Полиномы нескольких переменных рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.

Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z,\mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $.

Функция вида $$ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n = \sum_{j=0}^n a_jx^{n-j} $$ при $ n_{} \in \{0,1,\dots \} $ и $ \{a_{0},\dots,a_n\}\subset \mathbb A $ относительно переменной $ x_{} $ называется полиномом¹⁾ или многочленом от указанной переменной над множеством $ \mathbb A_{} $. Число $ a_{j} $ называется коэффициентом²⁾ полинома (при $ (n-j)_{} $-й степени переменной), выражение $ a_{j}x^{n-j} $ — членом (одночленом) полинома, $ a_{n} $ — свободным членом, $ x_{}^{n-j} $ — мономом.

Пример. Выражения

$$ x^{2}+2\,x-679,\ x^{2}+\sqrt{2}x-\pi , \ {\mathbf i} \, x^{3}- 2\,x +\sqrt{3} $$ являются полиномами; а $$ x^{-2}+3\, x +x^{2} ,\ x^{x}, \ \sum_{j=0}^{\infty} x^{j}/j_{} $$ полиномами не являются.

Если $ a_{0}\ne 0 $, то член $ a_0x^{n} $ называется ведущим членом, а $ a_{0} $ — старшим коэффициентом полинома. При этом число $ n_{} $ называется степенью полинома и обозначается³⁾ $ \deg f_{}(x) $. Полином первой степени называется линейным полиномом. Полином, все коэффициенты которого, кроме, возможно, $ a_{n} $, равны нулю, называется константой⁴⁾; будем обозначать его const. Очевидно, что степень константы равна нулю; исключительным для этого утверждения является случай когда константа является нулем. Если все коэффициенты полинома равны нулю, то такой полином называется (тождественно) нулевым. В этом случае его степень не определяется.

На переменную $ x_{} $ мы пока не накладываем ни какого ограничения: она может принимать значения из любого указанного выше множества — не обязательно из того, которому принадлежат коэффициенты полинома. Обозначим область определения полинома через $ \mathbb B_{} $.

Значением полинома при (или в точке) $ c\in \mathbb B_{} $ называется число $$ f(c) = a_0c^n+a_1c^{n-1}+\dots+a_n \ . $$

Два полинома $$ f(x)=a_0x^n+\dots+a_n \ u \ g(x)=b_0x^m+\dots+b_m $$ с коэффициентами из $ \mathbb A $ называются (тождественно) равными: $$ f(x)\equiv g(x) $$ если совпадают множества их членов; или, что то же, равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Это определение отличается от привычного определения равенства двух функций: две функции $ F_{}(x) $ и $ G(x)_{} $ называются равными на множестве $ \mathbb B_{} $ если совпадают их значения при любом $ x \in \mathbb B_{} $. На самом деле, для случая полиномов эти два определения — алгебраическое и функциональное — эквивалентны.

Теорема. $ f_{}(x)\equiv g(x) $ тогда и только тогда, когда $ f(c)=g(c)_{} $ для $ \forall c\in \mathbb B_{} $.

Одним из следствий теоремы является тот факт, что для полинома совершенно не важен порядок следования его членов; в частности, наряду с записью полинома по убывающим степеням переменной, мы имеем право записывать его и по возрастающим: $ f_{}(x)= \sum_{j=0}^n a_{n-j}x^{j} $. Форма полинома, в которой его разложение записывается по убывающим степеням переменной, называется его канонической формой. Кроме того, теорема дает нам право на операцию, называемую приведением подобных членов: $$ ax^{j}+bx^j \equiv (a+b)x^j, \quad ax^j\cdot bx^k=ab x^{j+k} \ .$$ Имея в виду этот факт, определим теперь две основные операции для полиномов: сложение и умножение.

Суммой двух полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ называется полином, составленный как сумма всех одночленов, входящих в состав $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $: $$ f(x) + g(x) = $$ $$ =(a_n+b_m) + (a_{n-1}+b_{m-1})x+\dots + \left\{\begin{array}{ll} (a_0+b_0)x^n & \ \mbox{при} \ m=n, \\ a_0x^n & \mbox{при} \ m<n, \\ b_0x^m & \mbox{при}\ m>n. \end{array} \right. $$

Теорема. $ \deg (f+g_{})\le \max (\deg f, \deg g) $.

Произведением двух полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ называется полином, составленный как сумма всевозможных попарных произведений членов первого полинома на члены второго: $$ \begin{matrix} f(x)g(x) &=& a_0b_0x^{n+m}+(a_1b_0+a_0b_1)x^{n+m-1} +(a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2)x^{n+m-2}+ \\ & &+\dots + (a_0b_k+a_1b_{k-1}+\dots+a_kb_0)x^{n+m-k}+ \dots + a_nb_m \ . \end{matrix} $$ (В записи коэффициента при $ x^{n+m-k} $ мы полагаем $ a_{j}= 0 $ при $ j>n_{} $ и $ b_{\ell} = 0 $ при $ \ell>m_{} $).

Теорема. Если $ f_{}(x) \not\equiv 0 $ и $ g_{}(x) \not\equiv 0 $, то

$$ \deg (f\cdot g_{})= \deg f + \deg g_{} \, . $$

Фактическое выполнение операции перемножения полиномов возможно по схеме, напоминающей алгоритм умножения целых чисел «столбиком»: это позволяет сэкономить время на выписывание степеней переменной.

Пример. Перемножить полиномы

$$ x^{5}+x^3-2\,x^2+3 \quad \mbox{ и } \quad 2\, x^{4}-3\,x^3 +4\,x^2-1 \, . $$

Решение. Представим полиномы наборами их коэффициентов, расположив один из них горизонтально, а второй — вертикально. Умножение полинома $ f_{}(x) $ на $ b_{j}x^{n-j} $ сводится к умножению набора $ (a_{0},\dots,a_n) $ на $ b_{j} $; результат следующего умножения — на $ b_{j+1}x^{n-j-1} $ — получается аналогичным образом, но записывается со сдвигом на одну позицию вправо. Получившиеся ряды суммируются по столбцам. $$ \begin{array}{r|rrrrrrrrrr} &1 & 0 & 1 & -2& 0 & 3 \\ \hline 2 & 2 & 0 & 2 & -4 & 0 & 6 \\ -3& & -3 & 0 & -3 & 6 & 0 & -9 \\ 4 & & & 4 & 0 & 4 & -8 & 0 & 12 \\ 0 & & & \\ -1 &&&&& -1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -3 \\ \hline& 2 & -3 & 6 & -7 & 9 & -2 & -10 & 14 & 0 & -3 \end{array} $$ (В отличие от перемножения чисел здесь результаты сложения в столбиках не переносятся в следующий разряд.)

Ответ. $ 2\,x^{9}-3\,x^8+6\,x^7-7\,x^6+9\,x^5-2\,x^4-10\,x^3+14\,x^2 - 3 $.

Множество всех полиномов от переменной $ x_{} $ с коэффициентами из $ \mathbb A_{} $ будем обозначать $ \mathbb A_{} [x] $.

Способы более эффективного умножения полиномов излагаются ☞ ЗДЕСЬ

Задача. Вычислить значение полинома в точке $ c $.

Схема вычисления, заложенная в самом определении, «стóит» $ 3n_{}-1 $ операции: $$ \begin{array}{rrrrr} & &c^2=c\times c, & \dots, & c^n=c^{n-1}\times c \ , \\ &a_{n-1} \times c, & a_{n-2} \times c^2, & \dots, & a_0 \times c^n \ ,\\ a_n & +a_{n-1} \times c & + a_{n-2} \times c^2 & + \dots & + a_0 \times c^n, \end{array} $$ т.е. $ 2n_{}-1 $ операции умножения и $ n_{} $ операций сложения. Организуем теперь вычисления по-другому: $$ \begin{matrix} f(c)&=&a_n+a_{n-1}c+a_{n-2}c^2+\dots +a_1c^{n-1}+a_0c^n = \\ &=&a_n+c\left(a_{n-1}+a_{n-2}c+ \dots + a_0c^{n-1} \right) = \\ &= &a_n+c\left(a_{n-1}+c\left(a_{n-2}+\dots + a_0c^{n-2} \right) \right) = \\ &=& \dots = \\ &=&a_n+c\left(a_{n-1}+c\left(a_{n-2}+\dots + c(a_1+ a_0c)\dots \right) \right) . \end{matrix} $$ Начинаем вычислять с самой внутренней скобки: $${\mathfrak b}_1= a_1+ a_0c,\ {\mathfrak b}_2= a_2+ {\mathfrak b}_1 c,\dots, {\mathfrak b}_{n-1} = a_{n-1} +{\mathfrak b}_{n-2}c,\, {\mathfrak b}_{n} = a_{n} +{\mathfrak b}_{n-1}c=f(c) $$ Вычисление каждой величины $ {\mathfrak b}_{k} $ «стоит» $ 2_{} $ операции — одного сложения и одного умножения (при условии, что предварительно вычислено $ {\mathfrak b}_{k-1}^{} $). Приведем компактную запись алгоритма: $$ {\mathfrak b}_k = a_k + {\mathfrak b}_{k-1}c \quad npu \quad {\mathfrak b}_0 = a_0 \quad u \quad k\in \{1,\dots,n \} \ . $$ «Стоимость» вычисления значения $ f_{}(c) $ по этой схеме Хорнера составляет $ 2n_{} $ операций. Налицо экономия по сравнению с прямым способом вычисления $ f_{}(c) $.

Вычисления удобно производить с помощью таблицы, стартовое состояние которой следующее: $$ \begin{array}{c|ccccccc} & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\ \hline c & a_0 \end{array} $$ Будем отсчитывать строки сверху вниз, начиная от горизонтальной черты, т.е. нулевой строкой будем считать строку из коэффициентов полинома. Вычисление значения $ {\mathfrak b}_{1} $ в первой строке производится по схеме: предыдущее число умножается на $ c_{} $ и складывается с верхним, т.е. $$ \begin{array}{c|ccccccc} & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\ \hline c & a_0 & \underbrace{a_1+ca_0}_{{\mathfrak b}_1} \end{array} $$ Далее вычисления идут по тому же правилу: $$ \begin{array}{c|ccccccc} & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\ \hline c & a_0 &{\mathfrak b}_1&\underbrace{a_2+c{\mathfrak b}_1}_{{\mathfrak b}_2} \end{array} $$ и т.д. Величина, получившаяся в последнем столбце, и будет искомым значением $ f_{}(c) $: $$ \begin{array}{c|ccccccc} & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\ \hline c & a_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}& \underbrace{a_n+c{\mathfrak b}_{n-1}}_{{\mathfrak b}_n=f(c)} \end{array} $$

Пример. Вычислить значение полинома $ x^{5}-3\, x +1 $ в точке $ 2+ \mathbf i_{} $.

Решение. $$ \begin{array}{c|cccccc} & 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 \\ \hline 2+ \mathbf i & 1& 2+\mathbf i &3+4 \mathbf i &2+11 \mathbf i & -10+24\mathbf i& -43+38\mathbf i \end{array} $$

Ответ. $ -43+38\mathbf i_{} $.

Выясним теперь смысл коэффициентов $ {\mathfrak b}_{1},\dots, {\mathfrak b}_{n-1} $ первой строки схемы Хорнера.

Теорема. Пусть $ c\in \mathbb B_{} $ и $ \mathbb B\subset \mathbb A_{} $. Полином $ f_{}(x)\in \mathbb A[x] $ допускает единственное представление в виде:

$$ f(x)\equiv (x-c)q(x)+r \ npu \ r=const\in \mathbb A,\ q(x)\in \mathbb A[x], \deg q = \deg f - 1 \ . $$

Доказательство. Будем искать константу $ r_{} $ и полином $ q_{}(x) $ методом неопределенных коэффициентов: $ q(x)= q_{0}x^{n-1}+q_1x^{n-2}+ \dots + q_{n-1} $. Подставим его в правую часть доказываемого тождества, приведем подобные и приравняем коэффициенты полученного полинома коэффициентам полинома $ f_{}(x) $. Получим линейные уравнения, из которых последовательно определяем $ q_{0},q_1, \dots, q_{n-1} $ : $$ \begin{array}{l|lll} x^n& a_0&=q_0, & \\ x^{n-1}& a_1&=q_1-q_0c &\Rightarrow q_1=a_1+q_0c, \\ x^{n-2}& a_2&=q_2-q_1c &\Rightarrow q_2=a_2+q_1c, \\ \vdots & & \dots & \\ x & a_{n-1}&=q_{n-1}-q_{n-2}c &\Rightarrow q_{n-1}=a_{n-1}+q_{n-2}c,\\ 1 & a_n&=\qquad -q_{n-1}c+r & \Rightarrow r=a_n+q_{n-1}c. \end{array} $$ Видим, что формулы, определяющие коэффициенты $ q_{k} $, полностью совпадают с формулами, определяющими элементы первой строки схемы Хорнера, т.е. $ q_0={\mathfrak b}_{0},\dots,q_{n-1}={\mathfrak b}_{n-1} $. Но тогда $ r=a_n+q_{n-1}c=a_{n}+{\mathfrak b}_{n-1}c={\mathfrak b}_{n}=f(c) $. ♦

Итак, имеем: $$q(x)={\mathfrak b}_0x^{n-1}+\dots+{\mathfrak b}_{n-1},\ r={\mathfrak b}_{n} \ , $$ при этом все коэффициенты вычисляются по схеме Хорнера, а старший коэффициент полинома $ q_{}(x) $ совпадает со старшим коэффициентом $ f_{}(x) $. Так, для полинома приведенного выше примера имеет место тождество: $$x^5-3\, x +1 \equiv $$ $$ \equiv (x-2-\mathbf i)\left(x^4+ (2+\mathbf i)x^3+(3+4\,\mathbf i)x^2+ (2+11\,\mathbf i)x -10+24\,\mathbf i \right) -43+38 \mathbf i \ . $$

Если значение полинома $ f_{}(x) $ при $ x=c\in \mathbb B_{} $ равно нулю, то число $ c_{} $ называется корнем полинома $ f_{}(x) $. Иными словами, корень полинома $ f_{}(x) $ — это решение уравнения $ f_{}(x)=0 $, принадлежащее множеству $ \mathbb B_{} $.

Уравнение $ f_{}=0 $, в левой части которого стоит полином одной или нескольких переменных, называется алгебраическим.

Задача. Выяснить количество корней полинома $ f_{}(x)\in \mathbb A[x] $, принадлежащих множеству $ \mathbb B_{} $, и вычислить их.

Решить алгебраическое уравнение $ f_{}(x)=0 $ над множеством $ \mathbb B $ означает найти все корни $ f_{}(x) $, принадлежащие $ \mathbb B_{} $.

На основании теоремы из предыдущего пункта имеет место следующая

Теорема [Безу]. Пусть $ \mathbb B \subset \mathbb A_{} $ и $ c\in \mathbb B_{} $ — корень полинома $ f_{}(x), \deg f\ge 1 $. Тогда полином $ f_{}(x)\in \mathbb A [x] $ допускает представление в виде произведения:

$$ f(x)\equiv (x-c)f_1(x) \ , $$ где полином $ f_{1}(x)\in \mathbb A [x], \deg f_1 = \deg f - 1 $ определяется единственным образом.

Итак, теорема Безу утверждает, что в случае существования корня полинома, возможно разложение этого полинома в произведение двух полиномов — одного первой степени и одного полинома степени, на единицу меньшей исходного. Тем самым, задача о нахождении корней полинома $ f_{}(x) $ сведется к аналогичной задаче для полинома $ f_{1}(x) $; вторая задача может оказаться более простой за счет понижения степени.

Фактическое нахождение полинома $ f_{1}(x) $ возможно произвести с помощью схемы Хорнера.

Пример. Решить уравнение

$$ x^{3}+3 \mathbf i\, x^2-3(1+2 \mathbf i)x+10-5 \mathbf i =0 $$ над множеством $ \mathbb C_{} $, если известно, что число $ (-1-2 \mathbf i)_{} $ — одно из его решений.

Решение. Строим схему Хорнера: $$ \begin{array}{c|cccc} & 1& 3\mathbf i & -3(1+2 \mathbf i) & 10-5 \mathbf i \\ \hline -1-2 \mathbf i & 1& -1+ \mathbf i & -5 \mathbf i & 0 \end{array} $$ Видим, что число $ (-1-2 \mathbf i)_{} $ действительно является корнем полинома, и, следовательно, последний раскладывается в произведение двух полиномов: линейного и квадратичного. Коэффициенты квадратичного полинома выбираются из той же схемы: $$ (x+1+2 \mathbf i )(x^2 + (-1+ \mathbf i )x- 5 \mathbf i) \ . $$ Квадратное уравнение над $ \mathbb C_{} $ можно решить (см. ☞ ЗДЕСЬ ), его корни: $ (-1-2 \mathbf i)_{} $ и $ 2+\mathbf i_{} $.

Ответ. $ (-1-2 \mathbf i), 2+ \mathbf i_{} $.

Если полином $ f_{}(x) $ раскладывается в произведение $ f_{}(x)\equiv (x-c)f_1(x) $, то полином $ (x-c) $ называется линейным множителем для $ f_{}(x) $ над множеством $ \mathbb B_{} $.

Для того, чтобы $ (x-c)_{} $ был линейным множителем для $ f_{}(x) $ необходимо и достаточно чтобы число $ c_{} $ было корнем $ f_{}(x) $.

Примеры показывают, что не для всякого полинома и множества $ \mathbb B_{} $ корни существуют. Очевидно не имеет корней полином нулевой степени (константа, отличная от нуля); любой полином первой степени над $ \mathbb A_{} $ имеет единственный корень, принадлежащий $ \mathbb A_{} $. Квадратный полином $ x^{2}+1 $ не имеет вещественных корней, но имеет мнимые.

Теорема. Любой полином с комплексными коэффициентами, степень которого больше нуля, имеет хотя бы один корень, в общем случае, комплексный.

Эта теорема гарантирует существование корня $ \lambda_{1}\in \mathbb C $. На основании теоремы Безу, можно утверждать, что $ f_{}(x) $ допускает представление $$ f(x)\equiv (x-\lambda_1)f_1(x) \quad npu \quad f_1(x)\in \mathbb C [x],\ \deg f_1(x)=\deg f(x) -1 \ .$$ Если $ \deg f_{1}(x) \ge 1 $, то, по той же теореме, полином $ f_{1}(x) $ также должен обладать корнем, который мы обозначим⁵⁾ $ \lambda_{2} $; теорема Безу гарантирует тогда представление $$ f(x)\equiv (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)f_2(x) \quad npu \quad f_2(x)\in \mathbb C [x],\ \deg f_2(x)=\deg f(x) -2 \ .$$ Продолжая процесс далее, мы за $ n_{} $ шагов придем к представлению $$ f(x)\equiv (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\times \dots \times (x-\lambda_n)f_n(x) \quad npu \quad f_n(x)\in \mathbb C[x],\ \deg f_n(x)=0 \ ,$$ т.е. полином $ f_{n}(x)^{} $ представляет собой константу. На основании условия тождественного равенства полиномов утверждаем, что $ f_{n}(x) \equiv a_0 $. Таким образом приходим к следующей альтернативной версии основной теоремы высшей алгебры.

Теорема. Для произвольного полинома $ f_{}(x) $ степени $ n_{}\ge 1 $ существует его представление в виде произведения линейных множителей

$$ f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\times \dots \times (x-\lambda_n) \ ; $$ это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Как уже отмечалось в доказательстве теоремы, в этом представлении могут встречаться одинаковые линейные сомножители. Собрав их вместе, получим иной вид этого представления $$ f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} \ , npu\ {\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n $$ и все числа $ \lambda_{1},\dots,\lambda_{\mathfrak r} $ теперь различны. Эта формула называется формулой разложения полинома $ f_{}(x) $ на линейные сомножители или линейным представлением полинома $ f_{}(x) $; при этом число $ {\mathfrak m}_{j}^{}\in \mathbb N $ называется кратностью линейного сомножителя $ x-\lambda_{j} $ или кратностью корня $ \lambda_{j} $ в полиноме $ f_{}(x) $. Корень $ \lambda_{j} $ называется простым, если $ {\mathfrak m}_{j}=1_{} $ и кратным кратности $ {\mathfrak m}_{j}^{} $ если $ {\mathfrak m}_{j}>1_{} $ (двойным или двукратным, если $ {\mathfrak m}_{j}=2_{} $, тройным или трехкратным если $ {\mathfrak m}_{j}=3_{} $ и т.д.)

Пример. Найти линейное представление полинома

$$ f(x)=x^{6}-2\, x^3+1 \, .$$

Решение. Линейное представление легко получить если сначала заметить, что $ f(x)\equiv (x^3-1)^{2} $, а затем использовать выражения для корней кубических из единицы: $$f(x)\equiv (x-1)^2 \left(x- \frac{-1+ \mathbf i \sqrt{3}}{2} \right)^2 \left(x- \frac{-1 - \mathbf i \sqrt{3}}{2} \right)^2 \ . $$ Все корни полинома имеют вторую кратность. ♦

Выведение условия наличия кратного корня (в терминах коэффициентов полинома) ☞ ЗДЕСЬ. При известном корне, нахождение его кратности ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема. Два полинома, степени которых не превосходят $ n_{} $, равны тождественно если они имеют равные значения более чем при $ n_{} $ различных значениях переменной.

Доказательство необходимости очевидно. Если полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ удовлетворяют условию теоремы, то полином $ f(x)-g_{}(x) $ должен иметь более, чем $ n_{} $ корней, что, ввиду основной теоремы высшей алгебры, возможно лишь если он тождественно нулевой. ♦

Теорема утверждает, что полином $ f_{}(x) $ степени, $ \le n_{} $, однозначно определяется своими значениями при более чем $ n_{} $ различных значениях переменной. Можно ли эти значения задавать произвольно? Оказывается задание $ (n+1)_{} $-й пары $ (x_{1},y_1),\dots,(x_{n+1},y_{n+1}) $ при всех различных $ x_{1},\dots,x_{n+1} $ позволяет однозначно определить полином $ f_{}(x) $ такой, что $ f(x_{1})=y_1,\dots,f(x_{n+1})=y_{n+1} $ и $ \deg f_{} \le n $. Практические способы решения этой задачи обсуждаются в разделе ☟

Раздел находится ☞ ЗДЕСЬ.

Разложение полинома $ f_{}(x) $ на линейные множители дает интересные соотношения между корнями полинома и его коэффициентами. Сначала выведем их для малых степеней. Для $ n_{}=2 $: $$a_0x^2+a_1x+a_2\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\equiv a_0x^2-a_0(\lambda_1+\lambda_2)x+a_0\lambda_1\lambda_2 \ \Rightarrow \ $$ $$ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{ccr} \lambda_1+\lambda_2&=&-a_1/a_0, \\ \lambda_1\lambda_2&=&a_2/a_0, \end{array} \right. $$ т.е. получили формулы известные из школьного курса алгебры. Далее, для $ n_{}=3 $: $$a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)\equiv $$ $$\equiv a_0x^3-a_0(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)x^2+a_0(\lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)x-a_0\lambda_1\lambda_2\lambda_3 \ \Rightarrow \ $$ $$ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{ccr} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=&-a_1/a_0, \\ \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3&=&a_2/a_0,\\ \lambda_1\lambda_2\lambda_3&=&-a_3/a_0. \end{array} \right. $$

Теорема. Для корней $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ полинома

$$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n,\, a_0\ne 0 $$ справедливы формулы Виета $$ \sum_{1 \le j\le n} \lambda_j = \lambda_1+ \dots+ \lambda_n= -\frac{a_1}{a_0}, $$ $$ \sum_{1\le j_1<j_2\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2}= \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 +\dots + \lambda_2 \lambda_3 + \dots+ \lambda_{n-1}\lambda_n= \ \frac{a_2}{a_0}, $$ $$ \sum_{1\le j_1<j_2<j_3\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2} \lambda_{j_3}= \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3+ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 + \dots+ \lambda_{n-2} \lambda_{n-1} \lambda_n = -\frac{a_3}{a_0}, $$ $$ \dots $$ $$ \lambda_{1} \lambda_{2}\times \dots \times\lambda_{n-1} + \lambda_{1} \lambda_{2} \times \dots \times \lambda_{n-2} \lambda_n + \dots + \lambda_{2} \lambda_{3}\times \dots \times \lambda_n = (-1)^{n-1} \frac{a_{n-1}}{a_0}, $$ $$ \lambda_{1} \lambda_{2}\times \dots \times \lambda_{n}= (-1)^{n} \frac{a_{n}}{a_0} .$$ Здесь в левой части $ k_{} $-й формулы стоит сумма всевозможных произведений из $ k_{} $ чисел, выбранных из $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ (корни учитываются в соответствии с их кратностями); в правой части формулы стоит $ (-1)^ka_{k}/a_0 $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Биографические заметки о Виете ☞ ЗДЕСЬ

Пример. Найти все корни полинома $ 3\,x^3-16\,x^2+23\,x-6 $, если известно, что произведение двух из них равно $ 1_{} $.

Решение. Имеем: $$ \left\{ \begin{array}{ccl} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=&16/3, \\ \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3 &=&23/3,\\ \lambda_1\lambda_2\lambda_3&=&6/3=2. \end{array} \right. $$ Вдобавок к этим уравнениям, мы должны записать дополнительное условие: $$\lambda_1 \lambda_2=1 \ .$$ Из третьего уравнения системы получаем тогда $ \lambda_3=2 $. Подставив его в два оставшихся, придем к двум идентичным: $$\lambda_1 + \lambda_2=10/3 \ .$$ Теперь для нахождения неизвестных $ \lambda_{1} $ и $ \lambda_{2} $ можем воспользоваться формулами Виета «в обратном порядке», составив квадратный полином, имеющий их корнями: $$t^2-10/3\,t+1 \ .$$

Ответ. $ 2,\,3,\, 1/3 $.

Можно ли использовать формулы Виета для решения уравнения ?

Ответ ☞ ЗДЕСЬ.

Обдумаем еще раз результаты основной теоремы высшей алгебры и формул Виета. С одной стороны, задав коэффициенты $ a_{0},a_1,\dots,a_n $ мы однозначно определяем набор из $ n_{} $ комплексных чисел $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ — корней этого полинома. С другой стороны, задав произвольным образом набор корней $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $, по формулам Виета однозначно определим величины $ a_1/a_0,\dots,a_n/a_0 $. Для простоты, рассмотрим подмножество полиномов степени $ n_{} $, имеющих старший коэффициент равным $ 1_{} $. Получаем тогда взаимно-однозначное соответствие: $$ (a_1,\dots,a_n) \leftrightarrow (\lambda_1,\dots,\lambda_n) \ . $$ Итак, каждый корень $ \lambda_{j} $ полинома является какой-то функцией его коэффициентов $ a_1,\dots,a_{n} $, т.е. формально говоря, функцией от многих переменных. Относительно этой функции мы пока ничего сказать не можем; более того, как мы узнаем НИЖЕ, для степеней полинома бóльших $ 4_{} $ не существует «хороших» общих формул, выражающих корни полинома через его коэффициенты. Несмотря на это, формулы Виета подтверждают, что некоторые комбинации этих неизвестных нам функций оказываются равными коэффициентам полинома. Какова основная отличительная особенность этих комбинаций?

Функция $ \Phi(x_1,\dots,x_n) $ называется симметрической функцией своих переменных, если ее значение не меняется ни при какой перестановке этих переменных: $$\Phi(x_1,\dots,x_n) \equiv \Phi(x_{j_1},\dots,x_{j_n}) $$ при всех различных $ j_1,\dots, j_n \in \{1,\dots,n\} $.

Пример. Функции

$$ \sqrt{1+x_1x_2x_3} , \ \frac{x_1x_2}{x_3}+\frac{x_1x_3}{x_2}+\frac{x_2x_3}{x_1} $$ являются симметрическими функциями переменных $ x_1,x_2,x_3 $, а функция $$ x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3 $$ симметрической функцией не является, поскольку ее значения меняются при перестанове $ (x_1,x_2,x_3) \leftrightarrow (x_3,x_2,x_1) $.

В левых частях формул Виета как раз и стоят симметрические полиномы относительно $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $. Оказывается результат теоремы допускает следующее обобщение.

Теорема [Гаусс]. Значение любого симметрического полинома $ \Phi(x_1,\dots,x_n) $ на корнях $ \lambda_1,\dots,\lambda_n $ полинома $ x^n+a_1x^{n-1}+ \dots+a_n $ является полиномиальной функцией от $ a_{1},\dots,a_n $: $$ \Phi(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \equiv {\mathfrak F}(a_1,\dots,a_n) \ . $$

Пример. Пусть $ \lambda_{1} $ и $ \lambda_{2} $ означают корни полинома $ x^2+a_1x+a_2 $. Выразить

$$\lambda_1^2+\lambda_2^2-3\,\lambda_1^2\lambda_2-3\,\lambda_1\lambda_2^2$$ через коэффициенты полинома.

Решение. Поскольку выражения для корней квадратного уравнения нам известны: $$ \lambda_1= \frac{-a_1+\sqrt{a_1^2-4\,a_2}}{2} \quad u \quad \lambda_2= \frac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4\,a_2}}{2} \ , $$ то непосредственной подстановкой их в заданный полином, получаем $$ a_1^2-2\,a_2+3\,a_1a_2 \ . $$ ♦

Пример. Пусть $ \lambda_1,\, \lambda_2,\, \lambda_3 $ означают корни полинома $ x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $. Выразить

$$\lambda_1^2\lambda_2+\lambda_1^2\lambda_3+\lambda_1\lambda_2^2+ \lambda_1\lambda_3^2+\lambda_2^2\lambda_3+\lambda_2\lambda_3^2 -\lambda_1^2-\lambda_2^2-\lambda_3^2 $$ через коэффициенты полинома.

Решение. Выделим в требуемом выражении комбинации корней, стоящие в левых частях формул Виета. Первые $ 6_{} $ слагаемых можно представить в виде $$(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3) (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)-3\lambda_1\lambda_2\lambda_3 \ , $$ а $$\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2= \left(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \right)^2-2\, (\lambda_1\lambda_2+ \lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3) \ .$$ Далее применяем формулы Виета.

Ответ. $ 3\,a_3-a_1a_2-a_1^2+2\, a_2 $.

Существуют общие алгоритмы нахождения полинома $ {\mathfrak F} $ по заданному полиному $ \Phi $: см. [3], [4]. Однако в своей практике я встречал необходимость в подобном представлении лишь для некоторых классов полиномов $ \Phi_{} $; сейчас их и рассмотрим.

Для полинома $ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, (a_0\ne 0) $ его $ k_{} $-й суммой Ньютона называется сумма $ k_{} $-х степеней его корней: $$ s_k=\lambda_1^k + \dots + \lambda_n^k \ . $$ При этом обычно считают $ k_{} \in {\mathbb N} $ (хотя формально можно определить суммы Ньютона и для отрицательных индексов $ k_{} $ при условии $ a_{n} \ne 0 $). Для однообразия полагают также $ s_{0}=n $.

Теорема. Суммы Ньютона выражаются рационально через коэффициенты полинома $ f_{}(x) $ посредством следующих рекуррентных формул Ньютона:

$$s_0=n,\ s_1=-a_1/a_0,\ $$ $$ s_k=\left\{\begin{array}{lr} -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1+a_kk)/a_0, &npu \ k\le n ;\\ -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_ns_{k-n})/a_0 & npu \ k > n. \end{array} \right. $$

Пример.

$$ s_2=(a_1^2-2\, a_0a_2) \big/ a_0^2 \ , $$ $$ s_3=-(a_1s_2+a_2s_1+3\,a_3)\big/ a_0= $$ $$ =-\left(a_1 (a_1^2-2\, a_0a_2) \big/ a_0^2 +a_2 (-a_1 \big/ a_0)+3\,a_3 \right) \big/ a_0= $$ $$ =\left(-a_1^3+3\,a_0a_1a_2-3\,a_0^2a_3 \right) \big/ a_0^3 \ . $$ ♦

Подробнее о суммах Ньютона ☞ ЗДЕСЬ.

Пусть $ g(x)=b_0x^m+\dots + b_{m} $ — произвольный полином из $ \mathbb A_{} [x] $. Тогда выражение $$ g(\lambda_1) \times \dots \times g(\lambda_n) $$ является симметрическим полиномом от корней $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ полинома $ f_{}(x) $. По теореме Гаусса, оно должно рационально выражаться через коэффициенты $ a_{0},\dots,a_n $. С другой стороны, очевидно, это выражение обращается в нуль тогда и только тогда, когда хотя бы один сомножитель обратится в нуль, т.е. будет существовать общий корень полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $. Выражение $$ a_0^m \prod_{j=1}^n g(\lambda_j) $$ называется результантом полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $.

Способы вычисления результанта, его свойства и применения ☞ ЗДЕСЬ.

В частном случае, когда $ g_{}(x) $ совпадает с производной полинома $ f_{}(x) $ результант переходит в дискриминант — выражение отличающееся от $$ a_0^{n-1} \prod_{j=1}^n f^{\prime}(\lambda_j) $$ только сомножителем $ (-1)^{n(n-1)/2}/a_0 $ и обращающееся в нуль тогда и только тогда, когда $ f^{\prime}(x) $ имеет общий корень с $ f_{}(x) $. Как мы увидим НИЖЕ, последнее условие оказывается необходимым и достаточным наличия у полинома $ f_{}(x) $ кратного корня.

Пример. Для $ f(x)=a_{0}x^2+a_1x+a_2 $ указанное произведение оказывается равным

$$ (2a_0\lambda_1 +a_1)(2a_0\lambda_2 +a_1)=(4a_0^2\lambda_1 \lambda_2+2a_0a_1(\lambda_1 +\lambda_2)+a_1^2)= $$ $$ =\left(4a_0^2 \frac{a_2}{a_0}-2a_0a_1\frac{a_1}{a_0}+a_1^2\right)=4a_0a_2-a_1^2, $$ т.е. привычному «школьному» понятию.

Способы вычисления дискриминанта, его свойства и применения ☞ ЗДЕСЬ.

Если $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ — корни полинома $ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n} $, то

1. корнями полинома $$ f(-x)=(-1)^n\left(a_0x^n-a_1x^{n-1}+\dots+(-1)^na_n\right) = $$ $$ =(-1)^n \sum_{j=0}^n (-1)^ja_jx^{n-j} $$ являются $ -\lambda_1, \dots, -\lambda_n $;

2. корнями полинома $$f(x- {\color{Red} \alpha })=a_0(x-{\color{Red} \alpha } )^n+a_1(x-{\color{Red} \alpha })^{n-1}+\dots+a_n= $$ $$ = \sum_{j=0}^n a_j(x-{\color{Red} \alpha })^{n-j} $$ являются $ {\color{Red} \alpha }+\lambda_1, \dots, {\color{Red} \alpha }+\lambda_n $;

3. при дополнительном условии, что $ a_{n} \ne 0 $, корнями полинома $$f^{\ast}(x)= x^nf\left(1/x \right) \equiv a_0+a_1x+\dots+a_nx^n = $$ $$ =\sum_{j=0}^n a_jx^{j} $$ являются $ 1/{\lambda_1}, \dots, 1/{\lambda_n} $.

Преобразования 1-3 часто используются как при выводе теоретических результатов так и в практике вычислений.

Поясним идею этих применений. Корни исходного и корни преобразованного полинома остаются неизвестными. Допустим, мы получили какой-то результат, касающийся оценки положительных корней полинома $ f_{}(x) \in \mathbb R[x] $, и хотим распространить эту оценку и на отрицательные корни (см., к примеру, ☟ НИЖЕ ). Производится замена переменной $ x \rightarrow - x $, которая меняет знаки всех корней: отрицательные становятся положительными, и к новому полиному применяется полученный результат. В приложениях возникают и более сложные преобразования корней: когда, к примеру, все их надо «загнать» в ограниченную область комплексной плоскости — скажем, в круг $ |x|\le 1 $ (см. ☟ НИЖЕ ).

Пример. Построить полином $ F_{}(x) $, корни которого равны квадратам корней полинома $ f_{}(x) $.

Решение. Составим выражение $$ f(\sqrt{x})f(-\sqrt{x}) . $$ С одной стороны, используя линейное представление полинома $ f_{}(x) $ получим $$ f(\sqrt{x})f(-\sqrt{x})=(-1)^n a_0^2(x-\lambda_1^2)\times \dots \times (x-\lambda_n^2) , $$ т.е. полином с требуемыми корнями. С другой стороны, мы можем найти выражения для коэффициентов этого полинома: $$ \begin{matrix} f(\sqrt{x})&\equiv & a_n+a_{n-1} \sqrt{x} +a_{n-2} x + a_{n-3} x \sqrt{x}+\dots \equiv \\ & \equiv & (a_n+a_{n-2} x +a_{n-4} x^2 +\dots ) + \sqrt{x} (a_{n-1}+ a_{n-3} x + a_{n-5} x^2+ \dots ) ;\\ f(-\sqrt{x})&\equiv & (a_n+a_{n-2} x +a_{n-4} x^2 +\dots ) - \sqrt{x} (a_{n-1}+ a_{n-3} x + a_{n-5} x^2+ \dots ) \ . \end{matrix} $$ В результате, искомый полином представляется в виде $$ F(x)=(a_n+a_{n-2} x +a_{n-4} x^2 +\dots )^2-x(a_{n-1}+ a_{n-3} x + a_{n-5} x^2+ \dots )^2 \ . $$ Это преобразование иногда называется квадрированием корней полинома $ f_{}(x) $; оно применяется в методе Греффе-Лобачевского вычисления корней полинома. ♦

Теорема [5]. Корни полинома

$$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb C[x],\quad n\ge 1 $$ являются непрерывными функциями его коэффициентов. Строго говоря, если $ \lambda_1,\dots,\lambda_{n} $ — корни этого полинома, а $ {\tilde \lambda_1},\dots,{\tilde \lambda_n} $ — корни полинома $${\tilde f}(x)=x^n+{\tilde a}_1x^{n-1}+\dots+{\tilde a}_n \in \mathbb C[x] \ , $$ то эти корни можно перенумеровать таким образом, чтобы $$ |\lambda_j-{\tilde \lambda}_j| < 2n \varepsilon \quad npu \quad j\in\{1,\dots,n\} \ . $$ Здесь $$\varepsilon= \sqrt[n]{\sum_{k=1}^n|a_k-{\tilde a}_k| \gamma^{n-k} } \quad npu \quad \gamma = \max_{j\in \{1,\dots,n\}} \left( \sqrt[j]{|a_j|} \ , \sqrt[j]{|{\tilde a}_j|} \right) \ . $$

Пример. Для полинома

$$ f(x)=192\,x^5+[(259-173{\mathbf i}){\color{Red} \alpha }+211-413{\mathbf i}]x^4 + $$ $$ +[(80-320{\mathbf i}){\color{Red} \alpha }-304-704{\mathbf i}]x^3 +384{\mathbf i}\,x^2-192-192\,{\mathbf i} $$ исследовать динамику корней при изменении значений параметра $ {\color{Red} \alpha }_{} $ от $ -2_{} $ до $ 3_{} $.

Решение. На рисунке

показаны следы, «заметаемые» корнями на комплексной плоскости. Направления движений указаны стрелками. Сначала посмотрим на начало процесса. При $ {\color{Red} \alpha }=-2 $ полином имеет следующие корни: $$ \lambda_1\approx-1.0726-0.5122 {\mathbf i}, \ \lambda_{2}\approx -0.7337+0.1972{\mathbf i},\ \lambda_{3}\approx 0.3557+0.9054 {\mathbf i}, $$ $$ \lambda_4 \approx 0.5028-0.3812 {\mathbf i},\ \lambda_5 \approx 2.5467+0.1398 {\mathbf i} \ . $$ Эти стартовые точки отмечены отрезками | | | | | . При увеличении значений $ {\color{Red} \alpha }_{} $ от $ -2 $ до $ -1_{} $ происходит «дрейф» корней — плавный, но разный по скорости. К примеру, синий и фиолетовый корни меняются очень медленно, а вот зеленый и малиновый быстро сближаются пока не столкнутся при значении $ {\color{Red} \alpha }=-1 $: $$ \lambda_1\approx -1.5096-0.4133 {\mathbf i},\ \lambda_2 \approx -0.6768+0.1479 {\mathbf i},\ \lambda_3 \approx 0.4364-0.4845 {\mathbf i},\ \lambda_4 = 1+ {\mathbf i}, $$ $$ \lambda_5 =1+ {\mathbf i} \ . $$ Что происходит при дальнейшем увеличении $ {\color{Red} \alpha }_{} $? Число корней должно остаться инвариантным — по основной теореме высшей алгебры оно продолжает совпадать со степенью полинома, т.е. корни не аннигилируют. Поэтому столкнувшиеся корни порождают два новых — голубой и коричневый — которые начинают расходиться. При $ {\color{Red} \alpha }=1 $ ситуация следующая: $$ \lambda_1 \approx -2.3350+0.4836 {\mathbf i}, \ \lambda_2 \approx -0.5794+0.1185{\mathbf i}, \ \lambda_3 \approx 0.2721-0.4926 {\mathbf i}, \ $$ $$ \lambda_4 \approx -0.3888+2.5945 {\mathbf i}, \ \lambda_5 \approx 0.5832+0.3480 {\mathbf i} . $$ Имея перед глазами полную картину истории, понимаем, что корни, обозначенные $ \lambda_{1} $ (красный) и $ \lambda_{4} $ (голубой), стремятся к столкновению — и оно действительно происходит при $ {\color{Red} \alpha }=2 $: $$ \lambda_1 = -2+2{\mathbf i},\ \lambda_2 \approx -0.5458+0.1142 {\mathbf i},\ \lambda_3 \approx 0.2296-0.4712 {\mathbf i},\ \lambda_4 = -2+2{\mathbf i},\ $$ $$ \lambda_5 \approx 0.5193+0.3101 {\mathbf i} . $$ Дальнейшую динамику можем предсказать «по прецеденту» — столкнувшиеся корни должны разойтись. При $ {\color{Red} \alpha }=3_{} $: $$ \lambda_1 \approx -4.0682+3.6140 {\mathbf i},\ \lambda_2 \approx -0.5184+0.1116 {\mathbf i},\ \lambda_3 \approx 0.2007-0.4506{\mathbf i},\ $$ $$ \lambda_4 \approx -1.2359+1.2927{\mathbf i},\ \lambda_5 \approx 0.4759+0.2864{\mathbf i} . $$ ♦

К какому числу стремится желтый корень при $ {\color{Red} \alpha } \to +\infty $ ?

Последний пример наводит на еще одну гипотезу: мы видим, что графики корней получились гладкими, за исключением, возможно, некоторых специфических точек.

Теорема. Корни полинома

$$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb C[x] $$ являются непрерывно дифференцируемыми функциями коэффициентов за исключением тех наборов значений коэффициентов, которые определяют кратные корни.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Условие наличия кратного корня у полинома $ f_{}(x) $ может быть получено в виде явного условия на его коэффициенты. См. ☞ ДИСКРИМИНАНТ.

Можно ли выразить корни полинома $ f(x)\in \mathbb C[x] $ в виде «хороших» функций от его коэффициентов? Вспомним, что для квадратного уравнения существует общая формула вычисления корней: $$x^2+ax+b=0 \ \Rightarrow \ \lambda_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2} \ . $$ Эта формула включает в себя элементарные алгебраические операции $ +,- ,\times, \div $ и операцию извлечения квадратного корня. По аналогии можно сформулировать и общую задачу.

Задача. Найти выражения корней полинома степени $ n_{}>2 $ в виде функций его коэффициентов; при этом функции должны представлять конечную комбинацию элементарных алгебраических операций и операций извлечения корней произвольных (целых) степеней.

Поставленная задача называется задачей о разрешимости уравнения в радикалах⁶⁾.

Оказывается, что любое уравнение третьей или четвертой степени разрешимо в радикалах. Перед тем, как изложить способы их решения, сделаем два упрощения. Первое из них заключается в том, что уравнение $ f_{}(x)=0 $ делится на старший коэффициент полинома $ f_{}(x) $.

Полином называется нормализованным⁷⁾, если его старший коэффициент равен $ 1_{} $. Операция деления полинома на его старший коэффициент называется нормализацией полинома.

Очевидно, что нормализованный полином имеет те же корни, и в тех же кратностях, что и исходный. Для простоты обозначений, будем считать, что полином уже нормализован: $$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n .$$

Второе упрощение заключается в замене переменной (подстановке): $ x=y+{\color{Red} \alpha } $. Ее результатом будет новый полином той же степени, что и исходный, относительно переменной $ y_{} $: $$ F(y)\equiv f(y+{\color{Red} \alpha }) \, . $$ Корни нового полинома связаны (cм. преобразование 2 ☞ ЗДЕСЬ ) с корнями старого по формуле $ \lambda_j = \Lambda_j+{\color{Red} \alpha } $; так что, найдя корни одного полинома, легко установим и корни другого. Подберем теперь параметр $ {\color{Red} \alpha } $ так, чтобы обратить в нуль коэффициент при $ y^{n-1} $ в полиноме $ F_{}(y) $. Используя формулу бинома Ньютона, получаем $$ \begin{matrix} f(x)&=&x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_n= \\ &=&(y+{\color{Red} \alpha })^n +a_1(y+{\color{Red} \alpha })^{n-1}+a_2(y+{\color{Red} \alpha })^{n-2}+\dots+a_n = \\ &=&y^n + C_n^1 {\color{Red} \alpha } y^{n-1} +C_n^2 {\color{Red} \alpha }^2 y^{n-2}+\dots+ {\color{Red} \alpha }^n + \\ & & \ \qquad + a_1y^{n-1}+a_1 C_{n-1}^1 {\color{Red} \alpha } y^{n-2}+\dots +a_1{\color{Red} \alpha }^{n-1} + \\ & & \quad \qquad \qquad +a_2y^{n-2} + \dots + a_n. \end{matrix} $$ Понятно, что если положить $ {\color{Red} \alpha }= - a_1/n $, то коэффициент при $ y^{n-1} $ исчезнет. Для простоты обозначений, будем считать, что полином уже предварительно подвергнут такому преобразованию: $$ f(x)=x^n \qquad +a_2x^{n-2}+\dots+a_n \ .$$

Рассмотрим уравнение третьей степени: $$ x^3+p\,x+q=0 $$ Сделаем в этом уравнении замену переменной: $ x=u+v $, введя две неизвестные $ u_{} $ и $ v_{} $; получим: $$ u^3+v^3+3\,uv(u+v)+p(u+v)+q=0 \ . $$ Сгруппируем: $$ u^3+v^3+(3\,uv+p)(u+v)+q=0 \ . $$ Подчиним теперь неизвестные $ u_{} $ и $ v_{} $ условию $$ 3\,uv+p=0 \ \iff \ uv=-\frac{p}{3} \ . $$ Тогда предыдущее уравнение приведется к виду $$u^3+v^3=-q \ . $$ Итак, для определения неизвестных величин $ u_{} $ и $ v_{} $ мы получили систему уравнений $$ u^3+v^3=-q,\ uv=-\frac{p}{3} . $$ Возведя последнее уравнение в куб, получим $$ u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \ . $$ Два полученных равенства, связывающие $ u^3 $ и $ v^3 $, позволяет утверждать, что эти величины являются решениями квадратного уравнения: $$t^2+q\,t- \frac{p^3}{27}=0 \ .$$

Выражение $$ \Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} $$ называется дискриминантом кубического уравнения.

Решив квадратное уравнение, получим: $$ u^3=-\frac{q}{2}+ \sqrt{\Delta},\ v^3=-\frac{q}{2}- \sqrt{\Delta} \ . $$ В итоге имеем формулу для решений уравнения: $$ x=u+v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} \ ; $$ она называется формулой Кардано.

Формула Кардано не очень удобна для практических вычислений. Вспомним, что корень кубический из комплексного числа может принимать три различных значения. Решение же, представленное формулой Кардано, имеет в правой части комбинацию из двух кубических корней. Таким образом, получаем 9 всевозможных комбинаций из значений корней кубических. С другой стороны, основная теорема высшей алгебры утверждает, что кубическое уравнение должно иметь только три решения. Для того, чтобы установить соответствие между значениями $ u_{} $ и $ v_{} $, обратимся к условию $ uv=-p/3 $ . Согласно этому условию, задание значений для $ u_{} $ позволит однозначно восстановить $ v_{} $. Пусть $$ u_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} $$ какое-то одно из трех возможных значений корня кубического. Два оставшихся значения корня кубического получаются домножением $ u_1 $ на корни кубические из единицы: $$u_2=u_1\varepsilon_1, \ u_3=u_1\varepsilon_2 $$ при $$\varepsilon_1=\cos \frac{2\pi}{3} + {\mathbf i} \sin \frac{2\pi}{3}= \frac{-1}{2}+ {\mathbf i} \frac{\sqrt{3}}{2} \ u \ \varepsilon_2=\cos \frac{4\pi}{3} + {\mathbf i} \sin \frac{4\pi}{3}= \frac{-1}{2}- {\mathbf i} \frac{ \sqrt{3}}{ 2} \ . $$ Если теперь взять $$ v_1=-\frac{p}{3u_1} \ , $$ то решения кубического уравнения можно выразить в виде комбинаций $ u_1 $ и $ v_1 $: $$ \begin{array}{ccl} \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&u_2+v_2=u_2-\frac{\displaystyle p}{\displaystyle 3u_2}=u_1\varepsilon_1-\frac{\displaystyle p}{\displaystyle 3u_1\varepsilon_1} =u_1\varepsilon_1-\frac{\displaystyle p\varepsilon_2}{\displaystyle 3u_1}=u_1\varepsilon_1+v_1\varepsilon_2,\\ \lambda_3&=&u_3+v_3=u_1\varepsilon_2+v_1\varepsilon_1 \ . \end{array} $$ Окончательно получаем формулы для вычисления корней: $$ \left\{ \begin{array}{lcl} \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}(u_1+v_1) +{\mathbf i} \frac{\scriptstyle \sqrt{3}}{\scriptstyle 2} (u_1-v_1),\\ \lambda_3&=&-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}(u_1+v_1) -{\mathbf i} \frac{\scriptstyle \sqrt{3}}{\scriptstyle 2} (u_1-v_1), \end{array} \right. $$ где $ u_1 $ — одно из значений корня кубического, а $ v_1 $ связано с ним соотношением $ v_1=-p/(3u_1) $.

Пример [2]. Решить уравнение $ x^3-6{\mathbf i}\,x^2-10\,x+8 {\mathbf i}=0 $.

Решение. Подстановка $ x=y+2 {\mathbf i} $ приводит уравнение к виду $$y^3+2\,y+4{\mathbf i} =0 \ , $$ т.е. $ p=2,\,q=4 {\mathbf i} $. Далее $$\Delta=-\frac{100}{27} \ \Rightarrow \ \sqrt{\Delta} = \pm \frac{10 {\mathbf i}}{3\sqrt{3}} \ \Rightarrow \ u_1=\sqrt[3]{\left(-2 + \frac{10}{3\sqrt{3}} \right){\mathbf i}} \ . $$ Одно из значений последнего корня: $$u_1=-{\mathbf i}\, \sqrt[3]{-2 + \frac{10}{3\sqrt{3}}} \ , $$ это выражение можно упростить, если повезет заметить, что подкоренное выражение равно $ \left(-1+1/{\sqrt{3}}\right)^3 $: $$u_1={\mathbf i}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\ \Rightarrow \ v_1=-\frac{p}{3u_1}= {\mathbf i} \left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \ . $$ Получаем: $$\mu_1=2\, {\mathbf i} ,\ \mu_2=1- {\mathbf i},\ \mu_3=-1- {\mathbf i} \ .$$ Значения корней исходного уравнения получатся «сдвигом» на $ 2 {\mathbf i} $.

Ответ. $ 4{\mathbf i},\, 1 + {\mathbf i},\, -1+ {\mathbf i} $.

Дальнейший анализ формулы Кардано ☞ ЗДЕСЬ

$$ x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 = 0 $$ также может быть решено в радикалах. Идея решения заключается в сведении задачи к решению некоторого кубического уравнения. Ее реализация ☞ ЗДЕСЬ.

Успех в решении уравнений третьей и четвертой степени побудил исследователей искать подобные формулы для уравнений высших степеней. Методология подхода была очевидна: свести решение уравнения $ n $-й степени к решению уравнения $ (n-1) $-й степени. Однако, несмотря на почти трехвековые усилия лучших математиков, решить уравнение пятой степени не удавалось. Наконец, в начале XIX века был получен отрицательный результат.

Теорема [Руффини, Абель]. Уравнение степени выше четвертой в общем случае неразрешимо в радикалах.

Пример. Уравнение $ x^5-4\, x -2=0 $ не разрешимо в радикалах.

Установить разрешимо или нет данное конкретное уравнение в радикалах возможно с помощью теории, развитой французским математиком Галуа.

Пример. Уравнение $ x^5+x+1=0 $ разрешимо в радикалах, поскольку

$$ x ^5+x+1\equiv (x^2+x+1)(x^3-x^2+1) \, .$$

Отрицательный характер результата теоремы Руффини-Абеля не должен слишком уж разочаровывать. Он означает только лишь то, что корни полинома нельзя представить в виде формулы, состоящей из конечного набора сравнительно простых функций. Тем не менее, если расширить класс допустимых в формуле функций (или допустить бесконечность числа операций), представление для корня можно найти (см., к примеру, ☞ ЗДЕСЬ ). Наконец, для практических задач часто более важна не столько «красивая» аналитическая формула для корня, сколько приближенное его значение с требуемой точностью.

Для некоторых классов уравнений удается упростить задачу: свести решение исходного уравнения к решению уравнения меньшей степени⁸⁾.

Так называется уравнение вида $ a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_n=0, \ a_0\ne 0 $, у которого набор коэффициентов $ (a_0,a_1,\dots, a_{n-1},a_n) $ симметричен относительно середины: $$ a_0=a_{n},a_1=a_{n-1},\dots, a_{j}=a_{n-j} \dots $$

Пример. Уравнения

$$ z^2-3\,z+1=0,\quad -\sqrt{2}z^5+2\,z^4+\mathbf i z^3+2\,z-\sqrt{2},\quad z^n+1=0 , $$ $$ z^n+z^{n-1}+z^{n-2}+\dots + z^2 +z+1=0 $$ являются возвратными.

Методы упрощения подобных уравнений ☞ ЗДЕСЬ.

Здесь $ \mathbb A_{} $ означает какое-то из множеств $ \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $.

Теорема. Для полиномов $ f_{}(x) $ и $ g(x)\not \equiv 0 $ из $ \mathbb A[x] $ существует единственная пара полиномов $ q_{}(x) $ и $ r_{}(x) $ из $ \mathbb A[x] $ таких, что

$$ f(x) \equiv g(x) q(x) + r(x) \quad \mbox{ и } \quad \deg r < \deg g \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

В этом представлении полином $ f_{}(x) $ называется делимым, $ g_{}(x) $ — делителем, $ r_{}(x) $ — остатком от деления $ f_{}(x) $ на $ g_{}(x) $, а $ q_{}(x) $ — частным⁹⁾. При $ r(x) \equiv 0 $, говорят, что полином $ f_{}(x) $ делится (нацело) на $ g_{}(x) $, а полином $ g_{}(x) $ называется делителем $ f_{}(x) $. Тривиальными делителями полинома $ f_{}(x) $ называют сам полином $ f_{}(x) $ и полином тождественно равный $ 1_{} $ (оба — с точностью до домножения на ненулевую константу). Любой другой делитель полинома (если существует) называется нетривиальным.

Пример [1]. Найти частное и остаток от деления

$$f(x)=2\, x^5 +x^4 -x^2 +2\, x +1 \quad \mbox{ на } \quad g(x)=x^3+2\, x^2 - x -1 \ .$$

Решение. $$ \begin{array}{rrrrrrr|l} 2\,x^5&+ x^4 &+0x^3 &-x^2 &+2x &+1 && x^3+2\,x^2-x-1\\ 2\,x^{5}&+4 x^4&-2\,x^3&-2x^2&& && \overline{ 2\,x^2 -3\, x +8 \quad } \\ \hline &-3\,x^4&+2\,x^3&+x^2&+2\,x& \\ &-3\,x^{4}&-6\,x^3&+3\,x^2&+3\,x& \\ \hline &&8\,x^{3}&-2\,x^2&-x&+1 \\ &&8\,x^{3}&+16\,x^2&-8\,x&-8 \\ \hline &&& -18x^{2}&+7\,x&+9 \end{array} $$

Ответ. $ q(x)=2\, x^2 -3\, x + 8,\ r(x)=-18\, x^2 + 7\, x +9 $.

Фактическое выполнение операции деления полиномов можно производить, действуя лишь над наборами их коэффициентов — подобно тому, как мы производили их умножение.

Пример. Найти частное и остаток от деления

$$f(x)=x^8+x^7+3\,x^4-1 \quad \mbox{ на } \quad g(x)=x^4-3\, x^3 +4\, x +1 \ .$$

Решение. $$ \begin{array}{rrrrrrrrrr|l} 1& 1 &0&0&3&0 &0 & 0&-1 &&1 \ -3\ \ 0\ \ \ 4\ \ \ 1\\ 1&-3 &0&4&1& & & & && \overline{ 1\ \ \ 4\ 12\ 32\ 82} \\ \hline &4 & 0 &-4 & 2 & 0 & {} \\ &4 &-12& 0 & 16 & 4& {} \\ \hline && 12& -4 &-14 & -4 & 0 & {} \\ && 12& -36 & 0 & 48 & 12 & {} \\ \hline &&& 32 & -14& -52&-12 & 0 & {} \\ &&& 32 & -96& 0 & 128& 32 & {} \\ \hline &&&&82&-52&-140&-32&-1 \\ &&&&82&-246&0&328&82 \\ \hline &&&&&194&-140&-360&-83 \end{array} $$

Ответ. $ q(x)=x^4+4\,x^3+12\,x^2+32\, x+82,\, r(x)=194\, x^3-140\, x^2-360\, x -83 $.

Свойства.

1. Если $ m \le n $ при $ a_0\ne 0, b_0 \ne 0 $, то $ \deg q(x) =n-m $ и ведущий член $ q_{}(x) $ равен $ {a_0}/{b_0}\, x^{n-m} $.

2. Если $ g(x)\equiv x-c $, то коэффициенты частного $ q_{}(x) $ найдутся из схемы Хорнера.

Рассмотрим множество всех общих делителей полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $: $$ \mathbb D=\{d_1(x) \in \mathbb A[x] \, | f(x) \ \mbox{ делится на } \ d_1(x), g(x) \ \mbox{ делится на } \ d_1(x) \} \ . $$ Наибольшим общим делителем полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ называется полином $ d_{}(x) $, который является делителем как $ f_{}(x) $, так и $ g_{}(x) $ и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих полиномов: $$ \operatorname{HOD} (f(x),g(x)) = d(x) \iff d(x) \in \mathbb D \ , \ d(x) \ \mbox{ делится на }\ \forall d_1(x) \in \mathbb D \ . $$ Рассмотрим множество всех полиномов, которые делятся и на $ f_{}(x) $ и на $ g_{}(x) $: $$ \mathbb K=\{k_1(x) \in \mathbb A[x] \, | k_1(x) \ \mbox{ делится на } \ f(x), k_1(x) \ \mbox{ делится на } \ g(x) \} \ . $$ Наименьшим общим кратным полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ называется полином $ k_{}(x) $, который делится как на $ f_{}(x) $, так и на $ g_{}(x) $ и, вместе с тем, сам является делителем любого другого полинома, который делится на $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $: $$ \operatorname{HOK} (f(x),g(x)) = k(x) \iff k(x) \in \mathbb K \ , \ \forall k_1(x) \in \mathbb K \ \mbox{ делится на }\ k(x) \ . $$ Пока открытым является вопрос существования $ \operatorname{HOD} (f,g)_{} $ и $ \operatorname{HOK} (f,g)_{} $. Для первого случая этот вопрос решается конструктивно — построением $ \operatorname{HOD} (f,g)_{} $ с помощью алгоритма, позаимствованного из ☞ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ.

Алгоритм Евклида.

Пусть $ f(x) \not \equiv 0 $ и $ g(x) \not \equiv 0 $ — полиномы из $ \mathbb A_{}[x] $ . Поделим $ f_{}(x) $ на $ g_{}(x) $: $ f(x)=g(x)q_{1}(x)+r_1(x) $, пусть остаток $ r_{1}(x) \not \equiv 0 $, тогда $ 0 \le \deg r_{1}(x)< \deg g(x) $. Поделим делитель на этот остаток: $ g(x)=r_{1}(x)q_2(x)+r_2(x) $, предположим, что остаток $ r_{2}(x) \not \equiv 0 $, тогда $ 0 \le \deg r_{2}(x)< \deg r_1(x) $. Снова разделим делитель на остаток и продолжим процесс далее до тех пор, пока на каком-то шаге не произойдет деление нацело, т.е. остаток будет тождественно равен нулю (это обязательно случится за конечное число шагов, т.к. степени полиномов $ r_{j}(x) $ уменьшаются). Запишем процедуру в виде схемы: $$ \begin{array}{lcl} f(x)&=&g(x)q_1(x)+r_1(x) \ , \quad 0 \le \deg r_1(x)< \deg g(x)\ , \\ g(x)&=&r_1(x)q_2(x)+r_2(x) \ , \quad 0 \le \deg r_2(x)< \deg r_1(x), \\ r_1(x)&=&r_2(x)q_3(x)+r_3(x) \ , \quad 0 \le \deg r_3(x)< \deg r_2(x), \\ \dots && \dots \\ r_{j-2}(x)&=&r_{j-1}(x)q_{j}(x)+r_{j}(x) \ , \quad 0 \le \deg r_j(x)< \deg r_{j-1}(x) , \\ \dots && \dots \\ r_{k-2}(x)&=&r_{k-1}(x)q_{k}(x)+r_{k}(x) \ , \quad 0 \le \deg r_k(x)< \deg r_{k-1}(x) , \\ r_{k-1}(x)&=&r_{k}(x)q_{k+1}(x) . \end{array} $$

Теорема. Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида совпадает с $ \operatorname{HOD}(f(x),g_{}(x)) $.

Доказательство полностью аналогично доказательству соответствующего результата из теории целых чисел. ♦

Пример. Вычислить

$$ \operatorname{HOD} \left( x^4+3\, x^3 -x^2 -4\, x -3, \, 3\, x^3 +10\, x^2 +2\, x -3 \right) \, . $$

Решение. $$ \begin{array}{rrrrrr|l} x^4 &+3\,x^3 &-x^2 &-4\,x &-3 &&\ 3\,x^3+10\,x^2+2\,x-3\\ x^4&+10/3\, x^3&+2/3\, x^2&-\, x & && \overline{ 1/3 x -1/9 \quad } \\ \hline &-1/3\,x^3&- 5/3\,x^2&-3\,x&-3 \\ &-1/3\,x^3&-10/9\,x^2& -2/9\,x&{} +1/3 \\ \hline &&-5/9\,\,x^2& -25/9\,x&-10/3 \end{array} $$ В обозначениях алгоритма Евклида, имеем: $$ q_{1}(x)=1/3\, x -1/9,\ r_{1}(x)=-5/9\, x^2 -25/9\, x-10/3 \ . $$ Поскольку $ r_{1}(x) \not\equiv 0 $, делим $ g_{}(x) $ на этот остаток: $$ \begin{array}{rrrrr|l} 3\,x^3 &+10\,x^2 &+2\,x &-3 &&\ -5/9\,\,x^2 -25/9\,x-10/3 \\ 3\, x^3&+15\, x^2&+18\, x & &&\, \overline{-27/5\, x +9 \quad } \\ \hline &-5\,x^2&-16\,x&-3 \\ &-5\,x^2&-25\,x&-30 \\ \hline &&9\,x&+27 \end{array} $$ Здесь $ q_{2}(x)=-27/5\, x +9, r_2(x)=9x+27 \not\equiv 0 $ и алгоритм деления продолжается: $$ \begin{array}{rrrr|l} -5/9\,\,x^2& -25/9\,x& -10/3 &&\ 9\,x+27 \\ -5/9\,\,x^2& -5/3\,x& && \, \overline{ -5/81\, x - 10/81 \quad } \\ \hline &-10/9\,x& -10/3 \\ &-10/9\,x&-10/3 \\ \hline & & 0 \end{array} $$ Здесь остаток получился равным нулю, следовательно $ r_{2}(x)=\operatorname{HOD}(f(x),g(x)) $.

Ответ. $ 9(x+3)_{} $.

Еще один способ нахождения $ \operatorname{HOD} $ для полиномов из $ \mathbb{C}[x] $ вытекает из основной теоремы высшей алгебры.

Теорема. Пусть множество $ \{ (x-\lambda_1),\dots,(x-\lambda_{\mathfrak r}) \} $ представляет собой объединение множеств линейных сомножителей полиномов $ f_1(x),\dots,f_k(x) $. Выпишем «универсальное» разложение каждого $ f_j $ на линейные сомножители:

$$ f_j(x)\equiv a_{0j} (x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1j}}(x-\lambda_2)^{{\mathfrak m}_{2j}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}j}} $$ (здесь возможно, что некоторые из кратностей $ {\mathfrak m}_{ij} $ равны 0). Тогда $$ \operatorname{HOD} \left(f_1(x),\dots,f_k(x) \right)= (x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_1}(x-\lambda_2)^{{\mathfrak m}_2}\times \cdots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{\mathfrak r}} \ , $$ $$ \operatorname{HOK} \left(f_1(x),\dots,f_k(x) \right)= (x-\lambda_1)^{{\mathfrak M}_1}(x-\lambda_2)^{{\mathfrak M}_2}\times \cdots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak M}_{\mathfrak r}} $$ где $ \displaystyle {\mathfrak m}_{\ell} = \min_{j\in\{1,\dots, k\}} {\mathfrak m}_{\ell j},\ \displaystyle {\mathfrak M}_{\ell} = \max_{j\in\{1,\dots, k\}} {\mathfrak m}_{\ell j} $.

Пример. Вычислить $ \operatorname{HOD} \left(x^2-1,\, x^3+1 \right) $ .

Решение. Выписываем разложения полиномов на линейные сомножители: $$x^2-1\equiv (x-1)(x+1), \quad x^3+1 \equiv(x+1) \left(x-\left( 1/2 - \sqrt{3}/2 \mathbf{i} \right) \right) \left(x- \left( 1/2 + \sqrt{3}/2 \mathbf{i} \right) \right) \ .$$

Ответ. $ x+1 $.

Теорема. Существуют полиномы $ u(x)_{} $ и $ v(x)_{} $ из $ \mathbb A[x] $, удовлетворяющие уравнению линейного представления $ \operatorname{HOD} $:

$$ v(x)f(x)+u(x)g(x)\equiv \operatorname{HOD}(f,g) \ . $$

Доказательство этого результата и практический способ построения полиномов $ u(x)_{} $ и $ v(x)_{} $ можно скопировать из соответствующего раздела теории чисел.

Явное представление $ \operatorname{HOD} (f(x),g(x)) $ через коэффициенты полиномов с помощью аппарата определителей приведено ☞ ЗДЕСЬ.

— это полиномы, у которых нормализованный $ \operatorname{HOD} $ равен $ 1_{} $ (тождественно). Подробное рассмотрение этого случая ☞ ЗДЕСЬ.

Для случая произвольной функции $ F(x): \mathbb R \mapsto \mathbb R $ это определение строится на предельном переходе: $$ \frac{d\, F}{d\, x} \bigg|_{_{x=c}} = F^{\prime}(c) = \lim_{h\to 0} \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \ .$$ Пусть $ F(x)\equiv x^k $ при $ k\in \mathbb N_{} $. Тогда, с помощью формулы бинома Ньютона получаем: $$(c+h)^k-c^k=kc^{k-1}h+C_k^2c^{k-2}h^2+\dots+h^k $$ и $$\frac{F(c+h)-F(c)}{h} \to kc^{k-1} \quad npu \ h\to 0 \ . $$ Отсюда следует, что функция $ x^{k} $ дифференцируема в любой точке $ x\in\mathbb R_{} $ и ее производная равна $ kx^{k-1} $. Обобщим это определение и на комплексную плоскость $ \mathbb C^{} $ . Всюду в предыдущих рассуждениях допустим, что и точка $ c_{} $ и приращение $ h_{} $ могут быть комплексными. Окончательный вывод не изменится: формула $$(x^k)^{\prime}= kx^{k-1} $$ остается справедливой и для $ x\in \mathbb C_{} $. С помощью этой формулы, а также с помощью основных правил дифференцирования функций: $$ \left(F_1\pm F_2 \right)^{\prime}=F_1^{\prime}\pm F_2^{\prime},\ \left(cF\right)^{\prime}=cF^{\prime},\ \left(F_1F_2 \right)^{\prime}=F_1^{\prime}F_2+F_1F_2^{\prime} $$ получаем $$ f^{\prime}(x)=(a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n)^{\prime} = na_0x^{n-1}+(n-1)a_1x^{n-2}+\dots +a_{n-1} \ . $$ Таким образом, $ f^{\prime}(x) $ также будет полиномом над $ \mathbb A_{} $ и $ \deg f^{\prime} = \deg f - 1 $. Кроме того, обобщая по индукции формулу дифференцирования произведения, выводим: $$ \left(f_1f_2\times \dots \times f_k \right)^{\prime}= f_1^{\prime}f_2\times \dots \times f_k+f_1f_2^{\prime}\times \dots \times f_k+ \dots+ f_1f_2\times \dots \times f_k^{\prime} . $$ Если применить ее к формуле разложения полинома на линейные множители, то получим формулу $$ \begin{matrix} f^{\prime}(x)&=&a_0(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)\times \dots \times (x-\lambda_n)+ \\ &+&a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_3)\times \dots \times (x-\lambda_n)+ \\ &+ & \dots + \\ &+& a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\times \dots \times (x-\lambda_{n-1}). \end{matrix} $$ Из нее, в частности, следует, что $$ f^{\prime}(\lambda_j)=a_0(\lambda_j-\lambda_1)\times \dots \times (\lambda_j-\lambda_{j-1})(\lambda_j-\lambda_{j+1}) \times \dots \times (\lambda_j-\lambda_{n})= $$ $$ =a_0 \prod_{1\le k \le n \atop \scriptstyle k\ne j} (\lambda_j - \lambda_k) \ . $$ Последняя формула, впрочем, может быть получена и напрямую из определения производной: $$ f^{\prime}(\lambda_j)=\lim_{x\to \lambda_j} \frac{f(x)-f(\lambda_j)}{x-\lambda_j} =\lim_{x\to \lambda_j} \frac{a_0(x-\lambda_1)\times\dots\times (x-\lambda_n)}{x-\lambda_j} \ . $$ Производные высших порядков вводятся определением $$F^{(k)}(x)= \left(F^{(k-1)}(x) \right)^{\prime} \ npu \ k>1 \ ; $$ для однотипности обозначений считают также нулевой производной сам полином: $$F^{(0)}(x)= F(x) \ .$$ В дальнейшем нам пригодится следующая формула Лейбница: $$\left(F_1 F_2 \right)^{(k)}=\sum_{j=0}^k C_k^j F_1^{(k-j)}F_2^{(j)}=$$ $$ =F_1^{(k)}F_2+ C_k^1F_1^{(k-1)}F_2^{\prime} + C_k^2F_1^{(k-2)}F_2^{\prime \prime }+ \dots +F_1F_2^{(k)} \ , $$ где $ C_k^{j} $ означает биномиальный коэффициент.

Для полинома $ f(x)_{} $ степени $ n_{} $ имеем: $$f^{(k)}(x)=n(n-1)\times \dots \times (n-k+1)a_0x^{n-k}+\dots+k!a_{n-k} \ npu\ k\le n $$ и $ \deg f^{(k)} = \deg f - k $. Очевидно $ f^{(k)}(x)\equiv 0 $ при $ k> n_{} $.

Теорема. Простой корень полинома не является корнем его производной. Кратный корень полинома кратности $ \mathfrak m $ является корнем его производной кратности $ ({\mathfrak m}-1) $.

Доказательство. Если $ x=\lambda_{} \in \mathbb C $ — простой корень для $ f_{}(x) $, то $ f(x)\equiv (x-\lambda)\tilde{f}(x) $ при $ \tilde{f}(\lambda) \ne 0 $. Дифференцируя и подставляя $ x=\lambda $, получаем $$ f^{\prime}(x)\equiv \tilde{f}(x) +(x-\lambda)\tilde{f}^{\prime}(x) \ \Rightarrow \ f^{\prime}(\lambda)=\tilde{f}(\lambda)\ne 0 $$ по предположению.

Если $ x=\lambda_{} $ — кратный корень кратности $ \mathfrak m $ для $ f_{}(x) $, то $ f(x)\equiv (x-\lambda)^{\mathfrak m}\widehat{f}(x) $ при $ \widehat{f}(\lambda) \ne 0 $. Снова дифференцируем: $$ f^{\prime}(x)={\mathfrak m}(x-\lambda)^{{\mathfrak m}-1} \widehat{f}(x)+ (x-\lambda)^{{\mathfrak m}}\widehat{f}^{\prime}(x)= $$ $$ =(x-\lambda)^{{\mathfrak m}-1} \underbrace{\left({\mathfrak m}\widehat{f}(x) +(x-\lambda)\widehat{f}^{\prime}(x) \right)}_{= H(x)} \ . $$ Из этого представления следует, что $ x=\lambda_{} $ является корнем $ f^{\prime}(x) $ кратности, не меньшей $ ({\mathfrak m}-1) $. Если бы кратность была больше этого значения, то необходимо $ H(\lambda)=0 $. Однако, этого не может быть, т.к. $ \widehat{f}(\lambda) \ne 0 $. ♦

Полином $ f(x)_{} $ имеет кратный корень тогда и только тогда, когда он имеет нетривиальный наибольший общий делитель со своей производной

$$ \operatorname{HOD} (f(x),f^{\prime}(x)) \not\equiv const \ . $$

Пример. При каком условии на коэффициенты $ p_{} $ и $ q_{} $ полином

$$ x^3+p\,x+q $$ имеет кратный корень?

Решение. На основании теоремы на этом корне $ x=\lambda_{} $ должно быть выполнено $$\lambda^3+p\,\lambda+q=0 \ , \quad 3\, \lambda^2 + p=0 \ .$$ Из второго равенства выражаем $ \lambda^2 $ и подставляем в первое: $$\lambda^2=-\frac{p}{3} \ \Rightarrow \ \lambda \left(-\frac{p}{3} \right) +p\,\lambda+q=0 \ \Rightarrow \ \lambda=-\frac{3\,q}{2\,p} $$ при $ p\ne 0 $. Подставляя это значение в любое из исходных равенств, получаем: $$ \frac{27\,q^2+4\,p^3}{4\, p^2} =0 \ \Rightarrow \ \left(\frac{q}{2} \right)^2 + \left(\frac{p}{3} \right)^3 =0 \ . $$ Это условие уже встречалось нам ВЫШЕ при анализе формулы решения уравнения третьей степени. При $ p=0 $ кратный корень может встретиться лишь при $ q=0 $, т.е. опять же при обращении в нуль дискриминанта кубического уравнения.

Ответ. $ \left( p/3 \right)^3 + \left( q/2 \right)^2=0 $.

При каком условии на коэффициенты $ p_{} $ и $ q_{} $ полином

а) $ x^4+p\,x+q $ ; б) $ x^5+p\,x+q $

имеет кратный корень?

Пример. Найти все значения параметра $ {\color{Red} \alpha } $, при которых полином

$$ x^4-5\,x^2+{\color{Red} \alpha }\,x+28 $$ имеет кратный корень.

Решение. На основании следствия к теореме для выполнения условия необходимо и достаточно, чтобы был нетривиален $ \operatorname{HOD} (f(x),f^{\prime}(x)) $. Ищем его по алгоритму Евклида, делим $ f(x) $ на $ f^{\prime}(x) $: $$ f(x)\equiv \frac{1}{4} \, x\, f^{\prime}(x) + \overbrace{\left(-\frac{5}{2}\, x^2 +\frac{3}{4}\, {\color{Red} \alpha }\, x +28 \right)}^{r_1(x)} \ , $$ затем $ f^{\prime}(x) $ на полученный остаток $ r_{1}(x) $: $$ f^{\prime}(x) \equiv \left(-\frac{8}{5}\,x- \frac{12}{25}\, {\color{Red} \alpha } \right) r_1(x) + \overbrace{\left(\frac{3}{25}\,(3\, {\color{Red} \alpha }^2 + 290)\,x+ \frac{361}{25}\, {\color{Red} \alpha } \right)}^{r_2(x)} \ , $$ и, при дополнительном предположении $ 3\, {\color{Red} \alpha }^2 + 290\ne 0 $, делим $ r_{1}(x) $ на $ r_{2}(x) $: $$ r_1(x) \equiv \frac{25}{36\left(3\, {\color{Red} \alpha }^2 +290 \right)^2} \left[-30\,\left(3\, {\color{Red} \alpha }^2 +290 \right) x + \alpha\, (27\, {\color{Red} \alpha }^2 + 6220) \right] r_2(x) + $$ $$ + \frac{25\, \left(-27\, {\color{Red} \alpha }^4 -19660\, {\color{Red} \alpha }^2 + 3390912\right) }{36\, \left(3\, {\color{Red} \alpha }^2 +290 \right)^2} \ . $$ $ \operatorname{HOD} (f(x),f^{\prime}(x)) $ может быть нетривиальным (равным $ r_{2}(x) $) только при условии $$-27\, {\color{Red} \alpha }^4 -19660\, {\color{Red} \alpha }^2 + 3390912=0 \ . $$ Решить последнее уравнение легко если заменить переменную $ A = {\color{Red} \alpha }^2 $: $$( A-144)(27\, A +23548)=0 \ .$$

При $ 3\, {\color{Red} \alpha }^2 + 290= 0 $ будет $ \operatorname{HOD} (f(x),f^{\prime}(x))= r_2(x)\not \equiv 0 $, так что при этих значениях параметра кратных корней у $ f(x)_{} $ быть не может.

Ответ. $ {\color{Red} \alpha } \in \{ \pm 12,\ \pm {\scriptstyle 58}/{\scriptstyle 3} \sqrt{{\scriptstyle 7}/{\scriptstyle 3}}\, \mathbf i \} $.

Число $ \lambda_{} $ является корнем кратности $ \mathfrak m_{} $ для $ f(x)_{} $ тогда и только тогда, когда выполнены условия:

$$ \underbrace{f^{(0)}(\lambda)=0,\dots, f^{({\mathfrak m}-1)}(\lambda)=0}_{\mathfrak m},\, f^{({\mathfrak m})}(\lambda)\ne 0 \ . $$

Доказательство необходимости следует из теоремы. Достаточность вытекает из результатов следующего пункта (формализация способа проверки приводится ☞ ЗДЕСЬ).

Представление полинома $ f(x)_{}\in \mathbb A[x] $ в канонической форме $ a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots + a_n $ не является единственно возможным способом задания полинома. В конце концов, полином можно представить и с помощью разложения на линейные сомножители — разумеется, если известен набор его корней. Саму эту каноническую форму можно описать как разложение полинома по степеням переменной $ x_{} $. Пусть теперь $ c\in \mathbb A_{} $ — произвольная константа. Любую степень $ x^{k} $ можно «переразложить» по степеням линейного полинома $ x-c_{} $ с помощью формулы бинома Ньютона: $$ x^k\equiv \left[c+(x-c) \right]^k\equiv c^k +kc^{k-1}(x-c)+ \frac{k(k-1)}{2}c^{k-2}(x-c)^2+\dots+ (x-c)^k \ .$$ Если это сделать для каждого монома полинома $ f(x)_{} $, то получим разложение $ f(x)_{} $ по степеням $ x-c_{} $ в виде $$ f(x)\equiv A_0+A_1(x-c)+A_2(x-c)^2+\dots+A_n(x-c)^n \ . $$

Задача. Найти коэффициенты $ A_{0},\dots,A_n $ в этом разложении.

Для решения этой задачи продифференцируем несколько раз последнее тождество: $$ \begin{matrix} f^{\prime}(x)&=&A_1+2\,A_2(x-c)+3\,A_3(x-c)^2+\dots+nA_n(x-c)^{n-1} \, ,\\ f^{\prime \prime}(x)&=&2\,A_2+3\cdot 2\,A_3(x-c)+\dots +n(n-1)A_n(x-c)^{n-2}\, ,\\ f^{\prime \prime \prime}(x)&=&3\cdot 2\,A_3+\dots +n(n-1)(n-2)A_n(x-c)^{n-3}\, ,\\ \dots & & \dots \end{matrix} $$ Подстановка в эти формулы $ x=c_{} $ дает: $$f^{\prime}(c)=A_1,\ f^{\prime \prime}(c)=2\,A_2,\ f^{\prime \prime \prime}(c)= 3\cdot 2\,A_3,\dots $$

Теорема. Разложение полинома $ f_{}(x) $ по степеням $ x-c_{} $ имеет вид

$$ f(x) \equiv f(c)+ \frac{f^{\prime}(c)}{1!} (x-c) + \frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!} (x-c)^2+ \dots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-c)^{n} = $$ $$ =\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(c)}{j!} (x-c)^{j} ; $$ это тождество называется формулой Тейлора для полинома $ f_{}(x) $ в точке $ x=c $.

Доказательство и алгоритм эффективного вычисления коэффициентов формулы Тейлора (схема Хорнера) ☞ ЗДЕСЬ.

Формула Тейлора имеет гораздо большее значение, чем просто переразложение полинома $ f_{}(x) $ по степеням заданного линейного полинома. Она связана с задачей о приближении, аппроксимации функций. Пусть функция $ F_{}(x) $ неизвестной заранее структуры описывает поведение какого-то природного процесса. Мы имеем возможность провести серию (конечное число) экспериментов (наблюдений), чтобы на их основе найти приближенное значение функции в произвольной точке $ x_{} $. Экспериментальные серии могут различаться по своему типу. Это могут быть серии экспериментов

• однотипных, когда, например, удается узнать (засечь) положение спутника в разные моменты времени $ x_1,x_{2},\dots $ на неизвестной орбите;
• разнотипных, когда для того же спутника мы имеем возможность измерения большого количества различных параметров движения (положения, скорости, ускорения, ускорения ускорения, и пр.), но только в один фиксированный момент времени $ x=c_{} $.

На основании этих серий мы должны предсказать величину $ F(x)_{} $. Самой простой функцией, решающей задачи в таких постановках, является полином. Если этот полином $ f(x)_{} $ удается построить, то именно его мы и будем считать приближением неизвестной нам функции $ F(x)_{} $. Задача построения такого полинома для серии экспериментов первого типа обсуждается ☞ ЗДЕСЬ. А формула Тейлора позволяет найти полином $ f(x)_{} $ для серии экспериментов второго типа. Геометрически: неизвестный нам заранее график функции $ y=F(x)_{} $ (красный) приближается (аппроксимируется) либо прямой (зеленый), либо параболой (серый), либо кубикой (фиолетовый) — и все кривые приближения строятся только на основании информации о функции $ F(x)_{} $ в одной-единственной точке $ c_{} $.

Пример. Найти приближенное значение $ F(1)_{} $, если известно, что

$$F(-1)=F^{\prime}(-1)=F^{\prime \prime}(-1)=F^{\prime \prime \prime}(-1)=0.367 \ .$$

Решение. По формуле Тейлора получаем полином $$f(x)=0.367+0.367(x+1) + \frac{0.367}{2} (x+1)^2+\frac{0.367}{6} (x+1)^3 $$ и $ f(1)=2.324(3) $.

Ответ. $ F(1)\approx 2.324 $.

Рассмотрим теперь случай полинома с вещественными коэффициентами $ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+ \dots + a_n \in \mathbb R [x] $.

Теорема. Значения полинома $ f(x) \in \mathbb R [x] $ от комплексно-сопряженных значений переменной будут также комплексно-сопряженными:

$$ \mbox{если} \ f(c)=A+\mathbf i B \ \mbox{при} \ \{A,B\} \subset \mathbb R,\ \mbox{то} \ f(\overline{c})=A-\mathbf i B \, . $$

Доказательство. Действительно, поскольку $ a_j\in \mathbb R $, то $ \overline{a_j}=a_j $ для $ \forall j\in \{0,1,\dots,n\} $, и тогда $$ \begin{matrix} f\left(\overline{c} \right)&=&a_0 \overline{c}^n + a_1 \overline{c}^{n-1} + \dots + a_n = \overline{a_0} \overline{c^n} + \overline{a_1} \overline{c^{n-1}}+ \dots + \overline{a_n}= \\ &=&\overline{a_0c^n+a_1c^{n-1}+ \dots + a_n}=A-\mathbf i B . \end{matrix} $$

Если мнимое число $ c=\alpha + \mathbf i \beta ,\ \beta \ne 0 $ является корнем $ f_{}(x) $, то и ему комплексно-сопряженное $ \overline c = \alpha - \mathbf i \beta $ также является корнем $ f_{}(x) $.

Иными словами, мнимые корни полинома $ f_{}(x) $ с вещественными коэффициентами «ходят пáрами»: $ \alpha \pm \mathbf i \beta $. Геометрический смысл: на комплексной плоскости точки, изображающие корни $ f_{}(x) $, расположены симметрично относительно вещественной оси.

Как следствие предыдущей теоремы и основной теоремы высшей алгебры, получим

Теорема. Любой полином $ f_{}(x)\in \mathbb R [x] $ может быть представлен в виде произведения вещественных полиномов степеней не выше второй:

$$ \begin{array}{rl} f(x) & \equiv a_0 (x- \lambda_1)^{{\mathfrak m}_1} \times \dots \times (x- \lambda_r)^{{\mathfrak m}_r} \times \\ & \times (x^2 +p_1x+ q_1)^{{\mathfrak M}_1} \times \dots \times (x^2 +p_{\ell}x+ q_{\ell})^{{\mathfrak M}_{\ell}} \ . \end{array} $$ Здесь $ \lambda_1 , \dots , \lambda_r $ — различные вещественные числа, а квадратные трехчлены $$ \{x^2 +p_1x+ q_1, \dots , x^2 +p_{\ell}x+ q_{\ell}\} \subset \mathbb R [x] $$ — различные с отрицательными дискриминантами $ \mathcal D_j=p_j^2-4q_j<0 $. Это представление единственно с точностью до перестановки множителей.

Пример. Разложить полином

$$ x^7-\sqrt{3}x^6+(-3+2\sqrt{3})x^5+(2+\sqrt{3})x^4+(3-6\sqrt{3})x^3+(-12+11\sqrt{3})x^2+ $$ $$ +(10-8\sqrt{3})x+4\sqrt{3}-6 $$ на вещественные множители.

Ответ. $ (x+\sqrt{3})(x+(1-\sqrt{3}))^2(x^2-x+1)^2 $.

Полином $ f_{}(x) $ с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень, а, в общем случае, нечетное число вещественных корней (с учетом их кратностей ).

Полиномы с вещественными коэффициентами удобны тем, что теоретические результаты, полученные в предыдущих пунктах, получают геометрическую интерпретацию. Прежде всего, следует отметить, что полином является частным случаем непрерывной функции и на него распространяются все результаты математического анализа, разработанные для подобных функций. Итак, полином $ f_{}(x) $ — непрерывная функция при любых $ x \in \mathbb R $. Более того, поскольку производные полинома снова оказываются полиномами, то свойство непрерывности наследуется при дифференцировании: полином является непрерывно-дифференцируемой функцией. Из этого следует, что на плоскости $ (x_{},y) $ график полинома $ y=f_{}(x) $ представляет из себя непрерывную и гладкую кривую (ни разрывов, ни углов!) — касательная к графику существует в любой его точке.

Далее, вещественному корню $ x=\lambda_{} $ полинома $ f_{}(x) $ на плоскости $ (x_{},y) $ соответствует точка пересечения графика $ y=f_{}(x) $ с осью абсцисс.

По основной теореме высшей алгебры, таких точек может быть только конечное число: их — не более степени полинома $ \deg f (x) $. Далее, между каждой парой $ \lambda_j, \lambda_k $ вещественных корней полинома $ f_{}(x) $, его график обязан иметь «впадину» или «горб». Обращаясь к языку математического анализа, можно сказать (и доказать), что между двумя вещественными корнями полинома находится точка его локального минимума или локального максимума. В этой точке касательная к графику функции параллельна оси абсцисс и, следовательно, тангенс угла наклона касательной должен быть равен нулю. Иными словами, точки $ \mu_1,\mu_2,\dots $, в которых полином имеет локальный минимум или максимум, должны быть корнями его производной. См. следующий ПУНКТ.

К сожалению, не имеется наглядной интерпретации мнимых корней полинома .

Дальнейшие геометрические свойства полинома с вещественными коэффициентами см. ☞ ЗДЕСЬ.

Говорят, что полином $ f(x)\in \mathbb R[x] $ имеет в точке $ c_{} $ (локальный) минимум если существует некоторое $ \delta>0 $, что при всех значениях аргументов из $ \delta_{} $-окрестности точки $ c_{} $, т.е. при всех $ x_{} $, удовлетворяющих неравенству $ |x-c|<\delta $ будет выполнено $ f(x)> f(c) $. Если последнее неравенство изменить на противоположное, то получим определение (локального) максимума. Говорят, что полином имеет в точке $ c_{} $ (локальный) экстремум¹⁰⁾ если он имеет в этой точке либо максимум либо минимум.

Теорема [Ферма для полиномов]. Если полином $ f_{}(x) $ имеет в точке $ c_{} $ экстремум, то в этой точке его производная обращается в нуль: $$ f'(c)=0 \ . $$

Геометрический смысл этого результата пояснен в предыдущем пункте. Обращение производной полинома в нуль в точке $ c_{} $ является условием необходимым для существования в ней экстремума. Для выяснения будет ли в этой точке минимум, максимум или же экстремум отсутствует, следует обратиться к формуле Тейлора. Рассмотрим эту формулу в точке $ c_{} $ «подозрительной на экстремум», т.е. в такой, где $ f'(c)=0 $: $$ f(x)-f(c)=\frac{1}{2}f''(c)(x-c)^2+\frac{1}{6}f'''(c)(x-c)^3+\dots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-c)^n \ . $$ Если $ f''(c)\ne 0 $, то можем переписать эту разность в виде $$ f(x)-f(c)=(x-c)^2\underbrace{\left[\frac{1}{2}f''(c)+\frac{1}{6}f'''(c)(x-c)+\dots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-c)^{n-2}\right]}_{P(x)} \ . $$ Полином $ P(x) $ в точке $ c_{} $ имеет значение $ \frac{1}{2}f''(c) $, и его знак в некоторой окрестности точки $ c_{} $ полностью определяется знаком этого числа. Таким образом, в той же окрестности имеем: $$ \operatorname{sign} (f(x)-f(c)) = \operatorname{sign} (f''(c)) \ . $$

Если в точке $ c_{} $ выполнены условия $ f'(c)=0, f''(c)> 0 $ то в этой точке полином имеет локальный минимум; если же в ней выполнены условия $ f'(c)=0, f''(c)< 0 $, то в этой точке полином имеет локальный максимум.

Остался нерассмотренным случай $ f'(c)=0, f''(c)= 0 $ — крайне исключительный. Эта исключительность будет понятной если обратиться к результатам пункта о производных полинома: вероятность того, чтобы случайным образом выбранный полином $ f_{}(x) $ обладал такой точкой $ c_{} $ — нулевая. Тем не менее, надо довести исследование до конца и в этом случае. Если $ f'''(c) \ne 0 $, то из той же формулы Тейлора имеем формулу: $$ f(x)-f(c)=(x-c)^3\underbrace{\left[\frac{1}{6}f'''(c)+\dots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(x-c)^{n-3}\right]}_{Q(x)} \ . $$ Вне зависимости от знака $ f'''(c) $ эта разность принимает значения разных знаков в произвольной окрестности точки $ c_{} $: $$ \operatorname{sign} (f(x)-f(c)) = \left\{ \begin{array}{r} \operatorname{sign} f'''(c) \quad npu \ x > c \\ - \operatorname{sign} f'''(c) \quad npu \ x < c \end{array} \right. $$ В точке $ c_{} $ полином не имеет ни минимума, ни максимума. По аналогии рассматривается и общий случай.

Теорема. Для того, чтобы в точке $ c_{} $ полином $ f_{}(x) $ имел экстремум необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были выполнены условия

$$ f'(c)=0,f''(c)=0,\dots, f^{(k)}(c)=0,f^{(k+1)}(c)\ne 0 $$ при произвольном нечетном $ k_{} $. При этом в точке $ c_{} $ полином будет иметь локальный минимум при $ f^{(k+1)}(c)>0 $ и локальный максимум при $ f^{(k+1)}(c)<0 $.

При известной точке $ c_{} $ условия теоремы удобно проверять с помощью схемы Хорнера.

Пример. Найти

$$ \max_{x\in \mathbb R} (-x^6+12\,x^2+12\,x+2) \, . $$

Решение. Если идти по традиционной схеме математического анализа, то мы должны сначала найти корни производной полинома $ f(x)=-x^6+12\,x^2+12\,x+2 $, т.е. решить уравнение $ x^5-4\,x-2=0 $. В радикалах это уравнение не решается, так что приходится применять приближенные методы поиска вещественных корней: $ \mu_1\approx -1.24359, \mu_2 \approx - 0.50849, \mu_3 \approx 1.51851 $. Наконец, требуется сравнить по величине $ f(\mu_1), f(\mu_2), f(\mu_3) $.

В альтернативу этому подходу, можно избежать нахождения корней производной и построить (хоть и кропотливо, но зато безошибочно) полином $$ \mathcal F(z)= -z^5+10\,z^4+472\,z^3+16208\,z^2-16272\,z-32800 , $$ найти один его (максимальный вещественный) корень $ \approx 35.6321 $ — он и будет искомым максимумом.

Проверка: $ \max f = f(\mu_3) \approx 35.6321 $.

Подчеркнем, что указанная возможность гарантирована только полиномиальностью рассматриваемой экстремальной задачи и на произвольные (неполиномиальные) функции предлагаемый метод не распространяется.

Полином $ \Phi(x) \in \mathbb A[x] $, отличный от константы, называется неприводимым в (или неприводимым над) $ \mathbb A_{} $ если у $ \Phi(x) $ нет нетривиального делителя в $ \mathbb A[x] $. В противном случае $ \Phi(x) $ называется приводимым в (или приводимым над) $ \mathbb A_{} $. Полином $ \Phi(x) \in \mathbb A[x] $ неприводим над $ \mathbb A_{} $ тогда и только тогда, когда $ \operatorname{HOD} (\Phi(x),g(x)) \equiv const \in \mathbb A_{} $ для любого полинома $ g(x)\in \mathbb A_{}[x], \deg g(x) < \deg \Phi (x) $.

Теорема. Любой полином $ f(x) \in \mathbb A [x] $ можно представить в виде

$$ \begin{array}{rl} f(x) & \equiv a_0 (x- \lambda_1)^{{\mathfrak m}_1} \times \dots \times (x- \lambda_r)^{{\mathfrak m}_r} \times \\ & \times (x^2 +p_1x+ q_1)^{{\mathfrak M}_1} \times \dots \times (x^2 +p_{\ell}x+ q_{\ell})^{{\mathfrak M}_{\ell}} \ . \end{array} $$ где $ \Phi_1(x),\dots , \Phi_K(x) $ — различные нормализованные и неприводимые в $ \mathbb A_{} $ полиномы, а $ \{ {\mathfrak m}_1,\dots,{\mathfrak m}_K \} \subset \mathbb N $.

Последнее тождество называется каноническим разложением $ f(x)_{} $ над $ \mathbb A_{} $.

Пример. Полином $ x^{2}-2 $ неприводим в $ \mathbb Q_{} $, но приводим в $ \mathbb R_{} $:

$$ x^2-2 \equiv \left(x-\sqrt{2} \right) \left(x + \sqrt{2} \right) \, .$$ Полином $ x^{2}+2 $ неприводим в $ \mathbb Q_{} $, но приводим в $ \mathbb C_{} $: $$ x^2+2 \equiv \left(x+\mathbf i \sqrt{2} \right) \left(x - \mathbf i \sqrt{2} \right) \, .$$ Полином $ x^{4}+4 $ не имеет вещественных корней, но, тем не менее, приводим в $ \mathbb Q_{} $, т.к. $$ x^4+4\equiv (x^2+2\, x +2)(x^2-2\, x +2) \, . $$

Теорема. Любой полином $ f(x)\in \mathbb C [x] $ степени большей $ 1_{} $ приводим в $ \mathbb C_{} $.

Доказательство следует из основной теоремы высшей алгебры. ♦

Теорема. Любой полином $ f(x)\in \mathbb R [x] $ степени большей $ 2_{} $ приводим в $ \mathbb R_{} $. Неприводимыми в $ \mathbb R_{} $ являются полиномы вида

$$ x+a \quad \mbox{и} \quad x^2+p\, x +q_{} \quad \mbox{при} \quad \{a,p,q \} \subset \mathbb R,\ p^2 - 4q <0 \, .$$ Каноническое разложение в $ \mathbb R_{} $ произвольного полинома $ f(x)\in \mathbb R [x] $ имеет вид $$ f(x)\equiv a_0 (x- \lambda_1)^{{\mathfrak m}_1} \times \dots \times (x- \lambda_r)^{{\mathfrak m}_r} \times $$ $$ \times (x^2 +p_1x+ q_1)^{{\mathfrak M}_1} \times \dots \times (x^2 +p_{\ell}x+ q_{\ell})^{{\mathfrak M}_{\ell}} \ , $$ где $ \lambda_{1} , \dots , \lambda_r $ — различные вещественные числа, а квадратные трехчлены $ \{x^2 +p_1x+ q_1, \dots , x^2 +p_{\ell}x+ q_{\ell}\} \subset \mathbb R [x] $ — различные с отрицательными дискриминантами $ \mathcal D_j=p_j^2-4q_j<0 $.

Фактически, эта теорема является переформулировкой результата, приведенного ☞ ЗДЕСЬ.

Рассмотрим теперь полином с рациональными коэффициентами: $$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb Q [x] \ , \ a_0 \ne 0 \ . $$ Если полином $ f_{}(x) $ приводим в $ \mathbb Q_{} $, то будет приводимым и полином $ C\cdot f_{}(x) $ при $ \forall C \in \mathbb Q, C \ne 0 $; верно и обратное. Представив коэффициенты $ a_{0},\dots, a_n $ в виде несократимых дробей, возьмем $$ C=\operatorname{HOK}(\mbox{ знаменатель }\ a_{0},\dots, \mbox{ знаменатель }\ a_n ) \ , $$ тогда приводимость (или неприводимость) полинома $ f_{}(x) $ в $ \mathbb Q_{} $ эквивалентна приводимости (соответственно, неприводимости) в $ \mathbb Q_{} $ полинома $ C\cdot f(x) $ с целыми коэффициентами. Поэтому в дальнейшем будем сразу предполагать $ f(x)\in \mathbb Z[x] $. Можно ли пойти дальше и утверждать, что приводимость такого полинома в $ \mathbb Q_{} $ эквивалентна приводимости его в $ \mathbb Z_{} $, т.е. полином раскладывается на произведение полиномов меньших степеней с рациональными коэффициентами тогда и только тогда, когда он раскладывается на произведение полиномов меньших степеней с целыми коэффициентами?

Теорема. Полином $ f(x)\in \mathbb Z[x] $ неприводимый в $ \mathbb Z_{} $ будет неприводимым и в $ \mathbb Q_{} $.

Приводимость полинома с целыми коэффициентами $ f(x)\in \mathbb Z[x] $ в $ \mathbb Z_{} $ означает, что он раскладывается на два множителя с целыми коэффициентами: $$ a_0x^n+a_1x^{n-1}+ \dots + a_n \equiv (b_0x^k+b_1x^{k-1} + \dots + b_k) (c_0x^{\ell}+c_1x^{\ell-1} + \dots + c_{\ell}) $$ при $ k<n, \ell < n, k+\ell = n $. Для практического решения вопроса о существовании такого разложения, сначала установим условия его существования для случая, когда один из сомножителей — линейный полином.

Теорема. Если полином

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1} + \dots + a_n \in \mathbb Z[x] \ , a_0 \ne 0,a_n \ne 0 $$ имеет рациональный корень, представленный в виде несократимой дроби $ \lambda=\mathfrak p/\mathfrak q,\, \{{\mathfrak p}, {\mathfrak q}\}\subset \mathbb Z $, то ее числитель $ {\mathfrak p} $ является делителем свободного члена $ a_{n} $, а знаменатель $ {\mathfrak q}_{} $ — делителем старшего коэффициента $ a_{0} $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ . ♦

Итак, для поиска рациональных корней полинома $ f_{}(x) $ надо выписать множество всех натуральных делителей $ \{{\mathfrak p}_1=1,\dots,{\mathfrak p}_{s}\} $ числа $ |a_n| $, и множество всех натуральных делителей $ \{{\mathfrak q}_1=1,\dots,{\mathfrak q}_{t}\} $ числа $ |a_0| $, и после этого организовать вычисление $ f\left(\pm {\mathfrak p}_j/{\mathfrak q}_i \right) $ при всех возможных значениях индексов $ j\in \{1,\dots,s \}, i \in \{1,\dots, t \} $. Если ни одно из полученных чисел не равно нулю, то рациональных корней полином не имеет.

Если нормализованный полином $ f(x) \in \mathbb Z[x] $ имеет рациональные корни, то они — только целые и находятся среди делителей свободного члена.

Пример. Найти рациональные корни полинома

$$f(x)=6\,x^6-55\, x^5+331\, x^3-86\,x^4+289\,x^2-25\,x+350 \ . $$

Решение. Выписываем множества делителей
для $ 350\ : \quad \{1,\, 2 ,\, 5 ,\, 7,\, 10,\, 14,\, 25 ,\, 35,\, 50,\, 70,\, 175 \} $ и для $ 6\ : \ \{1,\, 2,\, 3,\, 6 \} $.
Составляем всевозможные несократимые дроби: $$ \left\{ \begin{array}{ccccccccccc} 1,& 2 ,& 5 ,& 7,& 10,& 14,& 25 ,& 35,& 50,& 70,& 175, \\ {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 2},& & {\scriptstyle 5}/{\scriptstyle 2} ,& {\scriptstyle 7}/{\scriptstyle 2}, & & & {\scriptstyle 25}/{\scriptstyle 2} & {\scriptstyle 35}/{\scriptstyle 2}, & & & {\scriptstyle 175}/{\scriptstyle 2}, \\ {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 2}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 5}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 7}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 10}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 14}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 25}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 35}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 50}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 70}/{\scriptstyle 3},& {\scriptstyle 175}/{\scriptstyle 3}, \\ {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 6},& & {\scriptstyle 5}/{\scriptstyle 6}, & {\scriptstyle 7}/{\scriptstyle 6}, & & & {\scriptstyle 25}/{\scriptstyle 6},& {\scriptstyle 35}/{\scriptstyle 6},& & & {\scriptstyle 175}/{\scriptstyle 6} \end{array} \right\} $$ Подставляем все эти значения со знаками $ +_{} $ и $ - $ в $ f(x)_{} $ и проверяем (например, с использованием схемы Хорнера ) на равенство нулю.

Ответ. $ 10,\, {\scriptstyle 5}/{\scriptstyle 2},\, -{\scriptstyle 7}/{\scriptstyle 3} $.

Подробнее о приводимости и неприводимости полиномов в $ \mathbb Z_{} $ ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема [Маклорен].¹¹⁾ Все корни полинома

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb C [x],\ a_0 \ne 0$$ удовлетворяют неравенству $$ |\lambda_j|<1+ A,\quad npu \quad A= \max_{k\in\{1,\dots,n\}} \left| \frac{a_k}{a_0} \right| . $$

Оценка Маклорена довольно грубая и для корней полиномов с вещественными коэффициентами чаще применяется другой критерий.

Теорема [Лагранж]. Все вещественные корни полинома

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n \in \mathbb R [x],\ a_0>0$$ удовлетворяют неравенству $$ \lambda_j<1+ \sqrt[r]{A},\quad npu \quad A=\max_{k\in \{1,\dots,n\}} \left| \frac{a_k}{a_0} \right| , $$ где $ r $ — номер первого отрицательного коэффициента.

Оценка Лагранжа, являясь оценкой вещественных корней сверху, фактически ограничивает возможные положительные корни.

А как получить нижнюю оценку возможных отрицательных корней?

Это можно сделать с помощью преобразования 1 полинома, рассмотренного ☞ ЗДЕСЬ. В самом деле, отрицательные корни полинома $ f(x) $ являются положительными корнями полинома $ f(-x) $. Найдя верхнюю границу последних с помощью любого из приведенных выше критериев, мы меняем у нее знак и в результате получаем нижнюю оценку отрицательных корней $ f(x) $. Преобразование 3 , рассмотренное в том же пункте, позволяет получить отдельные интервалы для возможных положительных и отрицательных корней.

Пример. Найти оценки положительных и отрицательных корней полинома

$$ f(x)=x^8+2\, x^7-2\, x^6 +6\, x^5 -80\, x^4 + 100\, x^3 -400\, x^2 + 15\, x +30 . $$

Решение. Сначала ограничим положительные корни сверху. В теореме Лагранжа имеем $ r=2,\, A=400 $, следовательно $ \lambda_j<21 $. Теперь ограничим отрицательные корни снизу. $$ f(-x)=x^8-2\, x^7-2\, x^6 -6\, x^5 -80\, x^4 - 100\, x^3 -400\, x^2 - 15\, x +30 , $$ и теперь $ r=1,\, A=400 $, следовательно $ -\lambda_j<401 \ \Rightarrow \ \lambda_j > -401 $. Формируем полином $$ f^{\ast}(x) = x^8f(1/x)= 1+2\, x-2\, x^2 +6\, x^3 -80\, x^4 + 100\, x^5 -400\, x^6 + 15\, x^7 +30\,x^8 $$ для оценки нижней границы положительных корней: $$1/\lambda_j < 1 + \sqrt{400/30} \ \Rightarrow \ \lambda_j > \frac{1}{1 +\sqrt{40/3}} . $$ Наконец, оценка Лагранжа для полинома $ f^{\ast}(-x) $: $$-1/\lambda_j < 1+ 40/3 \ \Rightarrow \ \lambda_j < - \frac{1}{1 +40/3} $$ позволяет ограничить сверху отрицательные корни полинома $ f(x) $.

Ответ. Положительные корни находятся в интервале $ ]0.214\, ,21[ $, а отрицательные — в интервале $ ]-401,-0.06[ $.

Проверка. Вещественные корни полинома: $$-4.324358112,\ -0.2473416673,\ 0.3027275675,\ 2.716544138 .$$

Для полиномов с вещественными коэффициентами следующий полезный результат очень прост в проверке. Будем использовать сокращение $ \operatorname{nrr} $ для числа вещественных корней¹²⁾.

Теорема [Декарт]. Число положительных корней полинома

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n \in \mathbb R[x], \quad (a_0> 0,a_n \ne 0)$$ с учетом их кратностей равно или меньше на четное число числа знакоперемен в ряду его коэффициентов: $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} = {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n)-2 k , \quad k\in \{0,1,2, \dots \} \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

С помощью преобразования корней полинома (см. пункт 1 ☞ ЗДЕСЬ ) можно доказать следствие:

Число отрицательных корней полинома

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n, \quad (a_0> 0,a_n \ne 0)$$ с учетом их кратностей можно оценить по формуле $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \} = {\mathcal V}(a_0,-a_1,a_2,\dots,(-1)^na_n)-2 k' \ , $$ а если среди коэффициентов $ a_{j} $ нет нулевых, то — по формуле $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \} = {\mathcal P}(a_0,a_1,a_2,\dots,a_n)-2 k' \ , $$ где $ k'\in \{0,1,2, \dots \} $ и $ {\mathcal P} $ обозначает число знакопостоянств.

Пример. Оценить число положительных и число отрицательных корней полинома

$$ f(x)=x^5-2\, x^4-8\,x^3-x^2-9\, x+1 \, .$$

Решение. $ {\mathcal V}(1,-2,-8,-1,-9,1)=2 $. $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} =2-2k \ge 0 \ ,$$ следовательно $ f_{}(x) $ имеет либо два, либо ни одного положительного корня. Далее, по следствию: $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x<0 \} = {\mathcal P}(1,-2,-8,-1,-9,1)=3-2k'\ge 0 \ , $$ следовательно $ f_{}(x) $ имеет либо три, либо один отрицательный корень.

Проверка. Вещественные корни полинома: $ -2.23233, 0.10863, 4.12369 $.

Если каким-то образом заранее известно, что все корни полинома вещественны, то число положительных из них определяется по правилу знаков Декарта однозначно:

$$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x>0 \} = {\mathcal V}(a_0,a_1,\dots,a_n) \ . $$

Пример. Характеристический полином вещественной симметричной матрицы удовлетворяет условию следствия. См. ☞ ЗДЕСЬ.

Задача. Для полинома¹⁴⁾ $ f(z) $ получить точную информацию о числе его корней в заданной области $ \mathbb S $ комплексной плоскости $ \mathbb C $.

Оказывается, для достаточно широкого класса областей $ \mathbb S $ эту информацию можно получить без применения численных, т.е. приближенных методов. Существуют алгоритмы, позволяющие за конечное число элементарных алгебраических операций ($ +,-,\times, \div $) над коэффициентами $ f(z) $ установить количество корней этого полинома в таких областях, как, к примеру, $$ \begin{array}{ccl} \mathbb S&=&\{ z\in \mathbb R \big| a<z<b \} \ npu \ \{a,b\} \subset \mathbb R \ , \\ && \\ \mathbb S&=&\{ z\in \mathbb C \big| \Re e (z) <0 \} \ , \\ && \\ \mathbb S&=&\{ z\in \mathbb C \big| |z| <1 \} \ . \end{array} $$

Задача. Для полинома $ f(x)_{}\in \mathbb R[x] $ установить точное число его корней на заданном интервале $ ]a,b[ $: $$ \operatorname{nrr} \{f(x)=0 \ | \ a<x<b \} \ .$$

Для полинома $ f_{}(x) $ система полиномов $$ f_0(x)\equiv f(x), f_1(x),\dots, f_K(x) $$ называется системой полиномов Штурма¹⁵⁾ на заданном интервале $ ]a,b[ $ если на этом интервале
1. cоседние полиномы $ f_j(x) $ и $ f_{j+1}(x) $ не имеют общих корней;
2. $ f_K(x)\ne 0 $;
3. если $ f_j(x_0)=0 $ при $ x_0 \in ]a,b[ $ и $ j\in \{1,\dots,k-1\} $, то числа $ f_{j-1}(x_0) $ и $ f_{j+1}(x_0) $ имеют разные знаки: $ f_{j-1}(x_0)f_{j+1}(x_0)<0 $;
4. произведение $ f_{0}(x)f_{1}(x) $ меняет знак с отрицательного на положительный когда $ x_{} $, возрастая, проходит корень $ \lambda\in ]a,b[ $ полинома $ f_0(x)\equiv f(x) $.

Число знакоперемен $$ {\mathcal V}_x= {\mathcal V}(f_0(x), f_1(x),\dots, f_K(x)) $$ при $ x_{} $ возрастающем от $ a_{} $ к $ b_{} $, будет меняться когда $ x_{} $ проходит через корень какого-либо полинома системы. Доказывается, что это число может разве лишь уменьшаться, и уменьшается на единицу тогда и только тогда, когда $ x_{} $ проходит через корень начального полинома системы, т.е. через корень $ f(x)_{} $.

Теорема [Штурм]. Если $ f(a)\ne 0, \ f(b)\ne 0 $, и система $ f_0(x), f_1(x),\dots, f_K(x) $ является системой полиномов Штурма для $ f(x_{}) $, то

$$ \operatorname{nrr} \{f(x)=0 \mid a<x<b \}= {\mathcal V}_a - {\mathcal V}_b= $$ $$ ={\mathcal V}(f_0(a), f_1(a),\dots, f_K(a))- {\mathcal V}(f_0(b), f_1(b),\dots, f_K(b)) \ . $$

Самый распространенный способ построение системы полиномов Штурма основан на алгоритме Евклида нахождения наибольшего общего делителя полинома $ f_{}(x) $ и его производной $ f{'}(x) $. Предположим, что $ f_{}(x) $ не имеет кратных корней. Это равносильно тому, что $ \operatorname{HOD} (f(x),f'(x))= const \ne 0 $ (см. ☞ ЗДЕСЬ ). Установить этот факт можно по алгоритму Евклида нахождения $ \operatorname{HOD} $. Оказывается, что в качестве полиномов системы Штурма можно взять последовательность остатков из алгоритма Евклида, если только домножить некоторые из них на $ -1_{} $. Именно, возьмем $$f_1(x) \equiv f'(x) \ .$$ Поделим $ f_{0}(x) \equiv f(x) $ на $ f_{1}(x) $ и обозначим через $ f_{2}(x) $ остаток, домноженный на $ -1_{} $: $$f_0(x)\equiv q_1(x) f_1(x)-f_2(x), \quad \deg f_2 < n-1 \ .$$ Поделим $ f_{1}(x) $ на $ f_{2}(x) $ и обозначим через $ f_{3}(x) $ остаток, домноженный на $ -1_{} $: $$f_1(x)\equiv q_2(x) f_2(x)-f_3(x), \quad \deg f_3 < \deg f_2 \ .$$ Продолжаем алгоритм далее, в конце концов дойдем до последнего ненулевого остатка $ f_{K}(x) $, который совпадает с $ \operatorname{HOD} (f(x),f'(x)) $. По предположению, этот последний $ f_{K}(x)\equiv const \ne 0 $.

Если на интервале $ ]a,b[ $ полином $ f_{}(x) $ имеет корень четной кратности, то построение системы полиномов Штурма невозможно.

Пример. Отделить корни полинома $ f (x)=x^{4}-x-1 $.

Решение. $ f_1=f'(x)=4\, x^{3}-1 $. $$ \begin{array}{rrrrrr|l} x^4+ &{}0x^3 +&{}0x^2 &-x &-1 &&\,4\, x^3-1\\ x^{4}+& & & - \frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4} x & &&\, \overline{\quad \frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 4}\, x \quad } \\ \hline & & &- \frac{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 4} \, x &-1 \\ \end{array} $$ Полагаем $ f_2(x)= \frac{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 4} \, x+1 $. $$ \begin{array}{rrrrr|l} 4x^3 +&{}0x^2 &+0x &-{}1 &&\frac{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 4}\, x+1\\ 4x^3 +&\frac{\scriptstyle 16}{\scriptstyle 3}\, x^2 & & & & \overline{ \frac{\scriptstyle 16}{\scriptstyle 3}\,x^{2}-\frac{\scriptstyle 64}{\scriptstyle 9}\, x+ \frac{\scriptstyle 256}{\scriptstyle 27}} \\ \hline &-\frac{\scriptstyle 16}{\scriptstyle 3}\, x^{2} & &{}-1 \\ &-\frac{\scriptstyle 16}{\scriptstyle 3}\, x^2 &-\frac{\scriptstyle 64}{\scriptstyle 9}\, x & \\ \hline & & \frac{\scriptstyle 64}{\scriptstyle 9}\, x & -1 \\ & & \frac{\scriptstyle 64}{\scriptstyle 9}\, x & +\frac{\scriptstyle 256}{\scriptstyle 27} \\ \hline & & & - \frac{\scriptstyle 283}{\scriptstyle 27} \end{array} $$ Полагаем $ f_3(x)=\frac{\scriptstyle 283}{\scriptstyle 27} $.

Ответ. Полином $ f_{}(x) $ имеет два различных вещественных корня, один на интервале $ ]-1,0_{}[ $, другой — на $ ]1,2_{}[ $.

Более подробный анализ алгоритма, а также альтернативный способ локализации корней полинома, основанный на ганкелевых матрицах ☞ ЗДЕСЬ

Полином $ f(z) $ с комплексными коэффициентами называется устойчивым, если все его корни удовлетворяют условию $ {\mathfrak Re}(z)<0 $.

Понятие устойчивого полинома важно в теории оптимального управления.

Теорема [Раус, Гурвиц]. Для устойчивости полинома $ f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n $ с вещественными коэффициентами и $ a_0 > 0 $ необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства

$$ a_1>0, \left| \begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2 \end{array} \right|>0, \left| \begin{array}{lll} a_1 & a_3 & a_5\\ a_0 & a_2 & a_4 \\ 0 & a_1 & a_3 \end{array} \right|>0,\dots, \left| \begin{array}{lllcl} a_1 & a_3 & a_5 & \dots & 0\\ a_0 & a_2 & a_4 & \dots & 0 \\ 0 & a_1 & a_3 & \dots & 0 \\ 0 & a_0 & a_2 & \dots & 0 \\ \dots & & & \ddots & \dots \\ \dots & & & \dots & a_n \end{array} \right|>0 . $$

Единичным кругом на комплексной плоскости назовем круг $ |z|\le 1 $.

Задача. Найти необходимые и достаточные условия на коэффициенты полинома $ f(z)=a_0z^n+\dots+ a_n $, при которых все его корни $ \lambda_1,\dots, \lambda_n $ находятся внутри единичного круга, т.е. удовлетворяют условию $ |z|<1 $.

Решить эту задачу можно сведением ее к задаче установления критерия устойчивости некоторого вспомогательного полинома.

Теорема. Замена переменной

$$ z = \frac{w+1}{w-1} $$ производит взаимно-однозначное отображение внутренности единичного круга плоскости $ z $ в левую полуплоскость плоскости $ w $.

Теорема. Полином $ f(z)=a_0z^n+\dots+a_n $ имеет все свои корни лежащими внутри единичного круга тогда и только тогда, когда полином

$$ F(w) = (w-1)^n f\left( \frac{w+1}{w-1} \right) = a_0(w+1)^n+a_1(w+1)^{n-1}(w-1)+\dots+a_n(w-1)^n $$ будет устойчив.

Пример. Определить все вещественные значения параметра $ {\color{Red} \alpha } $, при которых полином

$$f(z)=3\,z^3+{\color{Red} \alpha } \, z^2+z+2 $$ будет иметь все корни лежащими внутри единичного круга.

Решение. Строим полином из теоремы $$ F(w)=\underbrace{(6+{\color{Red} \alpha })}_{A_0}w^3+\underbrace{(2+{\color{Red} \alpha })}_{A_1}w^2 +\underbrace{(14-{\color{Red} \alpha })}_{A_2}w+\underbrace{2-{\color{Red} \alpha }}_{A_3} . $$ Теорема Льенара-Шипара дает условия устойчивости $ F(w) $ в виде $$A_0>0, \ A_1>0,\ A_2>0,\ A_3>0,\ A_1A_2-A_0A_3>0 \ ; $$ и $$A_0<0, \ A_1<0,\ A_2<0,\ A_3<0,\ A_1A_2-A_0A_3>0 \ .$$ Подставляя сюда выражения для коэффициентов, получим, что первая система ограничений имеет решение $ -1< {\color{Red} \alpha } < 2 $, вторая же — несовместна.

Косвенной проверкой истинности полученного интервала могут служить его границы: $$ f(z)\equiv \left\{ \begin{array}{rl} (3z+2)(z^2-z+1) & npu \ {\color{Red} \alpha }=-1 ; \\ (z+1)(3\,z^2-z+2) & npu \ {\color{Red} \alpha }=2 . \end{array} \right. $$ В обоих случаях имеются корни, удовлетворяющие условию $ |z|=1 $: в первом случае это будет комплексно-сопряженная пара $ 1/2 \pm {\mathbf i} \sqrt{3}/2 $, во втором — корень $ (-1) $.

Ответ. $ -1< {\color{Red} \alpha } < 2 $.

Известен еще один результат, позволяющий решить поставленную задачу.

Теорема [Шур, Кон]. Полином $ f(z)=a_0z^n+\dots+a_n $ с вещественными коэффициентами имеет все свои корни лежащими внутри единичного круга тогда и только тогда, когда

$$ |\mbox{ старший коэффициент } f(z) |>|\mbox{ свободный член } f(z)| \ , $$ т.е. $ |a_0| > |a_n| $, и полином $$ f_1(z) = \frac{a_0f(z)-a_nf^{*}(z)}{z} \quad npu \quad f^{*}(z) = z^nf(1/z) \equiv a_0+a_1z+\dots+a_nz^n $$ имеет все свои корни лежащими внутри единичного круга.

На первый взгляд, конструктивность этого результата не очень очевидна: исходная задача для полинома $ f(z) $ сводится к аналогичной задаче для полинома $ f_1(z) $. Обратим, однако, внимание на то, что полином $$ \begin{matrix} f_1(z)&=& \left[a_0(a_0z^n+\dots+a_n)-a_n (a_0+a_1z+\dots+a_nz^n) \right] \big/ z = \\ &=& \left[(a_0^2-a_n^2)z^n+(a_0a_1-a_{n-1}a_n)z^{n-1} + \dots + (a_0a_{n-1}-a_{1}a_n)z \right] \big/ z = \\ &=& (a_0^2-a_n^2)z^{n-1}+(a_0a_1-a_{n-1}a_n)z^{n-2} + \dots + (a_0a_{n-1}-a_{1}a_n) \end{matrix} $$ имеет степень меньшую, чем $ \deg f $. Таким образом, алгоритм конструктивен в том смысле, что он сводит исходную задачу к более простой. Применяя к полиному $ f_1(z) $ снова критерий Шура-Кона, получим следующее необходимое условие $$ |\mbox{ старший коэффициент } f_1(z) | > | \mbox{ свободный член } f_1(z)| \ \iff \quad |a_0^2-a_n^2| > |a_0a_{n-1}-a_{1}a_n| \ , $$ при выполнении которого дальнейшему исследованию подлежит полином $$ f_2(z) = \frac{(a_0^2-a_n^2)f_1(z)-(a_0a_{n-1}-a_{1}a_n)f^{*}_1(z)}{z} \ . $$ Продолжая процедуру, за конечное число шагов мы дойдем до полинома первой степени. Окончательно, необходимые и достаточные условия нахождения всех корней полинома $ f(z) $ степени $ n_{} $ внутри единичного круга получаются объединением $ n_{} $ условий $$ |\mbox{ старший коэффициент } f(z) |>|\mbox{ свободный член } f(z)| , $$ $$ |\mbox{ старший коэффициент } f_1(z) | > |\mbox{ свободный член } f_1(z)| , $$ $$ \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots $$ $$ |\mbox{ старший коэффициент } f_{n-1}(z) |>|\mbox{ свободный член } f_{n-1}(z)| \ . $$

Пример на применение этой теоремы ☞ ЗДЕСЬ.

Как упоминалось ☝ ВЫШЕ, корни полинома $ f_{}(z) $, как правило, не выражаются в радикалах уже при $ \deg f=5 $ . Но даже в тех случаях, когда выражаются, как, например, $$\lambda=\frac{\sqrt{5}-1 + \sqrt{10- \sqrt{20}}}{2} \quad \mbox{ для } \ f(x)=x^4+2x^3-6x^2-2x+1 \ , $$ толку от такого представления мало: на каком интервале вещественной оси лежит $ \lambda $? Поэтому наряду с поиском аналитических формул для корней полиномов практический интерес представляет нахождение их приближенных значений. Эту задачу будем решать, в основном, для полиномов над $ \mathbb R_{} $ (т.е. полиномов с вещественными коэффициентами), с которыми чаще всего и приходится иметь дело на практике.

Нас, прежде всего, будут интересовать именно вещественные корни полиномов. В дальнейшем переменную этих полиномов будем обозначать через $ x_{} $ и считать ее вещественной. Для поиска вещественных корней полинома, как правило, требуется их предварительно отделить, т.е. найти интервалы $ ]a,b_{}[ $, каждый из которых содержит только один корень $ f_{}(x) $. Поиск такого интервала можно производить разными способами, самый общий из которых изложен ☝ ВЫШЕ. Однако, для предварительного понимания изложенных ниже методов, достаточно будет ориентироваться на теорему Больцано: полином имеет корень на $ ]a,b_{}[ $, если на концах интервала он принимает значения разных знаков. Этот корень будет единственным, если дополнительно предположить, что функция $ f_{}(x) $ монотонна на $ ]a,b_{}[ $. Последнее условие будет очевидно выполнено, если производная $ f^{\prime}(x) $ не меняет знака на $ ]a,b_{}[ $, т.е. полином $ f^{\prime}(x) $ не имеет корней на рассматриваемом интервале. Действительно, если предположить существование двух корней у $ f_{}(x) $ на $ ]a,b_{}[ $, то, по соображениям, упомянутым ☞ ЗДЕСЬ¹⁶⁾, должна существовать точка этого интервала, в которой $ f^{\prime}(x) $ обращается в нуль. Анализ знака $ f^{\prime}(x) $ на $ ]a,b_{}[ $ часто удается произвести элементарными рассуждениями.

Универсальный метод: подходит не только для полиномов. Рассматривается ☞ ЗДЕСЬ.

Подходит для полиномов в том числе и с комплексными коэффициентами (и мнимые корни тоже ищет). Не предполагает предварительного отделения корней. Рассматривается ☞ ЗДЕСЬ.

рассматривается ☞ ЗДЕСЬ

рассматривается ☞ ЗДЕСЬ

☞ ЗДЕСЬ

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[2]. Журавский А.М. Сборник задач по высшей алгебре. М.-Л.ГТТИ. 1933

[3]. Граве Д. Элементы высшей алгебры. Киев. 1914

[4]. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.Наука. 1965, с.242-245

[5]. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М. ИЛ, 1963, c. 137-142

[6]. Крейн М., Наймарк М. Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений. Харьков, ГТТИ, 1936, 39 с.

[7]. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.Наука.1979.