Инструменты сайта


Обозначения

Для множеств

$ \operatorname{Card} $ — используется для обозначения количества элементов в конечном множестве:

$$ \operatorname{Card}(\{1,3,8,\pi\})=4 \ . $$

Разностью двух множеств1) $ \mathbb A $ и $ \mathbb B $ называется подмножество всех элементов ммножества $ \mathbb A $, не принадлежащих $ \mathbb B $: $$ \mathbb A \setminus \mathbb B=\{ x \mid x\in \mathbb A, x\not\in \mathbb B \} \, . $$

Числовые множества

$ \mathbb N $ — натуральных чисел;

$ \mathbb Z_{} $ — целых чисел;

$ \mathbb Q_{} $ — рациональных чисел;

$ \mathbb R_{} $ — вещественных чисел;

$ \mathbb C_{} $ — комплексных чисел.

Целые числа

$ \operatorname{HOD} $ — наибольший общий делитель;

$ \operatorname{HOK} $ — наименьшее общее кратное;

$ \underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} $ — представление числа в десятичной системе счисления: $$ \underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} = {\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dots +{\mathfrak a}_s \times 10 + {\mathfrak a}_{s+1} ; $$

$ A \equiv B \pmod{M} $ (или $ A \equiv_{_M} B $) обозначает факт сравнимости $ A_{} $ с $ B_{} $ по модулю $ M_{} $, т.е. что числа $ A_{} $ и $ B_{} $ имеют одинаковые остатки при делении на $ M_{} $ ;

$ x= A \pmod{M} $ понимается в смысле, что переменной $ x_{} $ присваивается значение остатка от деления числа $ A_{} $ на $ M_{} $;

$ \operatorname{ind}_{_{\Lambda}} A $ — индекс числа $ A_{} $ по модулю $ p_{} $ и основанию $ \Lambda $.

$ \mathbb Z_M $ — множество классов вычетов по модулю $ M_{} $.

Биномиальный коэффициент

$$ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{1\cdot 2 \times \dots \times k}$$ В англоязычной литературе обозначается $ {n \choose k} $.

П

Пример.

$$ C_n^1=n, C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, C_{17}^5=\frac{17\cdot 16\cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =6188 \ . $$

Используется в формуле бинома Ньютона и в комбинаторике.

Свойства.

1. Биномиальный коэффициент — целое число.

2. При $ p_{} $ — простом все коэффициенты $ C_p^1, C_p^2,\dots,C_p^{p-1} $ делятся на $ p_{} $. Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

3. $ C_n^{k}=C_n^{n-k} $ при любом $ k\in \{0,\dots,n \} $.

4. $ C_n^k + C_n^{k+1}= C_{n+1}^{k+1} $ при любом $ k\in \{0,\dots,n-1 \} $.

5. Число сочетаний из $ n_{} $ элементов по $ k_{} $ элементов равно $ C_n^{k} $.

Функция Эйлера

или тотиент натурального числа $ A_{} $ обозначается $ \phi (A) $ и представляет собой количество чисел ряда $$ 0,1, \dots, A-1 \ , $$ взаимно простых c $ A_{} $.

П

Пример. $ \phi (1)=1, \, \phi (2)=1, \, \phi (3)=2, \, \phi (4)=2, \, \phi (5)=4, \, \phi (6)=2, \phi (7)=6 ,\, \phi (8)=4 , \, \phi (12)=4 $.

Подробнее ЗДЕСЬ.

Символ Кронекера

$$ \delta_{jk}= \left\{ \begin{array}{rcc} 1 & npu & j=k; \\ 0 & npu & j\ne k_{}. \\ \end{array} \right. $$

Вещественные числа

Знак числа

$ \operatorname{sign} $ — знак числа2); определяется для вещественного числа $ x_{} $ по правилу $$ \operatorname{sign}\, (x) = \left\{ \begin{array}{rcc} +1 & npu & x>0; \\ 0 & npu & x=0 ; \\ -1 & npu & x<0. \end{array} \right. $$

Целая часть числа

определяется для любого вещественного числа $ x_{} $ как наименьшее целое число, не превосходящее $ x_{} $. Обозначается $ \lfloor x \rfloor $.

П

Пример. $$ \lfloor 5.37 \rfloor = 5, \ \lfloor \pi \rfloor = 3,\ \lfloor -34.4 \rfloor =-35,\ \lfloor -0.(123) \rfloor = -1 \ . $$

Обозначение $ \lfloor \ \ \ \rfloor $ по-английски называется floor (пол); оно получило распространение в последние десятилетия. В литературе встречаются также обозначения $ [x] $ или3) $ E (x) $.

Справедливо следующее свойство функции $ \lfloor x \rfloor $: $$ \lfloor x \rfloor + \left \lfloor x+\frac{1}{n} \right \rfloor + \left \lfloor x+\frac{2}{n} \right \rfloor + \dots + \left \lfloor x+\frac{n-1}{n} \right \rfloor = \lfloor nx \rfloor $$ для любого натурального $ n_{} $.

Число знакопостоянств (знакоперемен)

определяется для конечной последовательности вещественных чисел $ A_{1},\dots, A_n, (n\ge 2) $. Если числа $ A_{1} $ и $ A_{2} $ — одного знака, то говорят, что имеет место знакопостоянство (или постоянство знака) , если разного — то знакоперемена (или перемена знака). Вводят счетчики4) $ {\mathcal P}_{} $ знакопостоянств и знакоперемен $ {\mathcal V}_{} $, полагая $$ {\mathcal P} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 > 0 \\ 0 & npu & A_1A_2 < 0 \end{array} \right. \ ; \ {\mathcal V} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 < 0 \\ 0 & npu & A_1A_2 > 0 \end{array} \right. \ . $$ Число знакопостоянств (-перемен) в последовательности $ A_{1},\dots, A_n $ определяется как сумма этих величин, вычисленных для соседних членов: $$ {\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal P} (A_1,A_2) + {\mathcal P} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal P} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal P} (A_{n-1},A_n),\ $$ $${\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal V} (A_1,A_2) + {\mathcal V} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal V} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal V} (A_{n-1},A_n) \ . $$

П

Пример.

$$ {\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)= $$ $$ ={\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3})+ {\mathcal P} (\sqrt{5.3}, 2.818) + {\mathcal P} ( 2.818,123)+{\mathcal P} (123,-0.5)+ $$ $$ +{\mathcal P} (-0.5, -33)=0+1+1+0+1=3 \ , $$ $$ {\mathcal V} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)=2 \ . $$

§

При наличии нулей среди чисел $ A_{1},\dots, A_n $ иногда устанавливается дополнительное правило, что при подсчете знакопостоянств (-перемен) нулевые значения пропускаются (не учитываются). В случае когда все $ A_{1},\dots, A_n $ ненулевые, имеет место равенство: $$ {\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)+{\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)=n-1 \ . $$

Комплексные числа

$ \mathbf i $ — мнимая единица;

$ \mathfrak{R}\mathbf{e} (z) $ и $ \mathfrak{I}\mathbf{m}(z) $ — соответственно, вещественная и мнимая части числа $ z_{} $: $ \mathfrak{R}\mathbf{e} (a+ \mathbf i \, b )= a,\ \mathfrak{I}\mathbf{m}(a+ \mathbf i \, b )= b $ (при вещественных $ a_{} $ и $ b_{} $);

$ \overline{z} $ — комплексное сопряжение числа $ z_{} $: $ \overline{a+ \mathbf i \, b}= a- \mathbf i \, b $ (при вещественных $ a_{} $ и $ b_{} $);

$ \operatorname{arg}(z) $ — аргумент числа $ z_{} $;

$ \mathbb C_{} $ — множество комплексных чисел.

Матрицы и определители

Для матрицы $ A_{} $ через $ A^{[j]} $ обозначаем ее $ j_{} $-ю строку, а через $ A_{[k]} $ — ее $ k_{} $-й столбец;

$ {}^{\top} $ — транспонирование;

$ \mid $ — конкатенация;

$ \det $ — определитель;

$ \operatorname{rank} $ — ранг;

$ \operatorname{Sp}_{} $ — след;

$ n_{+} $ и $ n_{-} $ — положительный и отрицательный индексы инерции симметричной матрицы (и соответствующей квадратичной формы).

$ A\doteq B $ — означает, что квадратные матрицы $ A_{} $ и $ B_{} $ подобны, т.е. существует неособенная матрица $ C_{} $ такая, что $ C^{-1}AC=B $.

Выделим в матрице $ A_{} $ строки с номерами $ \alpha_{1},\alpha_2, \dots,\alpha_k $ и столбцы с номерами $ \beta_{1},\beta_2,\dots ,\beta_{k} $. Здесь $ \{\alpha_j, \beta_j \}_{j=1}^k \subset \{1,2,\dots, n\} $ и $ \alpha_{1}<\alpha_2< \dots <\alpha_k $, $ \beta_{1}<\beta_2<\dots<\beta_k $.

Элементы $ a_{\alpha_{_j} \beta_{_{\ell}}} $, стоящие в этих строках и столбцах, составляют определитель $ k_{} $-го порядка: $$ A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k} \end{array} \right|. $$ Он называется минором $ k_{} $-го порядка матрицы $ A_{} $ (или определителя $ \det A_{} $).

Для случая квадратных матриц, минор вида $$ A\left( \begin{array}{lll} 1 & \dots & k \\ 1 & \dots & k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & \dots & a_{1k} \\ \dots & & \dots \\ a_{k1} & \dots & a_{kk} \end{array} \right|, $$ т.е. стоящий в левом верхнем углу матрицы, в настоящем ресурсе называется главным минором порядка $ k $.

§

См. замечание о неоднозначности этого определения в современной литературе ЗДЕСЬ.

$ \mathbb R^{m\times n} $ (или $ {\mathbb C}^{m\times n} $) — множество матриц порядка $ m\times n $ с вещественными (комплексными) элементами.

Полиномы

$ \deg $ — степень;

$ \operatorname{HOD} $ — наибольший общий делитель;

$ \operatorname{nrr} $ — число вещественных корней;

$ \mathcal D $ — дискриминант;

$ \mathcal R $ — результант;

$ \mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x] $ — множества полиномов от переменной $ x_{} $ с коэффициентами целыми, рациональными, вещественными, комплексными соответственно (аналогично для случая полиномов от нескольких переменных).

$ \mathbb P_n^{} $ — множество полиномов с вещественными коэффициентами степеней $ \le n_{} $; кроме того, множество содержит тождественно нулевой полином.

Линейные пространства

$ \dim $ — размерность линейного пространства;

$ \mathcal L(X_1,\dots,X_k) $ — линейная оболочка векторов $ X_1,\dots,X_k $;

$ \oplus $ — прямая сумма линейных подпространств (следует отличать от XORоперации сложения по модулю $ 2_{} $);

$ \mathbb V / \mathbb V_1 $ — факторпространство пространства $ \mathbb V_{} $ над подпространством $ \mathbb V_1 $.

Евклидовы пространства

$ \mathbb E_{} $ — обозначение евклидова пространства;

$ \langle X_{},Y \rangle $ — скалярное произведение;

$ G_{} (X_1,\dots,X_m) $ — матрица Грама, $ \mathfrak{G}_{} (X_1,\dots,X_m) $ — определитель Грама системы векторов $ \{ X_1,\dots,X_{m} \} $;

$ |X| = \sqrt{ \langle X,X \rangle} $ — длина вектора $ X_{} $;

$ X \bot Y $ означает, что векторы $ X_{} $ и $ Y_{} $ ортогональны;

$ X^{^{\parallel}} $ — ортогональная проекция вектора $ X_{} $ на данное подпространство, $ X^{^{\bot}} $ — ортогональная составляющая вектора $ X_{} $ относительно данного подпространства (или перпендикуляр, опущенный из конца вектора $ X_{} $ на подпространство);

$ \mathbb E_1^{^{\bot}} $ — ортогональное дополнение подпространства $ \mathbb E_1 $.

Линейные отображения

$ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ — ядро отображения $ \mathcal A $;

$ \operatorname{dfc}(\mathcal A ) $ — дефект линейного отображения $ \mathcal A $, т.е. $ \dim (\mathcal{K}er (\mathcal A )) $;

$ \mathcal{I}m(\mathcal A) $ — образ отображения $ \mathcal A $, (следует отличать от $ \mathfrak{I}\mathbf{m}(z) $ — мнимой части комплексного числа $ z_{} $);

$ \operatorname{rank}(\mathcal A ) $ — ранг линейного отображения $ \mathcal A $, т.е. $ \dim (\mathcal{I}m (\mathcal A )) $.

Группы, поля

$ \mathbb G $ — группа;

$ \mathbb H $ — подгруппа;

$ \mathbb G / \mathbb H $ — факторгруппа группы $ \mathbb G_{} $ по (нормальной) подгруппе $ \mathbb H $;

$ \operatorname{Card} $ — порядок (число элементов) группы; в ресурсе используется также для обозначения количества элементов в конечном множестве;

$ \langle {\mathfrak a} \rangle $ — циклическая группа, порожденная элементом $ {\mathfrak a} $;

$ \mathbb F $ — поле;

$ \mathbf{GF}(p^m) $ — поле Галуа.

1)
(англ.) Relative complement of $ \mathbb B $ with respect to $ \mathbb A $
2)
signum (лат.) — знак
3)
Entier (фр.) — целый.
4)
Permanences (англ.) — постоянства, variations (англ.) — перемены.
algebra2/notations.txt · Последние изменения: 2020/05/18 15:05 — au