Пусть в евклидовом пространстве $ \mathbb E_{} $ известным образом задано скалярное произведение $ \langle X_{},Y \rangle $. Матрицей Грама системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $ называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов: $$ G(X_1,\dots,X_m)= \left( \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right) = \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^m \ . $$ Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $: $$ {\mathfrak G}(X_1,\dots,X_m)=\left| \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_m \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_m \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_m,X_1 \rangle & \langle X_m,X_2 \rangle & \dots & \langle X_m,X_m \rangle \end{array} \right| = \det \left[ \langle X_j,X_k \rangle \right]_{j,k=1}^m \ . $$

Пример. Если в пространстве $ \mathbb R^{ n } $ строк, состоящих из $ n_{} $ вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу¹⁾

$$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \quad npu \quad X=(x_1,x_2,\dots,x_n), Y=(y_1,y_2,\dots,y_n) \ , $$ то матрица Грама строк $$ X_1=\left(x_{11},x_{12},\dots, x_{1n}\right),\dots,X_m=\left(x_{m1},x_{m2},\dots, x_{mn}\right) $$ вычисляется перемножением матриц: $$ G(X_1,\dots,X_m)=X\cdot X^{\top} \quad npu \quad X= \left(\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} &\dots & x_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ x_{m1}& x_{m2} & \dots & x_{mn} \end{array} \right) $$ и при $ ^{\top}_{} $ означающем транспонирование. Из теоремы Бине-Коши немедленно следует, что при $ m>n_{} $ (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю. Этот результат обобщен НИЖЕ для произвольных евклидовых пространств.

Пример. Если в пространстве полиномов с вещественными коэффициентами скалярное произведение задано формулой

$$ \langle p(x),q(x) \rangle =\int_0^1 p(t) q(t) d\,t \ ,$$ то $$ G(1,x,x^2)= \left( \begin{array}{ccc} \int_0^1 1 d\,t & \int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t \\ & & \\ \int_0^1 t d\,t & \int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t \\ & & \\ \int_0^1 t^2 d\,t & \int_0^1 t^3 d\,t & \int_0^1 t^4 d\,t \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 \end{array} \right) \ . $$ Обобщение получившейся матрицы известно как матрица Гильберта.

Если система векторов $ \{X_{1},\dots,X_n \} $ образует базис пространства $ \mathbb E_{} $ (т.е. пространство $ \mathbb E_{} $ является $ n_{} $-мерным), то задание матрицы Грама $ G(X_{1},\dots,X_n) $ позволяет свести вычисление скалярного произведения произвольных векторов из $ \mathbb E_{} $ к действиям над их координатами: $$ X=x_1X_1+x_2X_2+\dots+x_nX_n,\ Y=y_1X_1+y_2X_2+\dots+y_nX_n \ \Rightarrow $$ $$ \langle X,Y \rangle=\left(x_1,x_2,\dots,x_n \right) \left( \begin{array}{cccc} \langle X_1,X_1 \rangle & \langle X_1,X_2 \rangle & \dots & \langle X_1,X_n \rangle \\ \langle X_2,X_1 \rangle & \langle X_2,X_2 \rangle & \dots & \langle X_2,X_n \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle X_n,X_1 \rangle & \langle X_n,X_2 \rangle & \dots & \langle X_n,X_n \rangle \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) \ . $$

Теорема. $ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m)=0 $ тогда и только тогда, когда система векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $ линейно зависима.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Теорема. $ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) \ge 0 $ для любой системы векторов $ \{X_{1},\dots,X_m \} $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

При $ m=2_{} $ получаем неравенство Коши-Буняковского: $$ \langle X_1,X_1 \rangle \cdot \langle X_2,X_2 \rangle \ge \langle X_1,X_2 \rangle^2 \ . $$

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной.

Теорема. Пусть $ X_m^{^{\bot}} $ означает ортогональную составляющую вектора $ X_m $ относительно $ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m-1}) $. Тогда

$$ \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)=\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1})\left|X_m^{^{\bot}} \right|^2 \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Величина определителя Грама не превосходит его главного члена, т.е. произведения элементов его главной диагонали:

$$\mathfrak{G}(X_1,\dots,X_{m-1},X_m)\le \left|X_1 \right|^2 \times \dots \times \left|X_{m-1} \right|^2 \left|X_m \right|^2 \ . $$

Для произвольной квадратной вещественной матрицы

$$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) $$ справедливо неравенство Адамара²⁾: $$ \left| \det A \right| \le \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{1j}^2} \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{2j}^2} \times \dots \times \sqrt{ \sum_{j=1}^n a_{nj}^2} \ . $$ Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения длин его строк. Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.

Доказательство. Обозначим $ j_{} $-ю строку матрицы $ A_{} $ через $ A^{[j]} $. Тогда, поскольку $ \det A= \det A^{\top} $ (см. свойство 1 ☞ ЗДЕСЬ ), имеем: $$\left( \det A \right)^2= \det \left(A\cdot A^{\top} \right)= \det \left[ \begin{array}{cccc} \langle A^{[1]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[1]},A^{[2]} \rangle & \dots & \langle A^{[1]},A^{[n]} \rangle \\ \langle A^{[2]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[2]},A^{[2]} \rangle & \dots & \langle A^{[2]},A^{[n]} \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle A^{[n]},A^{[1]} \rangle & \langle A^{[n]},A^{[2]} \rangle & \dots & \langle A^{[n]},A^{[n]} \rangle \end{array} \right]= $$ $$ =\mathfrak{G}\left(A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]} \right) $$ при задании скалярного произведения в $ \mathbb R^n $ стандартным способом. На основании предыдущего следствия, имеем: $$ \le \left|A^{[1]} \right|^2 \left|A^{[2]} \right|^2 \times \dots \times \left|A^{[n]} \right|^2 \ . $$ Равенство возможно тогда и только тогда, когда либо все строки попарно ортогональны, либо хотя бы одна строка — нулевая. ♦

Пример.

$$ \left|\det\left( \begin{array}{rrr} -47 & 40 & -81 \\ 91 & 68 & -10 \\ 31 & -51 & 77 \end{array} \right) \right| \le $$ $$ \le \left\{ \begin{array}{cl} \sqrt{(47^2+40^2+81^2)(91^2+68^2+10^2)(31^2+51^2+77^2)} &\le 1131360 \\ & \\ \sqrt{(47^2+91^2+31^2)(40^2+68^2+51^2)(81^2+10^2+77^2)} & \le 1127957 \end{array} \right. $$ при точной величине определителя $ 31867 $.

Теорема. Величина определителя Грама не изменится, если к системе векторов применить алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. В обозначениях этого алгоритма имеет место равенство:

$$ {\mathfrak G}(X_{1},\dots,X_m) = {\mathfrak G}\left({\mathfrak E}_1,\dots, {\mathfrak E}_m \right)=|{\mathfrak E}_1|^2\times \dots \times |{\mathfrak E}_m|^2 \ . $$

Теорема. Расстояние $ d_{} $ от точки $ X_{0} \in {\mathbb E} $ до линейного многообразия в $ \mathbb E_{} $

$$ Y_0+\mathcal L(Y_1,\dots,Y_k)= \{ Y_0+\lambda_1 Y_1+\dots+\lambda_k Y_k \ \mid \ \{\lambda_1,\dots,\lambda_k\} \subset {\mathbb R} \} $$ и при фиксированных линейно независимых $ \{Y_{0},Y_1,\dots,Y_k \}\subset {\mathbb E} $, вычисляется по формуле $$ d=\sqrt{\frac{{\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_k, X_0-Y_0)}{{\mathfrak G}(Y_1,\dots,Y_k)}} \ . $$

Доказательство для случая $ Y_0=\mathbb O_{} $ ☞ ЗДЕСЬ. Случай $ Y_{0}\ne \mathbb O $ сводится к предыдущему сдвигом пространства на вектор $ (- Y_{0}) $: см. комментарии к теореме $ 5_{} $ ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Другие применения определителя Грама в задачах вычисления расстояний между поверхностями в $ {\mathbb R}^{n} $ ☞ ЗДЕСЬ.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если параллелограмм построен на векторах $ X_{1} $ и $ X_2 $ из $ \mathbb R^2 $, то за основание можно принять длину вектора $ X_{1} $, а за высоту — длину перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_2 $ на ось вектора $ X_{1} $.

Аналогично, объем параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,X_3 $ из $ \mathbb R^{3} $, равен произведению площади основания на высоту; площадь основания — это площадь параллелограмма, построенного на векторах $ X_1,X_2 $, а высота — длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_3 $ на плоскость векторов $ X_1,X_2 $.

Объем $ k_{} $-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве $ \mathbb E_{} $ определим по индукции. Если этот параллелепипед построен на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_{k-1},X_k $, то за его объем примем произведение объема $ (k-1) $-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_{k-1} $ на длину перпендикуляра, опущенного из точки $ X_{k} $ на линейную оболочку векторов $ X_1,X_2,\dots,X_{k-1} $ (т.е. на длину ортогональной составляющей $ X_k $ относительно $ \mathcal L ( X_1,X_2,\dots,X_{k-1}) $): $$\mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_{k-1},X_k)=\left|X_k^{\bot} \right| \mathbf V(X_1,X_2,\dots,X_{k-1}) \ . $$

Теорема. Квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,\dots,X_k $, совпадает с величиной определителя Грама от той же системы векторов: $$[V(X_1,X_2,\dots,X_k)]^2= \mathfrak G (X_1,X_2,\dots,X_k) \ .$$

Доказательство следует из представления длины ортогональной составляющей $ X_k^{^{\bot}} $ через определители Грама (см. теорему $ 2_{} $ и следствие к ней ☞ ЗДЕСЬ ).

Модуль определителя вещественной матрицы

$$ A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) $$ равен объему параллелепипеда в пространстве $ \mathbb R^{n}_{} $, построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,\dots, 0), (a_{11},a_{12}, \dots , a_{1n}),(a_{21},a_{22}, \dots , a_{2n}), \dots, (a_{n1},a_{n2}, \dots, a_{nn}) $$ (т.е. «построенного на строках матрицы») и равен объему параллелепипеда построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,\dots, 0), (a_{11},a_{21}, \dots , a_{n1}),(a_{12},a_{22}, \dots , a_{n2}), \dots, (a_{1n},a_{2n}, \dots, a_{nn}) $$ (т.е. «построенного на столбцах матрицы»).

Доказательство фактически совпадает с доказательством неравенства Адамара: $$ \left(\det A \right)^2 = \left\{ \begin{array}{cc} \det \left(A \cdot A^{\top}\right)=\mathfrak G (A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]}) &= \left[\mathbf V(A^{[1]},A^{[2]},\dots,A^{[n]})\right]^2 \\ & \\ \det \left(A^{\top} \cdot A \right) = \mathfrak G (A_{[1]},A_{[2]},\dots,A_{[n]}) & = \left[\mathbf V(A_{[1]},A_{[2]},\dots,A_{[n]})\right]^2 \end{array} \right. $$ ♦

☞ ЗДЕСЬ.