Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ


Миноры

Основываясь на определении определителя $ n $-го порядка $$\det A=\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$ выведем здесь правило сведéния его к вычислению определителей $ (n-1) $-го порядка.

Т

Теорема 1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по $ \mathbf j $-й строке (или по элементам $ \mathbf j $-й строки):

$$ \det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell} $$ и разложения определителя по $ k_{} $-му столбцу: $$ \det A = a_{1k}A_{1k} + a_{2k}A_{2k}+ \dots + a_{nk}A_{nk} = \sum_{\ell=1}^n a_{\ell k} A_{\ell k} $$ для любых $ \{j,k \} \subset \{1,2,\dots,n \} $.

Доказательство. I. Докажем сначала справедливость первого разложения для случая $ j=1 $, т.е. для первой строки. Эту строку можно представить в виде суммы $ n $ строк: $$(a_{11},a_{12},\dots,a_{1n})=(a_{11},0,\dots,0)+(0,a_{12},\dots,0)+ \dots +(0,0,\dots,a_{1n}) \, .$$ На основании теоремы 5, $ \det A $ можно представить в виде суммы $$ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{llll} 0 & a_{12} & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \dots + \left| \begin{array}{llll} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, . $$ Рассмотрим первый из этих определителей: $$ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, . $$ На основании теоремы 3, из первой строки можно вынести множитель: $$ a_{11} \left| \begin{array}{llll} 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, . $$ Обозначим получившийся определитель через $ B_1 $ и разложим его по формуле определителя: $$ B_1=\sum (-1)^{\operatorname{inv} (1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} 1\cdot a_{2\alpha_2}\times \dots \times a_{n\alpha_n} \, . $$ Здесь суммирование идет по всем перестановкам $ (\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ чисел $ \{2,\dots,n\} $. Далее, на основании определения инверсии $$ \operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\sum_{1\le j<k\le n}\operatorname{inv}(\alpha_j,\alpha_k) $$ имеем $$ \operatorname{inv} (1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) = \operatorname{inv} (\alpha_2,\dots,\alpha_n)+ \sum_{j=2}^n \operatorname{inv} (1,\alpha_j) = \operatorname{inv} (\alpha_2,\dots,\alpha_n) \, . $$ Следовательно, $$ B_1=\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_2,\dots,\alpha_n)} a_{2\alpha_2}\dots a_{n\alpha_n} \ , $$ где суммирование идет по всем перестановкам $ (\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ чисел $ \{2,\dots,n\} $. Однако последняя сумма — на основании определения — представляет следующий определитель $ (n-1) $-го порядка $$ \left| \begin{array}{llll} a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \dots &&& \dots \\ a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| = M_{11} \, . $$ Видим, что формула $$ \det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell} $$ будет справедлива для $ j=1 $ по крайней мере для определителей вида $$ \left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, . $$

II. Рассмотрим теперь второй определитель в разложении $$ \det A= \left| \begin{array}{llll} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{llll} 0 & a_{12} & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| + \dots + \left| \begin{array}{llll} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, . $$ Переставим в нем местами первый и второй столбцы. На основании теоремы 6 получаем $$ \left| \begin{array}{lllll} 0 & a_{12} & 0 &\dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| =- \left| \begin{array}{lllll} a_{12} &0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{n2} & a_{n1}& a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \, . $$ На основании доказанного в пункте I , получившийся определитель равен $$ =-a_{12} \left| \begin{array}{llll} a_{21} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1}& a_{n3} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| =-a_{12}M_{12}=a_{12}A_{12} \, . $$ Теперь понятно как надо обходиться с остальными слагаемыми в формуле (\ref{MINeq0}). Переставляем столбцы так, чтобы загнать единственный элемент первой строки в левый верхний угол. Каждая такая перестановка влечет за собой изменение знака, т.е. домножение нового определителя на $ (-1) $. Следовательно, последний определитель в (\ref{MINeq0}): $$\left| \begin{array}{lllll} 0 & 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{array} \right|=(-1)^{n-1} \left| \begin{array}{lllll} a_{1n} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{2n} & a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{nn} & a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n,n-1} \end{array} \right|= $$ $$ =(-1)^{n-1}a_{1n} \left| \begin{array}{llll} a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n,n-1} \end{array} \right|=(-1)^{n+1}a_{1n}M_{1n}=a_{1n}A_{1n} \, . $$

III. Итак, разложение $$ \det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell} $$ имеет место при $ j=1 $. Если же $ j>1 $, то рассуждения будут аналогичны предыдущему случаю. Для того, чтобы преобразовать определитель $$ \left| \begin{array}{lllllll} a_{11} & \dots & a_{1,k-1} & a_{1k} & a_{1,k+1} & \dots & a_{1n} \\ \dots &&&&&& \dots \\ a_{j-1,1} & \dots & a_{j-1,k-1} & a_{j-1,k} & a_{j-1,k+1} & \dots & a_{j-1,n} \\ 0 & \dots & 0 & a_{jk} & 0 & \dots & 0 \\ a_{j+1,1} & \dots & a_{j+1,k-1} & a_{j+1,k} & a_{j+1,k+1} & \dots & a_{j+1,n} \\ \dots &&&&&& \dots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,k-1} & a_{nk} & a_{n,k+1} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| $$ к виду когда первая строка содержит не более одного ненулевого элемента, мы переставляем $ j $-ю строку с предыдущими. Потребуется всего $ (j-1) $ перестановка, чтобы эта строка оказалась на месте первой (а порядок следования остальных строк не изменился; они, разве что, сдвинулись вниз). А этот случай уже обсуждался в пункте II : потребуется еще $ (k-1) $ перестановка, чтобы $ k $-й столбец оказался на месте первого, и мы оказались бы в ситуации из пункта I . Минор $ M_{jk} $ домножится на $ (-1)^{j-1+k-1}=(-1)^{j+k} $. Следовательно, формула $$ \det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} = \sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell} $$ справедлива для любого $ j $. Справедливость же второй из доказываемых формул теоремы будет тогда следовать из теоремы $ 2 $ ЗДЕСЬ.

=>

Если рассматривать определитель матрицы как функцию ее элементов, то частная производная определителя по какому-то элементу равна соответствующему алгебраическому дополнению:

$$ \frac{\partial \det (A)}{ \partial a_{jk}} = A_{jk} \, . $$

Т

Теорема 2. Сумма произведений элементов $ j $-го ряда $ \det A $ на алгебраические дополнения элементов $ k $-го ряда равна $ 0_{} $ если $ j\ne k $ и равна $ \det A $ если $ j= k $:

$$ \sum_{\ell=1}^n a_{\ell j}A_{\ell k}=\delta_{jk} \det A \, ,\quad \sum_{\ell=1}^n a_{j \ell}A_{k \ell}=\delta_{jk} \det A \, . $$ Здесь $ \delta_{jk}^{} $ — символ Кронекера.

Доказательство. При $ j=k $ утверждение следует из теоремы 1. Пусть $ j\ne k $. Для определенности, докажем теорему для строк определителя. Составим новый определитель заменой $ k $-й строки $ \det A $ на $ j $-ю строку того же определителя: $$ \det A= \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \quad {\color{Red} \rightarrow } \quad \det \widetilde{A}=\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{jn} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \begin{array}{l} {\ } \\ {\ } \\ {{\scriptstyle \leftarrow j}} \\ {\ } \\ {{\scriptstyle \leftarrow k}} \\ {\ } \\ {\ } \end{array} \, . $$ На основании теоремы 4, $ \det \widetilde{A}=0 $. С другой стороны, разложим его по элементам $ k $-й строки; очевидно, что алгебраические дополнения элементов этой строки будут совпадать с алгебраическими дополнениями элементов $ k $-й строки $ \det A $: $$ 0 =a_{j1}A_{k1} + a_{j2} A_{k2} + \dots + a_{jn} A_{kn} \ , $$ т.е. мы получили вторую из доказываемых формул.

algebra2/dets/minors.txt · Последние изменения: 2020/10/22 23:43 — au