Являясь частным случаем полинома с комплексными коэффициентами, полином с коэффициентами вещественными должен наследовать общие свойства. У полинома $ n_{} $-й степени из $ \mathbb R[z] $ будет $ n_{} $ корней, которые ( как установлено ☞ ЗДЕСЬ ) на комплексной плоскости составляют множество симметричное относительно вещественной оси. Нас теперь интересует вопрос: каким образом это множество будет меняться, если коэффициенты полинома также будут меняться, оставаясь при этом вещественными? Теорема о непрерывной зависимости корней от коэффициентов гарантирует, что при непрерывном изменении коэффициентов корни также буду меняться непрерывно. Посмотрим, однако, какое влияние на динамику корней оказывает требование симметрии их множества.

Пример 1. Для полинома

$$ f(z)=z^5-{\color{Red} \alpha }\,z+2 $$ исследовать динамику корней при изменении значений параметра $ {\color{Red} \alpha }_{ } $ от $ -2 $ до $ 4_{} $.

Решение. На рисунке

показаны траектории, «заметаемые» корнями на комплексной плоскости при увеличении значений параметра. Направления движений указаны стрелками. Сначала посмотрим на начало процесса. При $ {\color{Red} \alpha }=-2 $ полином имеет следующие корни: $$ \lambda_1\approx -0.81747, \ \lambda_{2,3}\approx -0.61116\pm 0.98924 {\mathbf i},\ \lambda_{4,5}\approx 1.01990\pm 0.87707 {\mathbf i} \ ; $$ т.е. один вещественный и две пары комплексно-сопряженных. Эти стартовые точки отмечены отрезками | | | При увеличении значений $ {\color{Red} \alpha }_{} $ от $ -2 $ до $ 5/\sqrt[5]{16} \approx 2.87174 $ происходит «дрейф» корней: «синий», оставаясь вещественным, уменьшается (уходит по вещественной оси влево); «зеленые» корни, оставаясь мнимыми, удаляются друг от друга; а вот «оранжевые» корни начинают сближаться, пока не столкнутся на вещественной оси при указанном значении параметра. Их общее значение $ \lambda_{4,5} = 1/\sqrt[5]{2} \approx 0.87055 $ задает кратный корень полинома. При дальнейшем увеличении значений $ {\color{Red} \alpha } $ «оранжевые» корни, оставаясь вещественными, «расходятся» в разные стороны по вещественной оси. При $ {\color{Red} \alpha }=4 $: $$ \lambda_1\approx -1.51851, \ \lambda_{2,3}\approx -0.11679\pm 1.43844 {\mathbf i},\ \lambda_4\approx 0.5085 \ \lambda_5\approx \ 1.2436 . $$ ♦

Еще один сценарий столкновения комплексных корней иллюстрируется следующим примером.

Пример 2. Для полинома

$$ f_{\color{Red} \alpha }(z):=\underbrace{\left( 3-\frac{14497761805093}{23744401950000}{\color{Red} \alpha } \right)}_{ \approx 3 - 0.610576 {\color{Red} \alpha }}{z}^{4}+ \left( 6+\frac{119}{100}{\color{Red} \alpha } \right) {z}^{3}+630\,{z}^{2}+942\,z+ 40875 $$ исследовать динамику корней при изменении значений параметра $ {\color{Red} \alpha }_{ } $ от $ 0 $ до $ 1.1 $.

Решение. При $ {\color{Red} \alpha }=0 $ корни: $$ \lambda_{1,2} = - 3 \pm 10 \, \mathbf i,\ \lambda_{3,4}=2 \pm 11\, \mathbf i $$ (красные квадраты на рисунке). При увеличении значений параметра корни начинают попарно сближаться (на рисунке комплексно-сопряженные изображены одним цветом). Так, при $ {\color{Red} \alpha }=0.75 $ $$ \lambda_{1,2} \approx -2.073838\pm 10.855665 \, \mathbf i, \ \lambda_{3,4} \approx 0.718151 \pm 11.450983 \, \mathbf i \, . $$

При значении $ {\color{Red} \alpha }_{c} = \frac{52281252}{51979375} \approx 1.005807 $ происходит одновременное столкновение двух пар корней: $$ f_{{\color{Red} \alpha }_c}(z)\equiv \frac{3}{10117414062500}\, \left( 2836601\,{z}^{2}+4278250\,z+371281250 \right)^{2} \, $$ имеет кратные корни $$ \lambda_{1,2} \approx -0.754115\pm 11.415813\, \mathbf i\, . $$ При дальнейшем возрастании значений параметра, каждый кратный корень расщепляется на два простых, которые расходятся в разные стороны. Траектории «до столкновения» и «после столкновения» в точке столкновения перпендикулярны. При $ {\color{Red} \alpha }=1.1 $: $$ \lambda_{1,2} \approx -0.982002 \pm 12.412386\, \mathbf i, \ \lambda_{3,4}\approx -0.587553\pm 10.625026 \mathbf i \, . $$ ♦

Выводы.

1. При непрерывном изменении коэффициентов полинома $ f(z) \in \mathbb R[z] $ его корни меняются непрерывно. Более того, если имеется зависимость коэффициентов от единственного параметра $ {\color{Red} \alpha } $ и эта зависимость полиномиальна ($ f(z,{\color{Red} \alpha }) \in \mathbb R[z,{\color{Red} \alpha } ] $) то траектории корней лежат на алгебраических кривых: при $ z = x+ \mathbf i \, y $ существует некоторый полином $ F(x,y) \in \mathbb R[x,y] $ такой, что при любом значении параметра корни полинома $ \lambda_j = x_j + \mathbf i \, y_j, \{x_j, y_j \} \subset \mathbb R $ удовлетворяют условию $ F(x_j,y_j)=0 $. При этом полином $ F $ будет четным по $ y $ (поскольку должна сохраняться симметрия корней относительно вещественной оси).

2. Далее, при том же условии полиномиальной зависимости от параметра, графики корней еще и гладкие — за исключением некоторых особых точек. Эти особые точки соответствуют кратным корням полинома. И эти корни могут оказаться как вещественными, так и мнимыми. Но в любом случае траектории «входа» в эти особые точки и «выхода» из них будут перпендикулярны.

3. Исчезновение мнимого корня может произойти только по сценарию когда при некотором значении параметра пара комплексно-сопряженных сталкивается на вещественной оси, образуя кратный вещественный корень. Как правило, при проходе этого значения параметра, кратный корень расщепляется на два простых вещественных. Разумеется обратный сценарий — когда из двух простых вещественных корней порождаются два мнимых — также принципиально возможен.

4. Критические значения параметра (параметров), т.е. такие при которых полином имеет кратные корни¹⁾ могут быть найдены в виде уравнения относительно этого параметра (этих параметров). Это уравнение будет алгебраическим, если зависимость от параметра (параметров) полиномиальна. См. раздел см. ☞ ДИСКРИМИНАНТ.

Теперь займемся анализом графиков вещественных полиномов на вещественной плоскости. Вещественному корню $ x=\lambda $ полинома $ f(x) $ на плоскости $ (x_{},y) $ соответствует точка пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Поскольку полином является частным случаем непрерывной и дифференцируемой функции (при всех значениях переменной), то для него будут справедливы все результаты математического анализа для подобных функций.

Теорема [Больцано для полиномов]. Если полином $ f(x_{}) $ принимает значения разных знаков при $ x=a $ и $ x=b $, то на интервале $ ]a,b[ $ у него имеется по крайней мере один корень:

$$f(a)f(b)<0 \ \Rightarrow \ \exists \lambda \in ]a,b[ \ : \ f(\lambda)=0 \ .$$

При выполнении условий теоремы полином $ f(x_{}) $ имеет нечетное число корней на интервале $ ]a,b_{}[ $ (с учетом кратностей кратных корней).

Если полином $ f(x_{}) $ принимает значения одинаковых знаков при $ x=a $ и $ x=b $, то либо $ f(x_{}) $ вовсе не имеет корней в интервале $ ]a,b_{}[ $, либо число его корней на этом интервале четно (с учетом кратностей кратных корней).

Если степень полинома нечетна, то он имеет по крайней мере один вещественный корень, и, в общем случае, число этих корней нечетно (с учетом кратностей кратных корней); если степень полинома четна, то полином либо не имеет вовсе вещественных корней, либо число этих корней четно (с учетом кратностей кратных корней).

Если

$$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, \ \mbox{ и } \ a_0\ne 0, a_n\ne 0 $$ то число положительных корней полинома $ f(x_{}) $ четно при $ a_{0}a_n>0 $ и нечетно при $ a_0a_n<0 $ (с учетом кратностей кратных корней).

Почему в каждом из предшествующих результатов, говоря о числе корней полинома, мы учитываем их кратность ?

Кратный вещественный корень полинома соответствует точке касания графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Эту точку касания можно рассматривать как слившуюся из нескольких обычных точек пересечения. Кратность тогда соответствует количеству этих точек пересечения. Поясним на примерах.

Анимация графика $ y=x^5-t\,x+2 $ при изменении параметра $ t_{} $ ☞ ЗДЕСЬ (1560 Kb, gif)

Видно, что при возрастании значений параметра $ t_{} $ и прохождении через $ \approx 0.87055 $ точка касания превращается в две точки обычного пересечения. Разберем теперь «обратные» случаи — когда простые корни сливаются в кратный.

Анимация графика

$ y=x^2+ \varepsilon $ ☞ ЗДЕСЬ (530 Kb, gif);

$ y=x^3+ \varepsilon x $ ☞ ЗДЕСЬ (435 Kb, gif);

$ y= x^4+5\varepsilon x^2+4\varepsilon^2 $ ☞ ЗДЕСЬ (454 Kb, gif).

Параметр $ \varepsilon \in ] -2, 0 [ $.

Выводы. Кратный вещественный корень чувствителен к изменению коэффициентов полинома: небольшое их «шевеление» приводит к расщеплению этого корня на несколько — как правило, простых. Количество этих простых корней совпадает с кратностью кратного корня. Не всегда образовавшиеся корни будут вещественными²⁾. Однако общее их число — с учетом мнимых — всегда будет совпадать с кратностью. Можно образно сказать, что кратный вещественный корень — это слившиеся до полного «визуального» неразличения точки пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс, и количество этих сливающихся точек определяется кратностью корня.

Теорема [Ферма]. Если функция $ F(x) $ имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и в некоторой точке внутри этого интервала достигает наибольшего (или наименьшего) значения, то в этой точке ее производная обращается в нуль.

Теорема [Ролль]. Если функция $ F(x) $ имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и на концах этого интервала принимает одинаковые значения, то ее производная обращается в нуль хотя бы в одной точке этого интервала:

$$ F(a)=F(b) \ \Rightarrow \ \exists c\in ]a,b[ \ : F^{\prime}(c)=0 \, .$$

Между двумя вещественными корнями полинома $ f(x) \in \mathbb R [x], \deg f \ge 2 $ лежит по крайней мере один корень его производной $ f^{\prime}(x) $.

Справедливы неравенства

$$ \begin{array}{lll} \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} +1, \\ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \mid x>0 \} +1; \end{array} $$ (сокращение $ \operatorname{nrr} $ означает число вещественных корней³⁾). Действительно, если предположить $$ K:=\operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \} \ge \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} +2 \, , $$ то $ \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} \le K-2 $. С другой стороны, по предыдущему следствию, получаем неравенство $ \operatorname{nrr} \{ f^{\prime}(x)=0 \} \ge K-1 $. Противоречие доказывает справедливость первого неравенства.

Доказать, что если все корни $ f(x) \in \mathbb R [x] $ вещественны, то и все корни любой его производной $ f^{(1)}(x),\dots, f^{(n-1)}(x) $ также вещественны.

☞ ЗДЕСЬ