Инструменты сайта


Некоторые алгебраические структуры

Существует два подхода к изложению основ теории групп в учебном курсе высшей алгебры. Первый — чисто формальный, «сверху-вниз»: этот объект, его обобщения и обеспечивающая их терминология излагаются в начале курса, а впоследствии на формально введенном языке формулируются результаты из конкретных разделов алгебры. Я придерживаюсь противоположного подхода: теория групп — это «надстройка над несколькими блоками фундамента», и построение курса алгебры надо начинать именно с закладки отдельных блоков — изложением конкретных разделов (целые числа, полиномы, матрицы). И только потом устанавливать связи между ними, «перебрасывать мостики» и «навешивать узоры». Не собираясь обосновывать здесь правильность выбранной методологии (см. Правила пользования настоящим ресурсом ), я сейчас просто проясняю причину по которой, например, в разделе ПОЛИНОМ говорится о «полиноме над множеством», а не о «полиноме над полем».

§

А в завершение этого комментария привожу ЦИТАТУ.

Бинарная операция

Что такое алгебраическая операция? Рассмотрим произвольное непустое множество $ \mathbb S $, элементы которого будем обозначать готическими буквами: $$ \mathbb S=\{{\mathfrak A},\, {\mathfrak B},\, \dots, {\mathfrak a},\, {\mathfrak b},\, \dots \} \ .$$

Бинарной операцией, определенной на $ \mathbb S $, называется соответствие, при котором каждой упорядоченной паре $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ элементов из $ \mathbb S $ отвечает определенный элемент $ \mathfrak c $ того же множества. Записывать этот факт будем в виде $$ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak c} \ .$$

П

Пример. Если $ \mathbb S=\mathbb Z $, то сложение является бинарной операцией; если $ \mathbb S=\mathbb Q_{+} $ (положительных рациональных чисел), то деление тоже является бинарной операцией.

§

Подчеркнем, что понятие бинарной операции неразрывно связано с множеством, на котором она определена: результат операции не должен выводить за пределы множества. Примеры показывают, что бинарная операция, определенная на множестве $ \mathbb S $, не обязательно «наследуется» при переходе к подмножеству.

П

Пример. На подмножестве четных чисел множества $ \mathbb Z_{} $ операция сложения продолжает оставаться бинарной: сумма любых четных чисел остается четным числом. Напротив, на подмножестве нечетных чисел та же операция не является бинарной.

Говорят, что подмножество $ \mathbb S_1 $ множества $ \mathbb S_{} $ замкнуто относительно бинарной операции $ \ast $, определенной на $ \mathbb S $, если выполнено $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} \in \mathbb S_1 $ для любой пары элементов $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb S_1 $. Если это условие не выполняется хотя бы для одной пары элементов $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb S_1 $, то говорят, что $ \mathbb S_1 $ не замкнуто относительно $ \ast $.

?

Пусть $ \mathbb S = \mathbb C,\, \mathbb S_1 = \{1,\, -1,\, \mathbf i ,\, -\mathbf i \} $. Является ли $ \mathbb S_1 $ замкнутым относительно сложения? А умножения?

Два произвольных элемента $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ множества $ \mathbb S $, на котором определена бинарная операция $ \ast $, определяют четыре возможные результата действия этой операции: $$ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b},\ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak a},\ {\mathfrak b} \ast {\mathfrak a},\ {\mathfrak b} \ast {\mathfrak b} \ , $$ не все из которых обязательно различны.

Если $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}={\mathfrak b} \ast {\mathfrak a} $, то говорят, что элементы $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ перестановочны (или что они коммутируют) относительно операции $ \ast $, если же $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}\ne {\mathfrak b} \ast {\mathfrak a} $, то эти элементы не перестановочны (не коммутируют) относительно $ \ast $.

П

Пример. Приведем несколько случаев некоммутативности:

а) множество $ \mathbb Q_{+} $ с операцией деления: $ 1/2 \, \colon \, 1/3 \ne 1/3 \, \colon \, 1/2 $;

б) множество квадратных матриц $ n_{} $-го порядка с операцией умножения: $$ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\, \cdot \, \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{array} \right) \ne \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{array} \right) \, \cdot \, \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \ . $$

Рассмотрим теперь последовательное применение операции $ \ast $ к трем элементам $ {\mathfrak a},{\mathfrak b} $ и $ {\mathfrak c} $ множества $ \mathbb S $. Возможные варианты исчерпываются $ ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c} \quad $ и $ {\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) $.

Говорят, что для упорядоченной тройки элементов $ {\mathfrak a},{\mathfrak b} $ и $ {\mathfrak c} $ выполняется свойство ассоциативности операции $ \ast $ если $$ ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c}={\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) \ . $$

П

Пример. а) Для чисел $ 1/2,\ 1/3,\ 1/4 $ не выполняется свойство ассоциативности деления: $ \left(1/2 \colon 1/3 \right) \colon 1/4 \ne 1/2 \colon \left(1/3 \colon 1/4\right) $.

б) На множестве $ \mathbb N_{} $ определим операцию $ \ast $ как операцию возведения в степень $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak a}^{\mathfrak b} $. Для тройки чисел $ 2,3,2 $ свойство ассоциативности не выполняется: $$ \left(2^3\right)^2 \ne 2^{\left(3^2\right)} \ . $$

Здесь возникает интересная проблема, впервые поставленная Кэли. При невыполнении ассоциативности операции $ \ast $ значение выражения $ {\mathfrak a}_1 \ast {\mathfrak a}_2 \ast \dots \ast {\mathfrak a}_n $ будет зависеть от порядка выполнения операций. Так, к примеру степень $$ 2^{\displaystyle 2^{\displaystyle 3^2}} $$ может быть равна — в зависимости от расстановки скобок — одному из следующих чисел: $$ 2^{^{\displaystyle \left( 2^{\displaystyle \left(3^2\right)} \right)}} =2^{512} \ ; \left( \left( 2^{\displaystyle 2} \right)^{\displaystyle 3} \right)^2=2^{12}\ ; 2^{^{\left[\left({\displaystyle 2}^{\displaystyle 3} \right)^2\right]}} =2^{64}\ ; \left(2^{\displaystyle 2} \right)^{\big( {\displaystyle 3}^2 \big)}=2^{18}\ ; \bigg[2^{\big({\displaystyle 2}^{3} \big)} \bigg]^2=2^{16} \ . $$ Сколько различных значений (в зависимости от расстановок скобок) может принимать выражение $ {\mathfrak a}_1 \ast {\mathfrak a}_2 \ast \dots \ast {\mathfrak a}_n $? Ответ на этот вопрос (а также его связь с проблемой кодирования) ЗДЕСЬ.

Будем говорить, что операция $ \ast $ коммутативна на множестве $ \mathbb S $ если для любых двух элементов множества выполняется свойство коммутативности. Будем говорить, что операция $ \ast $ ассоциативна на множестве $ \mathbb S_{} $ если для любых трех элементов множества выполняется свойство ассоциативности.

?

[3]. Пусть операция $ \ast $ подчиняется двум законам: $${\mathfrak a}\ast {\mathfrak a} ={\mathfrak a}, \quad ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c}=({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) \ast {\mathfrak a} $$ для любых $ {\mathfrak a}, {\mathfrak b} $ и $ {\mathfrak c} $ из $ \mathbb S $. Доказать, что $ \ast $ ассоциативна и коммутативна.

Определение группы

Множество $ \mathbb S_{} $ с определенной на нем бинарной операцией $ \ast $ называется полугруппой если $ \ast $ — ассоциативна.

Нейтральным элементом множества $ \mathbb S_{} $ относительно операции $ \ast $ называется такой элемент $ \mathfrak e $ этого множества, что для любого элемента $ \mathfrak a \in \mathbb S_{} $ выполняются соотношения $$\mathfrak a \ast \mathfrak e = \mathfrak e \ast \mathfrak a = \mathfrak a \ .$$

П

Пример. На множестве четных чисел не существует нейтрального элемента относительно умножения.

Пусть множество $ \mathbb S_{} $ содержит нейтральный элемент относительно операции $ \ast $. Элемент $ \mathfrak A $ называется обратным элементу $ \mathfrak a\in \mathbb S_{} $ относительно операции $ \ast $ если выполняются соотношения $$ \mathfrak a \ast \mathfrak A = \mathfrak A \ast \mathfrak a = \mathfrak e \ .$$

Полугруппа называется группой, если в ней существует нейтральный элемент и для любого ее элемента существует обратный относительно $ \ast $.

§

Традиционно группа обозначается буквой $ \mathbb G $; операция $ \ast $ называется умножением; результат бинарной операции $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} $ записывается тогда как $ {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak b} $ или просто $ {\mathfrak a}{\mathfrak b} $; нейтральный элемент $ \mathfrak e $ называется единичным или просто единицей; элемент, обратный $ \mathfrak a $ обозначается $ \mathfrak a^{-1} $. Результат умножения элемента на самого себя называется его степенью: $$\underbrace{{\mathfrak a} \ast {\mathfrak a} \ast \dots \ast {\mathfrak a}}_{k} = {\mathfrak a}^k, \ {\mathfrak a}^{0} = {\mathfrak e}\ .$$

Т

Теорема. Для любых $ \{ \mathfrak a, \mathfrak b \} \subset \mathbb G $ существует единственный элемент $ \mathbf x \in \mathbb G $ такой, что $ \mathfrak a \mathbf x = \mathfrak b $.

Доказательство. Проверкой убеждаемся, что $ \mathfrak a^{-1} \mathfrak b $ удовлетворяет условию, т.е. уравнение решение имеет. Если бы существовал другой $ \mathbf x $, удовлетворяющий тому же соотношению, то умножением слева на $ \mathfrak a^{-1} $ получили бы $ \mathbf x = \mathfrak a^{-1} \mathfrak b $. Таким образом, решение единственно.

§

Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения $ \mathbf y \mathfrak a= \mathfrak b $.

?

Доказать, что для любых $ \{ \mathfrak a, \mathfrak b \} \subset \mathbb G $: $ \left( \mathfrak a \mathfrak b \right)^{-1}= \mathfrak b^{-1} \mathfrak a^{-1} $.

?

[4]. Пусть $ \mathbb S_{} $ — полугруппа, в которой для некоторого $ k_{}\in \mathbb N $ выполняются соотношения $$ \mathfrak a^{k+1}=\mathfrak a \quad u \quad \mathfrak a \mathfrak b^k \mathfrak a = \mathfrak b \mathfrak a^k \mathfrak b \qquad npu \qquad \forall \{\mathfrak a,\mathfrak b\} \subset \mathbb S \ . $$ Доказать, что умножение коммутативно.

Примеры групп

Аддитивная группа целых чисел

Множество $ \mathbb Z_{} $ является группой относительно операции сложения, единичным элементом которой является $ 0_{} $, а элемент $ (-\mathfrak a) $ будет обратным элементу $ \mathfrak a $. То же самое множество не является группой относительно умножения: хотя единичный элемент и существует, но обратного не существует ни для какого другого.

?

Является ли это множество полугруппой?

Классы вычетов

Рассмотрим полную систему классов вычетов по модулю $ M_{}\in \mathbb N $, т.е. множеств целых чисел имеющих одинаковый остаток $ r_{} $ при делении на $ M_{} $: $$\overline r = \left\{r+Mt \ \big| \ t\in \mathbb Z \right\} $$ при $ r \in \{0,1,\dots,M-1 \} $. Это множество — обозначаемое $ \mathbb Z_{M} $ — является группой относительно сложения классов: $$ \overline a + \overline b = \overline c \quad \mbox{ при } \ c=a+b \pmod{M} \ .$$ Единичным элементом является класс $ \overline 0 $ (множество чисел, делящихся на $ M_{} $ нацело); элементом, обратным $ \overline a $, очевидно является $ \overline{M-a} $.

То же множество $ \mathbb Z_{M} $ относительно умножения классов является полугруппой, но не группой: для класса $ \overline 0 $ не существует обратного. Даже если выбросить этот класс и рассмотреть множество $ \mathbb Z_M \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{M-1} \} $ то и оно не будет группой для некоторых $ M_{} $: хотя единичный элемент и существует, но нет, например, класса, обратного $ \overline 2 $ по модулю $ 6_{} $. Тем не менее, если дополнительно потребовать, чтобы модуль $ M_{} $ был числом простым: $ M=p $, то множество $ \{ \overline 1, \dots , \overline{p-1} \} $ становится группой относительно умножения. Элементом, обратным $ \overline a $ будет класс $ \overline x $, где $ x_{} $ является решением сравнения $ ax\equiv 1 \pmod{p} $. Это решение единственно среди чисел множества $ \{1,\dots,p-1\} $ и может быть найдено по алгоритмам, приведенным ЗДЕСЬ. Например, используя теорему Ферма, его можно представить в виде $ x=a^{p-2} \pmod{p} $.

?

Доказать, что подмножество классов вычетов, взаимно простых с модулем $ M_{} $, образует группу относительно умножения.

Корни из единицы

Во множестве $ \mathbb C_{} $ рассмотрим подмножество корней n-й степени из единицы: $$\mathbb G = \left\{\varepsilon_k=\cos \frac{2 \pi k}{n} +\mathbf i\, \sin \frac{2 \pi k}{ n} \right\}_{k=0}^{n-1} \ .$$ Это подмножество является группой относительно умножения: $$\mathfrak e = \varepsilon_0=1; \ \varepsilon_j \varepsilon_k=\varepsilon_{j+k \pmod{n}} =\left\{\begin{array}{ll} \varepsilon_{j+k} \in \mathbb G & npu \ j+k< n, \\ \varepsilon_{j+k-n} \in \mathbb G & npu \ j+k\ge n; \end{array} \right. $$ $$\varepsilon_j^{-1}=\varepsilon_{-j}=\varepsilon_{n-j} \in \mathbb G \ .$$

Полиномы

Множества полиномов $ \mathbb Z[x],\, \mathbb Q[x],\ \mathbb R[x], \mathbb C[x] $ с коэффициентами из соответственно $ \mathbb Z_{} $, $ \mathbb Q_{} $, $ \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $ являются группами относительно сложения. Единичным элементом является тождественно нулевой полином, а полином $ (-f(x)) $ — обратным полиному $ f(x)_{} $. Те же множества не являются группами относительно умножения.

Полная линейная группа

Множество квадратных $ n\times n_{} $ матриц над $ \mathbb R_{} $ является полугруппой, но не группой относительно операции умножения, т.к. не для всякой матрицы $ A_{} $ существует обратная. Но вот подмножество невырожденных матриц образует группу, называемую полной линейной группой степени n над $ \mathbb R_{} $ и обозначаемую1) $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $.

?

Образует ли множество матриц $$ \mathbf{a)} \quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right);\ $$ $$ \mathbf{b)} \quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ группу относительно умножения?


Группа называется абелевой2) если операция $ \ast $ коммутативна. В противном случае группа неабелева.

Группа $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $ из последнего примера — неабелева. Все предыдущие — абелевы.

§

В литературе иногда операцию $ \ast $ в абелевой группе обозначают $ +_{} $; тогда нейтральный элемент $ \mathfrak e $ обозначают $ 0_{} $; а $ {\mathfrak a}^{-1} $ — через $ - \mathfrak a $ (и называют элементом, противоположным $ \mathfrak a $).

Монотонные функции

Рассмотрим множество функций $ \{\varphi (x) \} $, непрерывных, (строго) возрастающих на $ [0_{},1] $ и таких, что $ \varphi(0)=0,\varphi(1)=1 $. В качестве операции $ \ast $ возьмем суперпозицию функций, т.е. подстановку одной функции в другую3): $$ \varphi (x)\ast \psi (x) = \varphi\left( \psi (x) \right) \ .$$ Множество с введенной операцией образует группу: ассоциативность имеется; $ {\mathfrak e}=x $; $ \varphi^{-1} (x) $ — функция обратная к $ \varphi (x) $ (существует и принадлежит рассматриваемому множеству на основании известных результатов из мат.анализа). Группа неабелева, т.к., например, для $$ \varphi=x^2, \ \psi=\sin \frac{ \pi x}{ 2} \quad \mbox{ имеем } \ \varphi \ast \psi = \left(\sin \frac{ \pi x}{ 2} \right)^2,\ \mbox{ в то время как }\ \psi \ast \varphi = \sin \frac{ \pi x^2}{ 2} \ . $$


Полугруппа (группа) называется конечной если она состоит из конечного числа элементов; это число называется тогда порядком полугруппы (группы) и обозначается4) $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ или $ | \mathbb G | $ или $ \# \mathbb G $.

Отображения плоских фигур

Рассмотрим множество, элементами которого являются отображения плоскости: именно, вращения плоских фигур вокруг начала координат на углы, кратные некоторому фиксированному $ \varphi >0 $. Эти отображения можно задать в матричной форме: если $ (x,y_{}) $ — координаты точки до поворота, а $ (X_{},Y) $ — ее координаты после поворота на угол $ k\, \varphi\ (k\in \mathbb Z) $, то связь между ними дается формулой $$ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = P_k\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \quad npu \quad P_k= \left( \begin{array}{rr} \cos k \varphi & -\sin k \varphi \\ \sin k \varphi & \cos k \varphi \end{array} \right) \ . $$ Бинарной операцией над элементами этого множества возьмем комбинацию — последовательное выполнение — поворотов. Легко видеть, что эта операция коммутативна: результат поворота на угол $ k\varphi $, а затем — на угол $ \ell\varphi $ будет таким же и при изменении последовательности поворотов и совпадать с поворотом на угол $ (k+\ell) \varphi $. Аналитика подтверждает геометрию: $$P_kP_{\ell}=P_{\ell} P_k =P_{k+\ell} \ . $$ Далее, за единичный элемент относительно комбинации поворотов возьмем поворот, при котором все точки остаются на месте: $ P_0=E $. Наконец, поворотом, обратным повороту на угол $ k\varphi $, будет поворот на угол $ (-k\varphi) $: $ P_{k}^{-1}=P_{-k} $. Таким образом, все свойства группы выполнены, и наше множество является группой, причем абелевой.

Будет ли эта группа конечной? Ответ на этот вопрос зависит от угла $ \varphi $. Так, если $ \varphi=2\, \pi / m,\ m\in\mathbb Z $, то $ P_m=E=P_0,P_{m+1}=P_1, \dots,P_{m+k}=P_k $; при этом матрицы $ P_0,P_1,\dots,P_{m-1} $ все различны. Следовательно, $ \operatorname{Card} (\mathbb G)=m $. Если $ \varphi=2\, \pi p / q $ и дробь $ p/q $ несократима, то $ \operatorname{Card} (\mathbb G)=q $. Наконец, при $ \varphi=2\, \pi \alpha $ и $ \alpha_{} $ — иррациональном, имеем: $ P_k\ne P_{\ell} $ ни при каких целых индексах $ k, \ell, k\ne \ell $. В этом случае группа бесконечна.

Определим теперь на той же самой плоскости еще одно отображение: зеркальное отражение. Плоская фигура отображается в зеркально симметричную ей относительно абсолютно плоского зеркала, проходящего через ось абсцисс и перпендикулярного плоскости: Это отображение также можно задать в матричной форме: $$ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = T\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \quad npu \ T = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \ . $$ Очевидно, что два последовательных отражения возвращают фигуру в исходное состояние; действительно: $$ T^2=E \ . $$ Таким образом, множество из двух отображений — тождественного и зеркального — образует группу второго порядка, причем абелеву.

Попробуем теперь составить объединение множеств рассмотренных выше отображений, одновременно допустив к рассмотрению и повороты и отражения, и их всевозможные комбинации. Для простоты, рассмотрим повороты на угол $ \varphi=2\pi/3 $. Комбинируя теперь все возможные последовательные отображения, приходим ко множеству:

  • тождественное,
  • поворот на угол $ 2\pi/3 $,
  • поворот на угол $ 4\pi/3 $,
  • отражение,
  • поворот на угол $ 2\pi/3 $ и отражение,
  • отражение и поворот на угол $ 2\pi/3 $,
  • поворот на угол $ 4\pi/3 $ и отражение,
  • отражение и поворот на угол $ 4\pi/3 $,

Видим, что имеется всего $ 6_{} $ различных отображений; кроме того, $ \mathfrak{tr}\ne \mathfrak{rt} $. Итак, получившаяся группа порядка $ 6_{} $ является неабелевой.

?

$ \mathfrak{tr}^2=\mathfrak{rt} $ ? $ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t}=\mathfrak{tr} $ ?

Перестановки

Образующие элементы группы

Пусть $ \mathfrak a $ и $ \mathfrak b $ — элементы группы $ \mathbb G $. Тогда, по определению группы, $ {\mathfrak a}^{-1} $ и $ {\mathfrak b}^{-1} $ также должны быть элементами $ \mathbb G $ наряду с $ {\mathfrak a}{\mathfrak b}^{-1}{\mathfrak a} $, $ {\mathfrak a}{\mathfrak b}{\mathfrak a}^{-1}{\mathfrak b} $ и т.д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей $ \mathfrak a, \mathfrak b, {\mathfrak a}^{-1}, {\mathfrak b}^{-1} $ в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом $ \mathbb G $. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь $ \mathfrak a $ и $ \mathfrak b $ (и их обратные), то мы назовем $ \mathfrak a $ и $ \mathfrak b $ образующими (или образующими элементами) группы $ \mathbb G $. Это понятие обобщается очевидным образом.

Если все элементы группы $ \mathbb G $ могут быть выражены в виде произведений элементов из некоторого множества $ \mathbb S $ (и их обратных), то элементы множества $ \mathbb S $ называются образующими группы $ \mathbb G $, или говорят, что они порождают группу $ \mathbb G $.

Вернемся к примерам предыдущих пунктов. Аддитивная группа целых чисел имеет единственную образующую, именно $ 1_{} $. Для группы корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ образующим можно выбрать $ \varepsilon_1 $, поскольку $ \varepsilon_k=\varepsilon_1^k $ для любого $ k\in \{0,1,\dots,n-1 \} $. С тем же успехом можно было бы взять и некоторые другие корни — но не любые! Так, для $ n=6 $, корни $ \varepsilon_2,\, \varepsilon_3 $ или $ \varepsilon_4 $ образующими группы не будут: $$ \varepsilon_2^2=\varepsilon_4,\ \varepsilon_2^3=1=\varepsilon_0, \dots $$ Образующим можно взять любой первообразный корень $ \varepsilon_k $, т.е. тот, для которого $ \operatorname{HOD}(k,n)=1 $.

Группа отображений плоской фигуры — если допускаются к рассмотрению и повороты и отражения — имеет две образующие: поворот на угол $ \varphi $ и отражение.

Простейший случай — это группа с одной образующей.

Группа $ \mathbb G $ называется циклической если она порождается единственным своим элементом. Если этот элементом является $ \mathfrak a $, то циклическую группу обозначают $ \langle {\mathfrak a} \rangle $: $$ \langle {\mathfrak a} \rangle = \{{\mathfrak a}^k \}_{k\in\mathbb Z} \ . $$

?

Доказать, что циклическая группа всегда абелева.

Вычисляя положительные степени элемента $ \mathfrak a $ мы можем никогда не встретить повторений: все элементы бесконечной последовательности $$ \mathfrak a,\, \mathfrak a^2,\dots , {\mathfrak a}^k,\dots $$ будут различными. В этом случае говорят, что элемент $ \mathfrak a $ имеет бесконечный порядок. Если же $ {\mathfrak a}^k={\mathfrak a}^{\ell} $ при некоторой паре показателей $ k_{} $ и $ \ell_{} $, $ k < \ell $, то, домножая обе части равенства на $ {\mathfrak a}^{-k} $, получаем: $ {\mathfrak a}^{\ell-k}=\mathfrak e $. Наименьшее целое число $ n_{} $, для которого $ {\mathfrak a}^n=\mathfrak e $ называется порядком элемента $ \mathfrak a $.

?

Рассматривается мультипликативная группа классов вычетов по модулю $ 17_{} $. Найти порядок классов $ \overline 2, \overline 4, \overline 7 $.

Подгруппа

Подмножество $ \mathbb H $ группы $ \mathbb G $ называется ее подгруппой, если оно само является группой (относительно бинарной операции $ \ast $). Иначе говоря, $ \mathfrak e \in \mathbb H $, и при произвольных элементах $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb H $ должны выполняться условия $ {\mathfrak a}\ast {\mathfrak b} \in \mathbb H $, $ {\mathfrak b}\ast {\mathfrak a} \in \mathbb H $, $ {\mathfrak a}^{-1} \in \mathbb H $, $ {\mathfrak b}^{-1} \in \mathbb H $.

Любая группа $ \mathbb G $ имеет очевидные подгруппы: саму себя и подгруппу, состоящую из единственного элемента $ \mathfrak e $. Эти две подгруппы называются несобственными. Нас интересует случай существования собственных подгрупп.

Такие подгруппы очевидно имеет аддитивная группа целых чисел: например, множество четных чисел является замкнутым относительно операции сложения.

Любой отличный от $ \mathfrak e $ элемент $ \mathfrak a $ группы $ \mathbb G $ образует в ней циклическую подгруппу $ \langle {\mathfrak a} \rangle = \{{\mathfrak a}^k \}_{k\in\mathbb Z} $. Эта подгруппа может оказаться как собственной, так и несобственной.

П

Пример. Группа корней n-й степени из единицы при $ n_{}=6 $ имеет собственные подгруппы: $$ \mathbb H_1 =\{1,\, \varepsilon_2,\, \varepsilon_4\} \quad u \quad \mathbb H_2=\{1,\, \varepsilon_3 \} \ , $$ а при $ n_{}=7 $ их не имеет. В самом деле, если предположить, что подгруппа $ \mathbb H $ содержит элемент $ \varepsilon_{k} $ при $ k\in \{1,\dots,6\} $, то, по свойству замкнутости относительно умножения, она должна содержать и любую степень этого элемента: $ \varepsilon_k^0=1, \varepsilon_k^1,\,\varepsilon_k^2=\varepsilon_{2k \pmod{7}},\, \varepsilon_k^3=\varepsilon_{3k \pmod{7}},\dots $ Легко установить, что первые $ 7_{} $ элементов этой последовательности будут различными. Но тогда они обязаны пробегать все множество корней седьмой степени из $ 1_{} $.

П

Пример. В группе отображений плоских фигур можно выделить две подгруппы: подгруппу поворотов на целое кратное угла $ 2\pi/3 $, т.е. в обозначениях того пункта: $ \{ \mathfrak{i}, \mathfrak{r}, \mathfrak{r}^2 \} $; и подгруппу отражений $ \{ \mathfrak{i}, \mathfrak{t} \} $.

?

Показать, что множество $ \mathbf{SL}(n, \mathbb R) $ матриц порядка $ n_{} $ с определителями, равными $ 1_{} $ образует подгруппу $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $ (называется специальной линейной группой степени n над $ \mathbb R_{} $). Будет ли $ \mathbf{SL}(n, \mathbb R) $ абелевой?

?

Образует ли множество матриц вида $$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) \quad npu \ a^2\ne b^2 $$ подгруппу группы $ \mathbf{GL}(n,\mathbb R) $? Будет ли эта подгруппа абелевой?

Разумеется, подгруппа может порождаться и не одним образующим.

?

Доказать, что если $ \mathbb H_1 $ и $ \mathbb H_2 $ — подгруппы группы $ \mathbb G $, то и $ \mathbb H_1 \bigcap \mathbb H_2 $ — подгруппа группы $ \mathbb G $.

Предположим теперь, что группа $ \mathbb G $ — конечная, тогда и любая ее подгруппа тоже должна быть конечной. Каким может тогда быть порядок подгруппы?

Т

Теорема [Лагранж]. Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп: $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ делится на $ \operatorname{Card} (\mathbb H) $.

Доказательство ЗДЕСЬ.

=>

Если $ \operatorname{Card} (\mathbb G) $ — простое число, то группа $ \mathbb G $ не имеет собственных подгрупп и является циклической.

=>

Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

П

Пример. Множество ненулевых классов вычетов $ \mathbb Z_p \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{p-1} \} $ по простому модулю $ p_{} $ образует группу относительно умножения. В разделе ИНДЕКС дается определение порядка (показателя) $ \operatorname{ord}(A) $ числа $ A_{} $ по модулю $ p_{} $ как наименьшее $ k\in \mathbb N $ такое, что $ A^k \equiv 1 \pmod{p} $. Доказывается, что $ \operatorname{ord}(A) $ является делителем числа $ p-1 $. Очевидно, что этот результат является частным случаем предыдущего следствия.

Его можно обобщить и на случай составного модуля $ M_{} $. В этом случае множество $ \mathbb Z_M \setminus \overline 0=\{ \overline 1, \dots , \overline{M-1} \} $ не образует группы относительно умножения. Но вот подмножество классов, взаимно простых с модулем $ M_{} $, группу образует. По определению функции Эйлера, порядок этой группы равен $ \phi(M) $. Тогда, в соответствии со следствием, $ \phi(M) $ должно делится на $ \operatorname{ord}(A) $ для любого $ A_{} $ такого, что $ \operatorname{HOD}(A,M)=1 $. И это заключение совпадает с теоремой 3, приведенной в разделе ИНДЕКС.

?

Образует ли группу относительно умножения множество матриц $$ \left\{ \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array} \right)^k \right\}_{k\in \mathbb Z} \ ? $$ Если да, то будет ли эта группа абелевой? Конечной? Существует ли у этой группы собственная подгруппа?

Факторгруппа

определяется ЗДЕСЬ.

Таблица умножения

Какая информация необходима для полного задания группы как математического объекта?

Ответ на этот вопрос был дан Кэли в 1854 г., когда он ввел таблицу умножения группы. Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы размещаются в верней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы — дадим этой строке и этому столбцу номер $ 0_{} $, а внутри нее размещаются произведения элементов. При этом нельзя считать заранее заданным, что любые два элемента группы коммутируют между собой. Поэтому сомножители в каждом произведении пишутся в том порядке, в каком выполняется умножение: первым ставится сомножитель из нулевого столбца, а вторым — из нулевой строки.

Для абелевой группы таблица умножения будет симметричной относительно главной диагонали, т.е. диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол таблицы.

П

Пример. Для группы отображений плоских фигур в обозначениях того пункта и с учетом тривиальных упрощений $ \mathfrak{r}^3 = \mathfrak{i} $, $ \mathfrak{t}^2 = \mathfrak{i} $:

$ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{rt} $
$ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^{2} $ $ \mathfrak{t}_{} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{rt} $
$ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{rtr} $ $ \mathfrak{r^2t} $
$ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{t}_{} $
$ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{t}_{} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{tr}^2 $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{trt} $
$ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{tr}^2 $ $ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{trt} $ $ \mathfrak{trtr} $ $ \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{t} $
$ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{rtr} $ $ \mathfrak{rtr}^2 $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{rtrt} $

Дальнейшие упрощения связаны с результатом упражнения в конце ПУНКТА: $ \mathfrak{tr}^2=\mathfrak{rt},\ \mathfrak{r}^2 \mathfrak{t}=\mathfrak{tr} $. Из них выводим цепочки: $$ \mathfrak{rtr}=\mathfrak{tr}^2 \mathfrak{r}=\mathfrak{t} ; \quad \mathfrak{trt} = \mathfrak{t} \mathfrak{tr}^2 =\mathfrak{t}^2 \mathfrak{r}^2=\mathfrak{r}^2 ; $$ $$ \mathfrak{trtr}=\mathfrak{t}^2=\mathfrak{i} ; \quad \mathfrak{tr}^2 \mathfrak{t} = \mathfrak{rt}^2=\mathfrak{r}; \quad \mathfrak{rtr}^2=\mathfrak{r}^2\mathfrak{t}=\mathfrak{tr} ;\quad \mathfrak{r}^2\mathfrak{tr}=\mathfrak{tr}^2 = \mathfrak{rt}; \quad \mathfrak{rtrt}=\mathfrak{t}^2=\mathfrak{i} \ . $$

$ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{rt} $
$ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^{2} $ $ \mathfrak{t}_{} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{rt} $
$ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{tr} $
$ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{t}_{} $
$ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{t}_{} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 $
$ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{i}_{} $ $ \mathfrak{r}_{} $
$ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{rt} $ $ \mathfrak{t} $ $ \mathfrak{tr} $ $ \mathfrak{r}_{} $ $ \mathfrak{r}^2 $ $ \mathfrak{i}_{} $

Перечислим теперь некоторые свойства таблицы умножения.

Поиск в таблице обратного элемента к элементу $ \mathfrak a $ иллюстрируется приведенной схемой:

Остальные свойства будем нумеровать

1. Для группы порядка $ n_{} $ внутри таблицы (т.е. в ее строках и столбцах с номерами $ 1,2,\dots,n $) содержатся все $ n_{} $ элементов группы.

2. Каждая строка таблицы образована какой-то перестановкой элементов нулевой строки (и аналогичное утверждение справедливо относительно столбцов).

Т

Теорема. Пусть $ \operatorname{Card} (\mathbb G)=n $ и $ \{\mathfrak a_1,\dots,\mathfrak a_n\} $ — различные элементы группы $ \mathbb G $. Тогда для любого $ \mathfrak b \in \mathbb G $ множества $ \mathfrak b \cdot \mathbb G =\{ \mathfrak b \mathfrak a_j \}_{j=1}^n $ и $ \mathbb G \cdot \mathfrak b =\{ \mathfrak a_j \mathfrak b \}_{j=1}^n $ совпадают с группой $ \mathbb G $.

Доказательство. Рассмотрим первое из множеств — $ \mathfrak b \cdot \mathbb G $. Его элементы являются элементами группы $ \mathbb G $ и все различны, поскольку, если бы было выполнено $ \mathfrak b \mathfrak a_j=\mathfrak b \mathfrak a_k $, то, домножив это равенство слева на $ \mathfrak b^{-1} $, получили бы $ \mathfrak a_j= \mathfrak a_k $. Таким образом, элементы рассматриваемого множества представляют собой перестановку элементов множества $ \{ \mathfrak a_j \}_{j=1}^n $ (здесь можно сослаться на принцип Дирихле или «принцип ящиков», использовавшийся при доказательстве теоремы Ферма ).

Для второго множества из теоремы доказательство аналогично.

3. Если рассмотреть строку таблицы, соответствующую выбору в нулевом столбце единичного элемента $ \mathfrak e $, то эта строка будет тождественна нулевой строке (аналогичное утверждение справедливо относительно и для соответствующего столбца):

4. Аксиома об обратном элементе переформулируется следующим образом: если в таблице сложилась конфигурация

то на месте ? должен находиться единичный элемент $ \mathfrak e $: если $ \mathfrak a \mathfrak b =\mathfrak e $, то и $ \mathfrak b \mathfrak a =\mathfrak e $. Иными словами: расположение единичного элемента группы в таблице умножения должно быть симметрично относительно главной диагонали.

5. Рассмотрим следующую конфигурацию, сложившуюся в таблице умножения:

Она действительно встретится, поскольку в каждой строке и в каждом столбце таблицы должен содержаться единичный элемент. Чему равен элемент, стоящий на месте ?

Т

Теорема. Искомый элемент равен $ \mathfrak b \mathfrak a $.

Доказательство. Пусть конфигурация соответствует следующему расположению элементов группы в нулевых строке и столбце:

Тогда, на основании равенств $$ vy= yv=\mathfrak e, \ uy= \mathfrak b,\ vx=\mathfrak a $$ и свойств группы получаем цепочку: $$ ux=u \mathfrak e x = u (yv) x = (uy)(vx)= \mathfrak b \mathfrak a \ . $$

Изоморфизм групп

В предыдущих пунктах можно было заметить, что группы, образованные элементами различной природы часто имели сходные свойства: такими, например были аддитивная группа классов вычетов по модулю $ n_{} $, т.е. $ \mathbb Z_n $ , и мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из $ 1_{} $. Формализовать подобное сходство можно с помощью установления соответствия между элементами этих групп: чтобы описание свойств одной группы свободно переводилось в описание свойств другой.

Рассмотрим две группы: $ \mathbb G $ с операцией $ \ast $ и $ \tilde{\mathbb G} $ с операцией $ \tilde{\ast} $. Отображение $ F: \mathbb G \mapsto \tilde{\mathbb G} $, отображающее каждый элемент группы $ \mathbb G $ на элемент группы $ \tilde{\mathbb G} $, называется гомоморфизмом, если $$ F(\mathfrak a \ast \mathfrak b) =F(\mathfrak a) \tilde \ast F(\mathfrak b) \quad npu \quad \forall \mathfrak a \in \mathbb G,\, \forall \mathfrak b \in \mathbb G \ . $$ Если, вдобавок, гомоморфизм задает взаимно-однозначное соответствие между $ \mathbb G $ и $ \tilde{\mathbb G} $, то он называется изоморфизмом. В случае существования изоморфизма между группами, сами группы называются изоморфными или абстрактно равными. Легко показать, что отношение изоморфизма групп является отношением эквивалентности.

П

Пример. Группа поворотов плоскости вокруг начала координат на углы, кратные $ 2\, \pi/n $ при $ n \in \mathbb Z $ изоморфна группе корней степени n из единицы:

$$\left\{\varepsilon_k=\cos \frac{2 \pi k}{n} +\mathbf i\, \sin \frac{2 \pi k}{ n} \right\}_{k=0}^{n-1} $$ рассматриваемой относительно операции умножения. Изоморфизм устанавливается очевидным способом. Его следствием становится возможность аналитического выражения преобразования координат. Если интерпретировать плоскость $ (x,y) $ как комплексную, и ввести переменную $ z=x+ \mathbf i y $, то поворот на угол $ 2\, \pi/n $ вокруг начала координат задается правилом: $$ z \mapsto z\varepsilon_1 \ , $$ а поворот на угол $ 2\, \pi k/n $ — $$ z \mapsto z\varepsilon_k= z\varepsilon_1^k \ . $$ Возвращение к вещественным числам показывает эквивалентность найденных представлений, приведенным ВЫШЕ, для вывода которых использовался аппарат теории матриц. Это замечание, в свою очередь, позволяет говорить об изоморфизме группы $ \left\{\varepsilon_k \right\}_{k=0}^{n-1} $ группе матриц вида $$ P_k= \left( \begin{array}{rr} \cos 2\, \pi k/n & -\sin 2\, \pi k/n \\ \sin 2\, \pi k/n & \cos 2\, \pi k/n \end{array} \right) \quad npu \quad k\in \{0,\dots,n-1\} , $$ рассматриваемой относительно операции умножения матриц.

Последнее замечание можно переформулировать на строгом алгебраическом языке как «проявление свойства транзитивности для изоморфизма как отношения эквивалентности»… Но если читателю непонятны эти слова — пусть не расстраивается!
П

Пример. Рассмотрим аддитивную группу вещественных чисел и мультипликативную группу положительных вещественных чисел. Эти группы изоморфны, поскольку функция $ \log x $ (здесь логарифм рассматривается по любому основанию большему $ 1_{} $) взаимно-однозначно отображает множество $ \mathbb R_{+} $ на $ \mathbb R_{} $, и, вдобавок, $ \log (xy)=\log x + \log y $. Этот изоморфизм лежит в основе работы логарифмической линейки: операция умножения чисел заменяется более простой — в смысле технической реализации — операцией сложения.

?

Может ли группа быть изоморфна собственной подгруппе?

?

Доказать, что любые две циклические группы одинакового порядка (конечного или бесконечного) изоморфны.

Можно доказать, что существует лишь конечное число абстрактно различных групп порядка $ n_{} $. В самом деле, с точностью до обозначения элементов для множества, состоящего из $ n_{} $ различных символов, существует лишь конечное число таблиц умножения, имеющих $ n^2 $ клеток. Эти таблицы не могут быть выбраны произвольным образом; оказывается для того, чтобы таблица определяла объект, удовлетворяющий аксиомам группы, необходимо и достаточно, чтобы для нее выполнялись свойства 1 - 5 из предыдущего ПУНКТА. Так, например, при $ n=6 $ существуют всего две абстрактно различные группы: циклическая, изоморфная группе корней $ 6_{} $-й степени из единицы, и неабелева группа, изоморфная группе отображений плоских фигур. Известно, что существует $ 267_{} $ абстрактно различных групп порядка $ 64_{} $.

Кольцо

В предыдущих пунктах мы анализировали множества с точки зрения одной определенной бинарной операции. Однако, часть рассмотренных примеров составляли множества, в которых были определены и другие операции.

Пусть $ \mathbb K $ — некоторое множество с двумя определенными в нем операциями $ \oplus $ и $ \ast $. Это множество называется кольцом5) относительно указанных операций если выполнено

1. $ \oplus $ — коммутативна: $ {\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b}={\mathfrak b} \oplus {\mathfrak a} $;

2. $ \oplus $ — ассоциативна: $ ({\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b}) \oplus {\mathfrak c} = {\mathfrak a} \oplus ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c}) $;

3. $ \oplus $ — обратима, т.е. для любых двух элементов $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb K $ существует решение уравнения $ {\mathfrak a} \oplus x = {\mathfrak b} $;

4. операции подчиняются дистрибутивному (распределительному) закону: $${\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c})={\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} \oplus {\mathfrak a} \ast {\mathfrak c} \quad u \quad ({\mathfrak b} \oplus {\mathfrak c}) \ast {\mathfrak a}= {\mathfrak b}\ast {\mathfrak a} \oplus {\mathfrak c}\ast {\mathfrak a} \ .$$

Первые три условия определяют кольцо $ \mathbb K $ как абелеву группу относительно операции $ \oplus $.

§

Традиционно принято называть операцию $ \oplus $ суммой, а $ \ast $ — произведением; нейтральный элемент относительно суммы называют нулем: $ {\mathfrak o} \oplus {\mathfrak a}={\mathfrak a} $.

На произведение не накладывается практически никаких ограничений. Однако в приложениях, как правило, возникают кольца, в которых умножение может удовлетворять одному или нескольким из следующих условий (справедливых для любых элементов $ {\mathfrak a}, {\mathfrak b}, {\mathfrak c} $)

5. $ ({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}) \ast {\mathfrak c} = {\mathfrak a} \ast ({\mathfrak b} \ast {\mathfrak c}) $ (ассоциативное кольцо);

6. $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b}={\mathfrak b} \ast {\mathfrak a} $ (коммутативное кольцо).

Элемент $ {\mathfrak a} \ne {\mathfrak o} $ коммутативного кольца называется делителем нуля, если $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak o} $ при некотором $ {\mathfrak b} \ne {\mathfrak o} $ (элемент $ {\mathfrak b} $ также называется делителем нуля).

П

Пример. Множество $ \mathbb Z_6 $ классов вычетов по модулю $ 6_{} $ образует коммутативное кольцо с делителями нуля: $ \overline 2 \cdot \overline 3 = \overline 0 $.

7. Существование единицы, т.е. элемента $ \mathfrak e $ такого, что $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak e}={\mathfrak e} \ast {\mathfrak a}={\mathfrak a} $ (кольцо с единицей);

8. существование обратного элемента относительно умножения для любого элемента $ {\mathfrak a} \ne {\mathfrak o} $: $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak a}^{-1}={\mathfrak e} $.

П

Пример. $ \mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R $ и $ \mathbb C_{} $ — коммутативные и ассоциативные кольца относительно сложения и умножения. $ \mathbb N_{} $ не является кольцом, т.к. не существует натурального решения уравнения $ 3+x=2 $.

П

Пример. Множества полиномов одной переменной $ \mathbb Z[x],\mathbb Q[x],\mathbb R[x], \mathbb C[x] $ и нескольких переменных $ \mathbb Z[x_1,\dots,x_n] $, $ \mathbb Q[x_1,\dots,x_n] $, $ \mathbb R[x_1,\dots,x_n] $, $ \mathbb C[x_1,\dots,x_n] $ — коммутативные и ассоциативные кольца относительно сложения и умножения.

П

Пример. Множество квадратных матриц фиксированного порядка с элементами из $ \mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $ — некоммутативное и ассоциативное кольцо относительно сложения и умножения.

П

Пример. $ \mathbb Z_{} $ — кольцо с единицей, а его подмножество четных чисел — кольцо без единицы.

Для колец обобщается понятие изоморфизма, введенного для групп. Кольцо $ \mathbb K $ с операцией сложения $ \oplus $ и умножения $ \ast $ называется изоморфным кольцу $ \widetilde {\mathbb K} $ с операцией сложения $ \tilde \oplus $ и умножения $ \tilde \ast $ если между элементами множеств $ \mathbb K $ и $ \widetilde{\mathbb K} $ можно установить такое взаимно-однозначное соответствие: $ F: \mathbb K \mapsto \widetilde{ \mathbb K} $, которое сохраняет результаты операций между образами и их прообразами: $$ F({\mathfrak a} \oplus {\mathfrak b})= F({\mathfrak a}) \tilde \oplus F({\mathfrak b}) \quad \mbox{ и } \quad F({\mathfrak a} \ast {\mathfrak b})= F({\mathfrak a}) \tilde \ast F({\mathfrak b}) \ . $$

?

Доказать, что кольцо $ \mathbb C_{} $ комплексных чисел изоморфно кольцу матриц вида $$ \left\{\left(\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array} \right) \Bigg| \{a,b\} \subset \mathbb R \right\} . $$

Идеал

Подмножество $ \mathbb I $ кольца $ \mathbb K $ называется двусторонним идеалом или просто идеалом кольца $ \mathbb K $ если оно является подгруппой кольца $ \mathbb K $ относительно операции $ \oplus $ (сложения) и замкнуто относительно операции $ \ast $ умножения на элементы из $ \mathbb K $. Формально:

1. $ \mathbb I \subset \mathbb K $ и $ \mathbb I $ — группа относительно $ \oplus $;

2. $ \mathfrak a \ast \mathfrak k \in \mathbb I $, $ \mathfrak k \ast \mathfrak a \in \mathbb I $ для $ \forall \mathfrak a \in \mathbb I $ и для $ \forall \mathfrak k \in \mathbb K $.

Можно доказать, что для непустого множества $ \mathbb I $ условие 1 из определения идеала эквивалентно

1'. $ \mathfrak a \ominus \mathfrak b \in \mathbb I $ для $ \forall \{ \mathfrak a, \mathfrak b\} \subset \mathbb I $, где $ \ominus $ означает операцию, обратную операции $ \oplus $.

П

Пример. В кольце $ \mathbb Z_{} $ целых чисел подмножество четных чисел образует идеал, а вот подмножество нечетных чисел идеала не образует. Обобщаем: в том же кольце, множество $ \{Ak \mid k \in \mathbb Z \} $ чисел кратных любому заданному числу $ A_{} \in \mathbb Z $ также является идеалом.

П

Пример. В кольце $ \mathbb A[x] $ полиномов одной переменной, где $ \mathbb A_{} $ означает любое из полей $ \mathbb Z_{}, \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $, множество $ \{ a(x) k(x) \mid k(x) \in \mathbb A[x] \} $ полиномов кратных любому заданному полиному $ a(x) \in \mathbb A[x] $ образует идеал.

Пусть $ \mathbb K $ — коммутативное кольцо. Идеал $ \mathbb I $ этого кольца называется главным идеалом, если существует такой элемент $ \mathfrak a\in \mathbb K $, что $$ \mathbb I = \left\{ \mathfrak a \ast \mathfrak k \mid \ \mathfrak k \in \mathbb K \right\} \ .$$ В этом случае элемент $ \mathfrak a $ называется порождающим или образующим элементом идеала $ \mathbb I $, а идеал $ \mathbb I $ — порожденным элементом $ \mathfrak a $.

П

Пример. Подмножество множества $ \mathbb A[x] $ полиномов одной переменной, обращающихся в нуль в данной точке $ x_0 \in \mathbb A $, образует главный идеал, порождающим элементом которого является $ x-x_0 $. Подмножество множества $ \mathbb A[x,y] $ полиномов двух переменных, обращающихся в нуль в данной точке $ (x_0,y_0) \in \mathbb A^2 $, образует идеал, но этот идеал не является главным: полиномы $ x-x_0 $ и $ y-y_0 $ принадлежат идеалу, но не существует $ a(x,y) \in \mathbb A[x,y] $ такого, что $ a(x_0,y_0)=0 $ и $$ x-x_0 \equiv a(x,y)k_1(x,y),\quad y-y_0 \equiv a(x,y)k_2(x,y) $$ при $ \{k_1(x,y),k_2(x,y)\} \subset \mathbb A[x,y] $.

Пусть $ \mathbb K $ — коммутативное кольцо и $ \{\mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m \} \subset \mathbb K $. Множество $$ \left\{ \mathfrak k_1 \ast \mathfrak a_1 \oplus \dots \oplus \mathfrak k_m \ast \mathfrak a_m \ \mid \ \{\mathfrak k_1, \dots, \mathfrak k_m \} \subset \mathbb K \right\} $$ образует идеал кольца $ \mathbb K $. Говорят, что элементы $ \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m $ составляют базис этого идеала и этот факт записывают $$ \mathbb I = \left \langle \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m \right \rangle \ . $$ Говорят, что произвольный идеал $ \mathbb I $ допускает конечный базис если, если найдутся такие его элементы $ \mathfrak a_1,\dots, \mathfrak a_m $, что будет выполнено предыдущее равенство.

§

В этом обозначении случилась коллизия с обозначением циклической группы; однако альтернативные варианты, принятые в литературе, приводят к другим коллизиям.

§

В отличие от линейных пространств, на базисные элементы не накладывается ограничений типа линейной независимости.

Поле

Полем называется коммутативное и ассоциативное кольцо6) $ \mathbb F $ с единицей, в котором выполняется условие 8 . Иначе говоря, в $ \mathbb F $ уравнение $ {\mathfrak a}\ast x = {\mathfrak b} $ разрешимо при любых $ {\mathfrak a} $ и $ {\mathfrak b} $ из $ \mathbb F $, $ {\mathfrak a}\ne {\mathfrak o} $.

?

Докажите, что в поле не может быть делителей нуля: из равенства $ {\mathfrak a} \ast {\mathfrak b} = {\mathfrak o} $ обязательно следует, что либо $ {\mathfrak a}= {\mathfrak o} $ либо $ {\mathfrak b}= {\mathfrak o} $.

П

Пример. $ \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C_{} $ — поля, а $ \mathbb Z_{} $ — не поле. Множество квадратных матриц фиксированного порядка не является полем, т.к. не при всех $ A_{} $ и $ B_{} $ уравнение $ AX=B_{} $ разрешимо относительно матрицы $ X_{} $.

Наименьшее число элементов, образующих поле, равно двум, потому что поле должно содержать нейтральный элемент $ \mathfrak o $ относительно сложения и нейтральный элемент $ \mathfrak e $ относительно умножения. Эти два элемента должны удовлетворять правилам сложения и умножения, приведенным в таблицах $$ \begin{array}{c|cc} \oplus & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \hline \mathfrak o & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \mathfrak e & \mathfrak e & \mathfrak o \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cc} \ast & \mathfrak o & \mathfrak e \\ \hline \mathfrak o & \mathfrak o & \mathfrak o \\ \mathfrak e & \mathfrak o & \mathfrak e \end{array} $$

П

Пример. Множество классов вычетов $ \mathbb Z_{M} $, рассматриваемое относительно операций сложения и умножения, является полем при простом модуле $ M= p_{} $ и не является полем при составном модуле $ M_{} $. Для $ M=2 $ получаем, фактически, предыдущую таблицу: $$ \begin{array}{c|cc} \mathbb{+} & \overline 0 & \overline 1 \\ \hline \overline 0 & \overline 0 & \overline 1 \\ \overline 1 & \overline 1 & \overline 0 \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|cc} \mathbb{\times} & \overline 0 & \overline 1 \\ \hline \overline 0 & \overline 0 & \overline 0 \\ \overline 1 & \overline 0 & \overline 1 \end{array} $$ Для $ M=3 $ можно было бы взять полную систему вычетов по этому модулю в виде $ \{ \overline 0, \overline 1, \overline 2\} $. Но более изящно выглядит таблица если взять эту систему в виде $ \{ \overline 0, \overline 1, \overline {-1}\} $: $$ \begin{array}{r|rrr} \mathbb{+} & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1} \\ \hline \overline 0^{} & \overline 0 & \overline 1 & {\overline {-1}}^{} \\ \overline 1 & {\overline 1}^{{}^{}} & \overline{-1}^{} & \overline {0} \\ \overline {-1} & {\overline {-1}}^{{}^{}} & \overline {0} & \overline {1} \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{r|rrr} \mathbb{\times} & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1} \\ \hline \overline 0 & {\overline 0}^{{}^{}} & \overline 0 & \overline {0} \\ \overline 1 & \overline 0 & \overline 1 & \overline {-1}^{{}^{}} \\ \overline {-1} & \overline {0} & \overline {-1}^{{}^{}} & \overline {1} \end{array} $$

Можно доказать, что для любого простого числа $ p_{} $ и натурального при $ m_{} $ существует поле, содержащее $ p^{m} $ элементов; более того для любого конечного поля количество его элементов, т.е. $ \operatorname{Card} (\mathbb F) $, должно быть степенью простого числа.

Поле классов вычетов $ \mathbb Z_{p} $ дает пример такого поля — и соответствует показателю $ m_{}=1 $. Можно доказать, что любое другое поле того же порядка будет изоморфно $ \mathbb Z_{p} $.

Как построить поле порядка $ p^{m} $ при $ m_{}>1 $ ?

Классы вычетов уже не могут быть выбраны подходящими кандидатами — $ \mathbb Z_4 $ не является полем. Для ответа на этот вопрос проделаем сначала «шаг в сторону» — рассмотрим пример бесконечного поля.

Поле из полиномов

Множества полиномов $ \mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x] $ от одной переменной $ x_{} $, рассматриваемые относительно операция сложения и умножения, не образуют полей, поскольку не существует полинома $ s(x) $, удовлетворяющего тождеству $ f(x) s(x) \equiv 1 $ при $ \deg f(x)\ge 1 $. Попробуем всё-таки создать на основе множества $ \mathbb Q[x] $ новое, которое будет являться полем. Основная трудность — ввести подходящую операцию умножения. Будем решать ее исходя из аналогии, существующей между полиномами и целыми числами — попробуем сконструировать множество классов вычетов на основе $ \mathbb Q[x] $. С этой целью выберем (пока произвольный) полином $ M(x) \in \mathbb Q[x], \deg M\ge 1 $. Будем называть полиномы $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ сравнимыми по модулю $ M(x) $ если они имеют одинаковые остатки при делении на $ M(x) $, или, что то же, если их разность $ f(x)-g_{}(x) $ делится на $ M(x) $, или, что то же, $ f_{}(x) $ можно представить в виде: $$ f(x)\equiv g(x) + M(x)q(x) \quad npu \quad q(x) \in \mathbb Q[x] \ . $$ Записывать этот факт будем так же как и для целых чисел: $$ f(x) \equiv g(x) \pmod{M(x)} \ . $$ Сложение и умножение будем также производить по модулю $ M(x) $, т.е. по вычислении суммы или произведения результаты будем «усекать» до остатков от деления на $ M(x) $. Рассмотрим теперь подмножество $ \mathbb Q_{m-1}[x] $ полиномов, степени которых строго меньше $ m=\deg M(x) $. Cумма полиномов $ f(x)+g(x) $ из этого множества будет снова полиномом этого множества, поэтому остаток от ее деления на $ M(x) $ совпадает с ней самой. Рассмотрим повнимательней операцию умножения по модулю: $$ f(x)\cdot g(x) \pmod{M(x)} \ . $$ Для нее выполняются аксиомы 4 7 из предыдущего пункта. В самом деле, остаток от деления произведения $ f(x)\cdot g(x) \cdot h(x) $ на $ M(x) $ не зависит от порядка вычисления7): $$ \left[f(x)\cdot g(x) \pmod{M(x)}\right] \cdot h(x) \pmod{M(x)} \equiv f(x)\cdot \left[g(x) \cdot h(x) \pmod{M(x)}\right] \pmod{M(x)} \ . $$ Полином тождественно равный $ 1_{} $ — именно тот, что обеспечивает выполнение аксиомы 7 . Сложности возникают с проверкой выполнимости аксиомы 8 . Для любого полинома $ f_{}(x) $, $ \deg f < m $ надо найти полином $ h_{}(x) $ с тем же ограничением на степень, для которого выполняется условие $$ f(x) h(x) \equiv 1 \pmod{M(x)} \ , $$ или, эквивалентно, должен найтись еще один полином $ q(x) \in \mathbb Q[x] $ такой, что пара полиномов $ \{h(x), q(x)\} $ обеспечит выполнение тождества $$ f(x) h(x) +q(x) M(x) \equiv 1 \ . $$ Последнее тождество имеет специальное название — в теории полиномов одной переменной оно известно как тождество Безу. Существование пары полиномов $ \{h(x), q(x)\} \subset \mathbb Q[x] $ гарантировано при условии взаимной простоты полиномов $ f_{}(x) $ и $ M(x) $: $ \operatorname{HOD} (f(x),M(x)) \equiv 1 $. Более того, при выполнении последнего условия существует единственный полином $ h(x) \in \mathbb Q[x] $ степени не выше $ m-1 $, удовлетворяющий этому тождеству. Конструктивные способы нахождения этого полинома можно найти ЗДЕСЬ. Итак, при условии $ \operatorname{HOD} (f(x),M(x)) \equiv 1 $ будет существовать решение сравнения $ f(x) h(x) \equiv 1 \pmod{M(x)} $ относительно $ h(x)\in \mathbb Q_{m-1}[x] $. Однако, аксиома 8 требует существования решения сравнения для решительно всех полиномов $ f(x) \in \mathbb Q_{m-1}[x] $. И для выполнения этого требования полином $ M(x) $ должен быть взят взаимно простым с любым полиномом $ f(x) \in \mathbb Q[x] $ степени $ \le m-1 $. Как этого добиться? — Противоположное свойство — нетривиальность $ \operatorname{HOD} (f(x),M(x))= d(x) $ — имеет следствием возможность разложения $ M(x) $ на множители $$ M(x)\equiv d(x) M_1(x) \quad npu \quad \{ d(x),M_1(x)\} \subset \mathbb Q[x] , \deg d(x) < m, \deg M_1(x) < m \ . $$ Иными словами, в этом случае полином $ M(x) $ является приводимым над множеством (полем) $ \mathbb Q_{} $.

Вывод. Операция умножения полиномов из $ \mathbb Q_{m-1}[x] $ по модулю $ M(x) $ будет удовлетворять аксиомам поля при условии, что $ M(x) $ — неприводим над множеством (полем) $ \mathbb Q_{} $.

П

Пример. Пусть $ M(x)=x^3+3\,x+1 $. Этот полином неприводим над полем $ \mathbb Q_{} $. Для любого полинома $ f_{}(x)\in \mathbb Q[x] $ степени не выше второй должен существовать обратный относительно умножения по модулю $ M(x) $. Найдем его выражение для полинома $ f(x)=a_0x+a_1 ,\ a_0\ne 0 $. Для нахождения полиномов $ h(x) $ и $ q_{}(x) $ из тождества Безу

$$ h(x)(a_0x+a_1)+q(x)M(x) \equiv 1 $$ можно было бы воспользоваться либо алгоритмом Евклида с вычислением континуанты, либо методом неопределенных коэффициентов (оба метода изложены ЗДЕСЬ ). Однако, поскольку коэффициенты $ a_0,a_1 $ — не числовые, а буквенные (символьные), применение упомянутых алгоритмов приведет к громоздким выражениям. Поэтому — из соображений не столько конструктивных, сколько наглядных — мы воспользуемся представлениями искомых полиномов $ h(x) $ и $ q_{}(x) $ в виде определителей. Подходящий для этой цели аппарат связан с понятием результанта полиномов $ f_{}(x) $ и $ M(x) $ и изложен ЗДЕСЬ. Собственно говоря, нас интересует только один полином — именно $ h(x) $ — и вот его выражение: $$ h(x)\equiv \frac{\left| \begin{array}{cccl} a_0 & a_1 & 0 & x^2 \\ 0 & a_0 & a_1 & x \\ 0 & 0 & a_0 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right|} {\left| \begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right|} \ . $$ В знаменателе дроби как раз и стоит представление Сильвестра для результанта $ \mathcal R(f,M) $ полиномов $ f_{}(x) $ и $ M(x) $ и этот определитель равен $$ \mathcal R(f,M) = a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3=a_0^3\left[1-3 \frac{a_1}{a_0}- \left(\frac{a_1}{a_0}\right)^3 \right]\equiv a_0^3 M(-a_1/a_0) \ . $$ Поскольку, по предположению, $ M(x) $ неприводим над $ \mathbb Q_{} $, то $ M(-a_1/a_0)\ne 0 $ (полином $ M(x) $ не может иметь рациональных корней). Следовательно, выражение для $ h(x) $ в виде отношения определителей существует при любых $ \{a_0,a_1\} \in \mathbb Q[x] $. Раскладываем определитель из числителя по последнему столбцу: $$ h(x)\equiv \frac{-x^2\left|\begin{array}{ccc} 0 & a_0 & a_1 \\ 0 & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|+x \left|\begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|- \left|\begin{array}{ccc} a_0 & a_1 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right|}{a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3}\equiv $$ $$ \equiv \frac{-a_0^2x^2+a_0a_1x-(3\,a_0^2+a_1^2)}{a_0^3-3\,a_0^2a_1-a_1^3} \ . $$ Проверка. Если умножить числитель последней дроби на $ a_0x+a_{1} $ и прибавить к полученному $ a_0^3 M(x) $, то получим как раз выражение из знаменателя.

П

Пример. Попробуем решить аналогичную задачу для полинома $ M(x)=x^{4}+4 $. Нахождение полинома обратного полиному первой степени $ f(x)=a_0x+a_1 \in \mathbb Q[x] ,\ a_0\ne 0 $ относительно умножения по модулю $ M(x) $ полностью аналогично предыдущему примеру, и мы просто приведем ответ:

$$ h(x)\equiv \frac{-a_0^3x^3+a_0^2a_1x^2-a_0a_1^2x+a_1^3}{4\,a_0^4+a_1^4} \ . $$ Знаменатель не обращается в нуль ни при каких $ \{a_0,a_1\} \subset \mathbb Q $.

Рассмотрим теперь полином второй степени $ f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2 \in \mathbb Q[x], a_0\ne 0 $. $$ h(x)\equiv \left|\begin{array}{cccccl} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & x^3 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & x^2 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & x \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & a_1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right| \Bigg/ \left|\begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array} \right| \equiv $$ $$ \equiv \frac{(-a_1^3+2\,a_0a_1a_2)\,x^3-(4\,a_0^3-a_1^2a_2+a_0a_2^2)\,x^2+(4\,a_0^2a_1-a_1a_2^2)x-(4\,a_0a_1^2-4\,a_0^2a_2-a_2^3)}{\mathcal R(f,M)} $$ при $$ \mathcal R(f,M)=16\,a_0^4+8\,a_0^2a_2^2-16\,a_0a_1^2a_2+a_2^4+4\,a_1^4 \ . $$ Вопрос об обращении знаменателя в нуль при рациональных наборах $ a_0,a_1,a_2 $ становится нетривиальным. Зная ответ, дадим подсказку: $ \mathcal R(f,M)=0 $, например, при $ a_0=t, a_1=2\,t,\ a_3=2\,t $ при $ \forall t\in \mathbb Q $. Для таких наборов коэффициентов полином $ f_{}(x) $ имеет нетривиальный делитель с $ M(x) $, и, следовательно, обратного относительно умножения по модулю $ M(x) $ для $ f_{}(x) $ не существует. Объяснение этой неудачи кроется в факте приводимости полинома $ M(x) $ над $ \mathbb Q_{} $: $$ x^4+4\equiv (x^2+2\,x+2)(x^2-2\,x+2) \ . $$ Теперь очевидно, что все полиномы вида $$ f(x)=tx^2\pm 2\,t+2\, t \quad npu \quad t \in \mathbb Q $$ не будут иметь обратных относительно умножения по модулю $ M(x) $. За исключением этого подмножества, все остальные полиномы второй степени обратимы относительно указанной операции. Очевидно, что и среди полиномов третьей степени можно найти необратимые.


§

Возвращаясь теперь к вопросу, поставленному в конце предыдущего пункта, теперь можем сформулировать ответ: конечное поле порядка $ p^m $ будем строить комбинацией двух объектов — поля $ \mathbb Z_p $ классов вычетов по простому модулю $ p_{} $ и полиномов одной переменной степени не выше $ m_{}-1 $ с операцией умножения по модулю некоторого неприводимого полинома $ M(x) $ степени $ m_{} $. Подробнее ПОЛЯ ГАЛУА.

Алгебра

Алгеброй $ \mathbb A_{} $ над полем $ \mathbb F $ называется такое кольцо, в котором определено умножение $ \star $ элементов на элементы из $ \mathbb F $, удовлетворяющее аксиомам:

9. $ ({\mathbf A}\oplus {\mathbf B})\star {\mathfrak a}={\mathbf A}\star {\mathfrak a}\oplus {\mathbf B}\star {\mathfrak a}, \quad {\mathbf A}\star {\mathfrak e}={\mathbf A} $;

10. $ ({\mathbf A} \ast {\mathbf B})\star {\mathfrak a}=({\mathbf A} \star {\mathfrak a})\ast {\mathbf B}= {\mathbf A}\ast ({\mathbf B}\star {\mathfrak a}) $

при любых $ \{{\mathbf A},{\mathbf B}\} \subset \mathbb A_{} $ и $ {\mathfrak a} \in \mathbb F $.

Первым примером алгебр над полем $ \mathbb R_{} $ явились гиперкомплексные числа. В 1843 г. У.Гамильтон придумал теорию кватернионов, т.е. чисел, являющихся $ n_{} $-мерными (при $ n>2 $) аналогами комплексных чисел. Произвольный кватернион записывается в виде линейной комбинации $$X=x_01+x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k, \quad npu \quad \{x_0,x_1,x_2,x_3 \} \subset \mathbb R $$ элементов базиса $ 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k $. Здесь $ 1_{} $ — обычная (вещественная) единица, а умножение остальных элементов базиса задается таблицей

$ \times $ $ \mathbf i $ $ {}_{} \quad \mathbf j $ $ \mathbf k $
$ \mathbf i $ $ -1 $ $ {}_{} \quad \mathbf k $ $ -\mathbf j $
$ \mathbf j $ $ -\mathbf k $ $ -1 $ $ {}_{} \ \ \mathbf i $
$ \mathbf k $ $ {}_{} \ \ \mathbf j $ $ -\mathbf i $ $ -1 $

Часто в записи кватерниона $ 1_{} $ опускается: $$X=x_0+\underbrace{x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k}_{\mathbf V}$$ здесь $ x_{0} $ называется скалярной, а $ {\mathbf V} $ — векторной частями кватерниона.

Равенство кватернионов $ X=x_0+x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k $ и $ Y=y_0+y_1 \mathbf i+y_2 \mathbf j+y_3 \mathbf k $ и их сумма определяются естественным образом, ``покоординатно'': $$ X=Y \quad \iff \quad \{x_j=y_j\}_{j=0}^3 , $$ $$ X+Y= (x_0+y_0)+(x_1+y_1) \mathbf i+(x_2+y_2) \mathbf j+(x_3+y_3) \mathbf k \, $$ Формула же произведения кватерниона $ X $ на $ Y $: $$ X \cdot Y=(x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3)+(x_0y_1+x_1y_0+x_2y_3-x_3y_2) \mathbf i + $$ $$+ (x_0y_2+x_2y_0+x_1y_3-x_3y_1) \mathbf j +(x_0y_3+x_3y_0+x_1y_2-x_2y_1) \mathbf k \, . $$

При $ x_3=x_4=0 $ кватернион $ X=x_0+x_1 \mathbf i $ может быть отождествлен с комплексным числом. Однако, в отличие от поля комплексных чисел, коммутативность умножения для кватернионов, как правило, не имеет места: $$ (1+\mathbf i)(1+ \mathbf k) \ne (1+ \mathbf k)(1+\mathbf i) \, . $$

При $ x_0=0 $ кватернион называется вектором и может быть отождествлен с обычным вектором из $ \mathbb R^{3} $. Произведение двух таких векторов $ {\mathbf V}_1 $ и $ {\mathbf V}_2 $ (в соответствии с приведенной выше таблицей) выражается через скалярное и векторное произведения векторов: $$ {\mathbf V}_1 \cdot {\mathbf V}_2=-\langle {\mathbf V}_1,{\mathbf V}_2\rangle+\left[{\mathbf V}_1,{\mathbf V}_2 \right]$$ что показывает тесную связь кватернионов с векторным исчислением8).

Кватернион $ \overline{X}=x_0-{\mathbf V}=x_0-x_1 \mathbf i-x_2 \mathbf j-x_3 \mathbf k $ называется сопряженным к $ X =x_0+{\mathbf V} $. Легко проверить, что $$ \overline{X} X=X \overline{X}=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2 \, . $$ Величина9) $$ |X|=\sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2} $$ называется модулем кватерниона $ X $.

?

Доказать, что для кватернионов $ |X_1X_2|=|X_1|\cdot |X_2| $. Сравнить с тождеством Эйлера.

Для любого кватерниона отличного от нулевого $ 0+0 \mathbf i+0 \mathbf j+0 \mathbf k $ существует обратный относительно операции умножения: $$ X^{-1}= \frac{\overline{X}}{|X|^2} \quad \Rightarrow \quad X^{-1}X=XX^{-1}=1 \, . $$ Тем самым гарантирована возможность решения в кватернионах любого линейного уравнения $$ A\cdot X= B,\quad Y \cdot A= B\, npu \ A \ne 0+0 \mathbf i+0 \mathbf j+0 \mathbf k\, . $$ Если расписать произведение кватерниона $ A=a_0+a_1 \mathbf i+a_2 \mathbf j+a_3 \mathbf k $ на кватернион $ X $ покоординатно, то получим координаты кватерниона $ Y= A \cdot X $ в виде $$ \left(\begin{array}{c} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \, . $$ Иными словами, при фиксированном кватернионе $ A $ и переменном кватернионе $ X $ формулу умножения $ A \cdot X $ можно интерпретировать как результат действия линейного оператора в пространстве $ \mathbb R^4 $. Матрица этого оператора (в стандартном базисе): $$ \mathbf A = \left(\begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) \, . $$ Можно пойти и дальше. Если построить аналогичную матрицу для кватерниона $ X $: $$ X= x_0+x_1 \mathbf i+x_2 \mathbf j+x_3 \mathbf k \quad \Rightarrow \quad \mathbf X = \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) \, , $$ то результат умножения матриц $ \mathbf A \cdot \mathbf X $ приводит к матрице того же вида, при этом в первом столбце произведения $$ \mathbf A \cdot \mathbf X= \left(\begin{array}{rrrr} a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3 & \ast & \ast & \ast \\ a_1x_0 +a_0x_1 -a_3x_2 +a_2x_3 & \ast & \ast & \ast \\ a_2 x_0 + a_3x_1+a_0x_2 -a_1x_3 & \ast & \ast & \ast \\ a_3 x_0 -a_2x_1+ a_1x_2 +a_0x_3 & \ast & \ast & \ast \end{array} \right) $$ стоят коэффициенты произведения кватернионов $ A \cdot X $. Легко проверить, что и сумма матриц $ \mathbf A + \mathbf X $ будет соответствовать $ A + X $.

Т

Теорема. Алгебра кватернионов изоморфна алгебре матриц вида $$ \{ x_0 E +x_1 \mathbf I +x_2 \mathbf J + x_3 \mathbf K \ \mid \ (x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^4 \} \ , $$ где

$$ E=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right), $$ $$ \mathbf I = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right), \ \mathbf J = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right), \ \mathbf K= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \, . $$

Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Строки матрицы $ \mathbf X $ попарно ортогональны: стандартное скалярное произведение любых двух строк равно $ 0_{} $. Длина же каждой строки одна и та же и равна модулю кватерниона $ X $. Следовательно, матрица $$ \frac{1}{\sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}} \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) $$ является ортогональной. Таким образом, кватернион может быть задан своим модулем и специфической ортогональной матрицей. Все операции над кватернионами переведены на язык матричного формализма.

?

Доказать, что если матрица $ \mathbf X $ соответствует кватерниону $ X $, то сопряженному кватерниону $ \overline X $ соответствует матрица $ \mathbf X^{\top} $.

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.Мир. 1971.

[2]. Реньи А. Трилогия о математике. М.Мир.1980.

[3]. Задача из W.L.Putnam mathematical competition. American Mathematical Monthly, V.80, N 2, 1973. P.172-173

[4]. Задача E2300. American Mathematical Monthly, V.79, N 5, 1972.

1)
ganze lineare (нем.) — полная линейная
2)
Абель Нильс Хенрик (Abel Niels Henrik, 1802–1829) — норвежский математик. Доказал неразрешимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени. При изучении алгебраических уравнений широко использовал понятие коммутативной группы. Создал теорию эллиптических функций.
3)
На языке мат.анализа это называется сложной функцией.
4)
cardinalis (лат.) — 1) количественный; 2) главный, основной; 3) кардинал.
5)
Произвольное кольцо принято обозначать буквой $ R_{} $ — от немецкого Ring, однако в случае настоящего ресурса получится коллизия с полем вещественных чисел $ \mathbb R_{} $.
6)
field (англ.)
7)
Здесь $ \equiv_{} $ означает тождественное равенство.
8)
Последнее и возникло из теории кватернионов
9)
Корень — арифметический.
gruppe.txt · Последние изменения: 2020/09/10 23:44 — au