Решение системы уравнений $$ \left\{ \begin{array}{ll} a_{11}x_1 +a_{12}x_2&=b_1,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2&=b_2. \end{array} \right. $$ можно записать в виде $$ x_1 = \frac{\left| \begin{array}{cc} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|} ,\ x_2= \frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|} \ ; $$ при условии отличия от нуля определителя, стоящего в знаменателе.

Аналогичные формулы (при аналогичном предположении) справедливы и для решения системы $$ \left\{ \begin{array}{rrrl} a_{11}x_1 +&a_{12}x_2+&a_{13}x_3=&b_1 \\ a_{21}x_1 +&a_{22}x_2+&a_{23}x_3=&b_2 \\ a_{31}x_1 +&a_{32}x_2+&a_{33}x_3=&b_3. \end{array} \right. $$ Именно: $$ x_1=\frac{\left| \begin{array}{lll} b_{1} & a_{12} & a_{13}\\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|} \ , \ x_2=\frac{\left| \begin{array}{lll} a_{11} & b_{1} & a_{13}\\ a_{21} & b_{2} & a_{23} \\ a_{31} & b_{3} & a_{33} \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|} \ , \ x_3=\frac{\left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & b_{3} \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|} \ . $$

Теорема. Cистема

$$ \left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&b_1\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&b_2\\ \ldots& & \ldots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n &=&b_n \end{array}\right. \ \iff \ AX= \mathcal B $$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: $$ \left| \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots &&& \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \ne 0 \ . $$ В этом случае решение можно вычислить по формулами Крамера¹⁾: $$ x_k =\frac{\det \left[ A_{[1]}|\dots|A_{[k-1]}|{\mathcal B}|A_{[k+1]}|\dots|A_{[n]} \right]}{\det A} \quad npu \quad k\in \{ 1,\dots,n \} \ . $$ Для получения значения $ x_{k} $ в числитель ставится определитель, получающийся из $ \det A_{} $ заменой его $ k_{} $-го столбца на столбец правых частей ( здесь $ {} | $ означает конкатенацию, $ A_{[j]} $ — $j$й столбец матрицы $ A $).

Доказательство. Пусть решение системы существует. Покажем, что оно выражается по формулам Крамера. Домножим каждое уравнение системы на соответствующее алгебраическое дополнение к элементам первого столбца матрицы $ A $: первое уравнение — на $A_{11}$, второе — на $A_{21}$, и т.д., $n$-е — на $A_{n1}$. Просуммируем полученное: $$x_1\sum_{j=1}^n a_{j1} A_{j1}+ x_2\sum_{j=1}^n a_{j2} A_{j1}+ \dots+x_n\sum_{j=1}^n a_{jn} A_{j1}=\sum_{j=1}^n b_{j} A_{j1} \, .$$ На основании ☞ теоремы 2: в левой части коэффициенты при $x_2,\dots,x_n$ пропадают, а коэффициент при $x_1$ равен $\det A$. $$x_1 \det A = b_1A_{11}+b_2A_{21}+\dots+b_nA_{n1}= \left|\begin{array}{cccc} b_{1} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ b_{2} &a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ & \ldots&& \ldots\\ b_{n} &a_{n2}&\ldots&a_{nn} \end{array}\right| \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x_1 =\frac{\det \left[{\cal B},A_{[2]},\dots,A_{[n]} \right]}{\det A} \, .$$ Аналогично (т.е. домножением уравнений на $A_{jk}$) показывается справедливось и общей формулы Крамера.

Покажем теперь, что формулы Крамера действительно дают решение системы уравнений. Подставим их в левую часть первого уравнения: $$a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n = $$ $$ =a_{11}\frac{\displaystyle \sum_{\ell =1}^nb_{\ell}A_{\ell 1}}{\det A} + a_{12}\frac{\displaystyle \sum_{\ell =1}^nb_{\ell} A_{\ell 2}}{\det A} +\dots+a_{1n}\frac{\displaystyle \sum_{\ell =1}^nb_{\ell}A_{\ell n}}{\det A}=$$ перегруппируем слагаемые: $$ =b_1\frac{\displaystyle \sum_{s=1}^na_{1s}A_{1s}}{\det A} +b_2\frac{\displaystyle \sum_{s=1}^na_{1s}A_{2s}}{\det A}+ \dots+b_n\frac{\displaystyle \sum_{s=1}^na_{1s}A_{ns}}{\det A}. $$ на основании второго равенства из ☞ теоремы 2 все слагаемые кроме первого пропадут, а первое превратится в $b_1\det A \big/ \det A =b_1$. Аналогично проверяется истинность всех остальных равенств системы. ♦

Пример. Решить систему уравнений

$$ \left\{\begin{array}{rrrrrr} 2x_1& +3x_2&+11x_3&+5x_4 &=& \color{Red}2,\\ x_1& +x_2&+5x_3&+2x_4 &=& \color{Red}1 ,\\ 2x_1& +x_2&+3x_3&+2x_4 &=&\color{Red}{-3},\\ x_1& +x_2&+3x_3&+4x_4 &=&\color{Red}{-3}. \end{array}\right. $$

Решение. $$ x_1=\frac{\left|\begin{array}{rrrr} \color{Red}2 & 3&11&5 \\ \color{Red}1 & 1&5&2 \\ \color{Red}{-3}& 1&3&2 \\ \color{Red}{-3} & 1&3&4 \end{array}\right|} {\left|\begin{array}{rrrr} 2& 3&11&5 \\ 1& 1&5&2 \\ 2& 1&3&2 \\ 1& 1&3&4 \end{array}\right|}=\frac{-28}{14}=-2, x_2=\frac{\left|\begin{array}{rrrr} 2& \color{Red}2&11&5 \\ 1& \color{Red}1&5&2 \\ 2& \color{Red}{-3}&3&2 \\ 1& \color{Red}{-3}&3&4 \end{array}\right|} {\left|\begin{array}{rrrr} 2& 3&11&5 \\ 1& 1&5&2 \\ 2& 1&3&2 \\ 1& 1&3&4 \end{array}\right|}=\frac{0}{14}=0, \dots $$ Найдите оставшиеся компоненты решения. ♦

Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_{} $ является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что $ \det A_{} \ne 0 $.

Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. Дело в том, что прямой ход метода Гаусса использует деление на элементы матрицы. В случае, когда эти элементы зависят от параметра, возникает проблема анализа условий обращения делителей в нуль.

Пример. Для системы

$$ \left\{\begin{array}{rrrrrr} 2x_1& -x_2&+3x_3&+4x_4 &=&5\\ 4x_1& -2x_2&+5x_3&+6x_4 &=&7\\ 6x_1& -3x_2&+7x_3&+ {\color{Red} \alpha} x_4 &=&6\\ {\color{Red} \alpha} x_1& -4x_2&+9x_3&+10x_4 &=&11, \end{array}\right. $$ зависящей от параметра $ {\color{Red} \alpha} \in \mathbb R $, определить предел отношения компонент решения: $$ \lim_{{\color{Red} \alpha} \to 8} \frac{x_3}{x_2} \ . $$

Решение. В этом примере определитель матрицы системы равен $ -({\color{Red} \alpha}-8)^2 $. По теореме Крамера система совместна при $ {\color{Red} \alpha} \ne 8 $. Для случая $ {\color{Red} \alpha}=8 $ применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде $$ x_2=\frac{2(2{\color{Red} \alpha}-13)}{{\color{Red} \alpha}-8} ,\ x_3=\frac{3({\color{Red} \alpha}-6)}{{\color{Red} \alpha}-8} $$ и, хотя при $ {\color{Red} \alpha} \to 8 $ каждая из них имеет бесконечный предел, тем не менее, их отношение стремится к пределу конечному.

Ответ. $ 1_{} $.

По какому сценарию у системы, зависящей от параметра, образуется бесконечное множество решений? Проверьте на примере системы:

$$ \left\{\begin{array}{rrrcc} -2x_1& -2x_2&+x_3&=&-3\\ 5 x_1& +x_2&-2x_3 &=&2\\ {\color{Red} \alpha} x_1& +x_2&+x_3&=&{\color{Red} \alpha}^2+3\,{\color{Red} \alpha}+1. \end{array}\right. $$