375 \\ \hline f^{\prime \prime}(x) & & 6 & -44 & \\ \hline f^{\prime \prime \prime}(x) & & & -126 & \end{array} $$

Решение. Здесь $$ \widehat{W}(x) = (x+1)x^3(x-1)^4(x-2)^2 \ . $$ Для $ x_{}=-1 $ имеем $ m_{1}=1 $ и в формуле Эрмита этому узлу соответствует одно слагаемое: $$ 16 \frac{x^3(x-1)^4(x-2)^2}{(-1)^3(-1-1)^4(-1-2)^2} \ . $$ Для $ x_{}=0 $ имеем $ m_{2}=3 $ и этому узлу соответствует полином $$ \left[ A_{2,1}x^{2}+A_{2,2}x+ A_{2,3} \right] (x+1)(x-1)^4(x-2)^2 \ , $$ значения которого — вместе с первой и второй производной — в точке $ x_{}=0 $ должны совпадать с табличными: $$ A_{2,3} = \frac{7}{1\cdot(-1)^4 \cdot (-2)^2}=\frac{7}{4} \ ; $$ $$ 4\,A_{2,2}-16 A_{2,3} = -1 \quad \Rightarrow \quad A_{2,2}= 27/4 \ ; $$ $$ 8\,A_{2,1}-32\,A_{2,2}+42\,A_{2,3}= 6 \quad \Rightarrow \quad A_{2,1} = 297/16 \ . $$ Для $ x_{}=1 $ имеем $ m_{3}=4 $: $$ \left[ A_{3,1}(x-1)^{3}+A_{3,2}(x-1)^2+ A_{3,3}(x-1) +A_{3,4} \right] \underbrace{(x+1)x^3(x-2)^2}_{=\widehat{W_3}(x)} \ , $$ и для определения четырех коэффициентов этого полинома мы имеем четыре условия из таблицы: $$ 2\, A_{3,4}=8 \quad \Rightarrow \quad A_{3,4}=4 \ , $$ $$ 2\, A_{3,3}+3\, A_{3,4}=-4 \quad \Rightarrow \quad A_{3,3}=-8 \ , $$ $$ 4\,A_{3,2}+6\,A_{3,3}-6\,A_{3,4}= -44 \quad \Rightarrow \quad A_{3,2}=7 \ , $$ $$ 12\,A_{3,1}+18\,A_{3,2}-18\,A_{3,3}-36\,A_{3,4} =-126 \quad \Rightarrow \quad A_{3,1}=-21 . $$ Этот же результат можно получить и в виде альтернативного — детерминантного — представления: $$ \widehat{W_3}(1)=2,\ \widehat{W_3}^{\prime}(1)=3,\ \widehat{W_3}^{\prime \prime}(1)=-6,\ \widehat{W_3}^{\prime \prime \prime}(1)=-36, $$ и $$ -\frac{\widehat{W_3}(x)}{[\widehat{W_3}(1)]^4} \left| \begin{array}{ccccc} \widehat{W_3}(1) & 0 & 0 & 0 & f(1) \\ \widehat{W_3}^{\prime}(1) & \widehat{W_3}(1) & 0 & 0 & f^{\prime}(1) \\ \widehat{W_3}^{\prime \prime}(1) & 2 \, \widehat{W_3}^{\prime}(1) & \widehat{W_3}(1) & 0 & f^{\prime \prime}(1) \\ \widehat{W_3}^{\prime \prime \prime}(1) & 3\, \widehat{W_3}^{\prime \prime}(1) & 3\, \widehat{W_3}^{\prime}(1) & \widehat{W_3}(1) & f^{\prime \prime \prime}(1) \\ 1 & x-1 & \frac{1}{2}(x-1)^2 & \frac{1}{6}(x-1)^3 & 0 \end{array} \right|= $$ $$ =- \frac{\widehat{W_3}(x)}{16} \left| \begin{array}{ccccc} 2 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 3 & 2 & 0 & 0 & -4 \\ -6 & 6 & 2 & 0 & -44 \\ -36 & -18 & 9 & 2 & -126 \\ 1 & x-1 & \frac{1}{2}(x-1)^2 & \frac{1}{6}(x-1)^3 & 0 \end{array} \right| \ . $$

Наконец, для $ x_{}=2 $ имеем $ m_{4}=2 $: $$ \left[\frac{655}{144}(x-2)+ \frac{217}{24} \right](x+1)x^3(x-1)^4 \ . $$

Ответ. $ 2\,x^{9}-3\,x^8-4\,x^5+5\,x^4-x^3+3\,x^2-x+7 $.

Построить уравнение «горки»: найти полином из условий

$$ f_{}(1)=f'(1)=0,f(2)=1,f'(2)=0 \, . $$

Задача. Для таблицы значений $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_N \end{array} $$ построить рациональную функцию в виде $ f(x)=p(x)/q(x) $ при $ p_{}(x) $ — полиноме степени $ \le n $, $ q_{}(x) $ — полиноме степени $ \le m $, так, чтобы $ \{ f(x_j)=y_j \}_{j=1}^N $. При этом $ N,n,m $ связаны соотношением: $$ N=m+n+1 \, . $$

Общее число неопределенных коэффициентов полиномов $ p_{} $ и $ q_{} $ равно $ n+m+2 $; но мы не будем различать решения задачи отличающиеся на общий числовой множитель числителя и знаменателя.

Первое решение задачи было предложено Коши в 1821 г. [9].

Теорема [Коши]. Обозначим:

$$ W(x) = \prod_{j=1}^N (x-x_j) \ , $$ $$ W_{\overline{j_1j_2\dots j_{\ell}}} (x)=\prod_{s=1}^{\ell} (x-x_{j_s}) \quad u \quad W_{j_1j_2\dots j_{\ell}} (x)= \frac{W(x)}{W_{\overline{j_1j_2\dots j_{\ell}}}(x)}= \prod_{j\in\{1,\dots,N\}\setminus \{j_1,\dots,j_{\ell}\}} (x-x_j)\, . $$ Решение задачи рациональной интерполяции задается формулами: $$ p(x)=\sum_{(j_1,j_2,\dots,j_{m+1})} \frac{\displaystyle \prod_{s=1}^{m+1} y_{j_s}}{\displaystyle \prod_{s=1}^{m+1} W_{j_1j_2\dots j_{m+1}} (x_{j_s}) } W_{j_1j_2\dots j_{m+1}} (x) $$ и $$ q(x)=(-1)^{mn}\sum_{(j_1,j_2,\dots,j_{m})} \frac{\displaystyle \prod_{\ell=1}^{m} y_{j_{\ell}}}{\displaystyle \prod_{j\in\{1,\dots,N\}\setminus \{j_1,\dots,j_m\}} W_{\overline{j_1j_2\dots j_{m}}} (x_{j}) } W_{\overline{j_1j_2\dots j_{m}}} (x) \, . $$ Первая сумма берется по всем возможным сочетаниям из $ \{1,\dots, N\} $ по $ m+1 $ чисел, а вторая — по $ m_{} $ чисел.

При $ m=0 $ получаем представление интерполяционного полинома в форме Лагранжа.

Пример. $ n =1, m=2, N=4 $

$$ p(x)=\frac{y_1y_2y_3(x-x_4)}{(x_1-x_4)(x_2-x_4)(x_3-x_4)}+\frac{y_1y_2y_4(x-x_3)}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)(x_4-x_3)} + $$ $$ +\frac{y_1y_3y_4(x-x_2)}{(x_1-x_2)(x_3-x_2)(x_4-x_2)}+\frac{y_2y_3y_4(x-x_1)}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)} \ , $$ $$ q(x)=\frac{y_1y_2(x_1-x)(x_2-x)}{(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}+\frac{y_1y_3(x_1-x)(x_3-x)}{(x_1-x_2)(x_1-x_4)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}+ $$ $$ +\frac{y_1y_4(x_1-x)(x_4-x)}{(x_1-x_3)(x_1-x_2)(x_4-x_3)(x_4-x_2)}+\frac{y_2y_3(x_2-x)(x_3-x)}{(x_2-x_1)(x_2-x_4)(x_3-x_1)(x_3-x_4)}+ $$ $$ +\frac{y_2y_4(x_2-x)(x_4-x)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_4-x_1)(x_4-x_3)}+\frac{y_3y_4(x_3-x)(x_4-x)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_1)(x_4-x_2)} \ . $$ ♦

Биографические заметки о Коши ☞ ЗДЕСЬ.

Другие примеры на применение теоремы Коши ☞ ЗДЕСЬ

Теорема Коши дает решение задачи в смысле «как правило». Дело в том, что задача рациональной интерполяции (в указанной постановке) не всегда разрешима.

Пример. Для таблицы

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 1 & 1 & 1/3 & 3 & 1/13 \end{array} $$ построить удовлетворяющую ей рациональную функцию $ f(x)=p(x)/q(x) $ при $ \deg p(x)=1,\deg q(x) =3 $.

Решение. Теорема Коши дает решение в виде $$ p(x)\equiv x-2, \quad q(x)\equiv x^3-x^2-x-2 \, . $$ Однако $ p(2)=0 $ и $ q(2)=0 $, и условие $ f(2)=3 $ не выполняется. Оно не выполнится даже если мы разделим полученные полиномы на общий линейный делитель.

Вместе с тем, той же таблице удовлетворяют (безо всяких проблем) рациональные дроби $$ \frac{-860\,x^2+3573\,x-2932}{133\,x^3-1079\,x^2+3221\,x-2932} \ , \quad \frac{-1587\,x+3948}{860\,x^4-4167\,x^3+1501\,x^2+4941\,x+3948}, \dots $$ для которых нарушено поставленное ограничение $ N=m+n+1 $, связывающее степени числителя и знаменателя с количеством узлов интерполяции. ♦

Альтернативный подход к решению задачи основывается на следующей теореме, развивающей результат К.Якоби [10,11]; он основан на идее из пункта ☝ о рекурсивном вычислении коэффициентов интерполяционного полинома.

Предварим теоремы двумя определениями. Для произвольной числовой последовательности $$ \{ \mathbf c \}= c_0,c_1,\dots, c_{2k-2}, \dots $$ определитель $$ H_{k}(\{c\})= \left|\begin{array}{llllll} \color{Brown}c_0 & \color{Blue}c_1 & \color{Green}c_2 & \color{Violet}c_3 & \dots & c_{k-1} \\ \color{Blue}c_1 & \color{Green}c_2 & \color{Violet}c_3 & c_4 & \dots & c_k \\ \color{Green}c_2 & \color{Violet}c_3 & c_4 & &\dots & c_{k+1} \\ \color{Violet}c_3 & c_4 & & & & \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & &\dots & c_{2k-2} \end{array} \right|= \det \left[ c_{j+k}\right]_{j,k=0}^{k-1} $$ называется ганкелевым определителем порядка $ k_{} $, порожденным этой последовательностью. Определитель, зависящий от переменной $ x_{} $, $$ \mathcal H_k(x; \{c\}) = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k+1} \\ \vdots & & & \ddots& \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-1} \\ 1 & x & x^2 & \ldots & x^{k} \end{array} \right|_{(k+1) \times (k+1)} $$ будет полиномом по $ x_{} $; он называется ганкелевым полиномом k-го порядка (порожденным последовательностью $ \{c\} $).

Теорема. Пусть $ \left\{ y_j \ne 0 \right\}_{j=1}^N $. Вычислим последовательности

$$ \left\{ \tau_k=\sum_{j=1}^N y_j \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2m} \quad \mbox{ и } \quad \left\{ \widetilde \tau_k=\sum_{j=1}^N \frac{1}{y_j} \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2n-2} \, , $$ и вычислим порожденные ими ганкелевы полиномы $ \mathcal H_m (x;\{\tau\}) $ и $ \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) $. Если $$ H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \ne 0 $$ и $$ \left\{ \mathcal H_m (x_j;\{\tau\})\ne 0 \right\}_{j=1}^{N} , $$ то существует единственное решение задачи рациональной интерполяции при $ \deg p(x)=n, \deg q(x) \le m=N-n-1 $. Это решение можно представить в виде $$ p(x) = H_{m+1}(\{\tau\}) \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) = $$ $$ =\left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ \tau_{m} & \tau_{m+1} & \dots & \tau_{2m} \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{llll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_n \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\ 1 & x & \dots & x^n \end{array} \right| \, , $$ $$ q(x) = H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \mathcal H_m (x;\{\tau\}) = $$ $$ =\left| \begin{array}{llll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-2} \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ 1 & x & \dots & x^m \end{array} \right| \, . $$

Подробнее о методе Якоби (в том числе и об эффективном способе вычисления ганкелевых полиномов) ☞ ЗДЕСЬ.

.

Потребность в подобной интерполяции возникает в случае, когда приближаемая функция по своей природе предполагается периодической с известным периодом, например $ 2 \pi_{} $.

Задача. Построить периодическую функцию периода $ 2 \pi_{} $, принимающую значения согласно следующей таблице: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_n \end{array} $$ Здесь узлы интерполяции предполагаются различными вещественными $ \{x_{1},\dots,x_n\} \subset [0,2 \pi] $ (хотя все приведенные в этом пункте результаты будут справедливы и для комплексных узлов при различных $ \{ \mathfrak{Re} (x_k)\}_{k=1}^{n} \subset [0,2\pi[ $).

Теорема [Эрмит ?]. Функция

$$ F(x)=y_1\frac{\sin(x-x_2)\times\dots \times\sin (x-x_n)}{\sin(x_1-x_2)\times \dots \times \sin (x_1-x_n)} + $$ $$ +y_2\frac{\sin(x-x_1)\sin(x-x_3)\times \dots \times \sin (x-x_n)}{\sin(x_2-x_1)\sin(x_2-x_3)\times \dots \times \sin (x_2-x_n)} + \dots + $$ $$ +y_n\frac{\sin(x-x_1) \times \dots \times \sin (x-x_{n-1})}{\sin(x_n-x_1)\times \dots \times \sin (x_n-x_{n-1})} $$ решает поставленную задачу.

Доказательство тривиально, если обратить внимание на аналогию с интерполяционным полиномом в форме Лагранжа. ♦

Проанализируем полученный ответ, сначала преобразовав его. Каждое произведение в числителе можно представить в виде комбинации синусов и косинусов от аргументов кратных $ x_{} $. Так, например, $$ \sin(x-x_1) \sin (x-x_2) \equiv \frac{1}{2} \left( \cos (x_2-x_1) - \cos(2\,x-x_1-x_2) \right)\equiv $$ $$ \equiv \frac{1}{2} \cos (x_2-x_1) - \frac{1}{2} \cos(x_1+x_2) \cos\, 2\,x - \frac{1}{2} \sin(x_1+x_2) \sin \,2\,x \ ; $$ $$ \sin(x-x_1) \sin (x-x_2) \sin (x-x_3) \equiv \frac{1}{2} \left( \cos (x_2-x_1) \sin (x-x_3) - \cos(2\,x-x_1-x_2) \sin (x-x_3) \right) \equiv $$ $$ \equiv \frac{1}{4}\left[\cos(x_1-x_2)\cos(x_3)+\cos(x_1-x_3)\cos \, x_2+\cos(x_2-x_3)\cos(x_1)\right]\sin\,x- $$ $$ - \frac{1}{4}\left[\cos(x_1-x_2)\sin\, x_3+\cos(x_1-x_3)\sin\, x_2+\cos(x_2-x_3)\sin\,x_1\right]\cos\,x - $$ $$ -\frac{1}{4}\cos (x_1+x_2+x_3) \sin 3\,x +\frac{1}{4} \sin(x_1+x_2+x_3)\cos\, 3\, x \ , $$ и т.д. Таким образом, функцию $ F_{}(x) $ можно представить в виде линейной комбинации тригонометрических функций $ \sin \,x, \cos \, x $, $ \sin 2\,x, \cos 2\,x , \dots, \sin \, (n-1) x,\ \cos \, (n-1) x $.

Функция от $ x_{} $ вида $$ \begin{matrix} f_n(x)=a_0 & + & a_1 \cos x + a_2 \cos 2x+\dots + a_n \cos nx + \\ \ &+&b_1 \sin x + b_2 \sin 2x+\dots + b_n \sin nx . \end{matrix} $$ при постоянных $ \{a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_n,b_n\} $ называется тригонометрическим полиномом по переменной $ x_{} $. Если хотя бы одно из чисел $ a_{n} $ или $ b_{n} $ отлично от нуля, то говорят, что тригонометрический полином имеет порядок $ \mathbf n $.

Тригонометрический полином порядка $ n_{} $ определяется заданием $ (2\, n+1) $-го своего коэффициента $ \{a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_n,b_n\} $. Возникает гипотеза, что, по аналогии со случаем полиномиальной интерполяции, задание $ (2\,n+1) $-го значения интерполяционной таблицы определит такой полином однозначно. Полином, построенный по теореме Эрмита, не удовлетворяет этому условию: указанные выше преобразования, проведенные для случая $ (2\, n+1) $-го узла интерполяции приведут к тригонометрическому полиному порядка $ 2\, n $. Тем не менее, идея, лежащая в основе той теоремы, допускает естественное обобщение.

Теорема. Функция

$$ \begin{matrix} F(x)&=&y_1\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_2}{2}\times\dots \times\sin \frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin \frac{x_1-x_2}{2}\times \dots \times \sin \frac{x_1-x_{2n+1}}{2}} + \\ &+&y_2\frac{\displaystyle \sin\frac{x-x_1}{2}\sin\frac{x-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x-x_{2n+1}}{2}}{\displaystyle \sin\frac{x_2-x_1}{2}\sin\frac{x_2-x_3}{2}\times \dots \times \sin\frac{x_2-x_{2n+1}}{2}} + \\ & + & \dots + \\ &+& y_{2n+1}\frac{\displaystyle \sin \frac{x-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x-x_{2n}}{2}}{ \displaystyle \sin \frac{x_{2n+1}-x_1}{2} \times \dots \times \sin \frac{x_{2n+1}-x_{2n}}{2}} \end{matrix} $$ удовлетворяет условиям $ \{ F(x_j)=y_j \}_{j=1}^{2n+1} $. Эта функция является тригонометрическим полиномом порядка не выше $ n_{} $. При таком ограничении на порядок полином, удовлетворяющий заданным интерполяционным условиям, определяется единственным образом.

Задача. Найти явные выражения для коэффициентов тригонометрического полинома из последней теоремы.

«Лобовое» решение аналогично решению задачи полиномиальной интерполяции — сведением ее к подходящей системе линейных уравнений.

Пример. Построить интерполяционный полином второго порядка по следующей таблице

$$ \begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 2\pi/5 & 4\pi/5 & 6\pi/5 & 8\pi/5 \\ \hline y & 1 & -1 & 3 & -2 & 2 \end{array} $$

Решение. Будем искать коэффициенты полинома традиционным методом неопределенных коэффициентов: полином $$ a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2\, x + b_2 \sin 2\, x $$ должен удовлетворять таблице. Получаем систему линейных уравнений, которую перепишем в матричном виде: $$ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & \cos 2\pi/5 & \sin 2\pi/5 & \cos 4\pi/5 & \sin 4\pi/5 \\ 1 & \cos 4\pi/5 & \sin 4\pi/5 & \cos 8\pi/5 & \sin 8\pi/5 \\ 1 & \cos 6\pi/5 & \sin 6\pi/5 & \cos 12\pi/5 & \sin 12\pi/5 \\ 1 & \cos 8\pi/5 & \sin 8\pi/5 & \cos 16\pi/5 & \sin 16\pi/5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ b_1 \\ a_2 \\ b_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 3 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \ . $$ Согласно теореме эта система должна иметь решение относительно $ a_0,a_1,b_1,a_2,b_2 $, причем единственное. Так оно и оказывается: на акцентируя внимания на методе решения этой системы (см. ☞ ЗДЕСЬ ) , а также на том, как можно выразить в виде квадратичных иррациональностей косинусы и синусы углов кратных $ \pi/5 $ (см. ☞ ЗДЕСЬ ), приведу лишь конечный результат — $$ a_0 =3/5,\ a_1 =1/5,\ a_2 =1/5,\ $$ $$ b_1=-\frac{1}{20}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}(11-5\sqrt{5})\approx 0.034302,\ b_2= -\frac{1}{20}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}(7+3\sqrt{5})\approx -2.607455 \ . $$ ♦

По таблице

$$ \begin{array}{c|ccccccccccccccccccccc} x =\frac{2}{21}\pi \times & \scriptstyle 1 & \scriptstyle 2 & \scriptstyle 3 & \scriptstyle 4 & \scriptstyle 5 & \scriptstyle 6 & \scriptstyle 7 & \scriptstyle 8 & \scriptstyle 9 & \scriptstyle 10 & \scriptstyle 11 & \scriptstyle 12 & \scriptstyle 13 & \scriptstyle 14 & \scriptstyle 15 & \scriptstyle 16 & \scriptstyle 17 & \scriptstyle 18 & \scriptstyle 19 & \scriptstyle 20 & \scriptstyle 21 \\ \hline y & \scriptstyle 175 & \scriptstyle 196& \scriptstyle 230& \scriptstyle 253& \scriptstyle 245& \scriptstyle 205& \scriptstyle 135& \scriptstyle 100& \scriptstyle 82& \scriptstyle 85& \scriptstyle 82& \scriptstyle 64& \scriptstyle 29& \scriptstyle 10& \scriptstyle 15& \scriptstyle 50& \scriptstyle 110& \scriptstyle 158& \scriptstyle 174& \scriptstyle 173& \scriptstyle 175 \end{array} $$ построить (алгебраический) полином $ 20 $-й степени и тригонометрический полином $ 10_{} $-го порядка и сравнить их значения при $ x=\pi/7 $ и $ x=\pi/5 $.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Для случая системы равноотстоящих узлов решение задачи значительно упрощается.

Задача. Построить полином $ f_{n} (x) $ такой, что $$ f_n\left( \frac{2\pi j}{2n+1} \right) = y_j \quad npu \quad j \in\{-n,-n+1,\dots,-1,0,1,\dots n \} \ . $$

Теорема. Коэффициенты полинома $ f_{n} (x) $ определяются формулами

$$ a_0= \frac{1}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j, $$ $$ a_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \cos \left( \frac{2\pi jm}{2n+1} \right),\quad b_m= \frac{2}{2n+1} \sum_{j=-n}^n y_j \sin \left(\frac{2\pi jm}{2n+1} \right) $$ при $ m\in \{1,\dots,n \} $.

Подробное изложение теории тригонометрической интерполяции (и дискретного преобразования Фурье) ☞ ЗДЕСЬ

Если Вы решили упражнение из предыдущего пункта, то могли обнаружить что интерполяционный алгебраический полином $ A_0+A_1x+A_2x^2+\dots $ не всегда является подходящим средством приближения неизвестной функции, особенно если та, по своей «скрытой природе», принципиально неполиномиальна. В последней фразе слово «приближение» пока не формализовано — оно связано с понятием аппроксимации, которое дается ☟ НИЖЕ. Забегая вперед, заметим, что алгебраический полином, построенный в задаче интерполяции, подходит не для всех задач,связанных с приближением неизвестной функции. Так, интуитивно понятно, почему для приближения периодической функции в предыдущем пункте использовались периодические функции с соизмеримыми периодами.

Другой класс таких «специфических» функций составляют функции, имеющие определенную асимптотику при неограниченном возрастании их аргументов (по абсолютной величине или в определенном направлении). В этом случае ставят задачу приближения функции $ F_{}(x) $ суммой экспонент: $$ f(x) = c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+\dots+c_ne^{m_nx} \ ; $$ как видим, эта функция задается $ 2\,n $ параметрами — коэффициентами $ \{c_{k}\}_{k=1}^n $ и показателями $ \{m_k\}_{k=1}^n $.

Пример. Пусть имеется вещество, представляющее из себя смесь двух радиоактивных материалов с различными периодами полураспада. По закону радиоактивного распада изменение количества $ N(t) $ радиоактивного материала (измеряемого в граммах или в количестве атомов) во времени вычисляется по формуле

$$ N(t)=N(0) e^{-\lambda t} \ , $$ где $ N(0) $ — исходное количество материала, а $ \lambda_{} > 0 $ — постоянная распада, различная для различных материалов. Тогда для смеси двух материалов получаем зависимость $$ N_{1,2}(t)=N_1(0) e^{-\lambda_1 t}+ N_2(0) e^{- \lambda_2 t} \ . $$ Требуется определить параметры процесса $ N_1(0), N_2(0), \lambda_1, \lambda_2 $ по показаниям счетчика Гейгера в различные моменты времени. ♦

Задача. Построить функцию $ \displaystyle f(x) = \sum_{k=1}^n c_k e^{m_kx} $, удовлетворяющую условиям $$ \{f(x_j)=y_j\}_{j=0}^{2n-1} ; $$ узлы интерполяции $ \{x_j\}_{j=0}^{2n-1} $ предполагаются различными.

В отличие от рассмотренных выше задач алгебраической или тригонометрической интерполяции, поставленная задача является, во-первых, принципиально нелинейной относительно параметров, и, во-вторых, не всегда разрешимой.

Пример. Условиям $ f(x_0)=0, f(x_1)=1 $ функция $ f(x)=ce^{mx} $ не удовлетворяет ни при каких значениях параметров. ♦

Следующий метод решения задачи для случая вещественных равноотстоящих узлов $$ x_j= j h \quad \mbox{при} \quad h>0,\ j\in\{0,\dots,2\,n-1\} \ . $$ был предложен Прони⁴⁾ в статье [1].

Обозначим $$ u_1=e^{m_1h},\dots, u_n=e^{m_nh} ; $$ в этих обозначениях условия интерполяции можно переписать в виде: $$\{c_1u_1^{j}+c_2u_2^{j}+\dots+ c_nu_n^{j}=y_j \}_{j=0}^{2n-1} \ . $$ Задача свелась к конечной проблеме моментов, из решения которой и вытаскивается алгоритм

Итак, получившаяся система из $ 2\, n $ уравнений включает в себя $ 2\, n $ неопределенных параметров $ \{c_{k}\}_{k=1}^n $ и $ \{u_k\}_{k=1}^n $. Вхождение первых — хорошее, поскольку линейное. Со вторыми приходится обращаться с помощью «обходного манёвра».

1. Составляется система линейных уравнений, ее матричный вид: $$ \left(\begin{array}{lllll} y_0 & y_1 & y_2 & \dots & y_{n-1} \\ y_1 & y_2 & y_3 & \dots & y_n \\ y_2 & y_3 & y_4 & \dots & y_{n+1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ y_{n-1} & y_n & y_{n+1} & \dots & y_{2n-2} \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} a_n \\ a_{n-1} \\ a_{n-2} \\ \vdots \\ a_1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{l} y_n \\ y_{n+1} \\ y_{n+2} \\ \vdots \\ y_{2n-1} \end{array} \right) $$ здесь неизвестными являются⁵⁾ $ a_1,a_2,\dots,a_{n} $. На числа $ \{y_j\}_{j=0}^{2n-1} $ накладываются два ограничения: $$ \left|\begin{array}{lllll} y_0 & y_1 & y_2 & \dots & y_{n-1} \\ y_1 & y_2 & y_3 & \dots & y_n \\ y_2 & y_3 & y_4 & \dots & y_{n+1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ y_{n-1} & y_n & y_{n+1} & \dots & y_{2n-2} \end{array}\right| \ne 0,\ \left|\begin{array}{lllll} y_1 & y_2 & y_3 & \dots & y_{n} \\ y_2 & y_3 & y_4 &\dots & y_{n+1} \\ y_3 & y_4 & y_5 &\dots & y_{n+2} \\ \vdots & & & & \vdots \\ y_n & y_{n+1} & y_{n+2} & \dots & y_{2n-1} \end{array}\right| \ne 0 \ . $$ эти два определителя относятся к типу ганкелевых.

2. При выполнении этих ограничений система линейных уравнений имеет единственное решение $$ a_{n},a_{n-1},\dots,a_1 \ , $$ у которого $ a_{n} \ne 0 $ (см. ☞ Формулы Крамера ). Находим это решение.

3. Составляем алгебраическое уравнение относительно новой переменной $ \lambda $: $$ g(\lambda)= \lambda^n - a_1 \lambda^{n-1}-a_2 \lambda^{n-2}-\dots-a_n = 0 \ , $$ коэффициенты которого найдены в предыдущем пункте. Проверяем это уравнение на отсутствие кратных корней (см. методы ☞ ЗДЕСЬ или ☞ ЗДЕСЬ ). Находим все корни (в общем случае, они — комплексные и, как правило, могут быть найдены разве лишь приближенно). Эти корни и будут искомыми числами $ u_1,u_2,\dots,u_n $.

4. Оставшиеся параметры $ c_1,c_2,\dots,c_n $ определяем из системы линейных уравнений $$\{c_1u_1^{j}+c_2u_2^{j}+\dots+ c_nu_n^{j}=y_j \}_{j=0}^{n-1} \ . $$ В матричном виде: $$ \left(\begin{array}{llll} 1 & 1 & \dots & 1 \\ u_1 & u_2 & \dots & u_n \\ u_1^2 & u_2^2 & \dots & u_n^2 \\ \vdots & & & \vdots \\ u_{1}^{n-1} & u_{2}^{n-1} & \dots & u_{n}^{n-1} \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ \vdots \\ c_n \end{array} \right)= \left( \begin{array}{l} y_0 \\ y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n-1} \end{array} \right) \ , $$ в которую подставлены величины $ u_1,u_2,\dots,u_n $, найденные в предыдущем пункте. Ее определитель — определитель Вандермонда, который, по предположению пункта 3 , отличен от нуля. Следовательно система имеет единственное решение.

5. Показатели $ \{m_j\}_{j=1}^n $ вычисляются по формулам $$ m_j=(\operatorname{ln} u_j)/h \, . $$ Я не объясняю как вычисляется натуральный логарифм мнимого числа, но вот правило вычисления $ e^{a+\mathbf i b} $ можно посмотреть ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Построить экспоненциальную функцию вида

$$ f(x)=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+c_3e^{m_3x}+c_4e^{m_4x} \, , $$ принимающую значения согласно следующей таблице:

$$ \begin{array}{c|cccccccc} x & 0 & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 \\ \hline y & 0.5 & 0.378907 & 0.232694 & 0.088027 & -0.016793 & -0.028242 & 0.127344 & 0.550507 \end{array} $$

Решение. Для данного примера $ h=0.1, n=4 $. Система из пункта 1 приведенного алгоритма имеет решение $$ a_1 \approx 4.462091,\ a_2 \approx - 7.447287, \ a_3\approx 5.521117, a_4 \approx -1.537257 \ . $$ Полином $$ g(\lambda)=\lambda^4-4.462091\, \lambda^3+7.447287\, \lambda^2-5.521117\, \lambda+1.537257 $$ из пункта 3 алгоритма имеет корни $$ u_1 \approx 1.127497,\ u_2 \approx 1.363425, u_{3,4} \approx 0.985585\pm 0.169182\, \mathbf i \ . $$ Составляем на основании этих значений систему линейных уравнений из пункта 4 алгоритма и решаем ее: $$ c_1 \approx -2.399999, c_2 \approx 0.600001, c_{3,4} \approx 1.149999\mp 0.0000004 \mathbf i \ . $$ Теперь осталось только перевести найденные величины $ \{u_j\}_{j=1}^4 $. в искомые показатели $ \{m_j\}_{j=1}^4 $ по формулам $ \{m_j=(\operatorname{ln} u_j)/h\}_{j=1}^4 $: $$ m_1 \approx 1.200001, m_2 \approx 3.0999996, \ m_{3,4} \approx -0.0000003\pm 1.700000 \mathbf i \ . $$ Окончательно: $$ f(x)\approx -2.399999\, e^{1.200001\,x}+0.600001\, e^{3.0999996\,x}+ 2.299999\, \cos 1.700000 + 0.0000008\, \mathbf i \, \sin 1.700000 \ , $$ при истинном ответе: $$ f(x) = -2.4\, e^{1.2\,x}+0.6\,e^{3.1\,x}+2.3\,\cos \, 1.7\,x \ . $$ ♦

Последний пример дает интересный «поворот мысли». Представленный алгоритм отработал правильно и обнаружил периодическую функцию, наличие которой в гипотезе постановки задачи изначально не предполагалось! Алгоритм оказался «умнее» постановщика задачи… Этот эффект является проявлением замечательного свойства функций комплексного аргумента: в терминах комплексных чисел свойства функций $ e^{z} $ практически совпадают со свойствами $ \cos z $ и $ \sin z $, поскольку две последние линейно выражаются через первую: $$ \cos z= \frac{1}{2}e^{\mathbf i z} + \frac{1}{2} e^{-\mathbf i z}, \sin z = - \frac{\mathbf i}{2}e^{\mathbf i z} + \frac{\mathbf i}{2}e^{-\mathbf i z} \ .$$ Возникает ужасное подозрение, что весь материал пункта о тригонометрической интерполяции может быть получен средствами настоящего пункта . — Так оно и есть. Однако универсальный подход оказывается более громоздким, и в частном случае когда приближаемая функция предполагается периодической он менее эффективен, чем частный алгоритм построения тригонометрического полинома. Другое дело, если интерполируемая функция имеет вид: $$ \sin x + 3 \cos \sqrt{2} x $$ — т.е. представляет комбинацию двух периодических функции, но с несоизмеримыми периодами! В этом случае для ее идентификации придется применять «тяжелую артиллерию» в виде комбинации экспонент…

Задача интерполяции является частным случаем более общей задачи аппроксимации функций, т.е. замены одной неизвестной или сложной для вычисления функции другой, более простой. Здесь существенно понятие «близости» функций, которое может быть различным в конкретных задачах.

Можно определить «расстояние» между функциями $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $, заданными на отрезке $ [a_{},b] $, как $$ \max_{x\in [a,b]} |f(x) -g(x)| \ , $$ т.е. как величину максимального «разноса» ординат графиков этих функций. С точки зрения этого определения, интерполяционный полином не всегда дает подходящий способ аппроксимации. Это показывает и упражненение из пункта о тригонометрической интерполяции и следующий пример.

Пример [Рунге]. Пусть на интервале $ [-1,1] $ задана функция

$$F(x)=\frac{1}{26\,x^2+1} \ . $$ Построим для нее интерполяционный полином $ f_{n}(x) $ степени $ n_{} $ по равноотстоящим узлам $$ x_{k+1}=-1+\frac{2k}{n}\ npu \ k \in \{0,\dots,n \} \ , $$ и будем оценивать $$ \max_{x\in [-1,1]} |f_n(x) -F(x)| \ . $$

Имеем $$ \begin{array}{lcl} f_3(x)&=&-\frac{26}{105}\,x^2+\frac{269}{945}, \\ & & \\ f_6(x)&=&-\frac{52728}{3955}\,x^6+\frac{252148}{11865}\,x^4-\frac{948506}{106785}\,x^2+1, \\ & & \\ f_{10}(x)&=& -\frac{4641162500000}{20289063627}\,x^{10}+\frac{3463021250000}{6763021209}\,x^8- \\ &-&\frac{22398415000}{56832111}\,x^6+\frac{2578375455500}{20289063627}\,x^4-\frac{38842240814}{2254340403}\,x^2+1, \\ & & \\ f_{14}(x)&=& -\frac{111170591389930357376}{28071734843750625}\,x^{14}+\frac{610827425219397568}{53267049039375}\,x^{12} + \dots + 1, \\ & & \\ f_{20}(x)&=& \frac{137858491849000000000000000}{485257804458375856761}x^{20}-\frac{178685814435050000000000000}{161752601486125285587}\,x^{18}+\dots + 1 \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|cccccc} n & 3 & 6 & 10 & 14 & 20 \\ \hline \max |f_n(x) -F(x)| & 0.678306 & 0.627383 & 1.98668 & 7.620721 & 65.42256 \end{array} $$ Вывод: точность приближения функции $ F_{}(x) $ полиномом $ f_{n}(x_{}) $ падает с увеличением его степени хотя — во все более частых узлах интерполяции — значения этих функций совпадают! ♦

Почему это происходит? Вопрос оказывается связанным со сходимостью ряда. Интерполяционный ряд $$ f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2) + \dots $$ будет сходиться в некоторой окрестности нуля и расходиться при значениях $ x_{} $ близких к краю рассмотренного интервала. Для приведенного примера я, правда, оценок не нашел, но вот для другого примера Рунге $$ F(x)=\frac{1}{(1+x)^2} $$ в [3] указывается⁶⁾, что интерполяционный ряд построенный для равноотстоящих на интервале $ [-5,5_{}] $ узлов сходится при $ x_{} \in ] -3.63,\ 3.63 [ $ и расходится вне этого интервала. ♦

Еще одна иллюстрация проблемы — аппроксимация ступенчатой функции

$$ F(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -1 & \mbox{при}\ x<0 \\ +1 & \mbox{при}\ x>0 \end{array} \right. $$ на отрезке $ [-1,1] $ — обсуждается ☞ ЗДЕСЬ.

Можно определить «расстояние» между функциями $ f_{}(x) $ и $ g(x_{}) $, непрерывными на отрезке $ [a_{},b] $, как $$ \int_a^b |f(x) -g(x)| d\,x \ , $$ или же $$ \int_a^b [f(x) -g(x)]^2 d\,x \ . $$ Для выяснения геометрического смысла этих определений, вспомним, что геометрический смысл интеграла $ \int_a^{b} f(x) d\, x $ от неотрицательной на $ [a_{},b] $ функции $ f_{}(x) $ — площадь криволинейной трапеции на плоскости $ (x_{},y) $, ограниченной прямыми $ x=a_{},\,x=b,\,y=0 $ и графиком $ y=f(x_{}) $. Следовательно, интеграл $$ \int_a^b \left| f(x) -g(x) \right| d\, x $$ определяет площадь фигуры, ограниченной прямыми $ x=a_{},\,x=b $ и графиками $ y=f(x_{}), y=g(x) $ (закрашена голубым на рисунке). Чем меньше эта площадь, тем «теснее» друг к другу расположены графики $ y=f_{}(x) $ и $ y=g_{}(x) $ на отрезке $ [a_{},b] $. Величина $$ \int_a^b [f(x) -g(x)]^2 d\,x , $$ вообще говоря, не совпадает с предыдущей, но смысл ее тот же: она позволяет оценивать близость графиков на всем отрезке $ [a_{},b] $. С вычислительной точки зрения, проще вычислять интеграл от квадрата функции, чем от ее модуля.

Задача. Для функции $ f(x_{}) $, непрерывной на $ [0_{},1] $, построить полином $ f_{n-1}(x_{})=a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1} $ такой, чтобы величина $$ \int_0^1 \left[f(x)-f_{n-1}(x) \right]^2 d\, x $$ была наименьшей.

Теорема. Коэффициенты полинома $ f_{n-1}(x_{}) $ находятся из системы уравнений

$$ \left( \begin{array}{lllll} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \dots & \frac{1}{n} \\ &&&& \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \dots & \frac{1}{n+1} \\ &&&& \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \dots & \frac{1}{n+2} \\ &&&& \\ \dots & & & & \dots \\ &&&& \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \dots & \frac{1}{2n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{l} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{array} \right) \ . $$ Здесь $$ b_{j}=\int_0^1 f(x) x^{j} d\, x \quad npu \quad j\in \{0,\dots,n-1 \} . $$

Матрица $ {\mathfrak H}_{n} $ системы называется матрицей Гильберта. Ее определитель равен $$ \frac{[1!\,2!\, 3! \dots (n-1)!]^3} {n!\, (n+1)!\, (n+2)!\, \dots (2n-1)!} \ , $$ т.е. отличен от нуля, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Задача. Для функции $ f_{}(x) $, непрерывной на $ [-\pi,\pi_{}] $, построить тригонометрический полином $$ \begin{matrix} f_n(x)=a_0 & + & a_1 \cos x + a_2 \cos 2x+\dots + a_n \cos nx + \\ \ &+&b_1 \sin x + b_2 \sin 2x+\dots + b_n \sin nx . \end{matrix} $$ такой, чтобы величина $$ \int_{-\pi}^{\pi} \left[f(x)-f_{n}(x) \right]^2 d\, x $$ была наименьшей.

Теорема. Коэффициенты тригонометрического полинома $ f_{n}(x_{}) $ являются коэффициентами Фурье функции $ f(x_{}) $:

$$ a_0=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) d\, x \ , $$ $$ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos mx d\, x ,\quad b_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin mx d\, x \quad $$ при $ m\in \{1,\dots n\} $ .

Предположим теперь, что данные исходной таблицы не являются достоверными: значения обеих переменных подвержены воздействию случайных погрешностей одинакового порядка. Как воспользоваться этими данными для задачи аппроксимации? Мы рассмотрим здесь только две подобные задачи.

Задача. Найти координаты точки $ (x, y) $, сумма квадратов расстояний до которой от точек $ P_1=(x_{1},y_1),\dots, P_n=(x_n,y_n) $ будет минимальной.

Теорема 1. Координаты искомой точки определяются средними значениями координат точек $ \{ P_j\}_{j=1}^n $:

$$ \overline{x}=\frac{x_1+x_2+ \dots+x_n}{n},\quad \overline{y}=\frac{y_1+y_2+ \dots+y_n}{n}\ . $$

Координаты точки, для которой величина

$$ \sum_{j=1}^n m_j \left[(x-x_j)^2+(y-y_j)^2 \right] \ , $$ ($ m_{1},\dots,m_n $ — положительные константы) будет минимальной: $$ \hat x=\frac{m_1x_1+m_2x_2+ \dots+m_nx_n}{m_1+m_2+ \dots+m_n},\quad \hat y=\frac{m_1y_1+m_2y_2+ \dots+m_ny_n}{m_1+m_2+ \dots+m_n}\ . $$

Задача. Найти уравнение прямой в виде $$ ax+by+1 =0 \ , $$ сумма квадратов расстояний до которой от точек $ \{P_j\}_{j=1}^n $ будет минимальной.

Если обозначить $ \delta_j $ расстояние от $ P_j $ до некоторой прямой, то речь идет о поиске такой прямой, которая бы обеспечивала $$ \min (\delta_1^2+\delta_2^2+\dots + \delta_n^2) \, . $$

Теорема 2 [3],[4]. Обозначим

$$ u=\frac{a}{b},\ X=\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_n \end{array} \right)_{n\times 2},\ Y=\left( \begin{array}{cc} 1 & y_1 \\ 1 & y_2 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & y_n \end{array} \right)_{n\times 2} \ , $$ а $ \overline{x} $ и $ \overline{y} $ — те же, что и в теореме $ 1 $. Тогда коэффициенты $ a_{} $ и $ b_{} $ искомой прямой, как правило, определяются из системы уравнений $$ u^2+K\,u-1 =0, \ a \overline{x} + b \overline{y} +1 =0 \ ; $$ здесь $$ K=\frac{\det(X^{\top}X)-\det(Y^{\top}Y)}{\det(X^{\top}Y)} \ . $$ В исключительном случае возможно решение $$ b=0,\ x= \overline{x} \ \mbox{ или } \ a=0,\ y= \overline{y} \ . $$

Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение из теоремы означает, что искомая прямая обязательно проходит через центр тяжести системы точек. Уравнение для определение тангенса угла наклона этой прямой к оси $ Ox_{} $ — квадратное, оно имеет два корня $ \mu_{1}, \mu_2 $, т.е. имеется два кандидата на решение задачи. По формулам Виета $ \mu_{2}=-1/\mu_1 $, что означает: две прямые взаимно перпендикулярны. На рисунке эти прямые показаны для случая $$ \begin{array}{c|cccccc} x & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 \\ \hline y & 0.35 & 0.80 & 1.70 & 1.85 & 3.51 & 1.02 \end{array} $$ Их уравнения: $$-1.59\, x +1.16\, y +1=0, \ -0.26\, x - 0.35\, y +1 =0 \ ; $$ они пересекаются в центроиде системы точек $ \{(x_j,y_j)\} $: $$ \overline{x} =1.75, \overline{y} \approx 1.54 \ . $$ Сумма квадратов расстояний от данных точек до этих прямых: $$ 2.25 \ \mbox{ и } \ 8.36 $$ соответственно. Следовательно, решением задачи является первая прямая (зеленая). ♦

Теорема 3 [Пирсон]. Пусть матрицы $ X $ и $ Y $ определены как в теореме $ 2 $. Тогда минимум суммы квадратов расстояний точек $ \{(x_{j},y_j)\}_{j=1}^n $ до прямой

$$ ax+by+c=0 $$ равен минимальному положительному корню $ \lambda_{min} $ уранения $$ \left| \begin{array}{ccc} \sum_{j=1}^n x_j^2 - \lambda & \sum_{j=1}^n x_jy_j & \sum_{j=1}^n x_j \\ \sum_{j=1}^n x_jy_j & \sum_{j=1}^n y_j^2 - \lambda & \sum_{j=1}^n y_j \\ \sum_{j=1}^n x_j & \sum_{j=1}^n y_j & n \end{array} \right|=0 \, . $$ Коэффициенты $ a, b $ и $ c $ уравнения искомой прямой определяются из системы уравнений $$ \left( \begin{array}{ccc} \sum_{j=1}^n x_j^2 - \lambda_{\min} & \sum_{j=1}^n x_jy_j & \sum_{j=1}^n x_j \\ \sum_{j=1}^n x_jy_j & \sum_{j=1}^n y_j^2 - \lambda_{\min} & \sum_{j=1}^n y_j \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \, . $$

Пример [Пирсон]. Построить прямую из теоремы $ 3 $ для точек

$$ \begin{array}{c|cccccccccc} x & 0.0 & 0.9 & 1.8 & 2.6 & 3.3 & 4.4 & 5.2 & 6.1 & 6.5 & 7.4 \\ \hline y & 5.9 & 5.4 & 4.4 & 4.6 & 3.5 & 3.7 & 2.8 & 2.8 & 2.4 & 1.5 \end{array} $$

Решение. Здесь $ n=10 $ и $$ \sum_{j=1}^{10} x_j= 38.2,\ \sum_{j=1}^{10} y_j= 37.0 \quad \Rightarrow \quad \overline x =3.82, \overline y = 3.70 \, . $$ Далее, $$ \sum_{j=1}^{10} x_j^2= 202.32,\ \sum_{j=1}^{10} y_j^2= 154.12, \ \sum_{j=1}^{10} x_jy_j =110.91 \, . $$ Вычисляем определитель $$ \left| \begin{array}{ccc} 202.32 -\lambda & 110.91 & 202.32 \\ 110.91 & 154.12 - \lambda & 37.0 \\ 202.32 & 37.0 & 10 \end{array} \right|\equiv 10\lambda^2-736.16\lambda+451.5422 \, . $$ Корни полинома: $$ \lambda_1 \approx 0.618573,\ \lambda_2 \approx 72.997427 \, . $$ Следовательно, минимальное значение суммы квадратов расстояний от заданных точек до наилучшей прямой равна $ \lambda_1 $ Подставляем это значение в систему линейных уравнений относительно $ a, b, c $. Она имеет бесконечное множество решений, из которого мы выберем, например, $$ a\approx -0.094322,\ b \approx -0.172889,\ c=1 \, . $$ Уравнение прямой совпадает с решением Пирсона, но вот значение для минимума у него приведено другое: $ 0.2484 $. Прямая проверка подтверждает значение $ \lambda_1 $. ♦

Пример [Гальтон]. В каждой семье, имеющей взрослых детей, замерим рост родителей и рост взрослых детей. Именно это проделал Ф.Гальтон в последней четверти XIX века. Результаты его измерений по $ 205 $ семьям и $ n= 898 $ детям можно найти ☞ ЗДЕСЬ. Целью исследования было установление зависимости между усредненным ростом обоих родителей и ростом их детей. Если изобразить полученные данные в виде точек $ \{(x_j,y_j)\}_{j=1}^n $ плоскости, то получим следующую картину:

Здесь размеры указаны в дюймах ($ 1 $ дюйм $ \approx 2.54 $ см), а усредненный рост родителей вычисляется по формуле $$ \frac{1}{2}(\mbox{рост отца} + 1.08 \times \mbox{рост матери}) \, . $$ Координаты центроида: $ \overline{x}\approx 69.22, \overline{y}\approx 66.76 $. Уравнение $$ 898\lambda^2-13002110\lambda+27405100000=0 $$ имеет два положительных корня $$ \lambda_{min}\approx 2560.575, \quad \lambda_{max}\approx 11918.389 \, . $$ Уравнение прямой, обеспечивающей минимум сумме квадратов расстояний от экспериментальных точек: $$ y \approx 4.71\, x-259.40 \, , $$

В случае, когда координаты точек $ \{(x_{j},y_j)\}_{j=1}^n $ центрированы к началу координат, т.е.

$$ \sum_{j=1}^n x_j = \sum_{j=1}^n y_j =0 \, ,$$ то обе прямые из теоремы $ 3 $ проходят через начало координат ($ c=0 $), числа $ \lambda_{min} $ и $ \lambda_{max} $ являются собственными числами (т.е. корнями характеристического полинома) матрицы $$ G=\left( \begin{array}{cc} X^{\top} X & X^{\top} Y \\ X^{\top} Y & Y^{\top} Y \end{array} \right) \quad npu \quad X^{\top}=[x_1,x_2,\dots,x_n], \ Y^{\top}=[y_1,y_2,\dots,y_n] \, . $$ Собственный вектор этой матрицы, соответствующий числу $ \lambda_{max} $ будет направляющим вектором прямой, обеспечивающей минимум сумме квадратов.

Предположим снова, что данные исходной таблицы не являются достоверными: значения обеих переменных подвержены воздействию случайных погрешностей, но — в отличие от предыдущего пункта — эти погрешности имеют разные порядки. Например, будем считать, что в заданной таблице значений $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_m \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_m \end{array} $$ величины $ x_{} $ нам известны практически без искажений (т.е. на входе процесса мы имеем абсолютно достоверные данные), а вот измерения величины $ y_{} $ подвержены случайным погрешностям.

Задача. Построить полином $ f_{}(x) $ такой, чтобы величина $$ \sum_{j=1}^m (f(x_j)-y_j)^2 $$ стала минимальной.

В случае $ \deg f_{} =m-1 $ мы возвращаемся к задаче интерполяции в ее классической постановке. Практический интерес, однако, представляет случай $ \deg f_{} < m-1 $: экспериментальных данных больше (обычно — много больше) чем значений параметров (коэффициентов полинома $ f_{} $), которые требуется определить.

Так, в случае $ \deg f_{}=1 $ речь идет о построении прямой $ y=ax+b $ на плоскости $ (x,y) $, обеспечивающей $$ \min (\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2+\dots + \varepsilon_m^2) \, . $$ Здесь $ \varepsilon_j = |a\,x_j+b-y_j| $.

Теорема. Если $ m\ge n_{} $ и $ x_{1},\dots,x_m $ все различны, то существует единственный набор коэффициентов $ a_{0},\dots,a_{n-1} $, обеспечивающий минимальное значение для

$$ \sum_{j=1}^m (a_0+a_1x_j+\dots+a_{n-1}x_j^{n-1} -y_j)^2 \ . $$ Этот набор определяется как решение системы нормальных уравнений $$ \underbrace{ \left(\begin{array}{llllll} s_0 &s_1&s_2&\ldots&s_{n-2}& s_{n-1}\\ s_1 &s_2&s_3&\ldots&s_{n-1}& s_{n}\\ s_2 &s_3&s_4&\ldots&s_{n}& s_{n+1}\\ \vdots& & & && \vdots\\ s_{n-1} &s_n&s_{n+1}&\ldots &s_{2n-3}&s_{2n-2} \end{array}\right)}_{\displaystyle S_{n\times n}} \left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{array} \right)= \left(\begin{array}{l} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \\ \vdots \\ t_{n-1} \end{array} \right) $$ при $ s_{k} = x_1^k+\dots+x_m^k, \ t_{k} = x_1^ky_1+\dots+x_m^k y_m $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Показать, что линейный полином $ y=a_{0}+a_1x $, построенный по методу наименьших квадратов, определяет на плоскости $ (x_{},y) $ прямую, проходящую через центроид

$$ \overline{x}=\frac{x_1+x_2+ \dots+x_m}{m},\quad \overline{y}=\frac{y_1+y_2+ \dots+y_m}{m}\ . $$ системы точек $ (x_{1},y_1),\dots,(x_m,y_m) $.

Пример. По методу наименьших квадратов построить уравнение прямой, аппроксимирующей множество точек плоскости, заданных координатами из таблицы

$$ \begin{array}{c|cccccc} x & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 \\ \hline y & 0.35 & 0.80 & 1.70 & 1.85 & 3.51 & 1.02 \end{array} $$

Решение. Имеем $$ s_0=6, s_1=0.5 + 1 + 1.5 + 2 + 2.5 + 3=10.5, $$ $$ s_2=0.5^2 + 1^2 + 1.5^2 + 2^2 + 2.5^2 + 3^2=22.75, $$ $$t_0=0.35 + 0.80 + 1.70 + 1.85 + 3.51 + 1.02=9.23, $$ $$ t_1 =0.5\cdot 0.35 + 1 \cdot 0.80 + 1.5 \cdot 1.70 + 2 \cdot 1.85 + $$ $$ +2.5 \cdot 3.51 + 3 \cdot 1.02=19.06 . $$ Решаем систему нормальных уравнений $$ \left( \begin{array}{cc} 6 & 10.5 \\ 10.5 & 22.75 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 9.23 \\ 19.06 \end{array} \right), $$ получаем уравнение прямой в виде $$ y= 0.375 + 0.664\, x\ .$$ На рисунке она изображена в цвете охры (для сравнения оставлена также зеленая прямая, полученная по методу предыдущего пункта). ♦

Дальнейшее развитие идеологии МНК ☞ ЗДЕСЬ.

В ☞ ПУНКТЕ рассматривалась задача об интерполяции функции суммой экспоненциальных функций, а именно функций вида $ c e^{mx} $. Оказывается, что во многих задачах математической статистики приходится⁷⁾ рассматривать и функции вида $ c e^{m(x-s)^2} $.

Пример. Рассмотрим следующую таблицу представляющую результат измерения объема груди в дюймах у $1000$ мужчин

$$ \begin{array}{c|cccccccccccccccccc} x & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 40 & 41 & 42 \\ \hline y & 1 & 3 & 11 &36 & 67 & 119 & 160 & 204 & 166 & 119 & 68 & 28 & 13 & 4 & 1 \end{array} $$ На плоскости $(x,y)$ точки явно «ложатся» на колоколообразную кривую.

Эта кривая аппроксимируется графиком $ y=f(x) $ при $$ f(x)=10^3 p(x) \quad \mbox{при} \ p(x):= \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} \, . $$ Здесь $$ \mu:= \frac{1}{1000} \sum_{j=1}^{15} x_jy_j = 34.993 \, , $$ $$ \sigma:= \sqrt{\frac{1}{1000}\sum_{j=1}^{15} y_j(x_j-\mu)^2} \approx 2.113 \, . $$ Рассматриваемая случайная величина относится к классу экспоненциальных распределений. Функция $p(x)$ называется функцией плотности вероятности нормального (или гауссовского) распределения . Фактически, эта функция задает непрерывную случайную величину, которая аппроксимирует дискретную, задаваемую условиями $ \{P(x_j)=y_j/1000\}_{j=1}^{15} $. Именно, $$ \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) d\, x =1,\ \int_{x_j}^{x_{j+1}} p(x) d\, x \approx y_{j+1}/1000 \, . $$ Параметры в формуле отвечают за характеристики этого дискретного распределения: $ \mu $ — математическое ожидание, а $ \sigma $ — среднеквадратичное отклонение случайной величины. ♦

Не всякое распределение является нормальным. Некоторые из них пытаются описывать смесью⁸⁾ нормальных распределений: $$ p(x):=\sum_{k=1}^L w_k p(x;\mu_k,\sigma_k) \quad \mbox{при} \ L\in \mathbb N, L>1,\ \{w_k>0\}_{k=1}^{L},\ \sum_{k=1}^L w_k=1 \, . $$ В этой постановке, искомыми параметрами являются количество $ L $ нормальных распределений (часто называется количеством кластеров), а также параметры $ \mu_k,\sigma_k $, описывающие каждое слагаемое смеси. И имеется возможность получения рада статистических оценок величины $ p(x) $ по некоторым выборкам. И мы получаем полный аналог задачи об экспоненциальной интерполяции, но только гораздо более сложный с точки зрения анализа.

По аналогии с одномерным случаем можно поставить задачу интерполяции в многомерном пространстве. Пусть заданы точки (узлы интерполяции) $$ (x_{j1},\dots,x_{j\ell}) \in \mathbb C^{\ell} \ npu \ j\in \{1,\dots, N \} $$ и заданы значения $ \{z_j\}_{j=1}^N $ функции в этих точках. Требуется построить полином от $ \ell $ переменных, принимающий заданные значения в узлах интерполяции.

Задача. Построить полином $ f_{}(x,y) $ с комплексными коэффициентами по его значениям на конечном наборе точек: $$ f(x_1,y_1)=z_1,\dots, f(x_N,y_N)=z_N \ .$$

Задача аналогична одномерной, однако ее решение в двумерном случае имеет одну особенность. Коэффициенты полинома $ f_{}(x) \in \mathbb C[x] $ степени не выше, чем $ n_{}-1 $, однозначно восстанавливаются по значениям этого полинома в произвольном наборе из $ n_{} $ различных точек $ x_{1},\dots,x_{n} $. Полином $ f_{}(x,y) \in \mathbb C[x,y] $ третьей степени определяется своими 10-ю коэффициентами: $$ f(x,y)\equiv a_{30}x^3+a_{21}x^2y+a_{12}xy^2+a_{03}y^3+a_{20}x^2+a_{11}xy+a_{02}y^2+a_{10}x+a_{01}y+a_{00} \ . $$ По аналогии с одномерным случаем, можно было бы ожидать, что задание этого полинома его значениями в 9-ти произвольных узлах всегда позволит установить его коэффициенты, причем бесконечным числом способов. Эти ожидания, однако, опровергаются примером.

Пример [7]. Построить полином $ f_{}(x,y) $ третьей степени такой, что

$$ f(0,0)=0,f(1,1){=}z_{2},f(-2,1){=}z_{3},f(3,2)=z_{4}, f(6,5)=z_{5},f(-3,-7)=z_{6}\ ,$$ $$ f(2,-4)=z_{7},f\left(-2,-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}\right)=z_{8},f\left({{\scriptstyle 82110385798} \over {\scriptstyle 32539385899}}{,}{{\scriptstyle 36830918404} \over {\scriptstyle 32539385899}} \right)=z_{9} . $$

Решение. В каноническом представлении полинома $ f_{}(x,y) $ имеется 10 коэффициентов, которые мы считаем неопределенными и ищем из заданных условий. Разрешая получающуюся систему из 9-ти линейных уравнений относительно этих коэффициентов, мы приходим к ответу: матрица системы имеет ранг 7, т.е., согласно теореме Кронекера-Капелли, сама система будет совместной только при дополнительном условии «связи» величин $ z_{2},\dots,z_9 $. Именно, последние должны удовлетворять определенному линейному соотношению $$ p_2z_2+\dots+p_9z_9=0 $$ при целых $ p_{2},\dots,p_9 $ (мы не указываем эти числа ввиду их громоздкости). Таким образом, в общем случае поставленная задача неразрешима (например, она не имеет решения при $ z_{2}=\dots=z_9=1 $).

При $ z_{2},\dots,z_9 $, удовлетворяющих упомянутому уравнению «связи», поставленная задача имеет решение. Однако, оно неединственно в силу все той же теоремы Кронекера-Капелли, поскольку число совместных линейных уравнений меньше числа определяемых ими коэффициентов.

Как удалось подобрать узлы настолько «неудачные» для задачи интерполяции? Крамер предложил выбирать узлы как точки пересечения двух кривых третьего порядка (кубик). Согласно теореме Безу, две такие кривые пересекаются как раз в 9 точках. Например, если взять $$ {\scriptstyle 241}\,x^{3} {-}{\scriptstyle 1659}\,x^{2}y{-} {\scriptstyle 6043}\,xy^{2}{+}{\scriptstyle 6300}\,y^{3}+ {\scriptstyle 1633} \,x^{2}{-} {\scriptstyle 6592}\,xy{+} {\scriptstyle 23100}\,y^{2}{+} {\scriptstyle 11886}\,x{-} {\scriptstyle 28866}\,y=0 $$ и $$ {\scriptstyle 3814}\,x^{3} {-} {\scriptstyle 3814}\,x^{2}y+ {\scriptstyle 4493}\,xy^{2}{-}{\scriptstyle 4112}\,y^{3} {-}{\scriptstyle 2040}\,x^{2}{+}{\scriptstyle 4195}\,xy{-} {\scriptstyle 15550}\,y^{2}{-}{\scriptstyle 25984}\,x{+} {\scriptstyle 38998}\,y=0\ . $$ то все точки пересечения этих кривых будут иметь рациональные координаты — как раз те, что приведены выше. Система из 9-ти линейных уравнений для определения 10-ти коэффициентов интерполяционного полинома при $ z_{2}=\dots=z_9=0 $ становится однородной. Поскольку она имеет 2 линейно независимых набора решений (соответствующие коэффициентам двух рассмотренных кубик), то ранг ее матрицы должен быть не выше 8. Если мы «сдвинем» хоть одно из значений $ z_{j} $ из нуля, то почти наверняка соответствующая неоднородная система станет несовместной, а задача интерполяции — неразрешимой среди полиномов третьей степени. ♦

В достаточно важном — с практической точки зрения — частном случае задачу интерполяции можно решить. Пусть узлы интерполяции расположены в точках $$ (x_j,y_k) \ npu \ j \in \{1,\dots,n\}, k\in \{1,\dots,m\} \ , $$ и в них известны значения функции $ z_{jk} $. Требуется построить полином $ f_{}(x,y) $ по этим значениям. Такая задача возникает, например, при восстановлении рельефа морского дна с помощью промеров глубин эхолотом.

Теорема. Если все числа $ \{ x_{j} \}_{j=1}^n $ различны и все числа $ \{y_{k}\}_{k=1}^m $ различны, то существует единственный полином $ f_{}(x,y) $, степень которого по переменной $ x_{} $ не превосходит $ n_{}-1 $, а по переменной $ y_{} $ — не превосходит $ m_{}-1 $, принимающий значения по заданной таблице.

Доказательство. Построить выражение для полинома можно обобщением формы Лагранжа. Обозначим $$ W(x) = (x-x_1)\times \dots \times (x-x_n) \ ,\quad \mathfrak W(y) = (y-y_1)\times \dots \times (y-y_m) $$ и $$ W_j(x) = \frac{W(x)}{x-x_j} =(x-x_1)\times \dots \times (x-x_{j-1}) (x-x_{j+1})\times \dots \times (x-x_n) \quad npu \quad j \in \{1,\dots,n\}, $$ и $$ \mathfrak W_k(y) = \frac{\mathfrak W(y)}{y-y_k} =(y-y_1)\times \dots \times (y-y_{k-1}) (y-y_{k+1})\times \dots \times (y-y_m) \quad npu \quad k \in \{1,\dots,m\} \, . $$ Тогда $$ f(x,y)=\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^m z_{jk} \frac{W_j(x)}{W_j(x_j)} \frac{\mathfrak W_k(y)}{\mathfrak W_k(y_k)} \, . $$ Легко проверить, что этот полином удовлетворяет условиям теоремы: $$ f(x_j,y_k)=z_{jk}, \ \deg f_x \le n-1, \ \deg f_y \le m-1 \ . $$

Осталось показать его единственность при этих условиях. Распишем этот полином по степеням $ x_{} $ и $ y_{} $: $$ \begin{array}{lllll} a_{00} &+ a_{10}x &+a_{20}x^2 &+\dots &+ a_{n-1,0}x^{n-1} + \\ +a_{01}y &+ a_{11}xy &+a_{21}x^2y &+\dots &+ a_{n-1,1}x^{n-1}y +\\ +\dots &&&& + \\ +a_{0,m-1}y &+ a_{1,m-1}xy &+a_{2,m-2}x^2y &+\dots &+ a_{n-1,m-1}x^{n-1}y^{m-1} \end{array} $$ (лексикографическое упорядочение $ x \succ y $ с возрастанием полной степени: см. ☞ ЗДЕСЬ ). Представим его в матричном виде, используя операцию умножения матриц: $$ (1,y,y^2,\dots,y^{m-1}) \left(\begin{array}{lllll} a_{00} & a_{10} & a_{20} & \dots & a_{n-1,0} \\ a_{01} & a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n-1,1} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{0,m-1} & a_{1,m-1} & a_{2,m-1} & \dots & a_{n-1,m-1} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1\\ x \\ x^2 \\ \vdots \\ x^{n-1} \end{array} \right) \ . $$ Условия $$ f(x_j,y_k)=z_{jk} \ npu \ j \in \{1,\dots,n\}, k\in \{1,\dots,m\} $$ можно также объединить в матричном представлении: $$ \left( \begin{array}{llll} 1 & y_1 & \dots & y_{1}^{m-1} \\ 1 & y_2 & \dots & y_{2}^{m-1} \\ \vdots & & & \vdots \\ 1 & y_m & \dots & y_{m}^{m-1} \end{array} \right) \underbrace{\left(\begin{array}{lllll} a_{00} & a_{10} & a_{20} & \dots & a_{n-1,0} \\ a_{01} & a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n-1,1} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{0,m-1} & a_{1,m-1} & a_{2,m-1} & \dots & a_{n-1,m-1} \end{array} \right)}_{A} \left( \begin{array}{llll} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_{n} \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_{n}^2 \\ \vdots & & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_{n}^{n-1} \end{array} \right)= $$ $$ = \underbrace{\left( \begin{array}{llll} z_{11} & z_{21} & \dots & z_{n1} \\ z_{12} & z_{22} & \dots & z_{n2} \\ z_{13} & z_{23} & \dots & z_{n3} \\ \vdots & & & \vdots \\ z_{1m} & z_{2m} & \dots & z_{nm} \end{array} \right)}_{Z} \ . $$ Матричное равенство имеет вид $$ \tilde V_{m\times m}\cdot A_{m\times n} V_{n\times n}^{\top}= Z_{m\times n} \ . $$ Здесь матрицы $ V_{} $ и $ \tilde V $ — матрицы Вандермонда. Их определители отличны от нуля, поскольку все $ \{x_{j}\}_{j=1}^n $ различны и все $ \{y_{k}\}_{k=1}^m $ различны. Следовательно, существуют обратные к этим матрицам и для матрицы $ A_{} $ коэффициентов полинома $ f_{} $ мы получаем однозначное представление: $$ A=\tilde V^{-1} Z \left( V^{-1}\right)^{\top} \ . $$ ♦

☞ ЗДЕСЬ .

[1]. Baron de Prony Gaspard-Clair-François-Marie Riche, Essai expérimental et analytique sur les lois de la Dilatabilité des fluides élastiques et sur celles de la Force expansive de la vapeur de l’eau et de la vapeur de l’alkool, à différentes températures, J. de l’École Polytechnique, 1, pp. 24–76, (1795). 109

[2]. Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. V. 1. 1974. NY. Wiley

[3]. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа. М.-Л.ГТТИ. 1934, с.93

[4]. Hilbert D. Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms. Acta Math. Bd.18, 1894, S.155-160

[5]. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М. Мир. 1969

[6]. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. М.ГИФМЛ. 1958

[7]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.

[8]. Утешев А.Ю., Тамасян Г.Ш. К задаче полиномиального интерполирования с кратными узлами. Вестник СПбГУ. Серия 10. 2010. Вып. 3, С. 76-85. Текст (pdf) ☞ ЗДЕСЬ

[9]. Cauchy A.-L. Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique: Part I: Analyse Algébrique. Paris, France: L'Imprimerie Royale, 1821, pt. 1.

[10]. Jacobi C.G.J. Űber die Darstellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rationale Function. J.reine angew. Math. 1846. Bd. 30, S. 127-156

[11]. Утешев А.Ю., Боровой И.И. Решение задачи рациональной интерполяции с использованием ганкелевых полиномов. Вестник СПбГУ. Серия 10. 2016. Вып. 4, С. 31-43. Текст ☞ ЗДЕСЬ (pdf).

[12]. Pearson K. On lines and planes of closest fit to systems of points in space. Phil. Mag. 1901. V.2, pp. 559-572