Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $.

Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией над множеством $ \mathbb A_{} $ называется выражение вида $$\frac{g(x)}{f(x)} \ npu \ \{f(x),g(x) \}\subset \mathbb A[x],\ f(x)\not\equiv 0 \ . $$ Для экономии места будем опускать слово «рациональный» и, по аналогии с числовыми дробями, записывать рациональную дробь в виде $ g_{}(x)/f(x) $. Полином $ g_{}(x) $ называется числителем дроби, а $ f_{}(x) $ — знаменателем дроби.

Дроби $ g_1(x)/ f_1(x) $ и $ g_2(x)/f_2(x) $ называются равными если $ f_1(x)g_2(x)-f_2(x)g_1(x) \equiv 0 $; будем этот факт записывать: $$ \frac{g_1(x)}{f_1(x)}\equiv \frac{g_2(x)}{f_2(x)} \ .$$ В противном случае дроби называются неравными.

Пример.

$$\frac{x-1}{x^2-1} \equiv \frac{1}{x+1} \ ,$$ и, в общем случае, $$\frac{h(x)g(x)}{h(x)f(x)} \equiv \frac{g(x)}{f(x)}\ npu \ h(x)\in \mathbb A[x],\, h(x)\not\equiv 0 \ . $$ ♦

Дробь называется несократимой если ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми полиномами.

Операции сложения и умножения дробей вводятся аксиоматически правилами $$\frac{g_1(x)}{f_1(x)}+\frac{g_2(x)}{f_2(x)}= \frac{g_1(x)f_2(x)+g_2(x)f_1(x)}{f_1(x)f_2(x)} \ ; \ \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \cdot \frac{g_2(x)}{f_2(x)}= \frac{g_1(x)g_2(x)}{f_1(x)f_2(x)} \ . $$

Теорема 1. Операции сложения и умножения дробей подчиняются аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Еще одна аксиома связывает между собой два множества — множество полиномов над $ \mathbb A_{} $ и множество дробей над $ \mathbb A_{} $. Условимся отождествлять дробь вида $ g(x)/1 $ с полиномом $ g_{}(x) $. Тогда множество рациональных дробей будет включать в качестве подмножества множество $ \mathbb A[x] $.

Обратной для дроби $ g_{}(x)/ f(x) $ относительно операции умножения будет дробь $ f_{}(x)/ g(x) $; предполагается, что $ f(x) \not\equiv 0, g(x) \not\equiv 0 $.

Дробь называется правильной если степень числителя меньше степени знаменателя.

Теорема 2. Любую дробь можно представить в виде суммы полинома и правильной несократимой дроби.

Доказательство. Пусть $ \operatorname{HOD}(f,g)=d(x) $ и $ f(x)\equiv f_1(x)d(x),\, g(x)\equiv g_1(x)d(x) $. Тогда $$\frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \ npu \ \operatorname{HOD}(f_1,g_1)=1 \ . $$ Далее, если $ \deg g_1 < \deg f_1 $, то дробь уже правильная. В противном случае разделим $ g_1 $ на $ f_1 $: $ g_1(x)\equiv q(x)f_1(x)+r(x) $ при $ \deg r< \deg f_1 $. Тогда $$ \frac{g(x)}{f(x)}\equiv q(x)+\frac{r(x)}{f_1(x)} \ , $$ и мы получили представление указанное в теореме. ♦

Теорема 3. Сумма и произведение правильных дробей являются правильными дробями.

Теорема 4. Если дробь $ g_{}(x)/f(x) $ над $ \mathbb A_{} $ является правильной и ее знаменатель раскладывается в произведение взаимно простых множителей:

$$f(x)\equiv f_1(x)f_2(x)\quad npu \quad \{f_1(x),f_2(x) \}\subset \mathbb A[x], \ \operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1 \ , \deg f_1 < \deg f, deg f_2 < \deg f , $$ то $$ \frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_1(x)}{f_1(x)}+\frac{g_2(x)}{f_2(x)} \ , $$ где $ g_1(x)/ f_1(x) $ и $ g_2(x)/ f_2(x) $ — правильные дроби. Такое представление единственно.

Доказательство. На основании теоремы из ☞ ПУНКТА условие $ \operatorname{HOD}(f_1(x),f_2(x))=1 $ эквивалентно существованию в $ \mathbb A_{} $ полиномов $ u_1(x) $ и $ u_2(x) $, удовлетворяющих тождеству Безу $ u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)\equiv 1 $. Тогда $$ \frac{g(x)}{f(x)}\equiv\frac{g(x)\left(u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x) \right)}{f_1(x)f_2(x)} \equiv \frac{g(x)u_1(x)}{f_2(x)}+\frac{g(x)u_2(x)}{f_1(x)} \ . $$ Возьмем в качестве $ g_1(x) $ остаток от деления $ g(x)u_2(x) $ на $ f_1(x) $: $$ g(x)u_2(x) \equiv q(x)f_1(x)+ g_1(x) \ , \deg g_1 < \deg f_1 \ . $$ Тогда $$ \frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g(x)u_1(x)}{f_2(x)}+q(x)+ \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \equiv \frac{g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x)}{f_2(x)} + \frac{g_1(x)}{f_1(x)} \ . $$ Здесь $ {g(x)}/{f(x)} $ и $ {g_1(x)}/{f_1(x)} $ являются правильными дробями. Но тогда, на основании теоремы 3, и их разность, т.е. дробь $ {(g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x))}/{f_2(x)} $ должна быть правильной. Обозначив $ g_2(x)= g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x) $, получим требуемое в теореме представление.

Для доказательства единственности этого представления предположим, что имеется еще одно представление $$ \frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{\widetilde{g}_1(x)}{f_1(x)} +\frac{\widetilde{g}_2(x)}{f_2(x)} $$ при обеих правильных дробях в правой части; пусть, для определенности, $ g_1(x)\not\equiv \widetilde{g}_1(x) $. Вычитая из одного представления другое, приходим к тождеству $$ \left(g_1(x)- \widetilde{g}_1(x) \right) f_2(x) \equiv \left(\widetilde{g}_2(x) - g_2(x) \right) f_1(x) \ . $$ Поскольку $ \operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1 $, то, по теореме 2 из ☞ ПУНКТА, полином $ g_1(x)- \widetilde{g}_1(x) $ должен делиться на $ f_1(x) $. Последнее, однако, невозможно, поскольку $ \deg \left(g_1-\widetilde{g}_1 \right) < \deg f_1 $. ♦

Пример. Разложить дробь

$$ \frac{x^2+1}{x^5+x+1} $$ в сумму правильных дробей.

Решение. Знаменатель может быть разложен на множители, например, так: $ x^5+x+1\equiv (x^2+x+1)(x^3-x^2+1) $. Обозначив $ f_1(x)= x^2+x+1 $ , $ f_2(x) = x^3-x^2+1 $, ищем $ \operatorname{HOD}(f_1,f_2) $ по алгоритму Евклида: $$ \begin{array}{lcl} f_2(x) &\equiv& (x-2)f_1(x) + (x+3) \ , \\ f_1(x) &\equiv& (x-2)(x+3) + 7 \ ; \end{array} $$ очевидно $ \operatorname{HOD}(f_1,f_2)=1 $. Полиномы, удовлетворяющие тождеству Безу, можно получить с помощью континуант: $$u_1(x)=1/7 (x^2 -4\,x+5),\, u_2(x)=1/7 (-x+2) . $$ Далее, следуя схеме доказательства предыдущей теоремы, делим $ g(x)u_2(x) $ на $ f_1(x) $: $$g_1(x)=-1/7(3\,x+1) \ , q(x)=1/7(-x+3) \Rightarrow \ $$ $$ \Rightarrow \ g_2(x)= g(x)u_1(x)+q(x)f_2(x)=1/7(3\,x^2-5\,x+8) \ . $$

Ответ. $$\frac{x^2+1}{x^5+x+1} \equiv \frac{-1/7(3\,x+1)}{x^2+x+1}+ \frac{1/7(3\,x^2-5\,x+8)}{x^3-x^2+1} \ . $$

Если знаменатель правильной дроби $ g(x)/f(x) $ представляет собой произведение

$$ f(x)\equiv f_1(x)\times \dots \times f_K(x) $$ попарно взаимно простых полиномов из $ \mathbb A_{}[x] $, то дробь может быть разложена на сумму правильных дробей над $ \mathbb A_{} $: $$ \frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_1(x)}{f_1(x)} + \dots + \frac{g_K(x)}{f_K(x)} \ . $$ Такое разложение единственно.

Пусть каноническое разложение полинома $ f_{}(x) $ над $ \mathbb A_{} $ задается формулой

$$ f(x)\equiv \Phi_1^{{\mathfrak m}_1}(x) \Phi_2^{{\mathfrak m}_2} (x) \times \dots \times \Phi_K^{{\mathfrak m}_K}(x) . $$ Тогда правильная дробь $ g_{}(x)/f(x) $ может быть разложена на сумму правильных дробей: $$ \frac{g(x)}{f(x)}\equiv \frac{g_{1}(x)}{\Phi_1^{{\mathfrak m}_1}(x)}+\dots+ \frac{g_{K}(x)}{\Phi_K^{{\mathfrak m}_K}(x)} \ ; $$ при этом полиномы $ g_{1}(x),\dots,g_{K}(x) $ определяются однозначно.

Правильная дробь вида $ G(x)/\Phi^{\mathfrak m}(x) $, где $ \Phi(x) $ является неприводимым полиномом над $ \mathbb A_{} $ , называется примарной дробью над $ \mathbb A_{} $. Примарная дробь называется простейшей дробью над $ \mathbb A_{} $, если $ \deg G < \deg \Phi $.

Задача. Разложить данную правильную дробь на сумму простейших.

Теорема 5. Любая примарная дробь над $ \mathbb A_{} $ может быть представлена в виде суммы простейших над $ \mathbb A_{} $ и такое представление единственно.

Доказательство. Пусть $ G(x)/\Phi^{{\mathfrak m}}(x) $ — примарная. Если $ \deg G < \deg \Phi $, то теорема доказана. Пусть $ \deg G \ge \deg \Phi $, тогда разделим $ G(x) $ на $ \Phi(x) $: $ G(x)\equiv Q(x)\Phi(x)+G_1(x),\, \deg G_1 < \deg \Phi $. Тогда $$ \frac{G(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)}\equiv \frac{Q(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}-1}(x)} +\frac{G_1(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)} \ , $$ и вторая дробь справа, очевидно, простейшая. Если $ \deg Q < \deg \Phi $, то теорема доказана; в противном случае поделим $ Q(x) $ на $ \Phi(x) $. Продолжаем процесс, на каждом этапе степень числителя уменьшается по сравнению с предыдущим этапом. За конечное число шагов мы добьемся того, чтобы эта степень стала меньшей $ \deg \Phi $. Окончательное разложение на простейшие будет иметь вид: $$ \frac{G(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)}\equiv \frac{G_1(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}}(x)}+\frac{G_2(x)}{\Phi^{{\mathfrak m}-1}(x)} + \dots + \frac{G_{\mathfrak m}(x)}{\Phi(x)} \ ; $$ здесь, возможно, некоторые числители могут оказаться тождественно равными нулю, а для остальных же будет выполняться условие $ \deg G_j < \deg \Phi $. ♦

Теорема 6. Любая правильная дробь над $ \mathbb A_{} $ может быть представлена в виде суммы простейших над $ \mathbb A_{} $ и такое представление единственно.

Доказательство следует из следствия к теореме 4 и теоремы 5. ♦

Пример. Разложить дробь

$$ \frac{x^5+2\,x^4-x+1}{x^9+x^7+3\,x^6-x^5+2\,x^4+2\,x^3-x^2+x+1} $$ на простейшие над $ \mathbb Q_{} $.

Решение. Сначала выписываем каноническое разложение знаменателя¹⁾: $$ x^9+x^7+3\,x^6-x^5+2\,x^4+2\,x^3-x^2+x+1\equiv (x^3-x+1)(x^3+x+1)^2 \ . $$ Теперь следуем рассуждениям доказательства теоремы 5. Обозначив $ f_1 = x^3-x+1,\, f_2 = (x^3+x+1)^2 $, находим полиномы $ u_{1}(x) $ и $ u_{2}(x) $, удовлетворяющие тождеству Безу $ u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)\equiv 1 $. Алгоритм Евклида даст нам выражения для частных $$ \begin{array}{lcl} f_2(x) &\equiv& (x^3+3\,x+1)f_1(x) + 4\,x^2 \ , \\ f_1(x) &\equiv& 1/4\,x(4\,x^2) + (1-x) \ , \\ 4x^2 &\equiv & (-4\,x-4)(1-x)+ 4 \ , \end{array} $$ которые мы используем для вычисления континуант $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline j & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline q_j & - & x^3+3\,x+1 & 1/4\,x & -4\,x-4 \\ \hline K_j(q_1,q_2,\dots,q_j) & 1 & x^3+3\,x+1 & 1/4\,x^4+3/4\,x^2+ & -x^5-x^4-2\,x^3- \\ &&& +1/4\,x+1 & -4\,x^2-2\,x-3 \\ \hline K_{j-1}(q_2,\dots,q_j) & - & 1 & 1/4\,x & -x^2-x +1 \\ \hline \end{array} $$ Учитывая знаки, получаем полиномы, удовлетворяющие тождеству $$ f_1(x) \left(x^5+x^4+2\,x^3+4\,x^2 +2\,x+3\right) +f_2(x) \left(-x^2-x+1 \right) \equiv 4 \ , $$ откуда и получаются искомые полиномы: $$u_1(x)= 1/4 \left(x^5+x^4+2\,x^3+4\,x^2 +2\,x+3\right),\ u_2(x)= 1/4 \left(-x^2-x+1\right) \ . $$ Исходная дробь, следовательно, может быть представлена в виде $$ (x^5+2\,x^4-x+1)\left(\frac{u_2(x)}{x^3-x+1} +\frac{u_1(x)}{(x^3+x+1)^2} \right) \equiv $$ $$ \equiv \frac{1/2x^2-1/4}{x^3-x+1} +\frac{-1/2x^5-5/4x^3+1/2x^2+3/4x+5/4}{(x^3+x+1)^2} \ , $$ из которых первая является простейшей над $ \mathbb Q_{} $, а вторая — не является. Делим ее числитель на $ x^3+x+1 $.

Ответ. $$ \frac{\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{4}}{x^3-x+1} +\frac{-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}}{x^3+x+1} +\frac{x^2+\frac{3}{2}x+2}{(x^3+x+1)^2} \ . $$

Еще один способ нахождения числителей простейших дробей при разложении на них правильной дроби состоит в подборе их коэффициентов; этот метод мы проиллюстрируем в следующих пунктах.

Согласно основной теоремы высшей алгебры, любой полином $ f_{}(x) $ с комплексными коэффициентами может быть разложен на линейные множители: $$ f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} , \quad npu \quad {\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n= \deg f $$ и всех различных числах $ \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{\mathfrak r } \} \subset \mathbb C $. Следовательно, простейшими над $ \mathbb C_{} $ могут быть только дроби вида $$ \frac{A}{(x-\lambda)^k} \quad npu \ k\in \mathbb N \ . $$ Из теоремы $ 6 $ тогда следует, что разложение дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие над $ \mathbb C_{} $ имеет вид $$ \begin{array}{lcll} \displaystyle \frac{g(x)}{f(x)} &=& \displaystyle \frac{A_{1,1}}{(x-\lambda_1)}+\frac{A_{1,2}}{(x-\lambda_1)^2}+ \dots+ \frac{A_{1,{\mathfrak m}_1}}{(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_1}}+ & \\ &+& \displaystyle \frac{A_{2,1}}{(x-\lambda_2)}+\frac{A_{2,2}}{(x-\lambda_2)^2}+ \dots+ \frac{A_{2,{\mathfrak m}_2}}{(x-\lambda_2)^{{\mathfrak m}_2}}+ & \\ &+&\dots + & \\ &+& \displaystyle \frac{A_{{\mathfrak r},1}}{(x-\lambda_{\mathfrak r})}+\frac{A_{{\mathfrak r},2}}{(x-\lambda_{\mathfrak r})^2}+ \dots+ \frac{A_{{\mathfrak r},{\mathfrak m}_{\mathfrak r}}}{(x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{\mathfrak r}}} &= \\ && & \displaystyle = \sum_{j=1}^{\mathfrak r} \sum_{\ell=1}^{{\mathfrak m}_j} \frac{A_{j,\ell}}{ (x-\lambda_j)^{\ell}} \ . \end{array} $$

Пример. Разложить дробь

$$ \frac{-(2+3\, \mathbf i )x+(1-10\, \mathbf i)}{x^3+3 \mathbf i\, x^2-3(1+2 \mathbf i )x+10-5 \mathbf i} $$ на простейшие над $ \mathbb C_{} $.

Решение. Разложение знаменателя на линейные множители: $$ x^3+3 \mathbf i \, x^2-3(1+2 \mathbf i )x+10-5 \mathbf i \equiv (x+1+2 \mathbf i )^2(x -2 - \mathbf i) \ . $$ Следовательно, разложение на простейшие: $$ \frac{A_1}{x+1+2 \mathbf i }+\frac{A_2}{(x+1+2 \mathbf i )^2 }+\frac{A_3}{x-2- \mathbf i } \ . $$ Величины $ A_1,A_2,A_3 $ находим методом неопределенных коэффициентов. После приведения к общему знаменателю, в числителе получаем полином $$A_1(x+1+2 \mathbf i)(x-2- \mathbf i)+A_2(x-2- \mathbf i )+A_3(x+1+2 \mathbf i )^2 = $$ $$=(A_1+A_3)x^2+\left((-1+ \mathbf i)\, A_1+A_2+(2+4 \mathbf i)A_3 \right)x-5 \mathbf i\,A_1 -(2+ \mathbf i ) \,A_2 +(-3+4 \mathbf i )A_3 \ , $$ который должен быть тождественно равен числителю исходной дроби, т.е. $ -(2+3\, \mathbf i )x+(1-10\, \mathbf i) $. Отсюда получаем систему линейных уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rrrl} A_1+& &A_3= & 0, \\ (-1+ \mathbf i)\, A_1+&A_2+& (2+4 \mathbf i)A_3= & -(2+3\, \mathbf i ), \\ -5 \mathbf i\, A_1 - & (2 + \mathbf i) A_2 +& (-3+4 \mathbf i)A_3= & 1-10\, \mathbf i \end{array} \right. $$ имеющую единственное решение: $ A_1=1,\, A_2=1,\, A_3=-1 $.

Ответ. $$ \frac{1}{x+1+2 \mathbf i }+\frac{1}{(x+1+2 \mathbf i)^2 }+\frac{-1}{x-2- \mathbf i } \ . $$

В частном случае, когда корень полинома $ f_{}(x) $ оказываются простым, структура соответствующей ему простейшей дроби вычисляется особенно просто.

Теорема 7. Если $ \lambda_1 $ — простой корень полинома $ f_{}(x) $, то в разложении дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие входит не более одной дроби, содержащей в знаменателе $ (x- \lambda_1) $; эта дробь имеет вид

$$ \frac{g(\lambda_1)}{f^{\prime}(\lambda_1)(x-\lambda_1)} \ . $$

Доказательство. Пусть $ \lambda_1 $ — корень полинома $ f_{}(x) $, тогда $ f(x)\equiv (x-\lambda_1)f_2(x) $, где $ f_2(x) \in \mathbb C[x], \deg f_2 = \deg f -1 $; если при этом корень $ \lambda_1 $ — простой, то $ f_2(\lambda_1) \ne 0 $. На основании теоремы 4 имеет место разложение $$ \frac{g(x)}{f(x)} \equiv \frac{A_1}{x-\lambda_1}+ \frac{g_2(x)}{f_2(x)} \ . $$ Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда $$ g(x)\equiv A_1f_2(x)+g_2(x)(x-\lambda_1) \ . $$ Если подставить в него $ \lambda_1 $, то получим $ g(\lambda_1)=A_1f_2(\lambda_1) $. Продифференцируем тождество $ f(x)\equiv (x-\lambda_1)f_2(x) $ по $ x_{} $ и подставим $ x=\lambda_1 $, получим: $ f^{\prime}(\lambda_1)=f_2(\lambda_1) $. ♦

Если все корни $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ полинома $ f_{}(x) $ являются простыми, то имеет место следующая формула Лагранжа:

$$ \frac{g(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^n \frac{g(\lambda_j)}{f^{\prime}(\lambda_j)(x-\lambda_j)} \ . $$

Если все корни $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ полинома $ f_{}(x) $ являются простыми, то

$$ \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^n \frac{1}{x-\lambda_j} \ . $$

Пример. Разложить дробь

$$ \frac{3\,x^3-x+7}{4\,x^4-8\,x^3+4\,x^2-9} $$ на простейшие над $ \mathbb C_{} $.

Решение. Разложение знаменателя на линейные множители: $$ 4\,x^4-8\,x^3+4\,x^2-9 \equiv 4\, \left(x- \frac{1+ \mathbf i \sqrt{5}}{2}\right)\left(x- \frac{1- \mathbf i \sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}\right) \ . $$ Поскольку все корни знаменателя простые, можно использовать формулу Лагранжа. Вычисляем значение дроби $ g(x)/f^{\prime}(x) $ на корнях: $$ \frac{g(x)}{f^{\prime}(x)}\bigg|_{x=(1 \pm \mathbf i \sqrt{5})/2}=\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} \pm \mathbf i); \quad \frac{g(x)}{f^{\prime}(x)}\bigg|_{x=(1 \pm \sqrt{7})/2}=\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} \pm 59 ) \ . $$ Ответ. $$ \frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} + \mathbf i)}{x- \frac{1+ \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} - \mathbf i)}{x- \frac{1- \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} + 59 )}{x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} - 59 )}{x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}} \ . $$

Рассмотрим еще один частный случай знаменателя: $ f(x)\equiv (x-\lambda_1)^n $ при $ n>1 $. В этом случае для нахождения коэффициентов разложения правильной дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие $$ \frac{g(x)}{f(x)} \equiv \frac{A_{1,1}}{x-\lambda_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-\lambda_1)^2}+\dots+\frac{A_{1,n}}{(x-\lambda_1)^n} $$ достаточно разложить полином $ g_{}(x) $ по степеням $ x-\lambda_1 $, т.е. воспользоваться формулой Тейлора: $$ \begin{matrix} g(x) &\equiv & A_0+A_1(x-\lambda_1)+A_2(x-\lambda_1)^2+\dots+A_n(x-\lambda_1)^n \\ &\equiv & g(\lambda_1) + g^{\prime}(\lambda_1) (x-\lambda_1)+\frac{g^{\prime \prime}(\lambda_1)}{2!} (x-\lambda_1)^2+\dots +\frac{g^{(n)}(\lambda_1)}{n!} (x-\lambda_1)^n \ . \end{matrix} $$ Коэффициенты разложения можно вычислить по схеме Хорнера.

Пример. Разложить на простейшие дробь

$$ \frac{x^4+(2-\mathbf i)\,x^3+3(1-\mathbf i)\,x^2+3(1-\mathbf i)\,x-4\,\mathbf i}{(x-\mathbf i)^5} \ . $$

Решение. Раскладываем числитель по степеням $ x-\mathbf i $ с использованием схемы Хорнера: $$ \begin{array}{c|rrrrrr} & 1 & 2-\mathbf i & 3(1-\mathbf i) & 3(1-\mathbf i) & -4\,\mathbf i \\ \hline \mathbf i & 1 & 2& 3-\mathbf i & 4 & \underline{0} \\ \mathbf i & 1 &2+ \mathbf i& 2+ \mathbf i& \underline{3+2\, \mathbf i} \\ \mathbf i & 1 & 2+ 2\,\mathbf i & \underline{3\, \mathbf i} \\ \mathbf i & 1 & \underline{2+3\, \mathbf i} \\ \mathbf i & \underline{1} \\ \end{array} $$ $$ \Rightarrow x^4+(2-\mathbf i)\,x^3+3(1-\mathbf i)\,x^2+3(1-\mathbf i)\,x-4\,\mathbf i \equiv $$ $$ \equiv (x-\mathbf i)^4+(2+3\,\mathbf i)(x-\mathbf i)^3+3\mathbf i\,(x-\mathbf i)^2+(3+2\,\mathbf i)(x-\mathbf i) $$ и разложение дроби на простейшие имеет вид $$ \frac{1}{x-\mathbf i}+ \frac{2+3\,\mathbf i}{(x-\mathbf i)^2} + \frac{3\mathbf i}{(x-\mathbf i)^3}+ \frac{3+2\,\mathbf i}{(x-\mathbf i)^4} \ . $$ ♦

Как искать простейшие дроби в случае, когда знаменатель $ f_{}(x) $ имеет не менее двух корней, причем один из них — кратный? — Существует общий метод решения этой задачи, основанный на представлении полинома $ g_{}(x) $ числителя дроби в виде так называемого интерполяционного полинома Эрмита (Лагранжа-Сильвестра). Для практических же расчетов можно предложить определить сначала с помощью теоремы 7 простейшие дроби, соответствующие простым корням полинома, а коэффициенты числителей оставшихся простейших дробей искать по методу неопределенных коэффициентов. В одном из следующих пунктов будет указано универсальное представление этих коэффициентов — с помощью теории определителей.

Пусть разложение полинома $ f_{}(x) $ на линейные множители имеет вид:

$$ f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} , \quad npu \quad {\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n= \deg f $$ и всех различных числах $ \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{\mathfrak r } \} \subset \mathbb C $. Доказать, что $$ \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \equiv \frac{{\mathfrak m}_{1}}{x-\lambda_1}+\frac{{\mathfrak m}_{2}}{x-\lambda_2} + \dots + \frac{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}}{x-\lambda_{\mathfrak r}} \ . $$

Согласно теореме, приведенной в ☞ ПУНКТЕ, любой полином $ f_{}(x) $ с вещественными коэффициентами степени $ \ge 1 $ может быть разложен над множеством $ \mathbb R^{} $ на множители двух видов: $$(x-\lambda)^{\mathfrak m} \ u \ (x^2+p\,x+q)^{\mathfrak M} \quad npu \ \{\lambda,p,q\} \subset \mathbb R,\, p^2-4\,q<0 \ u \ \{{\mathfrak m},{\mathfrak M}\}\subset \mathbb N \ . $$ Из этого следует, что простейшими над $ \mathbb R_{} $ дробями могут быть только дроби вида $$ \frac{A}{(x-\lambda)^{k}} \quad u \quad \frac{Bx+C}{(x^2+p\,x+q)^{\ell}} \quad npu \ \{k,\ell \} \subset \mathbb N \ . $$

Практические способы разложения дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие над $ \mathbb R_{} $ могут быть получены развитием способов, разработанных для разложения на простейшие над $ \mathbb C_{} $. Так, нетрудно проверить, что если в разложение дроби над $ \mathbb C_{} $ входит слагаемое $ A/(x-\lambda) $, то в это же разложение обязательно входит и $ \overline{A}/(x-\overline{\lambda}) $, где ¯ означает комплексное сопряжение. Если при этом $ \lambda_{} $ — мнимый корень полинома $ f_{}(x) $, то эти две простейшие дроби различны и их сумма $$ \frac{A}{x-\lambda}+\frac{\overline{A}}{x-\overline{\lambda}}=\frac{(A+\overline{A})x-(A\overline{\lambda}+\overline{A}\lambda)}{x^2-(\lambda+\overline{\lambda})x+ \lambda \overline{\lambda}} = \frac{ 2\, \mathfrak{Re}(A)\,x-2\, \mathfrak{Re}(A\overline{\lambda})}{x^2-2\,\mathfrak{Re}(\lambda)x+ |\lambda|^2}$$ будет вещественной дробью — простейшей над $ \mathbb R_{} $.

Пример. Разложить дробь $$ \frac{3\,x^3-x+7}{4\,x^4-8\,x^3+4\,x^2-9} $$ на простейшие над $ \mathbb R_{} $.

Решение. В предыдущем пункте было получено следующее разложение этой дроби над $ \mathbb C_{} $: $$ \frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} + \mathbf i)}{x- \frac{1+ \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{5}}{48} (\sqrt{5} - \mathbf i)}{x- \frac{1- \mathbf i \sqrt{5}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} + 59 )}{x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} - 59 )}{x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}} \ . $$ Если объединить первые две дроби, то получим искомое разложение на простейшие над $ \mathbb R_{} $: $$\frac{\frac{5}{24}(x-1)}{x^2-x+\frac{3}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} + 59 )}{x-\frac{1+ \sqrt{7}}{2}} +\frac{\frac{\sqrt{7}}{336}(13\,\sqrt{7} - 59 )}{x-\frac{1- \sqrt{7}}{2}} \ . $$ ♦

Пример. Разложить дробь

$$ \frac{x^2+1}{x^5-2\,x^3-2\,\sqrt{2}\, x^2+4\,\sqrt{2}} $$ на простейшие над $ \mathbb R_{} $.

Решение. Выписываем каноническое разложение знаменателя: $$ x^5-2\,x^3-2\,\sqrt{2}\, x^2+4\,\sqrt{2}\equiv (x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2}\,x+2) \ . $$ Разложение на простейшие имеет вид $$ \frac{A_1}{x-\sqrt{2}} + \frac{A_2}{(x-\sqrt{2})^2}+ \frac{A_3}{x+\sqrt{2}} +\frac{Bx+C}{x^2+\sqrt{2}\,x+2} \ . $$ Коэффициенты $ A_1,A_2,A_3,B $ и $ C_{} $ находим методом неопределенных коэффициентов. После приведения к общему знаменателю, в числителе получаем полином $$(A_1+A_3+B)\,x^4+(\sqrt{2}A_1+A_2-\sqrt{2}A_3 -\sqrt{2}B+C)\,x^3 + $$ $$+(2\,\sqrt{2}\,A_2-2\,B-\sqrt{2}C)\,x^2 +(-2\sqrt{2}\, A_1+4\,A_2-2 \sqrt{2}\,A_3+2\,\sqrt{2}\, B-2\,C)\,x - $$ $$ -4\,A_1+2 \sqrt{2}A_2+4\,A_3+2\sqrt{2}C \ , $$ который должен быть тождественно равен $ x^{2}+1 $. Отсюда получаем систему линейных уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rrrrrl} A_1+& &A_3+&B& = & 0, \\ A_1+&A_2 - &\sqrt{2}A_3 -&\sqrt{2}B+ &C= & 0, \\ &2\,\sqrt{2}\,A_2-&& 2\,B-&\sqrt{2}C =& 1, \\ -2\sqrt{2}\, A_1+&4\,A_2-&2 \sqrt{2}\,A_3+&2\,\sqrt{2}\, B-&2\,C=&0, \\ -4\,A_1+&2 \sqrt{2}A_2+&4\,A_3+& &2\sqrt{2}C=&1 , \end{array} \right. $$ имеющую единственное решение: $$ A_1 = {\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 48},\ A_2={\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 8},\ A_3={\scriptstyle 3}/{\scriptstyle 16},\ B = -{\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 6},\ C = -{\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 12 } \ . $$

Ответ. $$ -\frac{{\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 48}}{x-\sqrt{2}} +\frac{{\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 8}}{(x-\sqrt{2})^2} +\frac{{\scriptstyle 3}/{\scriptstyle 16}}{x+\sqrt{2}} -\frac{{\scriptstyle 1}/{\scriptstyle 6}\,x +{\scriptstyle \sqrt{2}}/{\scriptstyle 12 }}{x^2+\sqrt{2}x+2} \ . $$

Задача. Для таблицы значений $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_N \end{array} $$ при различных узлах $ \{x_j\} $ построить рациональную функцию в виде $ F(x)=g(x)/f(x) $ при $ g_{}(x) $ — полиноме степени $ \le n $, $ f_{}(x) $ — полиноме степени $ \le m $, так, чтобы $ \{ F(x_j)=y_j \}_{j=1}^N $. При этом $ N,n,m $ связаны соотношением: $$ N=m+n+1 \, . $$

В отличие от полиномиальной интерполяции, не всегда имеет решение.

Решение задачи см. ☞ ЗДЕСЬ.

Формулы для производных дробной функции становятся громоздкими с ростом порядков: $$ \left[ \frac{g(x)}{f(x)} \right]^{\prime} = \frac{g^{\prime}(x)f(x)-g(x)f^{\prime}(x)}{\left[f(x)\right]^2} ; $$ $$ \left[ \frac{g(x)}{f(x)} \right]^{\prime \prime} = \frac{g^{\prime \prime}(x)[f(x)]^2-g(x)f(x)f^{\prime \prime}(x)-2\,f(x)f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)+2\,g(x)[f^{\prime}(x)]^2}{\left[f(x)\right]^3} . $$ Однако эту громоздкость удается слегка упорядочить с использованием формализма определителей.

Теорема 8. Имеет место равенство:

$$ \left[ \frac{g(x)}{f(x)} \right]^{[k]} = $$ $$ =\frac{1}{\left[f(x)\right]^{k+1}} \left|\begin{array}{cccccc} f(x) & 0 & 0 & \dots & 0 & g(x) \\ f^{\prime}(x) & f(x) & 0 & \dots & 0 & g^{\prime}(x) \\ f^{\prime \prime}(x) & 2 f^{\prime}(x) & f(x) & \dots & 0 & g^{\prime \prime}(x) \\ \dots & & & & & \dots \\ f^{[k-1]}(x) & C_{k-1}^1 f^{[k-2]}(x) & C_{k-1}^2 f^{[k-3]}(x) & \dots & f(x) & g^{[k-1]}(x) \\ f^{[k]}(x) & C_{k}^1 f^{[k-1]}(x) & C_{k}^2 f^{[k-2]}(x) & \dots & C_k^{k-1} f^{\prime}(x) & g^{[k]}(x) \end{array} \right|_{(k+1)\times (k+1)} \ ; $$ здесь $ C_N^M $ — биномиальный коэффициент.

Доказательство. Если $ R(x)=g(x)/f(x) $, то $ R(x)f(x) \equiv g(x) $. Последовательно дифференцируем произведение: $$ \begin{array}{ccccccc} f(x) R(x) &=g(x) & & & & & \\ f^{\prime}(x) R(x) & +f(x)R^{\prime}(x) &= g^{\prime}(x) & & & & \\ f^{\prime \prime}(x) R(x) &+ 2 f^{\prime}(x) R^{\prime}(x) & +f(x) R^{\prime \prime}(x) & = g^{\prime \prime}(x) & & & \\ \dots & & & & \dots & & \\ f^{[k]}(x) R(x) &+ C_{k}^1 f^{[k-1]}(x) R^{\prime}(x) & + C_{k}^2 f^{[k-2]}(x) R^{\prime \prime}(x) & + \dots + & \\ & & +C_k^{k-1} f^{\prime}(x) R^{[k-1]}(x) & +f(x)R^{[k]}(x) & = g^{[k]}(x) ; \\ \end{array} $$ последняя формула — это формула Лейбница. Эти равенства составляют систему линейных уравнений относительно величин $ R(x),R^{\prime}(x),R^{\prime \prime}(x),\dots, R^{[k]}(x) $. Эту систему можно решить по формулам Крамера; нас, собственно, интересует лишь одна компонента этого решения — последняя. ♦

Теорема 9. Пусть $ \lambda $ является корнем полинома $ f_{}(x) $ кратности $ \mathfrak m $. Обозначим $ f_{\lambda}(x)=f(x)/(x-\lambda)^{\mathfrak m} $ — частное от деления $ f_{}(x) $ на $ (x-\lambda)^{\mathfrak m} $. В разложение дроби $ g_{}(x)/f(x) $ на простейшие, слагаемые, содержащие в знаменателе $ (x-\lambda) $, войдут в составе определителя:

$$ -\frac{1}{\left[f_{\lambda}(\lambda)\right]^{\mathfrak m}} \left|\begin{array}{cccccc} f_{\lambda}(\lambda) & 0 & 0 & \dots & 0 & g(\lambda) \\ f_{\lambda}^{\prime}(\lambda) & f_{\lambda}(\lambda) & 0 & \dots & 0 & g^{\prime}(\lambda) \\ f_{\lambda}^{\prime \prime}(\lambda) & 2 f_{\lambda}^{\prime}(\lambda) & f_{\lambda}(\lambda) & \dots & 0 & g^{\prime \prime}(\lambda) \\ \dots & & & & & \dots \\ f_{\lambda}^{[\mathfrak m-1]}(\lambda) & C_{\mathfrak m-1}^1 f_{\lambda}^{[\mathfrak m-2]}(\lambda) & C_{\mathfrak m-1}^2 f_{\lambda}^{[\mathfrak m-3]}(\lambda) & \dots & f_{\lambda}(\lambda) & g^{[\mathfrak m-1]}(\lambda) \\ \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)^{\mathfrak m}} & \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)^{\mathfrak m-1}} & \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)^{\mathfrak m-2}} & \dots & \displaystyle \frac{1}{(x-\lambda)} & 0 \end{array} \right|_{(\mathfrak m+1)\times (\mathfrak m+1)} \ . $$

Пример. Разложить на простейшие дробь

$$ \frac{3\,x^6-11\,x^5+19\,x^4-22\,x^3+15\,x^2-6\,x+1}{x^3(x-1)^4} \ . $$

Решение. Если взять сначала $ \lambda_{}=0 $, то для этого корня имеем: $ \mathfrak m =3, f_{0}(x)=(x-1)^4 $ и все простейшие дроби, имеющие в знаменателе степени $ x_{} $, содержатся в выражении $$ -\frac{1}{[f_0(0)]^3} \left|\begin{array}{cccc} f_0(0) & 0 & 0 & g(0) \\ f^{\prime}_0(0) & f_0(0) & 0 & g^{\prime}(0) \\ f^{\prime \prime}_0(0) & 2\,f^{\prime}_0(0) & f_0(0) & g^{\prime \prime}(0) \\ 1/x^3 & 1/x^2 & 1/x & 0 \end{array} \right|= - \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 0 & -6 \\ 12 & -8 & 1 & 30 \\ 1/x^3 & 1/x^2 & 1/x & 0 \end{array} \right| =\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x} \ . $$ Аналогично, для случая $ \lambda_{}=1 $ имеем: $ \mathfrak m =4, f_{1}(x)=x^3 $, и соответствующие простейшие дроби входят в состав выражения $$ -\frac{1}{[f_1(1)]^4} \left|\begin{array}{ccccc} f_1(1) & 0 & 0 & 0 & g(1) \\ f^{\prime}_1(1) & f_1(1) & 0 & 0 & g^{\prime}(1) \\ f^{\prime \prime}_1(1) & 2\,f^{\prime}_1(1) & f_1(1) & 0 & g^{\prime \prime}(1) \\ f^{\prime \prime \prime}_1(1) & 3\,f^{\prime \prime}_1(1) & 3\,f^{\prime}_1(1) & f_1(1) & g^{\prime \prime \prime}(1) \\ \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^4}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^3}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^2}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)}} & 0 \end{array} \right|= $$ $$ =- \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & -3 \\ 6 & 6 & 1 & 0 & -4 \\ 6 & 18 & 9 & 1 & 24 \\ \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^4}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^3}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)^2}} & \displaystyle{\frac{1}{(x-1)}} & 0 \end{array} \right| = $$ $$ =\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-1)^4} \ . $$ Ответ. $$ \frac{1}{x^3}-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-1)^4} \ . $$

Пусть $ f(x), g(x), g_1(x) $ — полиномы с рациональными коэффициентами, $ \deg f=n $. Обозначим $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ корни $ f_{}(x) $.

Задача. Для рациональной дроби $ g_1(x)/g(x) $ найти полином $ G_{}(x) $ c рациональными коэффициентами и такой, чтобы $$G(\lambda_1)=g_1(\lambda_1)/g(\lambda_1),\ \dots ,\ G(\lambda_n)=g_1(\lambda_n)/g(\lambda_n) \ . $$ Понятно, что эта постановка имеет смысл, если $ \{g(\lambda_j) \ne 0\}_{j=1}^n $, т.е. полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ взаимно просты.

Пример. Уничтожить иррациональность в знаменателе выражения

$$ \frac{\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}+7}{\sqrt{2+\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{2}+3} \ . $$

Хотя эта задача и выглядит иначе, чем сформулированная в начале пункта, но она является именно частным случаем первой. В самом деле, обозначим $$ \lambda=\sqrt{2+\sqrt[3]{2}} \quad \Rightarrow \quad \lambda^2=2+\sqrt[3]{2} \quad \Rightarrow \quad (\lambda^2-2)^3=2 \ , $$ т.е. $ \lambda_{} $ является корнем полинома $ 6_{} $-й степени с целочисленными коэффициентами. С другой стороны, все иррациональности рассматриваемой дроби выражаются в полиномиальном виде от $ \lambda_{} $: $$ \frac{\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}+7}{\sqrt{2+\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{2}+3} = \frac{(\lambda^2-2)^2+5(\lambda^2-2)+7}{\lambda+\lambda^2-2+3}=\frac{\lambda^4+\lambda^2+1}{\lambda^2+\lambda+1} \ . $$

Общая схема решения подобных задач ☞ ЗДЕСЬ.

Задача 1. Разложить дробь $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Тейлора по степеням переменной $ x_{} $.

Универсальная формула разложения произвольной функции $ G(x) $: $$ G(0)+\frac{G^{\prime}(0)}{1!}x+\frac{G^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2+\dots+ \frac{G^{[j]}(0)}{j!}x^j+ \dots ; $$ лишь бы только можно было вычислить значения функции $ G(x) $ и ее производных в точке $ 0_{} $. Материалы предыдущего пункта позволяют вычислить значения производных дроби $ g_{}(x)/f(x) $; однако нас интересуют менее громоздкие способы — и их можно будет получить, воспользовавшись свойством полиномиальности $ g_{} (x) $ и $ f_{} (x) $.

Задача 2. Разложить дробь $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд по отрицательным степеням переменной $ x_{} $; будем говорить о таком ряде, как о ряде Лорана.

Разложить дробь

$$ \frac{x^2+x+1}{x^4+3\,x^3+2\,x-1} $$ в ряд Тейлора по степеням $ x_{} $.

Решение. Будем делить числитель на знаменатель «в столбик», но, в отличие от аналогичного алгоритма, использованного в пункте ☞ ДЕЛИМОСТЬ ПОЛИНОМОВ, располагать действия будем по возрастанию степеней $ x_{} $: $$ \begin{array}{rrrrrrrrrr|l} 1&+ x & +x^2 & & & && & & & -1+2\,x+3\,x^3+x^4 \\ 1&-2\,x& &-3\,x^3&-x^4& & & & && \overline{ -1-3\,x -7\,x^2-17\,x^3-44\,x^4 -112\,x^5+\dots \quad } \\ \hline & 3\,x&+x^2 &+3\,x^3&+x^4& \\ & 3\,x&-6\,x^2 & &-9\,x^4 &-3\,x^5 \\ \hline &&7\,x^{2}&+3\,x^3&+10\,x^4&+3\,x^5 & \\ &&7\,x^{2}&-14\,x^3&&-21\,x^5 & -7\,x^6 & \\ \hline &&& 17\,x^{3}&+10\,x^4&+24\,x^5 &+7\,x^6 & \\ &&& 17\,x^{3}&-34\,x^4& &-51\,x^6 &-17\, x^7 \\ \hline &&&& 44\,x^4 & +24\,x^5 & +58\,x^6 &+17\,x^7 \\ &&&& 44\,x^4 & -88\,x^5 & & -132\,x^7 & -44\, x^8 \\ \hline &&&&& 112\,x^5 & + \dots \end{array} $$ Процесс деления можно продолжать сколь угодно долго. Ответом задачи является ряд $$ -1-3\,x -7\,x^2-17\,x^3-44\,x^4 -112\,x^5+\dots \ . $$ Если мы обрываем ряд на каком-то шаге, как оценить остаточный член? — Ответ на этот вопрос достаточно очевиден: имеем цепочку тождеств $$ \frac{x^2+x+1}{x^4+3\,x^3+2\,x-1} \equiv -1 + x \frac{3+x+3\,x^2+x^3}{-1+2\,x+3\,x^3+x^4} \equiv $$ $$ \equiv -1-3\,x+x^2 \frac{7+3\,x+10\,x^2+3\,x^3}{-1+2\,x+3\,x^3+x^4}\equiv $$ $$ \equiv -1-3\,x -7\,x^2 +x^3 \frac{17+10\,x+24\,x^2+7\,x^3 }{-1+2\,x+3\,x^3+x^4} \equiv \dots $$ Выявим теперь закономерность в формировании последовательности коэффициентов ряда. Выпишем эту последовательность и умножим последовательные $ 5_{} $ членов этой последовательности на коэффициенты полинома знаменателя $ x^4+3\,x^3+2\,x-1 $, записанные по убыванию степеней $ x_{} $: $$ \begin{array}{crrrrrrr} &-1 &-3 & -7 &-17 &-44 &-112 & \dots \\ \times & 1 & 3 & 0 & 2 & -1 & \\ \hline & -1 & -9 & 0 & - 34 & 44 \end{array} \qquad \begin{array}{crrrrrrr} &-1 &-3 & -7 &-17 &-44 &-112 & \dots \\ \times & & 1 & 3 & 0 & 2 & -1 & \\ \hline & & -3 & -21 & 0 & -88 & 112 \end{array} $$ Сумма элементов получившихся строк оказывается равной $ 0_{} $. Подмеченная закономерность оказывается универсальной. ♦

Теорема 10. Пусть

$$ f(x)=a_0x^n+\dots+a_n, n\ge 1, a_0\ne 0 $$ и²⁾ $ a_n\ne 0 $. Пусть $ \deg g(x) < \deg f $. В разложении дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Тейлора по степеням $ x_{} $: $$ \frac{g(x)}{f(x)} = t_0+t_1x+t_2x^2+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} t_jx^{j} $$ коэффициенты разложения будут удовлетворять соотношению $$ t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+\dots+t_{K+n}a_n = 0 \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} \ . $$

Доказательство. Домножим разложение на $ f_{}(x) $ и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $ x_{} $ в тождестве $$ g(x) \equiv f(x) \sum_{j=0}^{\infty} t_jx^{j} = a_nt_0+(a_nt_1+a_{n-1}t_0)x+ (a_nt_2+a_{n-1}t_1+a_{n-2}t_0)x^2+\dots+ $$ $$ +(a_nt_{n-1}+a_{n-1}t_{n-2}+\dots+a_{1}t_0)x^{n-1}+ $$ $$+(a_nt_{n}+a_{n-1}t_{n-1}+\dots+a_{0}t_0)x^{n}+(a_nt_{n+1}+a_{n-1}t_{n}+\dots+a_{0}t_1)x^{n+1}+\dots $$ По предположению, $ \deg g < n $, поэтому все коэффициенты при $ x^{n},x^{n+1},\dots $ должны быть равны нулю. Получаем бесконечную цепочку однотипных равенств, которые эквивалентны записанному в формулировке теоремы соотношению. Это соотношение позволяет линейно выразить каждый коэффициент ряда, начиная с $ t_n $, через $ n_{} $ предшествующих; при этом закономерность вычисления не меняется с возрастанием номера коэффициента: $$ t_{K+n}= - \frac{1}{a_n} (t_{K}a_0+t_{K+1}a_{1}+\dots+t_{K+n-1}a_{n-1}) \ . $$ Для определения первых $ n_{} $ коэффициентов ряда имеем уравнения $$ \begin{array}{ll} t_0a_n &=b_{n-1}, \\ t_1a_n+t_0a_{n-1} & = b_{n-2}, \\ t_2a_n+t_1a_{n-1}+t_0a_{n-2} & = b_{n-3}, \\ \dots & \dots \\ t_{n-1}a_n+t_{n-2}a_{n-1}+\dots+t_0a_{1} & = b_{0}, \end{array} $$ в правых частях которых стоят коэффициенты полинома $ g(x)=b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\dots+b_{n-1} $. Оказывается, что эти коэффициенты непосредственно влияют только на первые $ n_{} $ членов разложения в ряд Тейлора; как только они определены, оставшиеся будут задаваться соотношением, в котором коэффициенты $ b_0,b_1,\dots,b_{n-1} $ не участвуют. Иными словами, у двух правильных дробей $ g_{}(x)/f(x) $ и $ \tilde g_{}(x)/f(x) $ с одинаковыми знаменателями формирование коэффициентов разложения в ряд Тейлора происходит единообразно, начиная с коэффициента при степени $ x^{n} $; и различия между этими рядами формируется в коэффициентах при $ x^0,x^1,\dots,x^{n-1} $. ♦

Последовательность $ \{y_j\}_{j=0}^{\infty} $, формируемая по правилу: первые $ n_{} $ членов заданы произвольно, а каждый следующий определяется через $ n_{} $ предыдущих с помощью линейного соотношения $$ y_{K+n} = A_1y_{K+n-1}+\dots+A_{n}y_{K} \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} $$ и при фиксированных числах $ A_1,\dots,A_n $, $ A_n\ne 0 $, называется линейной рекуррентной последовательностью $ n_{} $-го порядка; само уравнение вида $$ A_0y_{K+n}+A_1y_{K+n-1}+\dots+A_{n}y_{K}=0 \quad npu \quad A_0\ne 0, A_n \ne 0 $$ относительно неизвестной последовательности $ \{y_j\}_{j=0}^{\infty} $ называется линейным однородным разностным уравнением $ n_{} $-го порядка.

Подробное исследование этих объектов ☞ ЗДЕСЬ.

Коэффициенты ряда Тейлора разложения правильной дроби, знаменатель которой является полиномом степени $ n_{} $ с отличным от нуля свободным членом, формируют линейную рекуррентную последовательность $ n_{} $-го порядка; при этом разностное уравнение, которое формирует эту последовательность, не зависит от коэффициентов числителя разлагаемой дроби.

Пример. Вычислить первые $ 7_{} $ членов разложения дроби

$$ \frac{x^4-3\,x^3+1}{3\,x^5+x^3+2\,x^2-x+4} $$ в ряд Тейлора по степеням $ x_{} $.

Решение. $$ \begin{array}{lrcl} 4\,t_0 &=1 & \Rightarrow & t_0=1/4, \\ 4\,t_1-t_0 & = 0 & \Rightarrow & t_1=1/16, \\ 4\,t_2-t_1+2\,t_0 & = 0 & \Rightarrow & t_2=-7/64, \\ 4\,t_3-t_2+2\,t_1+t_0 & =-3 & \Rightarrow & c_3=-223/256, \\ 4\,t_4-t_3+2\,t_2+t_1 & = 1 & \Rightarrow & c_4=73/1024,\\ \hline 4\,t_5-t_4+2\,t_3+t_2+3\,t_0 & = 0 & \Rightarrow & c_5=1201/4096, \\ 4\,t_6-t_5+2\,t_4+t_3+3\,t_1 & = 0 & \Rightarrow & c_6=3417/16384. \end{array} $$ Ответ. $$ \frac{1}{4}+\frac{1}{16}x-\frac{7}{64}x^2-\frac{223}{256}x^3+\frac{73}{1024}x^4+\frac{1201}{4096}x^5+\frac{3417}{16384}x^6 \ . $$

Во всех предыдущих рассуждениях настоящего пункта мы старательно обходили вопрос о сходимости ряда Тейлора, ограничиваясь лишь формальным построением этого ряда. Самое время заполнить этот пробел. Очевидно, достаточно будет решить этот вопрос для случая разложения функции $ 1/f(x) $. Воспользуемся возможностью разложения полинома $ f_{}(x) $ на линейные множители над множеством $ \mathbb C_{} $: $$ \frac{1}{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n} \equiv \frac{1/a_0}{(x-\lambda_1)\times\dots \times (x-\lambda_n)} $$ где $ \{\lambda_{1},\dots,\lambda_n \} \subset \mathbb C $ — корни полинома $ f_{}(x) $ (с учетом их кратностей). Разложение дроби в ряд Тейлора может быть получено как с помощью алгоритмов, разобранных выше, так и как произведение разложений дробей вида $$ \frac{1}{x-\lambda_j} \ . $$ Имеем: $$ \frac{1}{x-\lambda_j}=-\frac{1}{\lambda_j}\cdot \frac{1}{1-x/\lambda_j}=-\frac{1}{\lambda_j}\left(1+\frac{x}{\lambda_j}+\frac{x^2}{\lambda_j^2}+\dots+ \frac{x^k}{\lambda_j^k}+\dots \right) $$ и ряд в правой части сходится абсолютно при $ |x/\lambda_j|<1 $.

Теорема 11. Пусть $ g_{}(x)/f(x) $ — правильная, несократимая дробь и $ f(0) \ne 0 $. Тогда ряд Тейлора этой дроби по степеням переменной $ x_{} $ сходится абсолютно в круге комплексной плоскости, определяемом условием

$$ |x| < \min_{j} |\lambda_j| \ , $$ где $ \lambda_{j} $ означает корень полинома $ f_{}(x) $.

Доказательство проводится средствами теории функции комплексной переменной и использует (привычную для курса математического анализа вещественной переменной) возможность перемножения абсолютно сходящихся рядов. ♦

Пример. Оценить радиус сходимости ряда из предыдущего примера.

Решение. Корни полинома $ 3\,x^5+x^3+2\,x^2-x+4 $: $$ \lambda_1 \approx -1.159580,\ \lambda_{2,3} \approx \underbrace{-0.158205 \pm 1.033065 \mathbf i}_{| \ |\approx 1.045109}, \ \lambda_{4,5} \approx \underbrace{0.737995\pm 0.712803 \mathbf i}_{| \ |\approx 1.026023} \ . $$

Ответ. Ряд сходится при $ |x| < 1.026 $.

Задачу разложения дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Лорана по степеням $ 1/x_{} $ можно свести к рассмотренной в предыдущем пункте задаче о разложении в ряд Тейлора. Если $ f(x)=a_0x^n+\dots+a_n, n\ge 1, a_0\ne 0, g(x)=b_0x^{n-1}+b_{1}x^{n-2}+\dots+b_{n-1} $, то $$ \frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^{n-1}\left(b_0+b_1\cdot 1/x + \dots + b_{n-1} \cdot 1/x^{n-1} \right)}{x^n\left(a_0+a_1\cdot 1/x+a_2 \cdot 1/x^2+\dots+ a_n \cdot 1/x^n\right)}= z \frac{b_0+b_1z + \dots + b_{n-1}z^{n-1}}{a_0+a_1z+a_2z^2+\dots+ a_nz^n} $$ при $ z=1/x $. Дальше раскладываем дробь по положительным степеням $ z_{} $. Приведенные ниже результаты являются аналогами соответствующих результатов из предыдущего пункта.

Теорема 12. Пусть $ f(x)=a_0x^n+\dots+a_n, n\ge 1, a_0\ne 0 $. Пусть $ \deg g(x) < \deg f $. В разложении дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ряд Лорана по степеням $ 1/x_{} $:

$$ \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{c_j}{x^{j+1}} $$ коэффициенты разложения будут удовлетворять соотношению $$ c_{K+n}a_0+c_{K+n-1}a_{1}+\dots+c_{K}a_n = 0 \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} \ . $$

Теорема 13. Если все корни $ \lambda_1,\dots,\lambda_{n} $ полинома $ f_{}(x) $ простые и $ \deg g(x) < \deg f $ то имеет место равенство

$$ c_k=\sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j^k g(\lambda_j)}{f^{\prime}(\lambda_j)} \quad npu \quad \forall k \in \{0,1,2,\dots \} \ . $$

Доказательство. Воспользуемся формулой Лагранжа: $$ \frac{g(x)}{f(x)}=\sum_{j=1}^{n}\frac{g(\lambda_j)}{f'(\lambda_j)(x-\lambda_j)} \ . $$ Разложим теперь каждую дробь $ 1/(x-\lambda_{j}) $ в ряд Лорана по степеням $ 1/x_{} $ $$ \frac{1}{x-\lambda_j}= \frac{1}{x(1-\lambda_j/x)}= \frac{1}{x}\left(1+ \frac{\lambda_j}{x}+\frac{\lambda_j^2} {x^2}+\dots \right) $$ и подставим в предыдущее равенство. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $ x_{} $ в полученном ряду и в ряду $ \sum_{j=0}^{\infty} c_jx^{-j-1} $, получаем требуемый результат. ♦

Имеют место следующие формулы Ньютона, выражающие суммы степеней корней полинома ( суммы Ньютона) $ s_k=\lambda_1^{k}+\dots+\lambda_n^k $ (при $ k\in \mathbb N $) через его коэффициенты:

$$ s_k=\left\{\begin{array}{lr} -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1+a_kk)/a_0, &npu \ k\le n ;\\ -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_ns_{k-n})/a_0, & npu \ k > n. \end{array} \right. $$ Дополнительно полагают также $ s_{0}=n $ при любом наборе корней³⁾.

Доказательство утверждения для случая простоты всех корней полинома следует из предыдущей теоремы — суммы Ньютона будут коэффициентами разложения в ряд Лорана дроби $ f^{\prime}(x)/f(x) $. Пусть теперь полином имеет кратные корни и его разложение на линейные множители имеет вид: $$ f(x)\equiv a_0(x-\lambda_1)^{{\mathfrak m}_{1}}\times \dots \times (x-\lambda_{\mathfrak r})^{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}} , \quad npu \quad {\mathfrak m}_{1}+{\mathfrak m}_{2}+\dots+{\mathfrak m}_{\mathfrak r}=n= \deg f $$ и всех различных числах $ \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{\mathfrak r } \} \subset \mathbb C $. Имеем (см. упражнение в конце ☞ ПУНКТА ): $$ \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \equiv \frac{{\mathfrak m}_{1}}{x-\lambda_1}+\frac{{\mathfrak m}_{2}}{x-\lambda_2} + \dots + \frac{{\mathfrak m}_{{\mathfrak r}}}{x-\lambda_{\mathfrak r}} \ , $$ и дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему случаю. ♦

Теорема 14. Пусть $ g_{}(x)/f(x) $ — правильная, несократимая дробь. Тогда ряд Лорана этой дроби по степеням $ 1/x_{} $ сходится абсолютно в области комплексной плоскости, определяемой условием

$$ |x| > \max_{j} |\lambda_j| \ , $$ где $ \lambda_{j} $ означает корень полинома $ f_{}(x) $.

☞ ЗДЕСЬ

[1]. Журавский А.М. Сборник задач по высшей алгебре. М.-Л. ГТТИ. 1933