Матрица¹⁾ – прямоугольная таблица $$ A= \left(\begin{array}{llll} 3 & -7 & \dots & \sqrt{\pi} \\ &&& \\ C_n^1 & 101.(66) & \dots & \frac{5}{7} \\ \dots & & & \dots \\ \aleph_0 & 0 & \dots & e \end{array}\right) , $$ в каждой ячейке которой располагается некоторое число (или, в общем случае, элемент из некоторого множества – лишь бы только были определены те операции, что нам потребуются ниже), называемое элементом матрицы.

Будем обозначать матрицы прописными латинскими буквами $ \, A_{},B,\dots, {\mathfrak A},{\mathfrak B},\dots $, а – при необходимости – их элементы буквами строчными $ a_{},b,\dots,{\mathfrak a},{\mathfrak b},\dots $ Сами таблицы условимся ограничивать скобками – либо круглыми $ ( \quad )_{} $, либо квадратными $ [ \quad ]_{} $.

В матрице $ A_{} $ естественным образом выделяются строки и столбцы, при этом отсчет строк и столбцов уславливаются вести, начиная от левого верхнего угла матрицы. Упорядоченная пара чисел

(количество строк, количество столбцов)

матрицы называется порядком (или размерностью) матрицы. Так, если матрица имеет $ m_{} $ строк и $ n_{} $ столбцов, то о ней говорят как о матрице порядка $ \mathbf m_{} $ на $ \mathbf n_{} $, и записывают порядок в виде $ m\times n_{} $.

Любая $ m\times n_{} $-матрица содержит всего $ \,mn_{} $ элементов, и каждому из этих элементов можно поставить в соответствие «координаты его местоположения» в матрице, т.е. упорядоченную пару натуральных чисел $ (j,k)_{} $, в которой первое число отвечает за номер строки элемента, а второе — за номер его столбца.

Часто будет возникать необходимость записи матрицы общего вида, т.е. матрицы с элементами, числовые значения которых могут быть переменными. В самом общем случае — когда все элементы матрицы $ A_{} $ могут быть произвольными — будем их записывать в виде $ a_{jk}^{} $ или же, когда необходимо избежать недоразумения, в виде $ a_{j,k}^{} $. Так, $ a_{11}^{} $ означает элемент матрицы $ A_{} $, стоящий в ее левом верхнем углу; $ b_{10,3}^{} $ – элемент матрицы $ B\, $, стоящий в $ 10_{} $-й строке и $ 3_{} $-м столбце; $ {\mathfrak c}_{m-3,2n-7}^{} $ – элемент матрицы $ {\mathfrak C}_{} $, стоящий в $ (m-3)_{} $-й строке и $ (2n-7)_{} $-м столбце. Такая договоренность позволяет записывать компактно матрицы, для элементов которых имеется функциональная зависимость от местоположения в таблице. К примеру, совершенно произвольную $ m\times n_{} $-матрицу $$ A= \left( \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13}& \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3}& \dots & a_{mn} \end{array} \right) $$ мы можем записать в виде $ A_{}=\left[a_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} $.

Пример.

$$ A=\left [\frac{1}{j+k-1} \right ]_{j=1,2,3,4 \atop k=1,2,3} = \left(\begin{array}{rrr} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ && \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ && \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ && \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \end{array}\right) . $$

Найти развернутое выражение для матриц, представленных в компактной форме
a) $ A_{} =\left [ \max (j,k) \right ]_{j=1,2,3,4 \atop k=1,2\quad} $ ;
б) $ B_{} =\left [ |j-k| \right ]_{j=1,2,3 \atop k=1,2,3 } $ ;
в) $ C_{}=\left [\delta_{jk} \right ]_{j=1,\dots,5 \atop k=1,2,3 } $, где $ \delta_{jk}^{} $ означает символ Кронекера.

В принятых обозначениях $ j_{} $-й строкой произвольной матрицы $ A_{} $ будет матрица

$$ A^{[j]}=\left(a_{j1},a_{j2},\dots,a_{jn} \right) , $$

а ее $ k_{} $-м столбцом – матрица

$$ A_{[k]}=\left( \begin{array}{c} a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{mk} \end{array} \right) . $$

Матрицы $ A_{} $ и $ B_{} $ называются равными если равны их порядки и совпадают элементы на соответствующих местах: $$ A=\left[a_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ , \ B=\left[b_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ , $$ $$ \quad \Rightarrow \quad \ A=B \ \iff \ a_{jk} =b_{jk} \ \forall j\in \{1,\dots,m \},\ k\in \{1,\dots,n \} . $$ Матрицы разных порядков не считаются равными.

Еще одно упрощение записи – часто применяемое для матриц заранее не специфицированного порядка – заключается в том, что если некоторый участок матрицы занят равными нулю элементами, то они либо не указываются вовсе, либо вся их совокупность обозначается $ {\mathbb O}_{} $.

Матрица, содержащая только нулевые элементы, называется нулевой матрицей соответствующего порядка. Ее будем записывать в виде $ {\mathbb O}_{m\times n}^{} $.

Пример.

$$ \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) = {\mathbb O}_{2\times 4} \ . $$

Произведением матрицы $ A_{} $ на число (скаляр) $ c_{} $ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы $ A_{} $ на число $ c_{} $: $$ A=\left[a_{jk} \right ]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ {\color{RubineRed} \Rightarrow } \ c\cdot A = \left [ca_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \ . $$

$$ 3\cdot \left(\begin{array}{rrr} 1& 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{rrr} 3& 0 & 3 \\ -3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 6 \end{array} \right) , \quad 2\cdot \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) = . $$

Для матриц $ A_{} $ и $ B_{} $ одного порядка их суммой называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц: $$A =\left[a_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n}, \ B=\left[b_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \quad{\color{RubineRed} \Rightarrow } \quad A+B = \left[a_{jk} + b_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \, .$$

$$ \left( \begin{array}{rrr} 1& -2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & \sqrt{3} \\ 0 & 1 & 7 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rrr} -1& 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & -5 \end{array} \right)= $$

Теорема. Множество матриц фиксированного порядка $ m \times n_{} $ образует линейное пространство относительно двух этих введенных операций.

Будем обозначать это пространство $ \mathbb R^{m \times n} $ в случае, когда рассматриваются только числа (элементы матрицы и скаляры, на которые допускается их домножение) вещественные, и $ \mathbb C^{m \times n} $ если рассматриваются и мнимые.

Преобразование матрицы, при котором ее строки становятся столбцами новой матрицы, называется транспонированием матрицы: $$ \left( \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13}& \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3}& \dots & a_{mn} \end{array} \right)^{\top}= \left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ a_{13} & a_{23} & \dots & a_{m3} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{array} \right) $$ В компактном виде: $$ \left( \left[a_{jk} \right]_{j=1,\dots,m \atop k=1,\dots,n} \right)^{\top}=\left[a_{kj} \right]_{k=1,\dots,n \atop j=1,\dots,m} , $$ а в схематичном:

В литературе для операции транспонирования используются также обозначения $ A^{t}=\mbox{ }^{t}A=A^{\prime}=A^{\ast} $.

Показать справедливость следующих свойств операции транспонирования:

а) $ \left( A^{\top} \right)^{\top} = A $;

б) $ (A+B)^{\top}=A^{\top} + B^{\top} $;

в) $ (cA)^{\top}=c A^{\top} $, где $ c_{} $ — число;

г) $ (AB)^{\top}= B^{\top} A^{\top} $

при условии, что все операции в левых частях равенств определены (операция умножения матриц определяется ☟ НИЖЕ ).

Для матриц $ A_{} $ и $ B_{} $ с одинаковым количеством строк можно определить операцию $ A\mid B_{} $ (будем также использовать обозначение $ [A \mid B] $) конкатенации²⁾ матриц:

$$ A= \left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array}\right) \ , \ B= \left(\begin{array}{llll} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1k} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mk} \end{array}\right) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow A\mid B= \left(\begin{array}{llllllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2k} \\ \dots & & & &&& & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mk} \end{array}\right). $$ Проще говоря: к матрице $ A_{} $ «приписывается» справа матрица $ B_{} $. В этом смысле саму матрицу $ A_{} $ можно считать результатом конкатенации ее столбцов:

$$ A= A_{[1]}\mid A_{[2]} \mid \dots \mid A_{[m]}=\left[ A_{[1]}\mid A_{[2]} \mid \dots \mid A_{[m]} \right] \ . $$

Можно также производить конкатенацию матриц «по вертикали», т.е. по строкам³⁾. Одновременную конкатенацию — когда к матрице $ A_{m\times n}^{} $ приписывается столбец $ U_{m\times 1 } $ справа и строка $ V_{1\times (n+1)} $ снизу — называют окаймлением⁴⁾ матрицы.

матрицы⁵⁾ произвольного порядка образно означает «вытягивание» ее в вектор-столбец. Если представить матрицу как результат конкатенации ее столбцов: $$ A=\left[A_{[1]} \mid A_{[2]} \mid \dots \mid A_{[n]}\right] , $$ то $$ \operatorname{Vec}(A)=\left(\begin{array}{c} A_{[1]} \\ A_{[2]}\\ \vdots \\ A_{[n]} \end{array} \right) \, . $$ Так, например $$ \operatorname{Vec}\left(\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ b_1 \\ b_2 \\ c_1 \\ c_2 \end{array} \right)\, . $$

перезагрузка…

Для матрицы-строки $ U=(u_{1},\dots,u_n) $ и матрицы-столбца $ V=\left(\begin{array}{c} v_{1}\\ \vdots\\ v_n \end{array}\right) $ определим произведение $ U\cdot V_{} $ как число

$$ U\cdot V= u_1v_1+\dots+u_nv_n . $$

т.е. если матрица $ A_{} $ имеет порядок $ m\times n_{} $, то матрица $ B_{} $ может иметь порядок $ n\times k_{} $ при $ \forall k\in{\mathbb N}_{} $. В этом случае произведение матрицы $ A_{} $ на матрицу $ B_{} $ обозначается⁶⁾ $ A\cdot B_{} $ и представляет собой матрицу $ C_{} $ порядка $ m\times k_{} $: $$ \begin{array}{ccccc} C&=&A&\cdot&B ,\\ {m\times k}&&{m\times n}&&{n\times k} \end{array} $$ элементы которой вычисляются по следующему правилу $$ C=[c_{j\ell}]_{_{j=1,\dots,m\atop \ell=1,\dots,k }},\quad c_{j\ell}= A^{[j]}B_{[\ell]}=a_{j1}b_{1\ell}+a_{j2}b_{2\ell}+\dots+a_{jn}b_{n\ell} . $$ Таким образом, элемент, стоящий в $ j_{} $-й строке и $ \ell_{} $-м столбце матрицы $ C_{} $, равен произведению $ j_{} $-й строки матрицы $ A_{} $ на $ \ell_{} $-й столбец матрицы $ B_{} $.

В схематичном виде:

Порядок («размеры») матрицы $ C_{} $ определяется следующим образом: высота берется от первого сомножителя, а ширина — от второго.

Пример.

$$ A=\left(\begin{array}{rr} 1&2\\ -1&0\\ 3&7 \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{rrrr} \mathbf i&0&0&-1\\ 4&2&0&-2 \end{array}\right) \color{Red}{\Longrightarrow} A\cdot B=\left(\begin{array}{rrrr} 8+ \mathbf i&4&0&-5\\ -\mathbf i&0&0&1\\ 28+3\mathbf i&14&0&-17 \end{array}\right) $$

Пример.

$$ A=\left( \begin{array}{rrr} 3&-1&-1\\ 2&0&1\\ 1&1&1 \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{rr} 2&1\\ -1&0\\ 0&1 \end{array}\right) \color{Red}{\Longrightarrow} A\cdot B= \left(\begin{array}{rr} 7&2\\ 4&3\\ 1&2 \end{array}\right) $$

Пример.

$$ A=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right), B=(1,2,-1,-2) \color{Red}{\Longrightarrow} A\cdot B= \left(\begin{array}{rrrr} 1&2&-1&-2\\ 0&0&0&0\\ 1&2&-1&-2\\ 1&2&-1&-2 \end{array}\right) $$ $$ B \cdot A = ( - 2 ) \ . $$

Теорема. Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону:

$$ (A\cdot B) \cdot D = A\cdot (B \cdot D) $$ если хотя бы в одной части равенства произведение определено.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Что послужило причиной введения такой операции умножения?

Ответ и дальнейшие свойства операции умножения ☞ ЗДЕСЬ.

Матрица $ A_{} $ называется квадратной, если количество ее строк равно количеству ее столбцов. О квадратной $ n\times n_{} $-матрице будем говорить как о матрице порядка $ \mathbf n $, а записывать ее компактно в виде

$$A=\left[ a_{jk} \right]_{j,k=1}^n$$

Если матрицы $ A_{} $ и $ B_{} $ – квадратные порядка $ n_{} $, то обе матрицы $ AB_{} $ и $ BA_{} $ являются тоже квадратными порядка $ n_{} $. Тем не менее, и в этом случае, как правило, $ AB\ne BA_{} $.

Пример.

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ,\quad B= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \color{Red}{\Longrightarrow} AB= \begin{pmatrix} 11 & 8 \\ 23 & 18 \end{pmatrix},\ BA= \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 14 & 22 \end{pmatrix} . $$

Говорят, что квадратные матрицы $ A $ и $ B $ коммутируют (или перестановочны), если $ AB=BA $.

Главной диагональю квадратной матрицы $ A_{} $ называется ее диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол, т.е. эта диагональ совпадает с вектором $ (a_{11},\dots,a_{jj},\dots,a_{nn}^{}) $.

Матрица $ A_{} $ называется симметричной если она удовлетворяет соотношению $$A=A^{\top} .$$

Из определения следует, что симметричная матрица может быть только квадратной, а ее элементы должны удовлетворять соотношению: $$ a_{jk}=a_{kj} \quad npu \ \{j,k \} \subset \{1,\dots, n\} . $$ Иными словами, симметричная матрица — это такая матрица, которая симметрична относительно своей главной диагонали.

Сколько элементов надо задать, чтобы однозначно определить симметричную матрицу порядка $ n_{} $?

Частным случаем симметричной матрицы является диагональная матрица: $$ D=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & {\mathbb O} \\ {\mathbb O} & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{array} \right) . $$

Подробнее о симметричной матрице ☞ ЗДЕСЬ.

Матрица $$ E_n = \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & & {\mathbb O} \\ {\mathbb O} & & \ddots & \\ & & & 1 \end{array} \right)_{n}= \left[\delta_{jk} \right]_{j,k=1}^n $$ называется единичной матрицей порядка $ n_{} $.

Матрица $ A_{} $ называется кососимметричной если она удовлетворяет соотношению $$A=-A^{\top} .$$

Из определения следует, что кососимметричная матрица может быть только квадратной, а ее элементы должны удовлетворять соотношению: $$ a_{jk}=-a_{kj} \quad , \ \{j,k \} \subset \{1,\dots, n\} . $$ Отсюда вытекает, что все элементы главной диагонали кососимметричной матрицы должны быть равны 0.

Пример. Векторное произведение вектора $ X=(x_{1},x_2,x_3) $ на вектор $ Y=(y_{1},y_2,y_3) $ может быть задано с помощью кососимметричной матрицы:

$$ X\times Y = (x_{1},x_2,x_3) \left(\begin{array}{rrr} 0 & -y_3 & y_2 \\ y_3 & 0 & -y_1 \\ -y_2 & y_1 & 0 \end{array} \right) \, . $$

Указать все элементы кососимметричной матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrr} \color{Red}{\Box} & 1 & \color{Red}{\Box} \\ \color{Red}{\Box} & \color{Red}{\Box} & 3 \\ -2 & \color{Red}{\Box} & \color{Red}{\Box} \end{array} \right)_{3\times 3} . $$

Доказать, что при любой квадратной матрице $ A_{} $
а) матрицы $ A_{}+A^{\top} $ и $ A_{}A^{\top} $ будут симметричными;
б) матрица $ A_{}-A^{\top} $ будет кососимметричной.

Теорема. Для любой квадратной матрицы $ A_{} $ существует и единственно ее представление в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, а именно:

$$ A = \frac{1}{2} (A+A^{\top}) + \frac{1}{2} (A-A^{\top}) \ . $$

Свойства кососимметричной матрицы ☞ ЗДЕСЬ

Не очень удачный перевод на русский выражения reciprocal symmetric matrix. Формально определяется как квадратная матрица с ненулевыми элементами, удовлетворяющая соотношению $$ A=[a_{jk}]_{j,k=1}^n , a_{jk}=1/a_{kj} \ . $$ Из этого определения следует, что все элементы главной диагонали такой матрицы равны $ 1_{} $. Обычно рассматриваются положительные обратно симметричные матрицы.

Пример.

$$ \left( \begin{array}{rrr} 1 & \sqrt{2} & 3 \\ 1/\sqrt{2} & 1 & 1/4 \\ 1/3 & 4 & 1 \end{array} \right) \ . $$

Матрицы встречаются в теории принятия решений. Пусть имеется $ n_{} $ различных критериев $ C_1,C_2,\dots, C_n $ и человек, принимающий решения (эксперт), может оценить во сколько раз критерий $ C_j $ важнее (предпочтительней) критерия $ C_k $; соответствующую величину $ a_{jk} $ называют интенсивностью (мощностью) предпочтения⁷⁾. Особенно удачно, если эксперт оказывается достаточно квалифицированным (или самоуверенным) и в состоянии ранжировать набор критериев, придав каждому определенные веса $ w_1,w_2,\dots, w_n $. Тогда матрица $$ \left[\frac{w_j}{w_k} \right]_{j,k=1}^n $$ представляет собой обратно симметричную матрицу, обладающую свойством $$ a_{jk}=a_{j\ell}a_{\ell k} \ . $$ В этом случае про обратно симметричную матрицу говорят, что она мощностно-транзитивная⁸⁾.

Так называется квадратная матрица, у которой все элементы выше главной диагонали или ниже ее равны нулю. Различают верхнетреугольную⁹⁾ $$ U=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} &a_{13} & \dots & a_{1n} \\ & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ & & \ddots & & \\ & \mathbb O & & \ddots & \vdots \\ & & & & a_{nn} \end{array} \right) $$ и нижнетреугольную $$ L=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & & & & \\ a_{21} & a_{22} & & & \\ & & \ddots & \mathbb O & \\ \vdots & & & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & & a_{nn} \end{array} \right) $$ матрицы. Часто эти матрицы называют право- и левотреугольными соответственно и обозначают тогда $ R_{} $ и $ L_{} $. В одной и той же книге можно встретить одновременно LU-разложение матрицы и QR-разложение матрицы; при этом вторые буквы означают именно верхнетреугольные матрицы. Так исторически сложилось: неудобно, но привычно!

Матрица вида $$ \left(\begin{array}{llllll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3,n-1} & a_{3n} \\ \vdots & & \ddots & & & \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{array} \right) \ , $$ т.е. с элементами $ a_{ij}=0 $ при $ i<j+1 $ называется верхней матрицей Хессенберга.

матрица — это квадратная матрица $ A_{} $ с вещественными элементами, удовлетворяющая соотношению: $$ A \cdot A^{\top} = E \ , $$ здесь $ E_{} $ — единичная матрица того же порядка, а $ {}^{\top} $ означает транспонирование. Иными словами, строки матрицы $ A_{} $ удовлетворяют условию $$ A^{[j]}\cdot \left( A^{[k]} \right)^{\top} = a_{j1}a_{k1}+a_{j2}a_{k2} + \dots + a_{jn}a_{kn}= \delta_{jk} \ , $$ где $ \delta_{jk}^{} $ — символ Кронекера. Если определить скалярное произведение для строк $ X=(x_1,x_2,\dots,x_{n}) $ и $ Y=(y_1,y_2,\dots,y_{n}) $ по правилу, естественно обобщающему определение скалярного произведения в двух- и трехмерном пространстве: $$ \langle X,Y \rangle =x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \ , $$ то определение ортогональной матрицы оправдано тем, что ее строки оказываются взаимно ортогональными. К тому же, они все имеют «единичную длину»: сумма квадратов элементов любой строки равна 1.

Пример. Матрица

$$ \left( \begin{array}{rr} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) $$ — ортогональная.

Теорема. Если матрица $ A_{} $ — ортогональная, то и матрица $ A_{}^{\top} $ — ортогональная, т.е. у ортогональной матрицы взаимно ортогональны не только строки, но и столбцы.

Подробнее об ортогональной матрице ☞ ЗДЕСЬ

Следующий класс матриц не относится ко множеству ортогональных, но близок к нему по смыслу.

Матрица $ A_{} $ называется матрицей Адамара¹⁰⁾ если любой ее элемент равен либо $ +1_{} $ либо $ - 1_{} $ и ее строки взаимно ортогональны. Иными словами для матрицы Адамара порядка $ n_{} $ должно быть выполнено: $$ A^{\top} \cdot A = n E \ , $$ где $ E_{} $ — единичная матрица того же порядка.

Пример. Матрицы

$$ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \quad u \quad \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 &1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array} \right) $$ — матрицы Адамара. С помощью последней матрицы и следующего результата можно сконструировать матрицу Адамара порядка $ 2^{n} $.

Теорема. Если $ H_{} $ — матрица Адамара порядка $ n_{} $, то блочная матрица $$ \left[ \begin{array}{rr} H & H \\ H & -H \end{array} \right] $$ является матрицей Адамара порядка $ 2\,n $.

Если при $ n> 2 $ матрица Адамара существует, то $ n_{} $ должно быть кратно $ 4_{} $. Обратное утверждение составляет содержание следующей гипотезы:

Гипотеза Адамара: для любого натурального $ n_{} $ кратного $ 4_{} $ существует матрица Адамара порядка $ n_{} $. Не доказана.¹¹⁾

Применение матрицы Адамара:

☞ КОДИРОВАНИЕ.

☞ Максимальное значение определитедя матрицы порядка $ n $, элементы которой по модулю не превосходят $ 1 $ достигается на матрицах Адамара (в случае их существования для данного $ n $); оно равно $ n^{n/2} $. См. ☞ Неравенство Адамара

матрица — это квадратная матрица вида $$ \left(\begin{array}{lllll} h_0 & h_1 & h_2 & \dots & h_{n-1} \\ h_1 & h_2 & h_3 & \dots & h_n \\ h_2 & h_3 & h_4 & \dots & h_{n+1} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ h_{n-1} & h_{n} & h_{n+1} & \dots & h_{2n-2} \end{array} \right)_{n\times n}= \left[ h_{j+k}\right]_{j,k=0}^{n-1} $$ Симметричная матрица, на каждой диагонали которой, перпендикулярной главной, стоят одинаковые элементы. Таким образом, ганкелева¹²⁾ матрица полностью определяется заданием своих крайних элементов: $$ h_0,h_1,\dots, h_{2n-2} $$ — они называются образующими ганкелевой матрицы.

Подробнее о ганкелевой матрице ☞ ЗДЕСЬ.

Так называется квадратная матрица вида $$ \left(\begin{array}{lllll} t_0 & t_{-1} & t_{-2} & \dots & t_{-n+1} \\ t_1 & t_0 & t_{-1} & \dots & t_{-n+2} \\ t_2 & t_1 & t_0 & \dots & t_{-n+3} \\ \vdots & & & & \vdots \\ t_{n-1} & t_{n-2} & t_{n-3} & \dots & t_{0} \end{array} \right)= \left[ t_{j-k}\right]_{j,k=0}^{n-1} \ . $$ Элементы каждой диагонали, параллельной главной, одинаковы. В отличие от ганкелевой матрицы, теплицева¹³⁾ матрица не обязательно симметрична.

Частным случаем тёплицевой матрицы является циклическая матрица: $$ \left(\begin{array}{lllll} a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \dots & a_{n-2} \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \dots & a_1 \end{array} \right) \ ; $$ (иногда называется циркулянтом, хотя в отечественной литературе циркулянтом чаще называют ее определитель). Каждая строка, начиная со второй, получается сдвигом предыдущей вправо на один элемент; тот элемент, что при этом сдвиге «вываливается» за пределы матрицы, переставляется в начало строки.

Подробнее о циклической матрице ☞ ЗДЕСЬ

Так называется матрица $ A_{} $ все элементы которой положительны (определяется для матриц произвольного порядка — не обязательно квадратных). Обозначается $ A > 0 $ или $ A > \mathbb O $. По аналогии определяются неотрицательная ( $ A \ge 0 $), отрицательная и неположительная матрицы.

Неотрицательная матрица, в которой сумма элементов каждой строки равна $ 1 $: $$ \left(\begin{array}{cccc} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2n} \\ & & & \\ p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nn} \end{array} \right) $$ $$\sum_{j=1}^n p_{kj}=1 \ npu \ k \in \{1,\dots,n \} . $$

Пример.

$$ \left(\begin{array}{cccc} 1/3 & 1/2 & 1/6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0.13 & 0.35 & 0.21 & 0.31 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \end{array} \right) $$

Используется в теории вероятностей, см. ☞ цепи Маркова.

Для квадратной матрицы $ A_{} $ умножение ее на единичную матрицу $ E_{} $ того же порядка не приводит к изменению матрицы: $ A \cdot E = E\cdot A=A_{} $. Теперь «испортим» матрицу $ E_{} $ хотя бы в одном ее элементе и понаблюдаем за результатами аналогичных умножений.

Пример. а) Изменяется элемент вне главной диагонали: $ 0_{} $ меняется на какое-то число $ {\color{Red}{ \alpha} } \in \mathbb A_{} $.

$$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & {\color{Red}{ \alpha} } & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} + {\color{Red}{ \alpha} } a_{21} & a_{32} + {\color{Red}{ \alpha} } a_{22} & a_{33} + {\color{Red}{ \alpha} } a_{23} \end{array} \right) \ ; $$ $$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & {\color{Red}{ \alpha} } \\ 0 & 0& 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + {\color{Red}{ \alpha} } a_{31} & a_{22} + {\color{Red}{ \alpha} } a_{32} & a_{23} + {\color{Red}{ \alpha} } a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \ . $$

Вывод. Умножение матрицы такого вида ( $ 0_{} $ в $ j_{} $-й строке и $ k_{} $-м столбце матрицы $ E_{} $ меняется на $ {\color{Red}{ \alpha} } $) слева на матрицу $ A_{} $ эквивалентно прибавлению к $ j_{} $-й строке матрицы $ A_{} $ ее $ k_{} $-й строки, домноженной на $ {\color{Red}{ \alpha} } $.

б) Изменяется элемент главной диагонали: $ 1_{} $ меняется на какое-то число $ {\color{Red}{ \alpha} } \in \mathbb A_{} $. $$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{Red}{ \alpha} } & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{Red}{ \alpha} } a_{21} & {\color{Red}{ \alpha} } a_{22} & {\color{Red}{ \alpha} } a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) $$

Вывод. Умножение матрицы такого вида ( $ 1_{} $ в $ j_{} $-й строке матрицы $ E_{} $ меняется на $ {\color{Red}{ \alpha} } $) слева на матрицу $ A_{} $ эквивалентно домножению на $ {\color{Red}{ \alpha} } $ соответствующей строки матрицы $ A_{} $.

в) Произведем еще одну «экзекуцию» с матрицей $ E_{} $: переставим местами две ее строки. Такая матрица иногда называется матрицей перестановки (и, кстати, является ортогональной ) , что оправдано следующим ее свойством: умножим ее на $ A_{} $: $$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1& 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right) $$

Вывод. Умножение матрицы такого вида (переставляются $ j_{} $-я и $ k_{} $-я строки матрицы $ E_{} $) слева на матрицу $ A_{} $ эквивалентно перестановке соответствующих строк матрицы $ A_{} $. ♦

Для общего случая матриц порядка $ n_{} $ матрицы, построенные по аналогии с предыдущим примером, называются матрицами элементарных преобразований.

Показать, что умножение матриц преобразований справа на матрицу $ A_{} $ эквивалентно соответствующим преобразованиям столбцов матрицы $ A_{} $.

Какое действие с матрицей $ A_{} $ оказывает умножение ее на матрицу

$$ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{array} \right) \ ? $$

Последняя матрица относится к классу матриц, обобщающих класс матриц элементарных преобразований. Матрица $ P_{} $ называется матрицей перестановки если в любой ее строке и любом ее столбце в точности один элемент равен $ 1_{} $ при всех остальных равных $ 0_{} $. Она тесно связана с понятием перестановки элементов. Пусть имеются различные числа¹⁴⁾ $ \{\alpha_1,\dots, \alpha_n\} $. Любое их упорядочивание называется перестановкой. Если имеются две перестановки одного и того же набора чисел, записываемые в виде векторов-строк: $ (x_1,\dots,x_{n}) $ и $ (y_1,\dots,y_n) $, то они связаны между собой посредством умножения на матрицу перестановки $ P_{} $ порядка $ n_{} $: $$ (y_1,\dots,y_n) =(x_1,\dots,x_n)P \ . $$ Так, к примеру, если $ (y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_2,x_4,x_3,x_1) $, то $$(y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_1,x_2,x_3,x_4) \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \ . $$ Очевидно действие матрицы перестановки при умножении на произвольную квадратную матрицу $ A_{} $; также очевидно, что результат этого действия эквивалентен последовательным действиям матриц элементарных преобразований, т.е. любая матрица перестановки может быть представлена как произведение матриц элементарных преобразований.

Пронумеруем диагонали квадратной матрицы, начиная с главной — в обе стороны. Если все диагонали, начиная с некоторого их номера, будут заполнены нулевыми элементами, то такая матрица называется ленточной. Аналитически: $$ a_{jk}=0 \quad npu \quad |j-k| \ge L \ .$$ Минимальное из возможных значений $ L $, при которых последнее будет выполнено, называется шириной ленточной матрицы: в этом случае матрица имеет не более $ 2L-1 $ диагоналей, которые могут содержать ненулевые элементы.

Пример. Ленточная матрица ширины $ 1_{} $ является диагональной матрицей; ленточная матрица ширины $ 2_{} $ является трехдиагональной:

$$ \left( \begin{array}{lllllllll} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & a_{34} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} & a_{45} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & & & & \ddots & & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n,n-1} & a_{n,n} \end{array} \right). $$

Ленточные матрицы возникают в численных методах решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений; см. ☞ МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ.

$$ \mathbf V(x_1,\dots,x_n)= \left[ x_j^{k-1} \right]_{j,k=1}^{n}= \left(\begin{array}{ccccc} 1 &x_1&x_1^2&\ldots&x_1^{n-1}\\ 1 &x_2&x_2^2&\ldots&x_2^{n-1}\\ \vdots& &&& \vdots\\ 1 &x_n&x_n^2&\ldots&x_n^{n-1} \end{array}\right)_{n\times n} $$ или ей транспонированная. Иногда рассматривают неквадратные матрицы Вандермонда.

Подробнее о матрице Вандермонда ☞ ЗДЕСЬ.

Частным случаем матрицы Вандермонда является матрица дискретного преобразования Фурье: $$ F=\left[ \varepsilon_j^{k} \right]_{j,k=0}^{n-1}= \left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \varepsilon_1 & \varepsilon_1^2 & \dots & \varepsilon_1^{n-1} \\ 1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_2^2 & \dots & \varepsilon_2^{n-1} \\ 1 & \varepsilon_3 & \varepsilon_3^2 & \dots & \varepsilon_3^{n-1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \varepsilon_{n-1} & \varepsilon_{n-1}^{2} & \dots & \varepsilon_{n-1}^{n-1} \end{array} \right)_{n\times n} \quad npu \quad \varepsilon_j = \cos \frac{2 \pi j}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi j}{n} $$ — корне n-й степени из 1. Основываясь на свойстве $ \varepsilon_j=\varepsilon_1^j $, матрицу часто записывают в эквивалентном виде $$ F= \left[ \varepsilon^{jk} \right]_{j,k=0}^{n-1}= \left( \begin{array}{lllll} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \dots & \varepsilon^{n-1} \\ 1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \dots & \varepsilon^{2(n-1)} \\ 1 & \varepsilon^3 & \varepsilon^6 & \dots & \varepsilon^{3(n-1)} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \dots & \varepsilon^{(n-1)^2} \end{array} \right)_{n\times n} \quad npu \quad \varepsilon = \cos \frac{2 \pi}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi}{n} \ . $$

Свойства матрицы дискретного преобразования Фурье ☞ ЗДЕСЬ; ее применение ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Матрица, составленная из частных производных второго порядка функции $ f(x_1,\dots,x_{\ell}) $ $$ H (f) = \left( \begin{array}{cccc} {\partial^2 f}/{\partial x_1^2} & {\partial^2 f}/{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & {\partial^2 f}/{\partial x_1 \partial x_{\ell}} \\ {\partial^2 f}/{\partial x_2 \partial x_1} & {\partial^2 f}/{\partial x_2^2} & \dots & {\partial^2 f}/{\partial x_2 \partial x_{\ell}} \\ \dots & && \dots \\ {\partial^2 f}/{\partial x_{\ell} \partial x_1} & {\partial^2 f}/{\partial x_{\ell} \partial x_2} & \dots & {\partial^2 f}/{\partial x_{\ell}^2} \end{array} \right)= \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k} \right]_{j,k=1}^{\ell} $$ (в предположении, что эти производные существуют). Определитель матрицы Гессе называется гессианом.

Подробнее о применениях матрицы Гессе к задачам исследования стационарных точек функции на экстремум, а также самой функции на выпуклость ☞ ЗДЕСЬ.

Пусть в линейном пространстве $ \mathbb E $ определено скалярное произведение векторов, которое обозначим $ \langle X,Y \rangle $.

Матрицей Грама системы векторов $ \{X_1,\dots,X_{m} \} $ называется квадратная матрица $$ G(X_1,\dots,X_m)= \left( \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right) = \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^m \ . $$

Если векторы $ \{X_1,\dots,X_{n} \} $ составляют базис линейного пространства, то задание их матрицы Грама сведет вычисление скалярного произведения произвольных векторов пространства к действию с их координатами: если $$X=x_1X_1+ \dots +x_nX_n \quad u \quad Y=y_1X_1+ \dots +y_nX_n \ , $$ то $$ \langle X,Y \rangle=\left(x_1,x_2,\dots,x_n \right) \left( \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_n \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_n \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_n,X_1 \rangle & \langle X_n,X_2 \rangle & \dots & \langle X_n,X_n \rangle \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) \ . $$

Подробнее о свойствах матрицы Грама и ее применении к задачам вычисления расстояний ☞ ЗДЕСЬ.

Матрица $$ {\mathfrak F}= \left( \begin{array}{lllllll} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots& &&&\ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & & \dots & a_2 & a_1 \end{array} \right)_{n \times n} $$ или ей транспонированная. Ее характеристический полином имеет вид $$ \det ({\mathfrak F} - x E) = (-1)^n(x^n-a_1x^{n-1}-\dots-a_{n}) \, . $$ Тем самым, матрица Фробениуса является решением задачи построения матрицы простейшего вида, имеющей заданный характеристический полином. Исходя из этого соображения, матрицу $ {\mathfrak F} $ часто называют сопровождающей матрицей полинома¹⁵⁾ $ f(x)=x^n-a_1x^{n-1}-a_2x^{n-2}- \dots - a_n $.

Применение матрицы Фробениуса ☞ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ.

Матрицей Якоби системы из $ m_{} $ функций $ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_{m}(x_1,\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $ называется матрица, составленная из всевозможных частных производных: $$ \mathbf J = \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j=1,\dots,m, \atop k=1,\dots,n} = \left( \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_m}/{\partial x_1} & {\partial f_m}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_m}/{\partial x_n} \end{array} \right)_{m\times n} . $$ В частном случае $ m=1_{} $ матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор в $ \mathbb R_{}^{n} $ или в $ \mathbb C^{n} $ называется градиентом функции $ f_{} $ (в точке $ (x_1,\dots,x_{n}) $): $$ \operatorname{grad} (f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \ . $$

Применение матрицы Якоби ☞ ЗДЕСЬ

f

или детерминант¹⁶⁾ определяется для произвольной квадратной матрицы $ A_{} $, и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается - либо $ \det (A_{}) $, либо $ \det A_{} $, либо - в развернутом виде - $$ \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| $$ (матрица ограничивается вертикальными чертами). Имея в виду порядок матрицы $ A_{} $, о ее определителе говорят как об определителе порядка $ n_{} $.

Для $ n=1_{} $: $$ \det (A) = a_{11} \ ; $$ для $ n=2_{} $: $$ \det (A) = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \ ; $$ для $ n=3_{} $: $$ \det (A) = \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| = $$ $$ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23} a_{31} + a_{21}a_{32} a_{13} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{11} a_{32} a_{23} \ ; $$ для $ n=4_{} $ формула становится громоздкой.

Понятие определителя вводится с целью компактной записи критерия разрешимости системы линейных уравнений $$ \left\{ \begin{array}{lllll} a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\ a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_{n1}x_1 &+a_{n2}x_2&+ \ldots&+a_{nn}x_n &=b_n. \end{array} \right. $$ и представления ее решения.

Теорема. Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов $ a_{jk} $, отличен от нуля, то система имеет единственное решение относительно неизвестных $ x_{1},\dots,x_n $.

Определение, свойства и применения определителя ☞ ЗДЕСЬ

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится, но имеется понятие миноров матрицы. Если выбрана подматрица матрицы $ A_{} $ — т.е. взяты ее элементы, стоящие на пересечении строк с номерами $ i_1,i_2,\dots,i_{k} $ и столбцов с номерами $ j_1,\dots,j_{\ell} $ (номера указаны строго в порядке возрастания) и эта подматрица — квадратная, т.е. $ k=\ell $, то ее определитель называется минором матрицы (k-го порядка). Обозначать будем $$ A\left( \begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \dots & i_{k} \\ j_1 & j_2 & \dots & j_{k} \end{array} \right) \ . $$

определяется для произвольной квадратной матрицы $ A_{} $ как сумма элементов ее главной диагонали; обозначается¹⁷⁾ $ \operatorname{Sp}(A_{}) $ или $ \operatorname{tr}(A_{}) $: $$ \operatorname{Sp}(A)= \operatorname{tr}(A_{}) =a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn} . $$

Свойства. Для квадратных матриц одинакового порядка имеют место равенства:
a) $ \operatorname{Sp}(A+B) = \operatorname{Sp}(A) + \operatorname{Sp}(B_{}) $;

б) $ \operatorname{Sp}(\alpha A_{}) = \alpha \operatorname{Sp}(A) $ для любого числа $ \alpha_{} $;

в) $ \operatorname{Sp}(AB) = \operatorname{Sp}(BA_{}) $;

г) $ \operatorname{Sp} (A^{\top}) = \operatorname{Sp} (A_{}) $;

д) $ \operatorname{Sp}(A^{\top} B) = \displaystyle{\sum_{j,l=1}^n a_{jk} b_{jk}} $.

определяется для произвольной квадратной матрицы $ A_{} $ как $ \det (A_{}- x E) $, где $ E_{} $ – единичная матрица одинакового с $ A_{} $ порядка. Если порядок матрицы равен $ n_{} $, то указанный определитель является полиномом степени $ n_{} $ по $ x_{} $.

Пример. Для $ n=2_{} $:

$$ \det (A-x E)= \begin{vmatrix} a_{11}-x & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}-x \end{vmatrix}=x^2-(a_{11}+a_{22})x + (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}) ; $$ для $ n=3 $: $$ \det (A-x E)= \begin{vmatrix} a_{11}-x & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22}-x & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33}-x \end{vmatrix}= $$ $$ =-x^3+(a_{11}+a_{22}+a_{33})x^2 - \left \{ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33} \end{vmatrix} \right \}x+ $$ $$ +\det A . $$

Структура, свойства и методы вычисления характеристического полинома ☞ ЗДЕСЬ

определяется для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A_{} $ как наибольший порядок ее отличных от нуля миноров. Иначе говоря: $ \operatorname{rank} (A_{}) ={\mathfrak r}\in {\mathbb N} $ тогда и только тогда, когда существует ее минор порядка $ {\mathfrak r} $, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Кроме того, полагают ранг нулевой матрицы равным нулю: $ \operatorname{rank} ({\mathbb O}_{m\times n}) = 0_{} $.

Методы вычисления, свойства и применения ранга матрицы ☞ ЗДЕСЬ

Функция, ставящая в соответствие произвольной квадратной матрице $ A_{} $ порядка $ n_{} $ вещественное число, называется матричной нормой если для нее выполняются следующие аксиомы:

1. $ || A_{} || \geq 0 $ (неотрицательность);
2. $ || A_{} || = 0 $ тогда и только тогда, когда $ A_{}=\mathbb{O} $ (положительность);
3. $ || \alpha A_{} ||=|\alpha|\cdot || A || $ для всех $ \alpha_{}\in \mathbb{C} $ (абсолютная однородность);
4. $ || A + B_{} || \le ||A||+||B|| $ (неравенство треугольника);
5. $ ||AB||\le ||A|| \cdot ||B_{}|| $.

Норма вводится не только для квадратных матриц. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Для квадратной матрицы $ A_{} $ матрица $ B_{} $ называется левой обратной, если $ BA=E_{} $, где $ E_{} $ – единичная матрица одинакового порядка с $ A_{} $. Отсутствие свойства коммутативности умножения приводит к необходимости определения еще одной обратной матрицы — правой обратной, т.е. матрицы $ C_{} $ такой, что $ AC= E_{} $. К счастью, необходимость в этом «дублировании» практически сразу пропадает:

Для того, чтобы существовала левая обратная матрица для матрицы $ A_{} $ необходимо и достаточно, чтобы $ \det A_{} \ne 0 $. В этом случае левая обратная матрица является единственной и совпадает с правой обратной.

Для обратной к матрице $ A_{} $ закреплено обозначение $ A_{}^{-1} $, а сама процедура нахождения обратной матрицы называется обращением. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Доказательство. Необходимость условия $ \det A_{} \ne 0 $ для существования, например, левой обратной матрицы следует из условия $$ \det (B \cdot A)= \det E \quad \iff \quad (\det B) (\det A) =1 \ . $$

Покажем достаточность. Вычислим все алгебраические дополнения к элементам матрицы $ A_{} $, составим из них новую матрицу порядка $ n_{} $ и транспонируем ее. Полученная матрица $$ \operatorname{adj}(A) =\left(\left[A_{jk} \right]_{jk}^n \right)^{\top} = \left( \begin{array}{llll} A_{11} & A_{21}& \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & & & \dots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{array} \right) $$ называется взаимной или союзной матрице $ A_{} $. Для любой матрицы $ A_{} $ имеет место равенство $$ A \cdot \operatorname{adj}(A) = \left( \begin{array}{cccc} \det A & & & \\ & \det A & & {\mathbb O} \\ {\mathbb O} & & \ddots & \\ & & & \det A \end{array} \right) = \det A \cdot E \ . $$ Справедливость этого факта следует из теории определителей: сумма произведений элементов строки матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы; а на алгебраические дополнения к элементам любой другой строки — нулю (см. ☞ ЗДЕСЬ ).

При выполнении условия $ \det A_{} \ne 0 $ можем взять $$ A^{-1}=\frac{ \operatorname{adj}(A) }{\det A}= \left( \begin{array}{llll} \frac{A_{11}}{\det A} & \frac{A_{21}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n1}}{\det A} \\ &&& \\ \frac{A_{12}}{\det A} & \frac{A_{22}}{\det A} & \dots & \frac{A_{n2}}{\det A} \\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac{A_{1n}}{\det A} & \frac{A_{2n}}{\det A} & \dots & \frac{A_{nn}}{\det A} \end{array} \right) \ . $$ Пока что мы получили правую обратную матрицу: доказано, что она удовлетворяет условию $ A C = E_{} $. Проверка того, что полученная матрица будет являться и левой обратной, т.е. удовлетворяет условию $ C A=E $, производится снова с использованием теоремы о сумме произведений элементов столбца матрицы $ A_{} $ на алгебраические дополнения к другому столбцу той же матрицы (см. ☞ ЗДЕСЬ ). Теперь покажем, единственность полученной обратной матрицы. Предположим, что каким-то другим способом найдена еще одна матрица $ C_1 $ обладающая тем же самым свойством $ A C_1 = E $. Домножим это равенство слева на матрицу $ C_{} $: $$ C(AC_1) = C E \ . $$ Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону, поэтому $$ (CA) C_1 = C , $$ но, по доказанному ранее, $ CA=E_{} $. И мы получили равенство $ C_1 = C $, доказывающее единственность правой обратной матрицы. Аналогично доказывается единственность и левой обратной. ♦

Пример. Вычислить $$ \left( \begin{array}{rrr} 4 & 8 & -5\\ -4 & 7 &-1 \\ -3 & 5 & 1 \end{array} \right)^{-1} \ . $$

Решение. Вычисляем определитель этой матрицы: $ \det A = 99 \ne 0 $. Обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов: $$ \overbrace{\left| \begin{array}{rr} 7 &-1 \\ 5 & 1 \end{array} \right|}^{A_{11}}=12, \ \overbrace{-\left| \begin{array}{rrr} -4 &-1 \\ -3 & 1 \end{array} \right|}^{A_{12}}=7, \overbrace{\left| \begin{array}{rrr} -4 & 7 \\ -3 & 5 \end{array} \right|}^{A_{13}}=1, $$ $$ \overbrace{-\left| \begin{array}{rr} 8 &-5 \\ 5 & 1 \end{array} \right|}^{A_{21}}=-33,\ \overbrace{\left| \begin{array}{rr} 4 &-5 \\ -3 & 1 \end{array} \right|}^{A_{22}}=-11,\ \overbrace{-\left| \begin{array}{rr} 4 &8 \\ -3 & 5 \end{array} \right|}^{A_{23}}=-44, $$ $$ \overbrace{\left| \begin{array}{rr} 8 &-5 \\ 7 & -1 \end{array} \right|}^{A_{31}}=27,\ \overbrace{-\left| \begin{array}{rr} 4 &-5 \\ -4 & -1 \end{array} \right|}^{A_{32}}=24,\ \overbrace{\left| \begin{array}{rr} 4 &8 \\ -4 & 7 \end{array} \right|}^{A_{33}}=60\ . $$ Cоставляем из них матрицу: $$ \left( \begin{array}{rrr} 12 & 7 & 1\\ -33 & -11 &-44 \\ 27 & 24 & 60 \end{array} \right) $$ и не забываем ее транспонировать, а также поделить на определитель!

Ответ. $$ \left( \begin{array}{rrr} \frac{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 33} & -\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3} & \frac{\scriptstyle 3}{\scriptstyle 11} \\ && \\ \frac{\scriptstyle 7}{\scriptstyle 99} & -\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 9} & \frac{\scriptstyle 8}{\scriptstyle 33} \\ && \\ \frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 99} & -\frac{\scriptstyle 4}{\scriptstyle 9} & \frac{\scriptstyle 20}{\scriptstyle 33} \end{array} \right) \ . $$

Показать справедливость следующих свойств операции обращения :

a) $ (A^{-1})^{-1}=A_{} $;

б) $ (A\cdot B)^{-1} = B^{-1}A_{}^{-1} $;

в) $ (A_{}^{\top})^{-1}=(A^{-1})^{\top} $;

г) $ \det A_{}^{-1} = (\det A)^{-1} $.

Предполагается, что в левой части каждого равенства операции определены.

Методы вычисления, свойства и применения обратной матрицы ☞ ЗДЕСЬ

Для квадратной матрицы $ A_{} $ ее $ k_{} $-й степенью ($ k_{}\in \mathbb N $) называют результат умножения ее на себя $ k_{} $ раз: $$ A^k = \underbrace{A\times \dots \times A}_k \ . $$ В виду ассоциативности операции умножения, скобки в этом произведении можно расставить произвольным образом. Дополнительно полагают $ A^{0} = E $ при ненулевой матрице $ A_{} $ и, в случае существования обратной матрицы, определяют и отрицательную степень: $$ A^{-k} = (A^{-1})^k \ . $$

Показать, что

a) cтепени матрицы $ A_{} $ коммутируют: $ A^{k} A^{\ell}= A^{\ell} A^k $;

б) $ \det (A^k) = \left( \det A \right)^{k} $.

Пример. Вычислить $$ \left( \begin{array}{rrr} -3 & 2 & -3 \\ -2 & 3 & -3 \\ 1 &-1 & 1 \end{array} \right)^9 $$

Решение. Чтобы сэкономить на количестве матричных умножений, будем осуществлять их по схеме $$ \left(\left(A^2 \right)^2\right)^2 A \ . $$ Имеем $$ A^2=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 0 \\ -3 & 8 & -6 \\ 0 &-2 & 1 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad \left(A^2 \right)^2= \left( \begin{array}{rrr} -5 & 30 & -18 \\ -30 & 67 & -54 \\ 6 &-18 & 13 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad \left(\left(A^2 \right)^2\right)^2= \left( \begin{array}{rrr} -983 & 2184 & -1764 \\ -2184 & 4561 & -3780 \\ 588 & -1260 & 1033 \end{array} \right) $$ и окончательно $$ \left(\left(A^2 \right)^2\right)^2A= \left( \begin{array}{rrr} -3183 & 6350 & -5367 \\ -6350 & 13095 & -10911 \\ 1789 & -3637 & 3049 \end{array} \right) \ . $$ ♦

Проверить, что для матрицы из предыдущего примера, любая ее степень

$$ B=A^n $$ будет подчиняться условиям: $ b_{12}=-b_{21}^{} $ и $ b_{23}^{}=3 b_{32} $.

Обобщением возведения в степень является операция вычисления полинома от матрицы. Если $ g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m} $ — полином по переменной $ x_{} $, то значением этого полинома на квадратной матрице $ A_{} $ называется матрица $$ g(A)=b_0A^m +b_1A^{m-1}+\dots+b_m E \ , $$ где $ E_{} $ — единичная матрица того же порядка, что и $ A_{} $.

Пример. Вычислить $ g(A)_{} $ для

$$ g(x)= 3\,x^4-x^3+2\,x^2-4\,x-1 \quad u \quad A=\left( \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 4 \\ 3& 1 &8 \\ -4 & -8 & 1 \end{array} \right) \ . $$

Решение. Можно было бы производить вычисления напрямую, но мы снова попытаемся сэкономить на количестве операций, действуя по схеме Хорнера: $$ g(A)=(((3A-E)A+2E)A-4E)A-E \ . $$ $$ B_1 = 3A-E = \left( \begin{array}{rrr} 2 & -9 & 12 \\ 9& 2 & 24 \\ -12 & -24 & 2 \end{array} \right) ; $$ $$ B_2=B_1A+2E= \left( \begin{array}{rrr} -71 & -111 & -52 \\ -81& -215 & 76 \\ -92 & -4 & -236 \end{array} \right) ; $$ $$ B_3=B_2A-4E= \left( \begin{array}{rrr} -200 & 518 & -1224 \\ -1030& -584 & -1968 \\ 840 & 2160 & -640 \end{array} \right) ; $$ $$ g(A)=B_4=B_3A-E= \left( \begin{array}{rrr} 6249 & 10910 & 2120 \\ 5090& 18249 & -10760 \\ 9880 & 4760 & 19999 \end{array} \right) $$ ♦

Более подробный анализ структуры и изложение способов вычисления полинома от матрицы (а также таких функций как $ e^x, \cos x , \sin x , \sqrt{x} $) ☞ ЗДЕСЬ.

Рассмотрим квадратную матрицу, элементами которой являются полиномы над множеством $ \mathbb A_{} $ (мы ограничимся случаями, когда это множество совпадает с одним из множеств $ \mathbb Z_{},\mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $).

Пример.

$$ A(x)=\left( \begin{array}{ccc} 3x^2+4x+1 & x^3 - \sqrt{3} & -2\,x +1 \\ x^2-1 & 7\,x^3-x+4 & 6\,x^2-3\,x+1 \\ 4\,x^3-7\,x^2+3\,x-2 & 2\,x-17 & x^2 \end{array} \right) \ . $$

Такую матрицу можно представить в виде полинома по $ x_{} $ с матричными коэффициентами: $$ A(x)= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{array} \right) x^3 + \left( \begin{array}{rcc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 6 \\ -7 & 0 & 1 \end{array} \right) x^2 + \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & 0 \end{array} \right) x +\left( \begin{array}{rrr} 1 & - \sqrt{3} & 1 \\ -1 & 4 & 1 \\ -2 & -17 & 0 \end{array} \right) \ . $$

В общем случае полиномиальная матрица имеет вид $$ A(x)=A_0 x^m + A_1 x^{m-1}+\dots+A_m \ , $$ где $ A_0,\dots,A_{m} $ — квадратные числовые матрицы одинакового порядка $ n_{} $. Часто полиномиальная матрица называется матричным полиномом по $ x_{} $ (или же полиномом по $ x_{} $ с матричными коэффициентами). Если при этом $ A_0 \ne \mathbb O $, то $ n_{} $ называют степенью полиномиальной матрицы. Если, вдобавок, матрица $ A_{0} $ невырожденная, то матричный полином называется регулярным.

Матрица может быть определена не только явным образом, но и заданием соотношения, которому она должна удовлетворять. Так, к примеру обратная матрица для квадратной матрицы $ A $ фактически определялась как решение матричного уравнения $ AX= E $. Отсутствие свойства коммутативности умножения порождает причудливые комбинации, не имеющие аналогов в скалярном случае.

имеет вид $$ A^{\top}X+XA=C $$ при заданной матрице $ A_{} $ и заданной симметричной матрице $ C_{} $ (обе — квадратные одинакового порядка $ n_{} $), относительно неизвестной матрицы $ X_{} $, которая разыскивается также во множестве симметричных матриц порядка $ n_{} $.

Имеет важное значение в теории управления.

Уравнение является частным случаем матричного уравнения Сильвестра $$ AX+XB=C $$ при произвольных квадратных матрицах $ A,B,C_{} $.

Далее идет сложный для понимания материал!

Пример. Решить матричное уравнение Сильвестра для матриц второго порядка: $$ A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \ , \ B=\left( \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right) \ , \ C=\left( \begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array} \right) \ . $$

Решение. Подставляя в уравнение матрицу $$ X=\left( \begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right) \ , $$ с пока неопределенными элементами, получаем систему линейных уравнений, которую тоже запишем в матричном виде: $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{12} \\ x_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{12} \\ c_{22} \end{array} \right) $$ (матрицы $ X_{} $ и $ C_{} $ «вытянули» в строки). Матрица в левой части имеет порядок $ 4_{} $ и может быть представлена в виде суммы двух матриц: $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & 0 & b_{21} & 0 \\ 0 & b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & b_{12} & 0 & b_{22} \end{array} \right) \ . $$ Для формализации записи этих двух слагаемых придумана специальная операция ☞ КРОНЕКЕРОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ. Пока не останавливаясь на этом формализме, вычислим определитель: получим крайне громоздкий полином $ 4_{} $-й степени относительно элементов матриц $ A_{} $ и $ B_{} $. Оказывается, этот полином совпадает с результантом характеристического полинома матрицы $ A_{} $ и характеристического полинома матрицы $ (-B_{}) $: $$ \mathcal R (\det(A-\lambda E), \det(-B-\lambda E)) \ . $$ Если это выражение отличо от нуля, то матричное уравнение $ AX+XB=C $ имеет решение при любой матрице $ C_{} $. ♦

Уравнение $ x^2=-1 $ не имеет решения в вещественных числах. Можно ли утверждать аналогичное для уравнения матричного:

$$X^2=- \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ ? $$

Эта задача — вычисления квадратного корня из матрицы — является частью общей задачи о вычислении аналитической функции от матрицы, т.е. произвольной функции $ g(x) $, представимой в виде сходящегося ряда. Частным случаем задачи является рассмотренная выше задача вычисления полинома от матрицы. Подробнее об этой задаче ☞ ЗДЕСЬ.

Уравнение $$ A^{\top}X+XA-X^{\top}BX=C $$ называется матричным уравнением Риккати. Уравнение Ляпунова получается из него при нулевой матрице $ B $.

рассматривается ☞ ЗДЕСЬ

— это матрица, связывающая координаты произвольного вектора $ X_{} $ из $ n_{} $—мерного линейного пространства в двух различных базисах $ \{X_1,\dots,X_n\} $ и $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\} $ этого пространства: $$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n \ .$$ Называется также матрицей перехода от базиса к базису. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

— это матрица, связывающая координаты произвольного вектора $ X_{} $ из линейного пространства $ \mathbb V_{} $ с координатами его образа $ Y_{} $ в линейном пространстве $ \mathbb W_{} $ при выборе некоторых фиксированных базисов этих пространств. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

☞ ЗДЕСЬ.