Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную: $$ C_{m\times m}^{}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times m} \, .$$ Выразить $ \det C_{} $ через миноры матриц $ A_{} $ и $ B_{} $.

Теорема 1 [Бине, Коши].

$$\det C=\left\{\begin{array}{ll} 0& npu\ m>n; \\ \det A \cdot \det B& npu \ m=n; \\ \displaystyle \sum_{1\le \beta_1<\dots<\beta_m \le n } A\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & \dots & m \\ \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \end{array} \right) B\left( \begin{array}{llll} \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \\ 1 & 2 & \dots & m \end{array} \right)& npu\ m<n. \end{array} \right. $$

Доказательство проведем только для второй из формул, для простоты рассуждений рассмотрев случай $ m=n=3 $. Составим вспомогательный определитель порядка $ m+n=6 $: $$ {\mathfrak B}=\left| \begin{array}{cc} A & \mathbb O \\ -E & B \end{array} \right|= \left| \begin{array}{rrrrrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & & & \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & &\mathbb O & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & & & \\ -1 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & -1 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & -1 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array} \right| $$ На основании теоремы Лапласа этот определитель $$ {\mathfrak B}=\det A \det B \, . $$

С другой стороны, действуя над его столбцами, добьемся, чтобы все элементы в правом нижнем углу обратились в нуль. Для этого прибавим к четвертому столбцу первый, умноженный на $ b_{11} $, второй, умноженный на $ b_{21} $ и третий, умноженный на $ b_{31} $. Величина определителя от этого не изменится: $$ {\mathfrak B}=\left| \begin{array}{rrrlll} a_{11} & a_{12} & a_{13} &d_{11} &0 &0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &d_{21} &0 &0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &d_{31} &0 &0 \\ -1 & 0 & 0 &0 & b_{12} & b_{13} \\ 0 & -1 & 0 &0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & -1 &0 & b_{32} & b_{33} \end{array} \right|, \quad \mbox{ где } \quad \left\{ \begin{array}{ccc} d_{11}&=&a_{11}b_{11}+ a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31},\\ d_{21}&=&a_{21}b_{11}+ a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31},\\ d_{31}&=&a_{31}b_{11}+ a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}. \end{array} \right. $$ Видим, что элементы $ d_{j1} $ формируются по закону умножения матриц $ A $ и $ B $: $ j $-я строчка матрицы $ A $ умножается на первый столбец матрицы $ B $. Следовательно, $ d_{j1}=c_{j1} $. Проделав аналогичные преобразования, ведущие к обнулению оставшихся элементов матрицы $ B $, получим в результате: $$ {\mathfrak B}=\left| \begin{array}{cc} A & C \\ -E & \mathbb O \end{array} \right|. $$ Снова применяем теорему Лапласа, теперь уже для миноров последних трех строк (т.е. $ \alpha_1=4,\alpha_2=5,\alpha_3=6 $): $$ {\mathfrak B}=(-1)^{4+5+6+1+2+3}\det\, (-E) \cdot \det \,C =\det \, C \, . $$ Сравнивая два представления одного и того же определителя, получаем справедливость формулы $ \det C= \det A \cdot \det B $. ♦

Теорема 2. Для любой вещественной матрицы $ A $ выполнено неравенство:

$$ \det (A\cdot A^{\top}) \ge 0 \ ; $$ при этом неравенство будет строгим тогда и только тогда, когда ранг матрицы $ A_{} $ совпадает с числом ее строк: $$ \det (A\cdot A^{\top}) > 0 \quad \iff \quad \operatorname{rank} (A_{m\times n})=m \, . $$

Доказательство проиллюстрируем на примере матрицы, содержащей $ m=2_{} $ строки: $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{array} \right) \ . $$ Имеем: $$ \det(A\cdot A^{\top}) =\left|\begin{array}{cc} a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2 & a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n \\ a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n & b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2 \end{array} \right| = $$ $$ =(a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2+ b_2^2 + \dots + b_n^2)-(a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n)^2 $$ С другой стороны, на основании теоремы Бине-Коши, получаем $$ \det(A\cdot A^{\top})= \left| \begin{array}{rr} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array} \right|^2 + \dots + \left| \begin{array}{rr} a_j & a_ k \\ b_j & b_k \end{array} \right|^2 + \dots + \left| \begin{array}{rr} a_{n-1} & a_n \\ b_{n-1} & b_n \end{array} \right|^2 \ ; $$ (здесь $ j < k_{} $). Таким образом, получаем неравенство Коши-Буняковского: $$ | a_1b_1 + a_2b_2+\dots + a_n b_n |\le \sqrt{a_1^2+a_2^2 + \dots + a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2 + \dots + b_n^2} \ . $$ Равенство здесь возможно тогда и только тогда, когда все определители $$ \left| \begin{array}{rr} a_j & a_ k \\ b_j & b_k \end{array} \right| \ npu \ 1\le j < k \le n $$ обратятся в нуль. Но это равносильно тому, что $$ \operatorname{rank} (A_{2\times n})<2 $$ или, что то же, строки $ (a_1,a_2,\dots,a_{n}) $ и $ (b_1,b_2,\dots,b_{n}) $ пропорциональны: $$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots = \frac{a_n}{b_n} \ . $$ ♦

Для произвольных систем

$$ \{a_1,\dots,a_n\} \quad \mbox { и } \quad \{b_1,\dots,b_n\} $$ вещественных чисел справедливы тождества Эйлера-Лагранжа¹⁾ $$ \left(\sum_{j=1}^n a_j^2 \right)\left(\sum_{j=1}^n b_j^2 \right)=\left(\sum_{j=1}^n a_jb_j \right)^2+ \sum_{1\le j<k\le n}^n \left( a_jb_k-a_kb_j \right)^2 \, . $$ Иными словами произведение двух чисел, каждое из которых равно сумме квадратов является числом, равным сумме квадратов:

Биографические заметки о Коши ☞ ЗДЕСЬ.