Определитель (или детерминант¹⁾) определяется для произвольной квадратной матрицы $ A^{} $, и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается — либо $ \det (A)_{} $, либо $ \det A_{} $, либо — в развернутом виде²⁾ — $$ \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| $$ (матрица ограничивается вертикальными чертами³⁾). Имея в виду порядок матрицы $ A_{} $, о ее определителе говорят как об определителе порядка $ n_{} $.

Для $ n=1_{} $: $$ \det (A) = a_{11} \ ; $$ для $ n=2_{} $: $$ \det (A) = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \ ; $$ для $ n=3_{} $: $$ \det (A) = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = $$ $$ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23} a_{31} + a_{21}a_{32} a_{13} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{11} a_{32} a_{23} \ ; $$ для $ n=4_{} $ формула становится громоздкой.

Области использования понятия определителя:

1. (исторически первоначальная) с помощью этой функции устанавливаются условия существования и единственности решения системы линейных уравнений от нескольких переменных; более того, эта функция позволяет компактно записать решение;

2. эта функция позволяет анализировать свойства отображений (функций) одного многомерного множества в другое, см. ☞ ЗДЕСЬ;

3. определитель имеет также ряд геометрических приложений.

Введем теперь определитель произвольного порядка $ n_{} $.

Упорядоченная пара различных натуральных чисел $ (a,b)_{} $ образует инверсию (или нарушение порядка), если $ a>b_{} $. Будем обозначать число инверсий в паре $ (a,b)_{} $ через $ \operatorname{inv}(a,b)_{} $. Таким образом $$\operatorname{inv}(a,b)=\left\{ \begin{array}{l} 1 \ npu \ a>b \\ 0 \ npu \ a<b \end{array}\right. $$

Число инверсий в последовательности различных натуральных чисел $ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n $ определяется следующим образом: $$ \operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\sum_{1\le j<k\le n}\operatorname{inv}(\alpha_j,\alpha_k). $$

Пример.

$$ \begin{matrix} \operatorname{inv}(5,3,7,1,2)&=&\operatorname{inv}(5,3)+\operatorname{inv}(5,7)+ \operatorname{inv}(5,1)+\operatorname{inv}(5,2) + \\ && +\operatorname{inv}(3,7)+\operatorname{inv}(3,1)+\operatorname{inv}(3,2)+ \\ && +\operatorname{inv}(7,1)+\operatorname{inv}(7,2) + \\ && +\operatorname{inv}(1,2)= \\ &=& 1+0+1+1 \\ && +0+1+1+ \\ && + 1 + 1 + \\ && + 0 = &=& 7 \end{matrix} $$

Показать, что

$ \max \operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=n(n-1)/2 $.

Определителем (или детерминантом) матрицы $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$$ называется величина $$\det A=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$ где сумма распространяется на всевозможные перестановки $ (\alpha_{1},\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ элементов $ \{ 1,2,\dots,n\} $. В общем случае сумма, определяющая определитель порядка $ n_{} $, содержит $ n!_{} $ слагаемых, каждое из которых представляет произведение $ n_{} $ элементов определителя, взятых по одному из каждой строки определителя и из каждого его столбца (т.е. после того, как в произведение вставляется элемент $ a_{jk}^{} $ больше в это же произведение не берется ни одного элемента из $ j_{} $-й строки и $ k_{} $-го столбца). Знак у произведения определяется по указанному выше правилу и можно доказать (см. теорему $ 3 $ ☞ ЗДЕСЬ), что половина слагаемых в сумме будет иметь положительный знак, а другая половина — отрицательный.

В разложение определителя пятого порядка входит произведение $ a_{32}a_{54}a_{21} $ * * . Заполните места, обозначенные * * , и укажите знак произведения.

Входит ли в разложение определителя 7-го порядка произведение $ a_{71}a_{17}a_{26}a_{62}a_{53}a_{35}a_{44}^{} $? Если входит, то с каким знаком?

Пользуясь только определением, вычислить определитель

$$\left|\begin{array}{cccc} 0&0&0&1\\ 0&0&0&2\\ 0&0&0&3\\ 1&2&3&4 \end{array}\right|.$$

Теорема. Если $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $ — произвольные перестановки чисел $ \{ 1,2,\dots,n\} $, то в разложение определителя обязательно встретится слагаемое

$$ (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)+\operatorname{inv}(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)} a_{\alpha_1 \beta_1}a_{\alpha_2 \beta_2} \times \dots \times a_{\alpha_n \beta_n} \, . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Последний результат дает основание для альтернативного определения определителя — симметричного относительно его строк и столбцов.

Определитель матрицы есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и такому произведению приписывается знак согласно теореме.

Определитель порядка $ n_{} $, как функция своих элементов, является однородным полиномом степени $ n_{} $, этот полином неприводим над любым из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $. В разложении определителя всегда присутствует произведение элементов его главной диагонали: $$ a_{11}a_{22}\times \dots \times a_{nn} $$ (со знаком $ +_{} $), оно называется главным членом определителя. Относительно каждого своего элемента $ a_{jk}^{} $ определитель будет линейной функцией; о подобной функции иногда говорят как о полилинейной. Теперь изложим свойства определителя как функции элементов его некоторой фиксированной строки (или фиксированного столбца).

1. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании: $ \det A_{} = \det A^{\top} $.

2. Определитель матрицы меняет знак при перестановке местами двух строк (столбцов): $$ \det [A_{[1]},\dots,A_{[j]},\dots,A_{[k]},\dots,A_{[n]}]=- \det [A_{[1]},\dots,A_{[k]},\dots,A_{[j]},\dots,A_{[n]}] \, . $$

3. Определитель матрицы равен нулю если она имеет две одинаковые строки (два одинаковых столбца).

4. Общий множитель строки (столбца) матрицы можно вынести за знак определителя: $$ \det [A_{[1]},\dots,cA_{[j]},\dots,A_{[n]}]= c\det [A_{[1]},\dots,A_{[j]},\dots,A_{[n]}] . $$

5. Сложение двух определителей, различающихся только по одной строке (столбцу), можно производить путем сложения этих строк (столбцов): $$ \det [A_{[1]},\dots,A_{[j]} + \tilde{A}_{[j]},\dots,A_{[n]}]= $$ $$ =\det [A_{[1]},\dots,A_{[j]},\dots,A_{[n]}]+\det [A_{[1]},\dots,\tilde{A}_{[j]},\dots,A_{[n]}] . $$

6. Определитель матрицы не меняется если к любой строке прибавить любую другую строку, домноженную на произвольную постоянную. Аналогичное утверждение справедливо для столбцов: $$ \det [A_{[1]},\dots,A_{[j]},\dots, A_{[k]},\dots,A_{[n]}]= \det [A_{[1]},\dots,A_{[j]} + c\cdot A_{[k]},\dots, A_{[k]},\dots,A_{[n]}] \ . $$

Доказательства свойств ☞ ЗДЕСЬ.

Определитель $ (n-1)_{} $-го порядка, получающийся вычеркиванием из $$ \det A = \left| \begin{array}{lllllll} a_{11} & \dots & a_{1,k-1} & a_{1k} & a_{1,k+1} & \dots & a_{1n} \\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_{j-1,1} & \dots & a_{j-1,k-1} & a_{j-1,k} & a_{j-1,k+1} & \dots & a_{j-1,n} \\ a_{j1} & \dots & a_{j,k-1} & a_{jk} & a_{j,k+1} & \dots & a_{jn} \\ a_{j+1,1} & \dots & a_{j+1,k-1} & a_{j+1,k} & a_{j+1,k+1} & \dots & a_{j+1,n} \\ \dots &&&\dots&&& \dots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,k-1} & a_{nk} & a_{n,k+1} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| $$ $ j_{} $-й строки и $ k_{} $-го столбца называется минором⁴⁾ $ (n-1)_{} $-го порядка этого определителя, соответствующим элементу $ a_{jk}^{} $. Будем обозначать его $ M_{jk}^{} $: $$ M_{jk} = A\left( \begin{array}{lllllll} 1 & 2 & \dots & j-1, & j+1 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & k-1, & k+1 & \dots & n \end{array} \right) = $$ $$ =\left| \begin{array}{llllll} a_{11} & \dots & a_{1,k-1} & a_{1,k+1} & \dots & a_{1n} \\ \dots &&&&& \dots \\ a_{j-1,1} & \dots & a_{j-1,k-1} & a_{j-1,k+1} & \dots & a_{j-1,n} \\ a_{j+1,1} & \dots & a_{j+1,k-1} & a_{j+1,k+1} & \dots & a_{j+1,n} \\ \dots &&&&& \dots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,k-1} & a_{n,k+1} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \ . $$ Величина $$ A_{jk} = (-1)^{j+k}M_{jk} $$ называется алгебраическим дополнением элемента $ a_{jk}^{} $ в $ \det A_{} $.

Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_{1}<\alpha_2< \dots <\alpha_k $ и $ \alpha_{k+1}<\dots<\alpha_n $, и $ (\beta_1,\dots,\beta_n) $ при $ \beta_{1}<\beta_2<\dots<\beta_k $ и $ \beta_{k+1}<\dots< \beta_n $ — две перестановки чисел от $ 1_{} $ до $ n_{} $.

В матрице $ A_{n\times n} $ выделим $ k>1 $ строк с номерами $ \alpha_{1},\alpha_2, \dots,\alpha_k $ и $ k $ столбцов с номерами $ \beta_{1},\beta_2,\dots ,\beta_{k} $. Элементы $ a_{\alpha_{_j} \beta_{_{\ell}}} $, стоящие в этих строках и столбцах, образуют определитель $ k_{} $-го порядка: $$ M= A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) =\left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k} \end{array} \right|. $$ Он называется минором порядка k матрицы $ A_{} $.

Главным минором порядка $ k_{} $ квадратной матрицы $ A_{} $ называется определитель $$ A_k=A\left( \begin{array}{lll} 1 & \dots & k \\ 1 & \dots & k \end{array} \right)=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} \end{array} \right| $$ т.е. определитель, образованный элементами первых $ k_{} $ строк и первых $ k_{} $ столбцов матрицы.

Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по $ \mathbf j $-й строке (или по элементам $ \mathbf j $-й строки):

$$ \det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell} $$ и разложения определителя по $ k_{} $-му столбцу: $$ \det A = a_{1k}A_{1k} + a_{2k}A_{2k}+ \dots + a_{nk}A_{nk} = \sum_{\ell=1}^n a_{\ell k} A_{\ell k} $$ для любых $ \{j,k \} \subset \{1,2,\dots,n \} $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Разложение определителя третьего порядка по первому столбцу:

$$ \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| =a_{11} \left| \begin{array}{ll} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| - a_{21} \left| \begin{array}{ll} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right|+ a_{31} \left| \begin{array}{ll} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{array} \right| $$ по второму столбцу: $$ =-a_{12} \left| \begin{array}{ll} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + a_{22} \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right|- a_{32} \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array} \right| = $$ и по третьему столбцу: $$ = a_{13} \left| \begin{array}{ll} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| - a_{23} \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|+ a_{33} \left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| . $$

Пример. Вычислить

$$ \left| \begin{array}{rrrr} 4&7& 1 &5 \\ 3 & 4 & 0 &-6 \\ -11 & 8 & 2 & 9\\ -12 & -10 &0 & 8 \end{array} \right| , $$ разложив определитель по третьей строке.

Решение. В формуле берем $ j=3 $: $$ -11 (-1)^{3+1} \left| \begin{array}{rrr} 7& 1 &5 \\ 4 & 0 &-6 \\ -10 &0 & 8 \end{array} \right| + 8 (-1)^{3+2} \left| \begin{array}{rrr} 4& 1 &5 \\ 3 & 0 &-6 \\ -12 & 0 & 8 \end{array} \right| + $$ $$ + 2 (-1)^{3+3} \left| \begin{array}{rrr} 4&7& 5 \\ 3 & 4 & -6 \\ -12 & -10 & 8 \end{array} \right| + 9 (-1)^{3+4} \left| \begin{array}{rrr} 4&7& 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ -12 & -10 &0 \end{array} \right|= $$ и используем формулу вычисления определителя третьего порядка: $$ =-11\cdot 28 - 8 \cdot 48 + 3 \cdot 314 - 9 \cdot 18 = -226 \ . $$ Заметим, что тот же самый результат можно было бы получить, сэкономив на вычислении определителей третьего порядка, если бы мы разложили исходный определитель по третьему столбцу: $$ 1\cdot \left| \begin{array}{rrr} 3 & 4 & -6 \\ -11 & 8 & 9\\ -12 & -10 & 8 \end{array} \right| - 0 \cdot (\dots) + 2 \cdot \left| \begin{array}{rrr} 4&7& 5 \\ 3 & 4 & -6 \\ -12 & -10 & 8 \end{array} \right| - 0 \cdot (\dots) = $$ $$ =1 \cdot (-854) + 2 \cdot 314 = -226 \ . $$ Наличие нулевых элементов «облегчает жизнь» вычислителю… ♦

Для этого в нашем распоряжении имеется такое средство, как преобразования строк или столбцов. В самом деле, на основании общего свойства 6 определителя, к любой его строке можно прибавить любую другую строку, домноженную на произвольное число — определитель от этого не изменится; аналогичное свойство справедливо и для столбцов. Но тогда мы можем упомянутые множители подбирать так, чтобы добиться появления как можно большего количества нулей в отдельной строке (или столбце).

Пример. Вычислить

$$ \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 2 & 1 & 3 & 4\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 4 & -1 &2 &4 &-2\\ 1 &-1 &1 &1 & 2\\ 4 & -1 & 2 &5 & 6 \end{array} \right| \ . $$

Решение. Будем добиваться появления нулей во втором столбце. С этой целью прибавим вторую строку к третьей, четвертой и пятой, а также вычтем, домножив предварительно на $ 2_{} $, из первой: $$ =\left| \begin{array}{rrrrr} -4 & 0 & -3 & -3 & 2\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 7 & 0 &4 &7 &-1\\ 4 & 0 &3 &4 & 3\\ 7 & 0 & 4 &8 & 7 \end{array} \right|= $$ раскладываем по второму столбцу: $$ =\left| \begin{array}{rrrr} -4 & -3 & -3 & 2\\ 7 & 4 &7 &-1\\ 4 & 3 &4 & 3\\ 7 & 4 &8 & 7 \end{array} \right|= $$ и вот уже порядок понизился. Вычитаем из третьего столбца первый: $$ =\left| \begin{array}{rrrr} -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 7 & 4 &1 & 7 \end{array} \right|= $$ теперь имеет смысл увеличить число нулевых элементов в третьем столбце — вычитаем из четвертой строки первую: $$ =\left| \begin{array}{rrrr} -4 & -3 & 1 & 2\\ 7 & 4 &0 &-1\\ 4 & 3 &0 & 3\\ 11 & 7 &0 & 5 \end{array} \right|= $$ Раскладываем по третьему столбцу: $$ =\left| \begin{array}{rrr} 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 11 & 7 & 5 \end{array} \right|= $$ Можно было бы применить теперь формулу разложения определителя третьего порядка, но можно и продолжить упрощения — вычтем из третьей строки первую и вторую: $$ =\left| \begin{array}{rrr} 7 & 4 &-1\\ 4 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right|= $$ и разложим по третьей строке: $$ =3\left| \begin{array}{rr} 7 & 4 \\ 4 & 3 \\ \end{array} \right|=3(21-16)=15 \ . $$ ♦

Систематическое развитие идеи, использованной при решении последнего примера, приводит к основному методу вычисления определителя — методу Гаусса.

Следующий результат имеет исключительно теоретическое значение: используется для доказательства некоторых результатов.

Теорема. Сумма произведений элементов $ j_{} $-го ряда $ \det A $ на алгебраические дополнения элементов $ k_{} $-го ряда равна 0 если $ j\ne k $ и равна $ \det A $ если $ j=k_{} $:

$$ \sum_{\ell=1}^n a_{\ell j}A_{\ell k}=\delta_{jk} \det A \ , \ \sum_{\ell=1}^n a_{j \ell}A_{k \ell}=\delta_{jk} \det A . $$ Здесь $ \delta_{jk}^{} $ — символ Кронекера.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_{1}<\alpha_2< \dots <\alpha_k $ и $ \alpha_{k+1}<\dots<\alpha_n $, и $ (\beta_1,\dots,\beta_n) $ при $ \beta_{1}<\beta_2<\dots<\beta_k $ и $ \beta_{k+1}<\dots< \beta_n $ — две перестановки чисел $ 1,2,\dots,n_{} $.

Выделим в $ \det A_{} $ строки с номерами $ \alpha_{1},\alpha_2, \dots,\alpha_k $ и столбцы с номерами $ \beta_{1},\beta_2,\dots ,\beta_{k} $. Элементы $ a_{\alpha_{_j} \beta_{_{\ell}}} $, стоящие в этих строках и столбцах, образуют определитель $ k_{} $-го порядка: $$ M= A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k} \end{array} \right|. $$ Он называется минором $ k_{} $-го порядка определителя $ \det A_{} $. Если же из определителя $ \det A_{} $ вычеркиваются строки и столбцы с указанными номерами, то получившийся определитель $ (n-k)_{} $-го порядка $$ A\left( \begin{array}{lll} \alpha_{k+1} & \dots & \alpha_n \\ \beta_{k+1} & \dots & \beta_n \end{array} \right) $$ называется минором, дополнительным минору $ M_{} $ в $ \det A_{} $. Число $$ \tilde{M}= (-1)^{\alpha_1 + \dots + \alpha_k + \beta_1 + \dots + \beta_k} A\left( \begin{array}{lll} \alpha_{k+1} & \dots & \alpha_n \\ \beta_{k+1} & \dots & \beta_n \end{array} \right) $$ называется алгебраическим дополнением минора $ M_{} $ в $ \det A_{} $.

Теорема [Лаплас]. Выделим в $ \det A_{} $ произвольные строки с номерами $ \alpha_1< \dots < \alpha_{k} $. Образуем всевозможные миноры $ k_{} $-го порядка с элементами из этих строк:

$$ A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) , $$ где $ 1\le \beta_{1}< \dots < \beta_k \le n $ . Домножим эти миноры на их алгебраические дополнения в $ \det A_{} $. Тогда величина $ \det A_{} $ равна сумме таких произведений по всем возможным сочетаниям из элементов $ \{1,2,\dots,n\} $ по $ k_{} $ элементам $ (\beta_{1},\dots,\beta_k) $ : $$ \det A = $$ $$ =\sum_{1\le \beta_1< \dots < \beta_k \le n} (-1)^{\left\{ \begin{array}{c} \alpha_1 + \dots + \alpha_k + \\ \beta_1 + \dots + \beta_k \end{array} \right\}} A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) A\left( \begin{array}{lll} \alpha_{k+1} & \dots & \alpha_n \\ \beta_{k+1} & \dots & \beta_n \end{array} \right) \, . $$

Сколько слагаемых содержится в правой части этой формулы?

Пример. Вычислить

$$ \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 2 & 1 & 3 & 4\\ 3 &1 &2 &3 &1\\ 4 & -1 &2 &4 &-2\\ 1 &-1 &1 &1 & 2\\ 4 & -1 & 2 &5 & 6 \end{array} \right| $$ с помощью теоремы Лапласа, взяв $ \alpha_{1}=2,\alpha_2=5 $.

Решение. $$ (-1)^{2+5+1+2} \left| \begin{array}{rr} 3 &1 \\ 4 & -1 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 4\\ 2 &4 &-2\\ 1 &1 & 2 \end{array} \right|+ (-1)^{2+5+1+3} \left| \begin{array}{rr} 3 &2 \\ 4 &2 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4\\ -1 &4 &-2\\ -1 &1 & 2 \end{array} \right| + $$ $$ + (-1)^{2+5+1+4} \left| \begin{array}{rr} 3 &3 \\ 4 &5 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 4\\ -1 &2 &-2\\ -1 &1 & 2 \end{array} \right| + (-1)^{2+5+1+5} \left| \begin{array}{rr} 3 &1 \\ 4 &6 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3\\ -1 &2 &4\\ -1 &1 & 1 \end{array} \right| $$ $$ + (-1)^{2+5+2+3} \left| \begin{array}{rr} 1 &2 \\ -1 &2 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4\\ 4 & 4 &-2\\ 1 &1 & 2 \end{array} \right| + (-1)^{2+5+2+4} \left| \begin{array}{rr} 1 &3 \\ -1 &5 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 4\\ 4 &2 &-2\\ 1 &1 & 2 \end{array} \right| + $$ $$ + (-1)^{2+5+2+5} \left| \begin{array}{rr} 1 &1 \\ -1 &6 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3\\ 4 &2 &4\\ 1 &1 & 1 \end{array} \right| + (-1)^{2+5+3+4} \left| \begin{array}{rr} 2 &3 \\ 2 &5 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 4\\ 4 &-1 &-2\\ 1 &-1 & 2 \end{array} \right| + $$ $$ + (-1)^{2+5+3+5} \left| \begin{array}{rr} 2 &1 \\ 2 &6 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 3\\ 4 &-1 &4\\ 1 &-1 & 1 \end{array} \right| + (-1)^{2+5+4+5} \left| \begin{array}{rr} 3 &1 \\ 5 &6 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1\\ 4 &-1 &2\\ 1 &-1 & 1 \end{array} \right|= $$ $$ =+(-7)(-16)-(-2)44+3\cdot 20 -14 \cdot (-4)+4 \cdot (-10) - 8 \cdot 10 +7 \cdot 2 +4 \cdot (-40) - $$ $$ -10 \cdot (-3) +13 \cdot (-5)=15 . $$ ♦

Имеет место равенство

$$ \left| \begin{array}{llllll} a_{11} & \dots & a_{1k} & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \dots & a_{kk} & 0 & \dots & 0 \\ a_{k+1,1} & \dots & a_{k+1,k} & a_{k+1,k+1} & \dots & a_{k+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nk} & a_{n,k+1} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|= $$ $$ =\left| \begin{array}{lll} a_{11} & \dots & a_{1k} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & \dots & a_{kk} \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{lll} a_{k+1,k+1} & \dots & a_{k+1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n,k+1} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, . $$

Пусть $ A_{1},\dots,A_k $ — квадратные матрицы (не обязательно одинаковых порядков). Тогда

$$ \det \left( \begin{array}{cccc} A_1 & {\mathbb O} & \dots & {\mathbb O} \\ \ast & A_2 & & {\mathbb O} \\ \vdots & & \ddots & \\ \ast & \ast & \dots & A_k \end{array} \right)= \det A_1 \times \dots \times \det A_k. $$ В частности, определители треугольных матриц $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ \ast & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ \ast & \ast & \dots & a_{nn} \end{array} \right) \quad u \quad \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & \ast & \dots & \ast \\ 0 & a_{22} & \dots & \ast \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{array} \right) $$ равны произведению элементов главных диагоналей.

Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель, предварительно преобразовав его:

$$\left|\begin{array}{rrrrr} 3&4&-3&-1&2\\ -5&6&5&2&3\\ 4&-9&-3&7&-5\\ -1&-4&1&1&-2\\ -3&7&5&2&3 \end{array}\right|.$$

Ответ. $ 14_{} $.

Биографические заметки о Лапласе ☞ ЗДЕСЬ.

Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную $ C_{m\times m}^{}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times m} $. Выразить $ \det C_{} $ через миноры матриц $ A_{} $ и $ B_{} $.

Теорема [Бине, Коши].

$$\det C=\left\{\begin{array}{ll} 0& npu\ m>n; \\ \det A \cdot \det B& npu \ m=n; \\ \displaystyle \sum_{1\le \beta_1<\dots<\beta_m \le n } A\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & \dots & m \\ \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \end{array} \right) B\left( \begin{array}{llll} \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \\ 1 & 2 & \dots & m \end{array} \right)& npu\ m<n. \end{array} \right. $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Показать, что для квадратных матриц одинакового порядка имеют место равенства

a) $ \det (AB) = \det (BA)_{} $; б) $ \det (A^{n}) = (\det A)^{n} $.

Биографические заметки о Коши ☞ ЗДЕСЬ.

Напомним свойство 6 из элементарных свойств определителя: величина определителя не изменится если прибавить к любой его строке любую другую строку, умноженную на произвольную константу. Этот факт можно использовать для того, чтобы «сделать» в определителе побольше элементов равных нулю, т.к. содержащие эти элементы слагаемые выпадут из полного разложения определителя. Еще одно элементарное свойство — свойство 2 , утверждает, что перестановка строк изменит знак определителя, но не изменит его абсолютную величину. Пользуясь этими двумя преобразованиями, можем поставить целью привести определитель к треугольному виду, т.е. к виду $$ \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \ldots& a_{1,n-1} & a_{1, n} \\ 0 & a_{22}^{[1]} & \ldots& a_{2,n-1}^{[1]} & a_{2, n}^{[1]} \\ & & \ddots & & \dots \\ 0& 0& \dots & a_{n-1,n-1}^{[n-2]} &a_{n-1, n}^{[n-2]} \\ 0& 0 & \dots & 0 & a_{nn}^{[n-1]} \end{array} \right| \ . $$ Тогда, на основании следствия к теореме Лапласа, величина исходного определителя с точностью до знака будет совпадать с произведением диагональных элементов: $$ \det A = a_{11} a_{22}^{[1]} \times \dots \times a_{n-1,n-1}^{[n-2]} a_{nn}^{[n-1]} \ . $$ Формализовать приведение определителя к треугольному виду возможно с помощью используюшегося при решении систем линейных уравнений метода Гаусса. Так, первый шаг преобразования определителя $$ \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| $$ будет состоять в «обнулении» элементов первого столбца: из второй строки вычитается первая, домноженная на $ (-a_{21}/a_{11}) $, из третьей строки — первая, домноженная на $ (-a_{31}/a_{11}) $ и т.д. Все эти операции не изменяют величины определителя, но преобразуют его к виду $$ \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} - a_{12}a_{21}/a_{11} & a_{23}- a_{13}a_{21}/a_{11} & \dots & a_{2n} -a_{1n}a_{21}/a_{11} \\ 0 & a_{32} - a_{12}a_{31}/a_{11} & a_{33} - a_{13}a_{31}/a_{11} & \dots & a_{3n} - a_{1n}a_{31}/a_{11} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & a_{n2} - a_{12}a_{n1}/a_{11} & a_{n3} - a_{13}a_{n1}/a_{11} & \dots & a_{nn} - a_{1n}a_{n1}/a_{11} \end{array} \right| $$ (при условии $ a_{11} \ne 0 $). Теперь можно разложить по первому столбцу и свести задачу к вычислению определителя порядка $ n-1 $.

Пример. Вычислить

$$ \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4 & 1 & 3\\ 2 & 7 & 1 & 3 & 2\\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 2 & 2 \end{array} \right| $$ методом Гаусса.

Решение. Вычитаем первую строку, умноженную на соответствующие числа, из остальных строк, добиваясь появления нулей в первом столбце: $$ =\left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 3\\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2} \end{array} \right| = $$ Выносим общий множитель элементов последней строки: $$ = \frac{3}{2} \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right| = $$ Поскольку элемент, стоящий во второй строке и втором столбце нулевой, то поменяем местами вторую и пятую строки, при этом знак определителя изменится: $$ = -\frac{3}{2} \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 6 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ \end{array} \right| = $$ Теперь с помощью второй строки обращаем в нуль элементы второго столбца: $$ = -\frac{3}{2} \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -8 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1\\ \end{array} \right| = $$ Чтобы избежать появления дробных элементов, поменяем местами третью и четвертую строки, определитель при этом снова поменяет знак: $$ = \frac{3}{2} \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -8 & -1 & -5\\ 0 & 0 & -2 & -7 & 1 \end{array} \right| = \frac{3}{2} \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -25 & -13\\ 0 & 0 & 0 & -13 & -1 \end{array} \right|= $$ $$ =\frac{3}{2} \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 3 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -25 & -13\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\scriptstyle 144}{\scriptstyle 25} \end{array} \right|= $$ $$ =\frac{3}{2}\cdot 2\cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-25) \cdot \frac{144}{25}=432. $$ ♦

Вычислить $ \det \left[ \min(i,j) \right]_{i,j=1}^{n} $.

Биографические заметки о Гауссе ☞ ЗДЕСЬ.

Материал этого пункта предполагает (хотя бы беглое) знакомство с разделом МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА.

Пример. Верно ли равенство

$$ \left| \begin{array}{rrrr} 51239 & 79922 & 55538 & 29177 \\ 46152 & 16596 & 37189 & 82561 \\ 71489 & 23165 & 26563 & 61372 \\ 44350 & 42391 & 91185 & 64809 \end{array} \right|=0 \ ? $$

Решение. Фактическое вычисление подобного определителя — каким бы методом мы не воспользовались — задача довольно трудоемкая. Однако вопрос ставится не о фактическом значении, а о равенстве его нулю. Это обстоятельство может упростить вычисления. Обозначим неизвестное значение определителя через $ x_{} $; очевидно это число целое. Если $ x=0_{} $, то и его остаток при делении на любое число $ M\in \mathbb Z $ тоже должен быть равным нулю. Если же хоть для одного $ M\in \mathbb Z $ выполнится условие $ x\not\equiv 0 \pmod M $, то и $ x\ne 0 $. Вычисление определителя фактически сводится к умножению элементов определителя. Если же мы ставим задачу определения остатка от деления этого выражения на $ M_{} $, то имеет смысл сразу же «сократить» каждый элемент определителя до его остатка от деления на $ M_{} $.

Возьмем сначала $ M=10 $, т.е. от каждого элемента определителя оставляем только последнюю цифру: $$ \left| \begin{array}{rrrr} 9 & 2 & 8 & 7 \\ 2 & 6 & 9 & 1 \\ 9 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 9 \end{array} \right| \equiv_{_{10}} \left| \begin{array}{rrrr} -1 & 2 & -2 & -3 \\ 2 & -4 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & -1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{rrrr} -1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \\ 0 & 3 & 5 & -5 \\ 0 & 1 & 5 & -1 \end{array} \right|= - \left| \begin{array}{rrr} 0 & -5 & -5 \\ 3 & 5 & -5 \\ 1 & 5 & -1 \end{array} \right| \equiv_{_{10}} 0 \ . $$ Итак, полученный ответ является необходимым, но не достаточным условием равенства определителя нулю. Сделаем еще одну проверку: возьмем $ M=7 $. $$ \left| \begin{array}{rrrr} 6 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 6 & 5 & 3 \\ 5 & 2 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 3 & 3 \end{array} \right|\equiv_{_{7}} 3 \ne 0 \ . $$

Ответ. Равенство неверно.

Понятно, что если бы определитель был равен нулю, то каждое вычисление по модулю только «увеличивало бы достоверность» этого события.

Можно ли на основе серии модулярных вычислений установить истинное значение определителя?

Это позволяет сделать ☞ КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ.

А складировать встретившиеся на моем пути целочисленные определители буду ☞ ЗДЕСЬ.

Приемы вычисления ☞ ЗДЕСЬ

$$V(x_1,\dots,x_n)= \det \left[ x_j^{k-1} \right]_{j,k=1}^{n}= \left|\begin{array}{ccccc} 1 &x_1&x_1^2&\ldots&x_1^{n-1}\\ 1 &x_2&x_2^2&\ldots&x_2^{n-1}\\ \vdots& &&& \vdots\\ 1 &x_n&x_n^2&\ldots&x_n^{n-1} \end{array}\right|_{n\times n}=\prod_{1\le j < k \le n} (x_k-x_j). $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

$ V(x_{1},\dots,x_n)=0 $ тогда и только тогда, когда среди чисел $ x_{1},\dots,x_n $ имеются одинаковые.

Частным случаем определителя Вандермонда является определитель матрицы дискретного преобразования Фурье: $$ F=\left[ \varepsilon_j^{k} \right]_{j,k=0}^{n-1}= \left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \varepsilon_1 & \varepsilon_1^2 & \dots & \varepsilon_1^{n-1} \\ 1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_2^2 & \dots & \varepsilon_2^{n-1} \\ 1 & \varepsilon_3 & \varepsilon_3^2 & \dots & \varepsilon_3^{n-1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \varepsilon_{n-1} & \varepsilon_{n-1}^{2} & \dots & \varepsilon_{n-1}^{n-1} \end{array} \right) \quad npu \quad \varepsilon_j = \cos \frac{2 \pi j}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi j}{n} $$ — корне n-й степени из 1. Основываясь на свойстве $ \varepsilon_j=\varepsilon_1^{j} $, матрицу часто записывают в эквивалентном виде $$ F= \left[ \varepsilon^{jk} \right]_{j,k=0}^{n-1}= \left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \dots & \varepsilon^{n-1} \\ 1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \dots & \varepsilon^{2(n-1)} \\ 1 & \varepsilon^3 & \varepsilon^6 & \dots & \varepsilon^{3(n-1)} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \dots & \varepsilon^{(n-1)^2} \end{array} \right) \quad npu \quad \varepsilon = \cos \frac{2 \pi}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi}{n} \ . $$

$$ \det F = \left\{ \begin{array}{ll} n^{n/2} {\mathbf i}^{n(n-1)/2+1} & \mbox{ при }\ n_{} - \mbox{ четном }, \\ n^{n/2} {\mathbf i}^{n(n-1)/2} & \mbox{ при }\ n_{} - \mbox{ нечетном }. \end{array} \right. $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Подробнее об определителя Вандермонда ☞ ЗДЕСЬ.

или определитель ганкелевой матрицы: $$H_n= \left|\begin{array}{llllll} h_0 &h_1&h_2&\dots&h_{n-2}& h_{n-1}\\ h_1 &h_2&h_3&\dots&h_{n-1}& h_{n}\\ h_2 &h_3&h_4&\dots&h_{n}& h_{n+1}\\ \dots& & &&& \dots\\ h_{n-1} &h_n&h_{n+1}&\dots &h_{2n-3}&h_{2n-2} \end{array}\right|_{n\times n}= \det \left[h_{j+k-2} \right]_{j,k=1}^{n} . $$ Элементы $ h_{0},\dots,h_{n-1},h_n,\dots,h_{2n-2} $ — образующие ганкелевого определителя.

Свойства и применения определителя Ганкеля ☞ ЗДЕСЬ.

Пусть в векторном пространстве определено скалярное произведение $ \langle X_{},Y \rangle $. Определителем Грама (или грамианом) системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $ называется $$ {\mathfrak G}(X_1,\dots,X_m)=\left| \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & && \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right| = \det \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^n \ . $$

Теорема. $ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m)=0 $ тогда и только тогда, когда система векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $ линейно зависима.

Свойства и применения определителя Грама ☞ ЗДЕСЬ

или определитель циклической матрицы

$$D_n=\left|\begin{array}{lllll} a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\ a_n&a_1&a_2&\dots&a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_n & a_1 & \dots & a_{n-2} \\ \vdots&&& \ddots & \vdots \\ a_2&a_3&a_4&\dots&a_1 \end{array}\right|=\prod_{j=0}^{n-1} f(\varepsilon_j),$$ где $ f(x)=a_{1}+a_2x+a_3x^2+\dots+a_nx^{n-1} $, а $$ \varepsilon_j=\cos \frac{2\,\pi j}{n} + {\mathbf i} \sin \frac{2\,\pi j}{n} $$ — корень n-й степени из единицы.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Найти явное выражение для циркулянта

$$\left|\begin{array}{ccccc} 1&2&3&\dots&n\\ n&1&2&\dots&n-1\\ n-1&n&1&\dots&n-2\\ \dots&&&& \dots \\ 2&3&4&\dots&1 \end{array}\right|.$$

Для полиномов $ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n $ и $ g(x)=b_{0}x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_m $ рассмотрим матрицу порядка $ (m+n) \times (m+n)_{} $ $$ M=\left(\begin{array}{cccccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 &0\\ \vdots&&\ddots&&&&&&\ddots\\ 0&0&\ldots&a_0&\ldots&\ldots & & \ldots &a_{n-1} &a_n\\ 0&0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots& \ldots &b_{m-1}&b_m\\ 0&0&\ldots&b_0&b_1&\ldots &&\ldots &b_m&0\\ \vdots&&&\ldots&&&& &&\vdots\\ 0&b_0&\ldots&\ldots&&b_m&\ldots&&\ldots&0\\ b_0&\ldots&\ldots&&b_m&0&\ldots&&&0 \end{array}\right) \begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} m \\ \left. \begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n \end{array} $$ (элементы выше $ a_{n} $ и $ b_{0} $, и ниже $ a_{0} $ и $ b_{m} $ все равны нулю). Выражение $$ {\mathcal R}(f,g)= (-1)^{n(n-1)/2} \det M $$ называется результантом (в форме Сильвестра) полиномов $ f_{} $ и $ g_{} $ .

Теорема. Если $ \{\lambda_{1},\dots,\lambda_n\} $ — корни полинома $ f_{}(x) $, а $ \{\mu_{1},\dots,\mu_m\} $ — корни полинома $ g_{}(x) $ , то

$$ {\mathcal R}(f,g)= a_0^m b_0^n \prod_{k=1}^m \prod_{j=1}^n (\lambda_j - \mu_k) \ . $$

$$ {\mathcal R}(f,g)= a_0^m \prod_{j=1}^n g(\lambda_j)= b_0^n \prod_{k=1}^m f(\mu_k) \ . $$

$ {\mathcal R}(f,g)=0_{} $ тогда и только тогда, когда полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ имеют общий корень.

Свойства и применения результанта ☞ ЗДЕСЬ

полинома $ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, n>1,a_0\ne 0 $ может быть определен через результант этого полинома и его производной: $$ {\mathcal D}(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_0}{\mathcal R}(f(x),f^{\prime}(x)) \ . $$

Дискриминант можно представить в виде определителя порядка $ 2n-1_{} $: $ {\mathcal D}(f)= $ $$ =\frac{1}{a_0} \left|\begin{array}{cccccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 &0\\ \vdots&&\ddots&&&&&&\ddots\\ 0&0&\ldots&a_0&a_1&\ldots & & \ldots &a_{n-1} &a_n\\ 0&0&\ldots&&na_0&(n-1)a_1&\ldots& \ldots &2a_{n-2}&a_{n-1}\\ 0&0&\ldots&na_0&(n-1)a_1&\ldots &&\ldots &a_{n-1}&0\\ \vdots&&&\ldots&&&& &&\vdots\\ 0&na_0&\ldots&\ldots&&a_{n-1}&\ldots&&\ldots&0\\ na_0&\ldots&\ldots&&a_{n-1}&0&\ldots&&&0 \end{array}\right| \begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n-1 \\ \left. \begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n \end{array} $$

Теорема. Если $ \lambda_1,\dots,\lambda_{n} $ — корни полинома $ f(x)_{} $, то

$$ {\mathcal D}(f) =a_0^{2n-2} \prod_{0\le j < k \le n} (\lambda_k - \lambda_j)^2 \ . $$

$ {\mathcal D}(f) = 0_{} $ тогда и только тогда, когда $ f(x)_{} $ имеет кратный корень.

Свойства и применения дискриминанта ☞ ЗДЕСЬ

определяется как определитель трехдиагональной матрицы: $$ Q_n(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n)= \left|\begin{array}{ccccccc} x_1&1 & 0 & 0 & \dots& 0 & 0\\ -1 &x_2& 1 & 0 & \dots& 0& 0 \\ 0 &-1 & x_3 & 1 & \dots & 0& 0 \\ \vdots&&& &\ddots && \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots &-1&x_n \end{array}\right| $$ и фактически является полиномом от $ x_{1},\dots, x_n $ — этот полином называется континуантой.

Континуант является частным случаем определителя Якоби.

Теорема. Имеет место рекуррентная формула

$$ Q_n(x_1,\dots,x_n)= x_nQ_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})+Q_{n-2}(x_1,\dots,x_{n-2}) \ . $$

Континуант равен сумме произведения $ x_{1}\cdot x_2 \times \dots \times x_n $ и всевозможных произведений, получающихся из него вычеркиванием пар соседних множителей (и добавлением $ 1_{} $ в случае четного $ n_{} $).

Пример.

$$ \begin{array}{lcl} Q_2(x_1,x_2)&=&x_1x_2+1 \ , \\ Q_3(x_1,x_2,x_3)&=& x_1x_2x_3+x_3+x_1 \ , \\ Q_6(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)&=&x_1x_2x_3x_4x_5x_6+\\ &&+x_3x_4x_5x_6 +x_1x_4x_5x_6+ x_1x_2x_5x_6+ x_1x_2x_3x_6+x_1x_2x_3x_4+ \\ &&+x_5x_6+x_1x_6+x_1x_2+x_1x_4+x_3x_4+x_3x_6+1 . \end{array} $$

Сколько слагаемых содержится в полном разложении континуанта?

Подсказка ☞ ЗДЕСЬ

Теорема. Имеет место тождество

$$ Q_n(x_1,\dots,x_n) Q_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1})-Q_{n-1}(x_2,\dots,x_{n})Q_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})\equiv (-1)^n \ . $$

Доказательство следует из тождества Сильвестра.

Якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из $ n_{} $ функций $ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_{n}(x_1,\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $ называется определитель, составленный из частных производных: $$ {\mathfrak J}=\frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}= \left| \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_n}/{\partial x_1} & {\partial f_n}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_n}/{\partial x_n} \end{array} \right|= \det \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j,k=1}^n $$

Якобиан тождественно равен нулю в некоторой области $ \mathbb{S} $:

$$ \frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)} \equiv 0 \mbox{ } \ \mbox{при} \mbox{ } X \in \mathbb{S} $$ тогда и только тогда, когда между функциями $ f_1,f_{2},\dots,f_n $ имеется функциональная зависимость в $ \mathbb{S} $, т.е. существует функция $ G(y_1,y_2,\dots,y_{n}) $ отличная от тождественного нуля, такая, что $$ G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0 \mbox{ } \mbox{при} \mbox{ } X \in \mathbb{S} \ . $$

Свойства и применения якобиана ☞ ЗДЕСЬ

Гессианом или определителем Гессе функции $ F(x_{1},x_2,\dots,x_n) $ называется якобиан ее частных производных, т.е. определитель $$ \mathcal H (F) = \left| \begin{array}{cccc} {\partial^2 F}/{\partial x_1^2} & {\partial^2 F}/{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & {\partial^2 F}/{\partial x_1 \partial x_n} \\ {\partial^2 F}/{\partial x_2 \partial x_1} & {\partial^2 F}/{\partial x_2^2} & \dots & {\partial^2 F}/{\partial x_2 \partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial^2 F}/{\partial x_n \partial x_1} & {\partial^2 F}/{\partial x_n \partial x_2} & \dots & {\partial^2 F}/{\partial x_n^2} \end{array} \right|= \det \left[ \frac{\partial^2 F}{\partial x_j \partial x_k} \right]_{j,k=1}^n \ , $$ состоящий из частных производных второго порядка функции $ F $.

системы функций $ \{u_{1}(x),\dots,u_n(x)\} $ — это определитель $$ W(u_1(x),\dots,u_n(x))= \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \ . $$

Теорема. Аналитические на интервале $ ]a,b_{}[ $ функции $ u_{1}(x),\dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда

$$ W(u_{1}(x),\dots,u_n(x))\equiv 0 \ \mbox{ на } \ ]a,b[ \, . $$

Свойства и применения вронскиана ☞ ЗДЕСЬ

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) $ и $ (x_{2},y_2) $: $$ \left| \begin{array}{lll} 1& x & y \\ 1& x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \end{array} \right|=0 ; $$ действуя над строками, определитель можно преобразовать к виду: $$ \left| \begin{array}{ll} x_1-x & y_1-y \\ x_2 - x & y_2 -y \end{array} \right|=0 \ . $$ Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) , (x_{2},y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $: $$ \left| \begin{array}{llll} 1 & x & y & x^2+y^2 \\ 1 & x_1 & y_1 & x_1^2+y_1^2 \\ 1 & x_2 & y_2 & x_2^2+y_2^2 \\ 1 & x_3 & y_3 & x_3^2+y_3^2 \end{array} \right|=0 . $$ При условии, что все три точки лежат на одной прямой: $$ \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right|=0 $$ окружность вырождается в прямую $$ \left| \begin{array}{clll} 1 & x & y & 0 \\ 1 & x_1 & y_1 & x_1^2+y_1^2 \\ 1 & x_2 & y_2& x_2^2+y_2^2 \\ 1 & x_3 & y_3& x_3^2+y_3^2 \end{array} \right|=0 . $$

Теорема. Площадь треугольника с вершинами $ (x_{1},y_1) , (x_{2},y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения

$$ \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right| . $$

Доказательство. В самом деле, расстояние от точки $ P_{} $ с координатами $ (X_{},Y) $ до прямой $$ Ax+By+C=0 $$ с точностью до знака равно $$ d=\frac{AX+BY+C}{\sqrt{A^2+B^2}} \ . $$ Для треугольника $ P_1P_2P_{3} $ с вершинами $$ P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2), P_3=(x_3,y_3) $$ уравнение прямой $ P_1 P_{2} $ может быть записано в виде $$ x(y_1-y_2)+y(x_2-x_1)+(x_1y_2-x_2y_1)=0 \ . $$ Таким образом, в приведенных выше обозначениях имеем: $$ A=y_1-y_2,\ B=x_2-x_1, C=x_1y_2-x_2y_1 $$ и, следовательно, величина $$ \sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=|P_1P_2| \ , $$ т.е. равна длине стороны треугольника. Тогда расстояние от точки $ P_{3} $ до прямой $ P_{1}P_2 $ находится из уравнения $$ d\cdot |P_1P_2| = Ax_3+By_3+C=(y_1-y_2)x_3+(x_2-x_1)y_3+(x_1y_2-x_2y_1)=\left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right| \ . $$ В левой части стоит выражение для удвоенной площади треугольника. ♦

Площадь $ n- $угольника $ P_{0}P_1\dots P_{n-1} $ с вершинами $ P_0 = (x_{0},y_0) ,\dots, P_{n-1} = (x_{n-1},y_{n-1}) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_0 & y_0 \\ 1 & x_k & y_k \\ 1 & x_{k+1} & y_{k+1} \end{array} \right| $$ при условии, что стороны не пересекаются.

Объем тетраэдра с вершинами $ (x_{1},y_1,z_1) ,(x_{2},y_2,z_2) , (x_{3},y_3,z_3) , (x_{4},y_4,z_4) $ равен абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{6} \left| \begin{array}{llll} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{array} \right| . $$

Объем фигуры, ограниченной эллипсоидом $$ (x_1,x_2,x_3)\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =1 $$ (квадратичная форма, стоящая в левой части, положительно определена ) равен $$ \frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right| }} \ . $$

Дальнейшие геометрические применения определителя ☞ ЗДЕСЬ

Пусть $ A_{} $ и $ D_{} $ – квадратные матрицы (не обязательно одинакового порядка), а $ B_{} $ и $ C_{} $ – произвольные матрицы, такие, что блочная матрица $$ \left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right) $$ – квадратная.

Теорема. Если матрица $ A $ невырожденная, то имеет место равенство:

$$ \det \left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right)= \det A \det(D-CA^{-1}B) . $$

Если все матрицы $ A, B, C_{} $ и $ D_{} $ — одинакового порядка, то

$$ \det \left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right)= \left\{ \begin{array}{cc} \det (AD-CB) & npu \ AC=CA \\ \det (DA-CB) & npu \ AB=BA \\ \det (AD^{\top}-BC^{\top}) & npu\ CD^{\top}=DC^{\top} \end{array} \right. $$

В частном случае когда матрица $ A_{} $ — первого порядка, приведенная в теореме формула эквивалентна первому шагу метода Гаусса вычисления определителя:

$$ \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right|= $$ $$ =a_{11} \det\left( \left( \begin{array}{llll} a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) - \frac{1}{a_{11}} \left( \begin{array}{l} a_{21} \\ a_{31} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{array} \right) (a_{12} , a_{13} , \dots , a_{1n} ) \right) $$ при условии $ a_{11} \ne 0 $.

В частном случае когда матрица $ D_{} $ — первого порядка, получаем формулу для вычисления окаймленного определителя, т.е. определителя

$$ \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & x_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & x_2 \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & x_n \\ y_1 & y_2 & \dots & y_n & z \end{array} \right|= \left( z - (y_1,\dots,y_n) A^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \right) \det A , $$ которую можно сделать универсальной, т.е. действительной и в случае особенной матрицы $ A_{} $: $$ = z \det A - (y_1,\dots,y_n) {\tilde A} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) ; $$ здесь матрица $ {\tilde A} $ — взаимная матрице $ A_{} $. Используя представление взаимной матрицы через алгебраические дополнения, получаем: $$ =z \det A - \sum_{j,k=1}^n x_jy_k A_{jk} \ . $$ Аналог этого равенства для случая симметричных матриц: $$ \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & x_1 \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2n} & x_2 \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} & x_n \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n & z \end{array} \right|= z \det A - \left(2 \sum_{1 \le j<k\le n}^n A_{jk} x_jx_k + \sum_{k=1}^n A_{kk} x_k^2 \right)\ , $$ а в случае $ \det A_{} = 0 $, на основании тождества Сильвестра, получаем: $$ =-\left( \sum_{k=1}^n \sqrt{A_{kk}} x_k \right)^2 \ . $$

В определителе матрицы $ A_{} $ выделим произвольные строки $ j_{} $ и $ k_{} $ ($ j < k_{} $), и столбцы с теми же номерами. Вычислим алгебраические дополнения элементов $ a_{jj}, a_{jk},a_{k j}, a_{kk} $ и минор $ (n_{}-2) $-го порядка $$ A\left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \\ 1 & \dots & j-1 & j+1 & \dots & k-1 & k+1 & \dots & n \end{array} \right) \ , $$ получающийся вычеркиванием из $ \det A_{} $ выбранных строк и столбцов. Для компактности записи будем обозначать этот минор⁷⁾ $$ \widetilde A \left( \begin{array}{cc} j & k \\ j & k \end{array} \right) \, . $$

Теорема. Имеет место тождество Сильвестра⁸⁾: $$ \widetilde A \left( \begin{array}{cc} j & k \\ j & k \end{array} \right) \det A = A_{jj}A_{kk}-A_{jk}A_{kj} \ . $$

Пример применения для определителя четвертого порядка ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Положив в теореме $ j=2, k=5_{} $, получаем:

$$ \left| \begin{array}{rrrrr} 2 & 2 & 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 2 & 3 & 1\\ 4 & -1 & 2 & 4 & -2\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 2\\ 4 & -1 & 2 & 5 & 6 \end{array} \right| \cdot \left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|= $$ $$ =\left| \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 3 & 4\\ 4 & 2 & 4 & -2\\ 1 & 1 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 5 & 6 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{rrrr} 2 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array} \right| - \left| \begin{array}{rrrr} 2 & 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 & 5 \end{array} \right|\cdot \left| \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 3 & 4\\ 3 & 2 & 3 & 1\\ 4 & 2 & 4 & -2\\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right| \ . $$ Проверка. $ 15 \cdot 2=6\cdot 5-(-5)\cdot 0 $.

Доказательство и обобщение тождества ☞ ЗДЕСЬ

Теорема [Адамар]. Для произвольной вещественной матрицы

$$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) $$ справедливо следующее неравенство Адамара $$ \left| \det A \right| \le \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{1j}^2} \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{2j}^2} \times \dots \times \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{nj}^2} \ . $$ Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения «длин» его строк.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.

Пример.

$$ \left|\det\left( \begin{array}{rrr} -47 & 40 & -81 \\ 91 & 68 & -10 \\ 31 & -51 & 77 \end{array} \right) \right| \le $$ $$ \le \left\{ \begin{array}{cl} \sqrt{(47^2+40^2+81^2)(91^2+68^2+10^2)(31^2+51^2+77^2)} &\le 1131360 \\ & \\ \sqrt{(47^2+91^2+31^2)(40^2+68^2+51^2)(81^2+10^2+77^2)} & \le 1127957 \end{array} \right. $$ при истинной величине определителя $ 31867 $.

Если матрица $ A $ невырождена, то равенство в неравенстве Адамара достигается тогда и только тогда, когда строки матрицы ортогональны.

Если все элементы матрицы $ A \in \mathbb C^{n\times n} $ ограничены: $ \{| a_{jk} | \le \gamma\}_{j,k} $, то

$$ |\det A| \le \gamma^n n^{n/2} \, . $$ В частности, если $ \{| a_{jk} | \le 1\}_{j,k} $, то $$ |\det A| \le n^{n/2} $$ и для некоторых $ n $ эта оценка становится точной: равенство достигается на матрицах Адамара.

Теорема. Пусть все элементы матрицы $ A_{} $ являются функциями от $ x_{} $ дифференцируемыми на некотором интервале $ ]a,b[ $:

$$ A(x)=\left[a_{jk}(x) \right]_{j,k=1}^n \ , $$ тогда на этом интервале

$$ \frac{d}{d\ x} \det A \equiv $$ $$ \equiv \left| \begin{array}{cccc} a_{11}^{\prime}(x) & a_{12}^{\prime}(x) & \dots & a_{1n}^{\prime}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x) \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x) \end{array} \right|+\left| \begin{array}{cccc} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x) \\ a_{21}^{\prime}(x) & a_{22}^{\prime}(x) & \dots & a_{2n}^{\prime}(x) \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x) \end{array} \right|+\dots+ $$ $$ + \left| \begin{array}{cccc} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x) \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1}^{\prime}(x) & a_{n2}^{\prime}(x) & \dots & a_{nn}^{\prime}(x) \end{array} \right| $$

Пример. Вычислить

$$ \frac{d}{d\ x} \left| \begin{array}{cc} 3\,x^2+4\,x+1 & x^3-\sqrt{3} \\ x^2-1 & 7\,x^3-x+4 \end{array} \right| \ . $$

Решение. Можно вычислить определитель напрямую $$ \left| \begin{array}{cc} 3\,x^2+4\,x+1 & x^3-\sqrt{3} \\ x^2-1 & 7\,x^3-x+4 \end{array} \right|=20\,x^5+28\,x^4+5\,x^3+(8 +\sqrt{3})\,x^2 +15\,x+4-\sqrt{3} \ , $$ а потом продифференцировать: $$ 100\,x^4+15\,x^2+112\,x^3+(2\sqrt{3}+16)\,x+15 \ . $$ и этот результат совпадает с полученным из теоремы: $$ \frac{d}{d\ x} \left| \begin{array}{cc} 3\,x^2+4\,x+1 & x^3-\sqrt{3} \\ x^2-1 & 7\,x^3-x+4 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} 6\,x+4 & 3\,x^2 \\ x^2-1 & 7\,x^3-x+4 \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{cc} 3\,x^2+4\,x+1 & x^3-\sqrt{3} \\ 2\,x & 21\,x^2-1 \end{array} \right| \ . $$ На этом примере можно заметить, что операции дифференцирования матричного полинома $ A(x)_{} $ и вычисления определителя нельзя переставить местами $$ \det \left( \frac{d}{d\ x} A(x) \right) \ne \frac{d}{d\ x} \det(A(x)) \ . $$ ♦

Теорема . Если $ \operatorname{adj}(A) $ означает матрицу взаимную матрице $ A_{} $, а $ \operatorname{Sp}_{} $ — след, то справедлива формула Якоби:

$$ \frac{d}{d\ x} \det A = \operatorname{Sp} \left[ \operatorname{adj}(A) \frac{d A}{d\ x} \right] \ . $$ Если $ \det A\ne 0 $, то $$ \frac{d}{d\ x} \det A = \operatorname{Sp} \left[A^{-1} \frac{d A}{d\ x} \right] \det A \ . $$

Доказательство. Рассмотрим определитель матрицы как функцию ее элементов. Известно, что $$ \partial \det A / \partial a_{jk} = A_{jk} \, , $$ где $ A_{jk} $ — алгебраическое дополнение элемента $ a_{jk} $ в $ \det A $. Тогда $$ \frac{d}{d\ x} \det A =\sum_{j,k=1}^n \frac{\partial \det A}{ \partial a_{jk}} a_{jk}^{\prime}(x) = \sum_{j,k=1}^n A_{jk} a_{jk}^{\prime}(x) \, . $$ На основании свойства следа и определения взаимной матрицы, получаем утверждение теоремы. ♦

Теорема. Если матрица $ \mathbf{M}(x) $ удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению (см. ☞ МАТРИЦАНТ ):

$$ \frac{d \mathbf{M}(x)}{d\ x} = A(x) \mathbf{M}(x) \ , $$ где $ A(x) $ — матрица того же порядка, что и $ \mathbf{M}(x) $, то справедливо тождество Абеля- Якоби-Лиувилля: $$ \frac{d (\det \mathbf{M}(x)) }{d\ x} = \operatorname{Sp} \left( A \right) \det \mathbf{M}(x) \ . $$

Градиент определителя, как полинома от элементов матрицы ☞ ЗДЕСЬ.

рассматривается ☞ ЗДЕСЬ.

☞ ЗДЕСЬ.

[1]. Нетто Е. Начала теорiи определителей. Mathesis. Одесса. 1912

[2]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[3]. Turnbull H.W. The Theory of Determinants, Matrices and Invariants. Blackie & Sons Ltd. 1929