Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ


Геометрия полиномов с вещественными коэффициентами

Являясь частным случаем полинома с комплексными коэффициентами, полином с коэффициентами вещественными должен наследовать общие свойства. У полинома $ n_{} $-й степени из $ \mathbb R[x] $ будет $ n_{} $ корней, которые ( как установлено ЗДЕСЬ ) на комплексной плоскости составляют множество симметричное относительно вещественной оси. Нас теперь интересует вопрос: каким образом это множество будет меняться, если коэффициенты полинома также будут меняться, оставаясь при этом вещественными? Теорема о непрерывной зависимости корней от коэффициентов гарантирует, что при непрерывном изменении коэффициентов корни также буду меняться непрерывно. Посмотрим, однако, какое влияние на динамику корней оказывает требование симметрии их множества.

П

Пример. Для полинома $ f(x)=x^5-{\color{RubineRed} \alpha }\,x+2 $ исследовать динамику корней при изменении значений параметра $ {\color{RubineRed} \alpha }_{ } $ от $ -2 $ до $ 4_{} $.

Решение. На рисунке

показаны следы, «заметаемые» корнями на комплексной плоскости. Направления движений указаны стрелками. Сначала посмотрим на начало процесса. При $ {\color{RubineRed} \alpha }=-2 $ полином имеет следующие корни: $$ \lambda_1\approx -0.81747, \ \lambda_{2,3}\approx -0.61116\pm 0.98924 {\mathbf i},\ \lambda_{4,5}\approx 1.01990\pm 0.87707 {\mathbf i} \ ; $$ т.е. один вещественный и две пары комплексно-сопряженных. Эти стартовые точки отмечены отрезками | | | При увеличении значений $ {\color{RubineRed} \alpha }_{} $ от $ -2 $ до $ 5/\sqrt[5]{16} \approx 2.87174 $ происходит «дрейф» корней: «синий», оставаясь вещественным, уменьшается (уходит по вещественной оси влево); «зеленые» корни, оставаясь мнимыми, удаляются друг от друга; а вот «оранжевые» корни начинают сближаться, пока не столкнутся на вещественной оси при указанном значении параметра. Их общее значение $ \lambda_{4,5} = 1/\sqrt[5]{2} \approx 0.87055 $ задает кратный корень полинома. При дальнейшем увеличении значений $ {\color{RubineRed} \alpha } $ «оранжевые» корни, оставаясь вещественными, «расходятся» в разные стороны по вещественной оси. При $ {\color{RubineRed} \alpha }=4 $: $$ \lambda_1\approx -1.51851, \ \lambda_{2,3}\approx -0.11679\pm 1.43844 {\mathbf i},\ \lambda_4\approx 0.5085 \ \lambda_5\approx \ 1.2436 . $$

Выводы. При изменении коэффициентов мнимые корни полинома могут исчезать только парами, при этом, как правило, образуются два различных вещественных корня. Обратное тоже верно: пропажа одного вещественного корня возможна только при столкновении его с другим вещественным корнем — при таком столкновении, как правило, происходит аннигиляция обоих корней с образованием пары комплексно-сопряженных. В обоих сценариях, при столкновении корней образуется кратный вещественный корень; условие его возникновения можно выразить в виде алгебраического уравнения относительно коэффициентов полинома: см. ДИСКРИМИНАНТ.

Теперь займемся анализом графиков вещественных полиномов на вещественной плоскости. Вещественному корню $ x=\lambda $ полинома $ f(x_{}) $ на плоскости $ (x_{},y) $ соответствует точка пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Поскольку полином является частным случаем непрерывной и дифференцируемой функции (при всех значениях переменной), то для него будут справедливы все результаты математического анализа для подобных функций.

Т

Теорема [Больцано для полиномов]. Если полином $ f(x_{}) $ принимает значения разных знаков при $ x=a $ и $ x=b $, то на интервале $ ]a,b[ $ у него имеется по крайней мере один корень: $$f(a)f(b)<0 \ \Rightarrow \ \exists \lambda \in ]a,b[ \ : \ f(\lambda)=0 \ .$$

=>

При выполнении условий теоремы полином $ f(x_{}) $ имеет нечетное число корней на интервале $ ]a,b_{}[ $ (с учетом кратностей кратных корней).

=>

Если полином $ f(x_{}) $ принимает значения одинаковых знаков при $ x=a $ и $ x=b $, то либо $ f(x_{}) $ вовсе не имеет корней в интервале $ ]a,b_{}[ $, либо число его корней на этом интервале четно (с учетом кратностей кратных корней).

=>

Если степень полинома нечетна, то он имеет по крайней мере один вещественный корень, и, в общем случае, число этих корней нечетно (с учетом кратностей кратных корней); если степень полинома четна, то полином либо не имеет вовсе вещественных корней, либо число этих корней четно (с учетом кратностей кратных корней).

=>

Если $ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n $, и $ a_0\ne 0, a_n\ne 0 $ то число положительных корней полинома $ f(x_{}) $ четно при $ a_{0}a_n>0 $ и нечетно при $ a_0a_n<0 $ (с учетом кратностей кратных корней).

Почему в каждом из предшествующих результатов, говоря о числе корней полинома, мы учитываем их кратность ?

Кратный вещественный корень полинома соответствует точке касания графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс. Эту точку касания можно рассматривать как слившуюся из нескольких обычных точек пересечения. Кратность тогда соответствует количеству этих точек пересечения. Поясним на примерах.

A

Анимация графика $ y=x^5-t\,x+2 $ при изменении параметра $ t_{} $ ЗДЕСЬ (1560 Kb, gif)

Видно, что при возрастании значений параметра $ t_{} $ и прохождении через $ \approx 0.87055 $ точка касания превращается в две точки обычного пересечения. Разберем теперь «обратные» случаи — когда простые корни сливаются в кратный.

A

Анимация графика

$ y=x^2+ \varepsilon $ ЗДЕСЬ (530 Kb, gif);

$ y=x^3+ \varepsilon x $ ЗДЕСЬ (435 Kb, gif);

$ y= x^4+5\varepsilon x^2+4\varepsilon^2 $ ЗДЕСЬ (454 Kb, gif).

Параметр $ \varepsilon \in ] -2, 0 [ $.

Выводы. Кратный вещественный корень чувствителен к изменению коэффициентов полинома: небольшое их «шевеление» приводит к расщеплению этого корня на несколько — как правило, простых. Количество этих простых корней совпадает с кратностью кратного корня. Не всегда образовавшиеся корни будут вещественными1). Однако общее их число — с учетом мнимых — всегда будет совпадать с кратностью. Можно образно сказать, что кратный вещественный корень — это слившиеся до полного «визуального» неразличения точки пересечения графика $ y=f(x_{}) $ с осью абсцисс, количество этих сливающихся точек определяется кратностью корня.

Корни полинома и его производной

Т

Теорема [Ферма]. Если функция $ F(x) $ имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и в некоторой точке внутри этого интервала достигает наибольшего (или наименьшего) значения, то в этой точке ее производная обращается в нуль.

Т

Теорема [Ролль]. Если функция $ F(x) $ имеет производную во внутренних точках некоторого интервала и на концах этого интервала принимает одинаковые значения, то ее производная обращается в нуль хотя бы в одной точке этого интервала: $$ F(a)=F(b) \ \Rightarrow \ \exists c\in ]a,b[ \ : F^{\prime}(c)=0 \, .$$

=>

Между двумя корнями полинома $ f(x) \in \mathbb R [x] $ лежит по крайней мере один корень его производной $ f^{\prime}(x) $.

=>

Справедливы неравенства $$ \begin{array}{lll} \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f'(x)=0 \} +1, \\ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} &\le& \operatorname{nrr} \{ f'(x)=0 \mid x>0 \} +1. \end{array} $$

?

Доказать, что если все корни $ f(x) \in \mathbb R [x] $ вещественны, то и все корни любой его производной $ f^{(1)}(x),\dots, f^{(n-1)}(x) $ тоже вещественны.

1)
Приведенные выше примеры специально подбирались, чтобы проиллюстрировать именно такой сценарий.
polynomial/geometry.txt · Последние изменения: 2020/07/30 23:12 — au