В настоящем пункте $ A_{} $ означает квадратную матрицу порядка $ n_{} $ с элементами из $ \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $, а $ f(\lambda) $ — характеристический полином этой матрицы, т.е. $$ f(\lambda)= \det (A-\lambda E) = a_0 \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \quad npu \quad a_0=(-1)^n \ . $$

Теорема [Гамильтон, Кэли]. Результатом подстановки в характеристический полином $ \det (A_{}-\lambda E) $ самой матрицы $ A_{} $ будет нулевая матрица:

$$ \det (A-\lambda E)= (-1)^n \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \ \Rightarrow \ $$ $$ \ \Rightarrow \ (-1)^n A^n +a_1 A^{n-1}+\dots+a_{n-1}A+ a_n E = {\mathbb O}_{n\times n} \ . $$

Доказательство. Рассмотрим характеристическую матрицу $ A-\lambda E $ и вычислим ей взаимную (союзную). Для $ n_{}=3 $: $$ B(\lambda)= \operatorname{adj}(A-\lambda E)=\left( \begin{array}{ccc} \left|\begin{array}{cc} a_{22}-\lambda & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{22}-\lambda & a_{23} \end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}-\lambda \end{array} \right| & \left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}-\lambda \end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{13} \\ a_{21}& a_{23} \end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc} a_{21}& a_{22}-\lambda \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{array}\right| \end{array} \right) \ . $$ Поскольку элементами матрицы $ B(\lambda) $ являются полиномы степеней $ \le n-1 $, то $ B(\lambda) $ можно представить в виде матричного полинома $$B(\lambda)=B_0 + \lambda B_1+\dots+\lambda^{n-1}B_{n-1} \ .$$ Так, например, для случая $ n_{}=3 $ имеем: $$ B(\lambda)= \left( \begin{array}{ccc} a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} & a_{32}a_{13}-a_{12}a_{33} & a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22} \\ a_{31}a_{23}-a_{21}a_{33} & a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31} & a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\ a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} & a_{31}a_{12}-a_{11}a_{32} & a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{array} \right) + $$ $$ +\lambda \left( \begin{array}{ccc} -a_{22}-a_{33} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & -a_{11}-a_{33} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & - a_{11} - a_{22} \end{array} \right) +\lambda^2 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \ . $$ На основании известных свойств взаимной (союзной) матрицы имеем: $$ B(\lambda) (A-\lambda E) \equiv E \det (A-\lambda E)=E f(\lambda) \ , \quad (A-\lambda E) B(\lambda) \equiv E f(\lambda) \ . $$ Расписываем первое из этих тождеств: $$B_0A+\lambda (B_1A-B_0)+\dots+\lambda^{n-1} (B_{n-1}A-B_{n-2})- \lambda^{n}B_{n-1}= $$ $$\qquad =E(a_n+a_{n-1}\lambda+\dots+a_1\lambda^{n-1}+a_0\lambda^n) $$ и получаем уравнения для определения неопределенных матриц $ B_0,B_1,\dots,B_{n-1} $.

и просуммируем $$\mathbb O_{n\times n} = Ea_n+Aa_{n-1}+A^2a_{n-2}+\dots+A^n a_0 \ .$$ ♦

Если разложение характеристического полинома на линейные множители над $ \mathbb C_{} $ имеет вид:

$$\det (A_{}-\lambda E)=(-1)^n (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\times \dots \times (\lambda-\lambda_n) $$ то $$ (A-\lambda_1 E)(A-\lambda_2 E)\times \dots \times (A-\lambda_n E)=\mathbb O_{n\times n} $$ (порядок следования сомножителей несуществен).

Матрицу, взаимную матрице $ A_{}-\lambda E $, можно представить в виде

$$ \operatorname{adj}(A-\lambda E) \equiv $$ $$ \equiv- \left[a_0A^{n-1}+(a_0\lambda+a_1)A^{n-2}+(a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2)A^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda^{n-1}+a_1\lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1})E \right] \, . $$ Выражение в правой части равенства представляет собой результат формальной подстановки $ x = A $ в частное от деления характеристического полинома $ f(x)=\det (A-x E) $ на $ x - \lambda $ (см. следствие к теореме ☞ ЗДЕСЬ). Непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождества $$ (A-\lambda E) \operatorname{adj}(A-\lambda E) \equiv E f(\lambda) \, . $$ Эта матрица может быть использована для поиска собственных векторов матрицы $ A_{} $.

Пример. Для матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{rrrr} -334 & 532 & -168 &-322\\ -194 & 310 &-96 &-185 \\ 248 & -392 & 124 & 231\\ -90 & 140 & -48 & -87 \end{array} \right) $$ характеристический полином: $$ \det (A-\lambda E) \equiv (\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda-9) \, . $$ Матрица $$ (A-2E)(A-4E)(A-9E)= \left( \begin{array}{rrrr} 5544 & -12936 & -7392 &-12936 \\ 3168 & -7392 & -4224 &-7392 \\ -3960 & 9240 & 5280 & 9240 \\ 1584 & -3696 & -2112 & -3696 \end{array} \right) $$ — ранга $ 1 $, и любой ее столбец является собственным вектором матрицы $ A $, соответствующим собственному числу $ \lambda=-2 $.

Матрица $$ (A-4E)(A-9E)= \left( \begin{array}{rrrr} 5544 & -12936 & -7392 & -12936 \\ 3168 & -7392 & -4224 & -7392\\ -3960 & 9240 & 5280 & 9240\\ 1584 & -3696 & -2112 & -3696 \end{array} \right) $$ — ранга $ 2 $, и любой ее столбец принадлежит линейной оболочке $ \mathcal L(\mathfrak X_1,\mathfrak X_2) $, где $\mathfrak X_1 $ — собственный вектор, принадлежащий $ \lambda_1=-2 $, а $\mathfrak X_2 $ — собственный вектор, принадлежащий $ \lambda_2=2 $. ♦

☞ ЗДЕСЬ

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.