Инструменты сайта


Умножение матриц: ассоциативность

Т

Теорема. Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону: $$ (A\cdot B) \cdot D = A\cdot (B \cdot D) $$ если хотя бы в одной части равенства произведение определено.

Доказательство. Пусть $ A \in \mathbb A^{m \times n}, B \in \mathbb A^{n \times k}, D \in \mathbb A^{k \times h} $. Пусть $$ A= \left( \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13}& \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \dots & a_{2n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3}& \dots & a_{mn} \end{array} \right) \ , \quad B= \left(\begin{array}{llll} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1k} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2k} \\ \dots & & & \dots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mk} \end{array}\right) \, . $$ Докажем сначала справедливость равенства для частного случая матрицы $ D $: пусть она состоит только из одного столбца, т.е. $ h=1 $. Обозначим этот столбец $$ X= \left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) $$ Сделаем в векторе $$ AX=\left( \begin{array}{c} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+ \ldots+a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+ \ldots +a_{2n}x_n \\ \dots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+ \ldots+a_{mn}x_n \end{array} \right) $$ замену переменных (подстановку) по формулам $$ X=BY \quad \iff \quad \left\{\begin{array}{l} x_1=b_{11}y_1+b_{12}y_2+\dots+b_{1k}y_k\ ,\\ \vdots\\ x_n=b_{n1}y_1+b_{n2}y_2+\dots+b_{nk}y_k\ . \end{array}\right. $$ Здесь $$ Y= \left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_k \end{array}\right) $$ — вектор новых переменных.

Подстановка в $ a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots+a_{jn}x_n $ приводит к следующему: $$\begin{array}{rlc} a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots+a_{jn}x_n= &a_{j1}(b_{11}y_1+b_{12}y_2+\dots+b_{1k}y_k)&+\\ +&a_{j2}(b_{21}y_1+b_{22}y_2+\dots+b_{2k}y_k)&+\\ +& \qquad \qquad \dots & +\\ +&a_{jn}(b_{n1}y_1+b_{n2}y_2+\dots+b_{nk}y_k)&=\\ =&(a_{j1}b_{11}+a_{j2}b_{21}+\dots+a_{jn}b_{n1})y_1&+\\ +&(a_{j1}b_{12}+a_{j2}b_{22}+\dots+a_{jn}b_{n2})y_2&+\\ +& \qquad \qquad \dots&+\\ +&(a_{j1}b_{1k}+a_{j2}b_{2k}+\dots+a_{jn}b_{nk})y_k&=\\ =c_{j1}y_1+c_{j2}y_2+\dots+c_{jk}y_k ,& & \end{array} $$ где коэффициенты определяются формулой $$ c_{j\ell}=a_{j1}b_{1\ell}+a_{j2}b_{2\ell}+\dots+a_{jn}b_{n\ell} \, . $$ Однако, этой же формулой определяются элементы матрицы $$ C = A \cdot B \, . $$ Таким образом, справедливость равенства $$ A(BY)=(AB)Y $$ доказана для любого столбца $ Y \in \mathbb A^{k\times 1} $.

Распространить же ее на матрицу $ D $ с произвольным количеством столбцов позволяет следующее правило. Умножение матрицы $ C $ на матрицу $ D $ сводится к умножению матрицы $ C $ на каждый из столбцов матрицы $ D $ (распараллеливается). $$C\cdot [D_{[1]} \mid \dots \mid D_{[h]} ] =\left[C\cdot D_{[1]} \mid \dots \mid C \cdot D_{[h]} \right] = $$ На основании уже доказанной формулы имеем право записать $$(AB)D_{[1]}=A\left(BD_{[1]}\right),\dots, (AB)D_{[h]}=A\left(BD_{[h]}\right) \ . $$ Следовательно, наше произведение $$ = \left[A \left(BD_{[1]} \right) \mid \dots \mid A\left(BD_{[h]} \right) \right] = $$ Снова используем правило умножения матрицы на матрицу через распараллеливание по столбцам (только теперь идем в обратном направлении — от столбцов переходим к матрице): $$ =A \left[BD_{[1]} \mid \dots \mid BD_{[h]} \right] = $$ и завершит доказательство еще одно применение того же правила: $$ =A(BD) \ . $$

=>

Степени квадратной матрицы $ A $ коммутируют. Именно, справедливы равенства:

$$ A^k \cdot A^{\ell}=A^{\ell} \cdot A^k = A^{k+\ell} \quad npu \quad \forall \quad \{k,\ell\} \subset \{0,1,2,\dots \} \, . $$

?

Доказать, что если матрицы $ A $ и $ B $ коммутируют, то и произвольные степени этих матриц тоже коммутируют:

$$ AB = BA \ \Rightarrow \ A^k B^{\ell}=B^{\ell} A^k \quad npu \quad \forall \quad \{k,\ell\} \subset \{0,1,2,\dots \} \, . $$

algebra2/assoc.txt · Последние изменения: 2020/10/23 09:14 — au