Теорема [Лагранж]. Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп: $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ делится на $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $.

Для доказательства теоремы введем новое понятие.

Пусть $ \mathbb H $ — собственная подгруппа группы $ \mathbb G $ и пусть $ \mathfrak b $ — элемент группы $ \mathbb G $. Рассмотрим множество всех элементов вида $ {\mathfrak b} {\mathfrak h} $ при $ \mathfrak h \in \mathbb H $. Это множество называется левым смежным классом группы $ \mathbb G $ по подгруппе $ \mathbb H $ и обозначается $ \mathfrak b \mathbb H $: $$\mathfrak b \mathbb H = \left\{ {\mathfrak b} {\mathfrak h} \big| \mathfrak h \in \mathbb H \right\} \ .$$ Аналогично определяется правый смежный класс $ \mathbb H \mathfrak b $.

Очевидно, что в абелевой группе, любой левый смежный класс совпадает с правым: $ \mathfrak b \mathbb H =\mathbb H \mathfrak b $.

Пример. Рассмотрим аддитивную группу целых чисел $ \mathbb G= \mathbb Z $, в качестве ее подгруппы возьмем множество чисел кратных числу $ M\in \mathbb N $:

$$ \mathbb H=\left\{tM \big| t\in \mathbb Z \right\} \, . $$ Тогда при $ b_{} $ не кратном $ M_{} $ левый смежный класс $$ b+ \mathbb H = \left\{ b+ tM \big| t\in \mathbb Z \right\} $$ очевидно совпадает с правым смежным классом, и представляет собой класс вычетов $ \overline b $ по модулю $ M_{} $. ♦

Доказательство теоремы. Сначала покажем, что все элементы смежного класса $ \mathfrak b \mathbb H $ различны. Предположим, что $ {\mathfrak b} {\mathfrak h}_1 ={\mathfrak b} {\mathfrak h}_2 $ при $ \{{\mathfrak h}_1 ,{\mathfrak h}_2 \} \subset \mathbb H $. Тогда, домножая это равенство слева на $ {\mathfrak b}^{-1} $, необходимо приходим к $ {\mathfrak h}_1 ={\mathfrak h}_2 $. Следовательно, при $ {\mathfrak h}_1 \ne {\mathfrak h}_2 $ должно выполняться и $ {\mathfrak b} {\mathfrak h}_1 \ne {\mathfrak b} {\mathfrak h}_2 $. Итак, все элементы класса $ \mathfrak b \mathbb H $ действительно различны; как следствие получаем, что $ \operatorname{Card} (\mathbb H) =\operatorname{Card} (\mathfrak b \mathbb H) $.

Теперь покажем, что множества $ \mathbb H $ и $ \mathfrak b \mathbb H $ не содержат общих элементов: $ \mathbb H \bigcap \mathfrak b \mathbb H = \varnothing $. Допустим, что общие элементы имеются: $ {\mathfrak h}_j ={\mathfrak b} {\mathfrak h}_k $. Тогда, домножая это равенство справа на $ {\mathfrak h}_k^{-1} $, получаем $ {\mathfrak b}= {\mathfrak h}_j{\mathfrak h}_k^{-1} $, и, поскольку $ {\mathfrak h}_j{\mathfrak h}_k^{-1} $ принадлежит $ \mathbb H $, то и $ {\mathfrak b}\in \mathbb H $. Однако это противоречит предположению.

Итак, если $ \mathbb H $ — несобственная подгруппа группы $ \mathbb G $, то доказательство теоремы тривиально. Если же она собственная, то существует элемент $ \mathfrak b $ группы $ \mathbb G $, не входящий в $ \mathbb H $. Тогда смежный класс $ \mathfrak b \mathbb H $ содержит ровно $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $ различных элементов, ни один из которых не содержится в $ \mathbb H $. Следовательно множество $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H $ содержит ровно $ 2\operatorname{Card}(\mathbb H) $ различных элементов. Если $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H = \mathbb G $, то теорема доказана. Если же существует элемент $ \mathfrak f $ группы $ \mathbb G $, не принадлежащий $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H $, то мы образовываем новый смежный класс $ \mathfrak f \mathbb H $, который — по доказанному выше — имеет все элементы различными и не входящими в $ \mathbb H $. Покажем, что $ \mathfrak f \mathbb H \bigcap \mathfrak b \mathbb H = \varnothing $. В самом деле, если $ {\mathfrak f} {\mathfrak h}_j= {\mathfrak b} {\mathfrak h}_k $, то $ {\mathfrak f}={\mathfrak b} {\mathfrak h}_k {\mathfrak h}_j^{-1} \in {\mathfrak b} \mathbb H $, что противоречит предположению о том, что $ {\mathfrak f} \not\in \mathfrak b \mathbb H $.

Следовательно, множество $ \mathbb H \bigcup \mathfrak b \mathbb H \bigcup \mathfrak f \mathbb H $ содержит ровно $ 3\operatorname{Card} (\mathbb H) $ различных элементов. Если это множество совпадает с $ \mathbb G $, то теорема доказана. В противном случае, продолжаем процедуру выделения новых смежных классов. Эта процедура конечна, поскольку сама группа $ \mathbb G $ конечна. Но тогда применение индукции позволит утверждать, что группа $ \mathbb G $ раскладывается в объединение конечного числа попарно непересекающихся множеств: смежных классов по подгруппе $ \mathbb H $. Каждое из подмножеств имеет мощность, равную $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $. ♦

Подгруппа $ \mathbb H $ группы $ \mathbb G $ называется нормальной (или нормальным делителем) если для любого элемента $ {\mathfrak h} \in \mathbb H $ и любого элемента $ \mathfrak b \in \mathbb G $ произведение $ \mathfrak b^{-1} \mathfrak h \mathfrak b $ принадлежит $ \mathbb H $.

Теорема. Если подгруппа $ \mathbb H $ нормальная, то любой левый смежный класс по этой подгруппе совпадает с правым смежным классом и наоборот.

Если подгруппа $ \mathbb H $ группы $ \mathbb G $ нормальная, то можно ввести операцию над смежными классами, так что получится новая группа, элементами которой будут смежные классы. Эта группа называется факторгруппой и обозначается $ \mathbb G / \mathbb H $.

Пример. Множество $ \mathbb Z_M $ классов вычетов по модулю $ M_{} $ является факторгруппой группы $ \mathbb Z_{} $ по подгруппе целых чисел, кратных $ M_{} $, относительно операции сложения.