Инструменты сайта


Благодарю Ю.А.Смолькина за обнаружение 07.08.19 ошибки на настоящей странице и информирование о ней.

Линейное пространство

Определения

Пусть дано множество $ \mathbb V_{}=\left\{ X,Y,Z,U,\dots \right\} $ элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения $ X+Y_{} $ и умножения на любое вещественное число $ \alpha_{} $: $ \alpha \cdot X_{} $, и множество $ \mathbb V_{} $ замкнуто относительно этих операций: $ X+Y \in \mathbb V ,\ \alpha \cdot X \in \mathbb V_{} $. Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

1. $ X+Y=Y+X_{} $ для $ \{ X,\, Y\} \subset \mathbb V_{} $;

2. $ (X+Y)+Z_{}=X+(Y+Z) $ для $ \{ X,\, Y,\, Z \} \subset \mathbb V_{} $;

3. в $ \mathbb V_{} $ cуществует нулевой вектор $ \mathbb O_{} $ со свойством $ X+ \mathbb O =X_{} $ для $ \forall X\in \mathbb V_{} $;

4. для каждого $ X\in \mathbb V_{} $ существует обратный вектор $ X^{\prime}\in \mathbb V_{} $ со свойством $ X+X^{\prime}=\mathbb O_{} $;

5. $ 1\cdot X=X_{} $ для $ \forall X\in \mathbb V_{} $;

6. $ \lambda \left(\mu X \right)_{}= \left(\lambda \mu \right)X $ для $ \forall X\in \mathbb V_{} $, $ \{\lambda ,\, \mu \} \subset \mathbb R_{} $ ;

7. $ (\lambda + \mu)X=\lambda X + \mu X_{} $ для $ \forall X\in \mathbb V_{} $, $ \{\lambda ,\, \mu \}\subset \mathbb R_{} $ ;

8. $ \lambda (X + Y) =\lambda X_{} + \lambda Y $ для $ \{ X,\, Y\} \subset \mathbb V_{} , \lambda \in \mathbb R $.

Тогда такое множество $ \mathbb V_{} $ называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из $ \mathbb R_{} $ — последние называются скалярами1). Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

§

Если в аксиомах 6 - 8 допустить умножение и на комплексные скаляры, то такое линейное пространство называется комплексным. Для упрощения рассуждений в настоящем разделе будут рассматриваться только вещественные пространства.

§

Линейное пространство является группой относительно операции сложения, причем группой абелевой.

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору $ X\in \mathbb V_{} $: $ X^{\prime}=-1\cdot X_{} $, его привычно обозначают $ - X_{} $.

Подмножество $ \mathbb V_{1} $ линейного пространства $ \mathbb V_{} $, само являющееся линейным пространством (т.е. $ \mathbb V_{1} $ замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства $ \mathbb V_{} $. Тривиальными подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_{} $ называются само $ \mathbb V_{} $ и пространство, состоящее из одного нулевого вектора $ \mathbb O_{} $.

Примеры линейных пространств

П

Пример 1. Пространство $ \mathbb R^{3} $ упорядоченных троек вещественных чисел $ (a_1,a_2,a_{3}) $ с операциями, определяемыми равенствами:

$$ (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)= (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3),\ \alpha (a_1,a_2,a_3) = ( \alpha a_1, \alpha a_2, \alpha a_3 ) \ . $$ Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан координатами своего конца $ (a_1,a_2,a_{3}) $. На рисунке показано и типичное подпространство пространства $ \mathbb R^{3} $: плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами $ \mathbb V_1 $ являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения2) очевидна.

Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе $ X_{} $ произвольного линейного пространства $ \mathbb V_{} $ как о точке пространства $ \mathbb V_{} $. Иногда эту точку называют «концом вектора $ X_{} $». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.
П

Пример 2. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства $ \mathbb V_1 $ (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор»3)) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства $ \mathbb R^{3} $. Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости $ \mathbb V_1 $.

Вообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу — как к объекту, имеющему величину и направление — вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ЗДЕСЬ ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.
П

Пример 3. Естественным обобщением $ \mathbb R^{3} $ служит пространство $ \mathbb R_{}^{n} $: векторное пространство строк $ (a_1,\dots,a_{n}) $ или столбцов $ (a_1,\dots,a_n)^{^\top} $. Один из способов задания подпространства в $ \mathbb R_{}^{n} $ — задание набора ограничений. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

$$ \left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&0,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&0 \end{array}\right. \iff AX=\mathbb O $$ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R_{}^{n} $. В самом деле, если $$x_1=\alpha_1,\dots, x_n=\alpha_n $$ — решение системы, то и $$x_1=t \alpha_1,\dots, x_n= t \alpha_n $$ — тоже решение при любом $ t \in \mathbb R $. Если $$x_1=\beta_1,\dots, x_n=\beta_n $$ — еще одно решение системы, то и $$x_1=\alpha_1+\beta_1,\dots,x_n=\alpha_n+\beta_n $$ — тоже будет ее решением.

?

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

П

Пример 4. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей $ (a_1,\dots,a_n, \dots ) $, обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Подпространство этого пространства образуют, например, линейные рекуррентные последовательности $ \{x_k\}_{k=0,1,2,\dots } $ удовлетворяющие — при произвольных числах $ \{x_0,\dots x_{n-1} \} \subset \mathbb R $ — линейному однородному разностному уравнению $ n_{} $-го порядка, $$ x_{n+K}=a_1 x_{n+K-1}+ \dots+ a_n x_K \ npu \ K \in \{0,1,2,\dots \} \ ; $$ здесь числа $ \{ a_1,\dots,a_{n-1}, a_n \ne 0 \} \subset \mathbb R $ считаются фиксированными.

§

Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны» $ \{ \dots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\dots \} $ — они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.

П

Пример 5. Множество $ m\times n_{} $-матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство $ \mathbb R^{m\times n} $.

В пространстве квадратных матриц фиксированного порядка каждое из следующих подмножеств составляет линейное подпространство: симметричных, кососимметричных, верхнетреугольных, нижнетреугольных и диагональных матриц.

П

Пример 6. Множество полиномов одной переменной $ x_{} $ степени в точности равной $ n_{} $ с коэффициентами из $ \mathbb A_{} $ (где $ \mathbb A_{} $ — любое из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из $ \mathbb A_{} $ не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов $ f(x)=x^n -x+1 $ и $ g(x)=-x^n+x^{n-1}-2 $ не будет полиномом $ n_{} $-й степени. Но вот множество полиномов степени не выше $ n_{} $ $$ \mathbb P_n= \left\{ p(x) \in \mathbb A [x] \big| \deg p(x) \le n \right\} $$ линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином4). Очевидными подпространствами $ \mathbb P_{n} $ являются $ \mathbb P_{0}, \mathbb P_1,\dots,\mathbb P_{n-1} $. Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше $ n_{} $. Множество всевозможных полиномов $$ \mathbb P= \bigcup_{n=0}^{\infty} \mathbb P_n $$ (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

П

Пример 7. Обобщением предыдущего случая будет пространство полиномов нескольких переменных $ x_1,\dots, x_{\ell} $ степени не выше $ n_{} $ с коэффициентами из $ \mathbb A_{} $. Например, множество линейных полиномов $$ \left\{ a_1x_1+\dots+a_{\ell}x_{\ell}+b \big| (a_1,\dots,a_{\ell},b) \in \mathbb A^{\ell+1} \right\} $$ образует линейное пространство. Множество однородных полиномов (форм) степени $ n_{} $ (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.

С точки зрения приведенного в предыдущем пункте определения, множество строк с целочисленными компонентами $$ \mathbb Z^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n)\ \mid \ \{x_j\}_{j=1}^n \subset \mathbb Z \right\} \ , $$ рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и умножения на целочисленные скаляры, не является линейным пространством. Тем не менее, все аксиомы 1 - 8 будут выполнены если мы допустим умножение только на целочисленные скаляры. В настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на этом объекте, но он довольно полезен в дискретной математике, например в ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ. Линейные пространства над конечными полями рассматриваются ЗДЕСЬ.

Изоморфизм

Пусть имеются два линейных пространства разной природы: $ \mathbb V_{} $ с операцией $ +_{} $ и $ \mathbb W_{} $ с операцией $ \boxplus_{} $. Может оказаться так, что эти пространства «очень похожи», и свойства одного получаются простым «переводом» свойств другого.

Говорят, что пространства $ \mathbb V_{} $ и $ \mathbb W_{} $ изоморфны если между множествами их элементов можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, что если $ X_{} \leftrightarrow X^{\prime} $ и $ Y_{} \leftrightarrow Y^{\prime} $ то $ X+Y \leftrightarrow X_{}^{\prime} \boxplus Y^{\prime} $ и $ \lambda X_{} \leftrightarrow \lambda X^{\prime} $.

=>

При изоморфизме пространств $ \mathbb V_{} $ и $ \mathbb W_{} $ нулевому вектору одного пространства будет соответствовать нулевой вектор другого пространства.

П

Пример. Пространство $ \mathbb R^{n}_{} $ изоморфно пространству $ \mathbb P_{n-1}^{} $. В самом деле, изоморфизм устанавливается соответствием $$ [a_1,\dots,a_n] \leftrightarrow a_1+a_2x+\dots + a_nx^{n-1} \ .$$

П

Пример. Пространство $ \mathbb R^{m\times n} $ вещественных матриц порядка $ m_{}\times n $ изоморфно пространству $ \mathbb R_{}^{mn} $. Изоморфизм устанавливается с помощью операции векторизации матрицы (матрица «вытягивается» в один столбец).

П

Пример. Пространство квадратичных форм от $ n_{} $ переменных изоморфно пространству симметричных матриц $ n_{} $-го порядка. Изоморфизм устанавливается соответствием, которое мы проиллюстрируем для случая $ n=3_{} $:

$$ a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+a_{22}x_2^2+a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2 \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \frac{1}{2}a_{12} & \frac{1}{2}a_{13} \\ \frac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \frac{1}{2}a_{23} \\ \frac{1}{2}a_{13} & \frac{1}{2}a_{23} & a_{33} \end{array} \right) \ . $$

Понятие изоморфизма вводится для того, чтобы исследование объектов, возникающих в различных областях алгебры, но с «похожими» свойствами операций, вести на примере одного образца, отрабатывая на нем результаты, которые можно будет потом дешево тиражировать. Какое именно линейное пространство взять «за образец»? — См. концовку следующего пункта.

Линейная зависимость, базис, координаты

Линейной комбинацией системы векторов $ \{X_1,\dots,X_{m}\} $ называется произвольный вектор $$ \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m $$ при каких-то фиксированных значениях скаляров $ \alpha_{1}, \dots, \alpha_{m} $.

Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов $ \{X_1,\dots,X_{m}\} $ $$ \left\{ \alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_m X_m \bigg| \{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}\subset \mathbb R \right\} $$ называется линейной оболочкой векторов $ X_1,\dots,X_{m} $ и обозначается $ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{m}) $.

Т

Теорема 1. Линейная оболочка векторов $ X_1,\dots,X_{m} $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb V_{} $.

П

Пример. В пространстве $ \mathbb P_{n} $ полиномов степеней $ \le n_{} \ge 3 $ линейной оболочкой полиномов $ x,x^2,x^3 $ будет множество полиномов вида $ a_0x^3+a_1x^2+a_2x $, т.е. множество полиномов степеней $ \le 3 $, имеющих корень $ \lambda_{}=0 $.

Система векторов $ \{ X_{1},\dots,X_m \} $ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ \alpha_{1},\dots,\alpha_m $, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля и $$ \alpha_1X_1+\dots+\alpha_mX_m=\mathbb O $$ Если же это равенство возможно только при $ \alpha_{1}=0,\dots,\alpha_m=0 $, то система векторов называется линейно независимой (л.н.з.).

П

Пример. Для полиномов нескольких переменных свойство линейной зависимости является частным проявлением более общего свойства функциональной зависимости. Так, однородные полиномы (формы) $$ f_1=(x_1+x_2+x_3)^2,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ являются линейно зависимыми, поскольку $$ f_1-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$ Полиномы $$ \tilde f_1=x_1+x_2+x_3,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $$ не являются линейно зависимыми, но являются функционально зависимыми, поскольку $$ \tilde f_1^2-2\,f_2-f_3 \equiv 0 \ . $$

Т

Теорема 2. а) Если система содержит хотя бы один нулевой вектор, то она л.з.

б) Если система л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При $ m>1 $ система $ \{X_{1},\dots,X_m\} $ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее вектор линейно выражается через остальные, т.е. существуют $ j\in \{1,\dots,n \} $ и константы $ \gamma_{1},\dots,\gamma_{j-1}, \gamma_{j+1},\dots,\gamma_{n} $ такие, что $$ X_j=\gamma_1X_1+\dots+\gamma_{j-1}X_{j-1}+ \gamma_{j+1}X_{j+1}+\dots + \gamma_{m}X_{m} .$$

Т

Теорема 3. Если каждый из векторов системы $ \{ X_1,\dots,X_{m} \} $ линейно выражается через векторы другой системы $ \{ B_{1},\dots,B_k \} $ с меньшим числом векторов: $ k<m $, то система $ \{ X_{1},\dots,X_m \} $ будет л.з.

Доказательство аналогично приведенному ЗДЕСЬ.

Две системы векторов называются эквивалентными если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой и обратно.

Т

Теорема 4. Системы векторов $ \{ X_1,\dots,X_{m} \} $ и $ \{ Y_{1},\dots,Y_k \} $ будут эквивалентными тогда и только тогда когда совпадают линейные оболочки этих систем: $${\mathcal L}(X_1,\dots,X_m)={\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_k) \ . $$

Т

Теорема 5. Если каждая из двух эквивалентных систем $ \{ X_1,\dots,X_{m} \} $ и $ \{ Y_1,\dots,Y_{k} \} $ является л.н.з., то эти системы состоят из одинакового числа векторов: $ m=k_{} $ .

Линейно независимая система векторов $ \{X_{j}\}\subset \mathbb V $ называется базисом этого пространства если каждый $ X\in \mathbb V $ можно представить в виде линейной комбинации указанных векторов: $$ X=\sum_{j} \alpha_j X_j \ . $$

При этом не подразумевается конечность системы, т.е. суммирование может распространяться на бесконечное число слагаемых. Так, например, пространство бесконечных строк (или последовательностей) $ \left[a_{1},a_2,\dots\, \right] $ имеет бесконечный базис, состоящий из векторов $$ [\underbrace{0,\dots,0,1}_j,0,\dots \, ] \quad npu \ j \in \mathbb N \ . $$

В случае, когда базис пространства $ \mathbb V_{} $ конечен, пространство $ \mathbb V_{} $ называется конечномерным, а число векторов базиса тогда называется размерностью пространства $ \mathbb V_{} $ и обозначается5): $ \dim \mathbb V_{} $. Также полагают, что размерность тривиального пространства, состоящего из одного только нулевого вектора, равна нулю: $ \dim \{\mathbb O_{} \}= 0 $.

П

Пример. Линейное пространство $ m\times n_{} $ матриц имеет размерность $ mn_{} $. Так, для случая $ m_{}=3 ,n=2 $ в качестве базиса можно выбрать следующий набор матриц

$$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ . $$

?

Найти размерности подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц порядка $ n_{} $.

П

Пример [1]. Замечательный пример трехмерного линейного пространства дает нам совокупность всех цветов. Под суммой двух цветов будем понимать цвет, образованный их смешением

под умножением цвета на положительное число $ k_{} $ — увеличение в $ k_{} $ раз яркости цвета

A

Анимация ЗДЕСЬ (1500 K, gif)

под умножением на $ (-1) $ — взятие дополнительного цвета. При этом оказывается, что совокупность всех цветов выражается линейно через три цвета: красный, зеленый и синий, т.е. образует трехмерное линейное пространство. (Точнее, некоторое тело в трехмерном пространстве, поскольку яркости цветов ограничены верхним порогом раздражения.) Исследование этого трехмерного тела всех цветов является важным орудием цветоведения.

Если $ \dim \mathbb V=d_{} $ и вектора $ X_1,\dots,X_{d} $ являются базисными для $ \mathbb V_{} $, то разложение вектора $ X \in \mathbb V_{} $ в сумму: $$ X=\alpha_1 X_1+\dots+ \alpha_d X_d \ .$$ называется разложением вектора $ X_{} $ по базису $ X_1,\dots,X_{d} $; при этом числа $ \alpha_1,\dots, \alpha_{d} $ называются координатами вектора $ X_{} $ в данном базисе.

Т

Теорема 6. Если $ \dim \mathbb V=d>0 $, то любая система из $ d_{} $ линейно независимых векторов пространства образует базис этого пространства.

Доказательство. Пусть $ \{Y_1,\dots,Y_d\} $ — л.н.з. система. Рассмотрим произвольный $ X\in \mathbb V_{} $. Если система $ \{X,Y_1,\dots,Y_d\} $ л.н.з., то $ \dim \mathbb V \ge d+1 $, что противоречит условию теоремы. Следовательно, система линейно зависима: $ \alpha_0X+\alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то из чисел $ \{\alpha_j\}_{j=0}^{d} $ не равном нулю. Если $ \alpha_0=0 $, то $ \alpha_1Y_1+\dots+\alpha_dY_d=\mathbb O $ при каком-то ненулевом коэффициенте. Это означает, что система $ \{Y_1,\dots,Y_d\} $ линейно зависима, что противоречит предположению. Следовательно $ \alpha_0\ne 0 $, но тогда вектор $ X_{} $ может быть представлен в виде линейной комбинации векторов $ Y_1,\dots,Y_d $: $$X=- {\alpha_1}/{\alpha_0} Y_1-\dots -{\alpha_d}/{\alpha_0}Y_d \ .$$ По определению, система $ \{Y_1,\dots,Y_d\} $ является базисом $ \mathbb V $.

Т

Теорема 7. Любой вектор $ X \in \mathbb V_{} $ может быть разложен по фиксированному базису пространства единственным образом.

Очевидно, $ \dim \mathbb R^{n} = n $: строки из $ n_{} $ элементов $$[1,0,0,\dots,0],\ [0,1,0,\dots,0],\ [0,0,1,\dots,0],\ \dots , [0,0,0,\dots,1] $$ образуют базис этого пространства.

Имеются два способа задания линейных подпространств в $ \mathbb R^{n}_{} $. Пусть $$ \mathbb V_1 = {\mathcal L}(A_1,\dots,A_k) \quad npu \ \{A_1,\dots,A_k \} \subset \mathbb R^n \ .$$ В разделе РАНГ установлено, что $$ \dim \mathbb V_1 = \operatorname{rank} \{ A_1,\dots,A_k \} = \operatorname{rank} (A) \ ,$$ где $ A_{} $ — матрица, составленная из строк (столбцов) $ A_{1},\dots,A_k $.

П

Пример. Найти базис подпространства $$\mathcal L \left([1,2,1,1],\, [-1,0,-1,0], \, [-1,2,-1,1], \, [0,1,0,1] \right) \ .$$

Решение. Ищем $$ \operatorname{rank} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1&0&-1&0 \\ -1& 2 &-1 &1 \\ 0& 1& 0 & 1 \end{array} \right) $$ по методу окаймляющих миноров. Существует минор третьего порядка $$ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 \\ -1&0&0 \\ 0& 1 & 1 \end{array} \right| $$ отличный от нуля, а определитель самой матрицы равен нулю. Замечаем, что найденный отличный от нуля минор расположен в первой, второй и четвертой строках матрицы. Именно эти строки и образуют базис.

Ответ. Базис составляют, например, первая, вторая и четвертая строки.

Другим способом задания линейного подпространства в $ \mathbb R_{}^{n} $ может служить задание набора ограничений, которым должны удовлетворять векторы подпространства. Таким набором ограничений может являться, например, система уравнений $$ \left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&0,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&0,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&0 \end{array}\right. \qquad \iff \qquad AX=\mathbb O . $$ Какова размерность подпространства решений этой системы? На этот вопрос мы ответим сразу же, если вспомним определение фундаментальной системы решений (ФСР). Именно, ФСР — как набор линейно независимых решений, через которые линейно выражается любое решение системы однородных уравнений — является базисом подпространства этих решений.

Т

Теорема 8. Множество решений системы однородных уравнений $ AX=\mathbb O_{} $ образует линейное подпространство пространства $ \mathbb R^{n}_{} $. Размерность этого подпространства равна $ n-\operatorname{rank} (A) $, а фундаментальная система решений образует его базис.

П

Пример. В пространстве $ \mathbb P_{n} $ полиномов степеней $ \le n_{} $ каноническим базисом можно взять систему мономов $ \{1,x,x^2,\dots, x^n \} $, т.е. $ \dim \mathbb P_{n} =n+1 $. Координатами полинома $ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n $ будут его коэффициенты. Можно выбрать и другой базис, например, $ \{1, x-c,(x-c)^2,\dots,(x-c)^n \} $ при произвольном числе $ c_{} $. Координатами полинома в этом базисе будут теперь коэффициенты формулы Тейлора:

$$ f(x) \equiv f(c)+ \frac{f^{\prime}(c)}{1!} (x-c) + \frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!} (x-c)^2+ \dots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-c)^{n} \ . $$

?

Найти координаты полинома $ x^5-x^4+x^3-x^2-x+1 $ в базисе $ \{1,x+1,x^2+1,x^3+1,x^4+1,x^5+1\} $.

Т

Теорема 9. Любое векторное пространство $ \mathbb V_{} $ размерности $ d_{} $ изоморфно $ \mathbb R^{d} $.

Доказательство. Изоморфизм можно установить следующим соответствием. Если $ \{X_1,\dots , X_d \} $ — какой-то базис $ \mathbb V_{} $, то вектору $ X \in \mathbb V $ поставим в соответствие набор его координат в этом базисе: $$ X=x_1X_1+\dots+x_d X_d \ \Rightarrow \ X \mapsto [x_1,\dots,x_d]\in \mathbb R^d . $$ На основании теоремы $ 6 $, такое соответствие будет взаимно-однозначным, а проверка двух свойств изоморфизма тривиальна.

!

Последний результат позволяет свести исследование свойств произвольного линейного пространства $ \mathbb V_{} $ к исследованию свойств пространства $ \mathbb R^{d} $. Лишь бы только удалось нам найти базис пространства $ \mathbb V_{} $, а также разложение произвольного вектора по этому базису. Однако некоторые теоретические заключения можно сделать основываясь только лишь на фактах принципиального существования базиса и возможности разложения по нему произвольного вектора.

Критерии линейной зависимости

Т

Теорема . Строки

$$ \{(a_{11},\dots,a_{1n}),\dots, (a_{n1},\dots,a_{nn})\} \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \left|\begin{array}{rrr} a_{11}&\dots & a_{1n} \\ \dots & & \dots \\ a_{n1}& \dots & a_{nn} \end{array} \right|=0 \, . $$

Т

Теорема . Строки

$$ \{(a_{11},\dots,a_{1n}),\dots, (a_{m1},\dots,a_{mn})\} \subset \mathbb C^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \operatorname{rank} A <m \, , npu \ A=\left(\begin{array}{rrr} a_{11}&\dots & a_{1n} \\ \dots & & \dots \\ a_{m1}& \dots & a_{mn} \end{array} \right) \, . $$

=>

Строки

$$ \{(a_{11},\dots,a_{1n}),\dots, (a_{m1},\dots,a_{mn})\} \subset \mathbb R^n $$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда $$ \det (A^{\top} A) = 0 \, . $$ (Определитель в левой части можно интерпретировать как определитель Грама системы строк.)

Т

Теорема . Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ линейно зависимы на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда их вронскиан

$$ \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| $$ тождественно равен нулю на $ ]a,b[ $.

Относительный базис

В настоящем пункте $ \mathbb V_1 $ обозначает линейное подпространство пространства $ \mathbb V_{} $, отличное от тривиального; обозначаем $ d_1=\dim \mathbb V_1 $.

Т

Теорема. Произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $ можно дополнить до базиса пространства $ \mathbb V_{} $.

Доказательство. Пусть $ \{X_1,\dots,X_{d_1} \} $ — какой-то базис $ \mathbb V_1 $. В пространстве $ \mathbb V_{} $ найдется вектор $ X_{d_1+1} $ такой, что система $ \{X_1,\dots,X_{d_1}, X_{d_1+1 }\} $ будет л.н.з. (В противном случае, $ \dim \mathbb V=d_1 $, что противоречит условию настоящего пункта.) Если $ d_1+1=d = \dim \mathbb V $, то, на основании теоремы 5 предыдущего пункта, требуемый базис построен. Если же $ d_1+1<d $, то в пространстве $ \mathbb V_{} $ найдется вектор $ X_{d_1+2} $ такой, что система $ \{X_1,\dots,X_{d_1}, X_{d_1+1 },X_{d_1+2 } \} $ будет л.н.з. И т.д. Процесс закончится за конечное число шагов.

Говорят, что система векторов $ \{X_1,\dots,X_k\} $ линейно независима относительно подпространства $ \mathbb V_1 $ пространства $ \mathbb V_{} $ если $${.}_{} \mbox{ из условия } \quad \alpha_1X_1+\dots+\alpha_k X_k \in \mathbb V_1 \quad \mbox{ следует } \quad \alpha_1=\dots=\alpha_k=0 \ .$$

Т

Теорема. Обозначим $ \{Y_1,\dots,Y_{d_1}\} $ — произвольный базис $ \mathbb V_1 $. Система $ \{X_{1},\dots,X_k\} $ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \{Y_1,\dots,Y_{d_1},X_1,\dots,X_k\} $ линейно независима.

П

Пример. Найти все значения параметра $ {\color{RubineRed} \alpha } $, при которых система $$\{ X_1=[1,\, 2,\, {\color{Red} \alpha },\, 1 ]^{^{\top}}, \ X_2=[1,\, {\color{Red} \alpha },\, 2,\, 1]^{^{\top}} \} $$ л.н.з. относительно подпространства $$\mathbb V_1=\left\{X \in \mathbb R^4 \bigg| \begin{array}{ll} x_1+2\,x_2-3\,x_3+4\, x_4 &=0, \\ x_1+x_2-x_3 -x_4 &=0 \end{array} \right\} \ . $$

Решение. Базисом подпространства $ \mathbb V_1 $ является произвольная ФСР заданной системы однородных уравнений, например $ \{Y_1=[-1,2,1,0]^{^{\top}},\ Y_2=[6,-5,0,1]^{^{\top}}\} $. Теорема утверждает, что система $ \{ X_1, X_2\} $ л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \{ X_1, X_2,Y_1,Y_2\} $ л.н.з. (в обычном понимании). Последнее равносильно тому, что матрица, составленная из этих векторов, должна иметь ранг равный $ 4_{} $. $$\operatorname{rank} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & \ {\color{RubineRed} \alpha } & 2 & -5 \\ {\color{RubineRed} \alpha } & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)=4 \ \iff \ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1 &-1 & 6 \\ 2 & {\color{RubineRed} \alpha } & 2 & -5 \\ {\color{RubineRed} \alpha } & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right|= {\color{Red} \alpha }^2-10\, {\color{Red} \alpha } +16 \ne 0 \ . $$

Ответ. $ {\color{Red} \alpha }\not \in \{ 2,\, 8\} $.

Говорят, что система векторов $ \{X_1,\dots,X_k\} $ образует базис пространства $ \mathbb V_{} $ относительно (или над) $ \mathbb V_1 $ если она л.н.з. относительно $ \mathbb V_1 $ и любой вектор $ X\in \mathbb V_{} $ можно представить в виде $$ X=c_1X_1+\dots+c_kX_k+Y, \quad \mbox{ где } \quad Y\in \mathbb V_1 \ . $$

Т

Теорема. Обозначим $ \{ Y_1,\dots,Y_{d_1} \} $ — произвольный базис подпространства $ \mathbb V_1 $. Система $ \{X_1,\dots,X_k\} $ образует базис $ \mathbb V_{} $ относительно $ \mathbb V_1 $ тогда и только тогда, когда система $ \{ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{d_1} \} $ образует базис $ \mathbb V_{} $.

Доказательство. Действительно, любой вектор $ X\in \mathbb V_{} $ выражается через векторы $ X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{d_1} $. По предыдущей теореме для линейной независимости этих векторов необходимо и достаточно относительной линейной независимости $ X_1,\dots,X_k $.

=>

Базис $ \mathbb V_{} $ строится дополнением базиса $ \mathbb V_1 $ векторами $ X_1,\dots,X_k $ линейно независимыми относительно $ \mathbb V_1 $. Поэтому $${.}_{} \mbox{число векторов относительного базиса } \ = \dim \mathbb V - \dim \mathbb V_1 \ .$$

Это число называется коразмерностью6) подпространства $ \mathbb V_1 $ в пространстве $ \mathbb V $.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_{} $. Множество $$ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 = \left\{X_1+X_2 \big| X_1 \in \mathbb V_1,\ X_2 \in \mathbb V_2 \right\}$$ называется суммой, а множество $$ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 = \left\{X \big| X \in \mathbb V_1,\ X \in \mathbb V_2 \right\}$$ — пересечением подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $. Аналогично определяется сумма и пересечение произвольного количества подпространств.

Понятие пересечения линейных подпространств совпадает с понятием пересечения их как множеств.

!

Как правило, $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 \ne \mathbb V _1 \cup \mathbb V_2 $.

Т

Теорема. $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ и $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ являются подпространствами линейного пространства $ \mathbb V_{} $.

?

Докажите, что $ \mathbb V_1+ \mathbb V_2 $ — это подпространство минимальной размерности, содержащее как $ \mathbb V_1 $, так и $ \mathbb V_2 $.


Понятие суммы линейных подпространств является частным случаем суммы Минковского двух произвольных подмножеств $ \mathbb A_1 $ и $ \mathbb A_2 $ линейного пространства: $$ \mathbb A_1 + \mathbb A_2 = \{ X+Y \ \mid \ X \in \mathbb A_1, Y \in \mathbb A_2 \} . $$ Для подмножеств $ \mathbb A_1=\{ [1,0], [0,1], [0,-1] \} $ и $ \mathbb A_2=\{ [0,0], [1,1] \} $ пространства $ \mathbb R^2 $ имеем: $$ \mathbb A_1 + \mathbb A_2 = \{ [1,0], [0,1], [0,-1], [2,1], [1,2] \} \, . $$

Т

Теорема. Имеет место формула: $$ \dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2=\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2) \ . $$

Доказательство ЗДЕСЬ.

?

Можно ли обобщить этот результат на случай трех (и более подпространств)? Cправедлив ли, к примеру, аналог формулы включений-исключений в следующем виде: $$\dim \, \mathbb V_1 + \dim \, \mathbb V_2 + \dim \, \mathbb V_3 - $$ $$ -\left\{\dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) + \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_3) + \dim \, (\mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) \right\} + $$ $$+ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 \cap \mathbb V_3) =\dim \, (\mathbb V_1 + \mathbb V_2 + \mathbb V_3) \ ?$$

Т

Теорема. Имеет место формула: $${\mathcal L}(X_1,\dots,X_m)+{\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_{\ell})= {\mathcal L}(X_1,\dots,X_m,Y_1,\dots,Y_{\ell}) \ ; $$ здесь $ {\mathcal L} $ означает линейную оболочку.

П

Пример. Найти базис суммы и размерность пересечения $$\mathbb V_1={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} -2 \\0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \quad \mbox{ и } \quad \mathbb V_2={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} -1 \\3 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right] \right) $$

Решение. Действуя согласно предыдущей теореме, составляем матрицу из всех векторов $$ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & -1 \end{array} \right) $$ и ищем ее ранг методом окаймляющих миноров. Имеем: $ \operatorname{rank} = 3 $ при ненулевом миноре матрицы расположенном в первых трех ее столбцах.

Ответ. Базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ составляют векторы $ X_1,X_2,X_3 $; $ \dim \, (\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2) = 3+2 - 3 =2 $.

Алгоритм нахождения базиса $ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_m) \cap {\mathcal L}(Y_1,\dots,Y_{\ell}) $ проиллюстрируем на примере.

П

Пример. Найти базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ при $$ \begin{array}{l} \mathbb V_1={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right) \\ {}_{} \qquad \qquad \quad X_1 \quad \quad \ X_2 \quad \quad X_3 \end{array} ,\ \begin{array}{l} \mathbb V_2={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] \right) \\ {}_{} \quad \qquad \qquad Y_1 \qquad \ Y_2 \quad \quad Y_3 \end{array} \ . $$

Решение. 1. Сначала найдем базисы каждого из подпространств: $$\dim \mathbb V_1=2, \ \mathbb V_1=\mathcal L(X_1, X_2) \ ; \ \dim \mathbb V_2=3,\ \mathbb V_2=\mathcal L(Y_1, Y_2, Y_3) \ . $$

2. Произвольный вектор $ Z\in \mathbb R^5 $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $, должен раскладываться по базису каждого из подпространств: $$Z=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2= \beta_1 Y_1 + \beta_2 Y_2 + \beta_3 Y_3 \ .$$ Для определения неизвестных значений координат составляем систему уравнений $$ \begin{array}{l} \qquad X_1 \ X_2 \\ \qquad {\color{RubineRed} \downarrow} \ \ \ {\color{RubineRed} \downarrow} \\ \left( \begin{array}{rrrrrrr} 1 & 1 & -1 & &-1 & & \ 0 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & 0 & & 0 & & \ -1 \\ -1 & 2 & 0 & & -1 & & \ -1 \\ 1 & 1 & -1 & & -1 & &\ 0 \end{array} \right) \\ \qquad \qquad \qquad {\color{RubineRed} \uparrow} \qquad \ \ {\color{RubineRed} \uparrow} \qquad \quad {\color{RubineRed} \uparrow} \\ \quad \qquad \qquad -Y_1 \quad - Y_2 \quad -Y_3 \end{array} \left( \begin{array}{r} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array} \right)= \mathbb O_{5\times 1} $$ и решаем ее по методу Гаусса с нахождением фундаментальной системы решений: $$ \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array} \right)= \mathbb O \quad \Rightarrow \qquad \mbox{ ФСР } \qquad \begin{array}{rrr|rr} \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \hline -1/3 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \\ 1/3 & 2/3 & 1 & 0 & 1 \end{array} $$

3. Получившиеся значения координат позволяют выразить базис пересечения — либо через базис подпространства $ \mathbb V_1 $ (если использовать полученные значения для $ \alpha_1,\alpha_2 $), либо через базис подпространства $ \mathbb V_2 $ (если использовать $ \beta_1,\beta_2, \beta_3 $). Например, $$ Z_1=-1/3 X_1 + 1/3 X_2 = [0,1,0,1,0]^{^{\top}},\ $$ $$ Z_2=1/3 X_1 + 2/3 X_2 = [1,1,1,1,1]^{^{\top}} \ . $$

Ответ.7) $ \left\{[0,1,0,1,0]^{^{\top}},\, [1,1,1,1,1]^{^{\top}} \right\} $.

?

Найти базисы суммы и пересечения подпространств

$$ \mathbb V_1=\left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 2\,x_1&+x_2&+4\,x_3&+x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&+x_2&+3\,x_3& &=0 \end{array} \right. \right\} $$ и $$ \mathbb V_2= \left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0 \end{array} \right. \right\} \ . $$

Решение ЗДЕСЬ.

Прямая сумма линейных подпространств

Пусть $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — подпространства линейного пространства $ \mathbb V_{} $. Говорят, что $ \mathbb V_{} $ раскладывается в прямую сумму подпространств $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ если любой вектор $ X\in \mathbb V_{} $ может быть представлен в виде $ X=X_1+X_2 $, где $ X_1\in \mathbb V_1,X_2\in \mathbb V_2 $ и такое представление единственно. Этот факт записывают: $ \mathbb V= \mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2 $. Вектор $ X_{1} $ называется проекцией вектора $ X_{} $ на подпространство $ \mathbb V_1 $ параллельно подпространству $ \mathbb V_{2} $.

П

Пример. Линейное пространство квадратных матриц порядка $ n_{} $ раскладывается в прямую сумму подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства кососимметричных матриц. В самом деле, для матрицы $ A_{n\times n} $ справедливо разложение $$A=\frac{1}{2} \left(A+A^{^\top} \right) + \frac{1}{2} \left(A-A^{^\top} \right) $$ и в правой части первая скобка дает симметричную матрицу, а вторая — кососимметричную. Покажите, что не существует иного разложения матрицы $ A_{} $ в сумму симметричной и кососимметричной.

Т

Теорема. Пусть $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $. Эта сумма будет прямой тогда и только тогда, когда подпространства $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ имеют тривиальное пересечение: $$\mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\{\mathbb O \} \ .$$

Доказательство. Необходимость. Пусть сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая, но существует вектор $ X\ne \mathbb O $, принадлежащий $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но тогда и вектор $ (-X) $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Для нулевого вектора $ \mathbb O $ получаем два представления в виде суммы проекций на подпространства: $$ \mathbb O = \mathbb O + \mathbb O = X+ (-X) \, . $$ Это противоречит понятию прямой суммы.

Достаточность. Если $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\{\mathbb O \} $, но существует вектор $ X \in \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $, имеющий два различных разложения в сумму проекций $$ X=X_1+X_2 =Y_1+ Y_2 \quad npu \quad \{X_1,Y_1\} \subset \mathbb V_1, \ \{X_2,Y_2\} \subset \mathbb V_2, $$ то $$ (X_1-Y_1)+(X_2-Y_2) =\mathbb O \quad \Rightarrow \quad X_1-Y_1=Y_2-X_2 \, , $$ т.е. вектор $ X_1-Y_1 $ принадлежит $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $. Но, по предположению, $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2=\{\mathbb O \} $, следовательно, $ X_1-Y_1=\mathbb O $, но тогда и $ Y_2-X_2=\mathbb O $.

=>

Сумма $ \mathbb V=\mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ будет прямой тогда и только тогда, когда базис $ \mathbb V_{} $ может быть получен объединением базисов $ \mathbb V_{j} $.

Сформулированное таким образом утверждение содержится во многих учебниках по линейной алгебре. Тем не менее, с формальной точки зрения, оно неверно. В самом деле, пусть $ \mathbb V_1 = {\mathcal L}(X_1,X_2),\, \mathbb V_2 = {\mathcal L}(X_2,X_3) $ при линейно независимых $ X_1,X_2,X_3 $. Очевидно базис $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 ={\mathcal L}(X_1,X_2,X_3) $ получается объединением базисов $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $. В то же время $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2\ne \{\mathbb O \} $. Причина возникновения этой ошибки кроется в содержании термина «объединение базисов». С точки зрения терминологии теории множеств, во множестве не может содержаться одинаковых элементов (во множестве они неразличимы). Однако мы с самого начала изложения допустили, что в систему векторов могут входить одинаковые, которые различаются порядком своего расположения (хотя это особо и не подчеркивалось, векторы в системе всегда пронумерованы). Исходя из этих соображений, объединение базисов $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ будет пониматься8) в настоящем пункте (и кое-где далее) как система векторов, в которую входят последовательно векторы базисов $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ — с допуском дублей. В рамках такой договоренности, для приведенного примера получим: объединение базисов линейных подпространств $ {\mathcal L}(X_1,X_2) $ и $ {\mathcal L}(X_2,X_3) $ представляет систему $ \{X_1,X_2,X_2,X_3\} $, которая, очевидно, не является базисом. Таким образом сумма $ {\mathcal L}(X_1,X_2)+{\mathcal L}(X_2,X_3) $ не является прямой, и результат следствия остается справедливым.
П

Пример [2]. Доказать, что сумма подпространств $$\mathbb V_1={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\3 \\ 11 \\ 5 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 0 \\1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \right) \quad \mbox{ и } \quad \mathbb V_2={\mathcal L}\left( \left[ \begin{array}{r} 2 \\1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 1 \\1 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right] , \left[ \begin{array}{r} 5 \\2 \\ 6 \\ 2 \end{array} \right] \right) $$ будет прямой и найти проекции вектора $ Z=[2,0,0,3]^{\top} $ на эти подпространства.

Решение. Базисы $ \mathbb V_1 $ и $ \mathbb V_2 $ составляют соответственно системы $ \{X_2,X_3\} $ и $ \{ Y_1,Y_2 \} $, т.е. $ \dim \, \mathbb V_1=\dim \, \mathbb V_2 =2 $. На основании следствия достаточно установить, что объединенная система $ \{X_2,X_3,Y_1,Y_2 \} $ л.н.з. Для этого достаточно проверить, что определитель матрицы $$ A=\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{array} \right) $$ отличен от нуля. Поскольку это условие выполнено, то сумма $ \mathbb V_1 + \mathbb V_2 $ — прямая и базис этой суммы состоит из взятых векторов. Для нахождения разложения вектора $ X_{} $ по этому базису решаем систему уравнений $$A \left[ \begin{array}{c} \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end{array} \right] = Z $$ и получаем единственное решение: $ \alpha_2=-1,\, \alpha_3=-1,\, \beta_1 =1\, , \beta_2=1 $. Разложение $ Z=Z_1+Z_2 $ составляют векторы $ Z_1=\alpha_2 X_2+\alpha_3 X_3 $ и $ Z_2=\beta_1 Y_1+\beta_2 Y_2 $.

Ответ. $ Z=[-1,-2,-6,-3]^{\top} + [3,2,6,6]^{\top} $.

Линейные многообразия

Пусть $ \mathbb V_1 $ — линейное подпространство пространства $ \mathbb V_{} $, а $ X_{0} $ — произвольный фиксированный вектор из $ \mathbb V_{} $. Множество $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 = \left\{X_0+Y \big| Y \in \mathbb V_1 \right\} $$ называется линейным многообразием (порожденным подпространством $ \mathbb V_1 $). Размерностью этого многообразия называется размерность порождающего его подпространства: $ \dim \mathbb M = \dim \mathbb V_1 $. В случае $ 1 < \dim \mathbb M = k < \dim \mathbb V $ о многообразии $ \mathbb M $ говорят как о k-мерной плоскости (или гиперплоскости), а при $ k=1 $ — как о прямой.

§

Образно говоря, многообразие — это сдвиг порождающего его линейного подпространства.

П

Пример. Множество полиномов вида $ f(x)= a_0x^3+a_1x^2+a_2x+1 \in \mathbb R[x] $, т.е. таких, что $ \deg f \le 3, f(0)=1 $ образует линейное многообразие, порожденное линейным подпространством полиномов $ \{ x(a_0x^2+a_1x+a_2) \mid (a_0,a_1,a_2) \in \mathbb R^3 \} $.

Пересечение многообразий определяется традиционным способом, а сумма многообразий не определяется. Будем называть многообразия, порожденные одним и тем же подпространством $$ \mathbb M = X_0+ \mathbb V_1 \quad u \quad \tilde{\mathbb M} = \tilde X_0+ \mathbb V_1 \ , $$ параллельными многообразиями.

П

Пример. Множество столбцов пространства $ \mathbb R^{n} $, удовлетворяющих системе уравнений

$$ \left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&b_1,\\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&b_2,\\ \ldots& & \ldots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n &=&b_m \end{array}\right. \iff AX={\mathcal B} \ , $$ образует линейное многообразие. При $ {\mathcal B}\ne \mathbb O_{m\times 1} $ это многообразие не будет являться линейным пространством. Структуру этого множества описывала теорема из пункта ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: если система совместна, то ее общее решение можно представить как сумму какого-то одного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы $ AX= \mathbb O $. Таким образом, многообразие решений неоднородной системы $ AX={\mathcal B} $ допускает «параметрическое представление»: $$\mathbb M=X_0+ {\mathcal L}(X_1,\dots,X_{n-{\mathfrak r}})= $$ $$=\left\{X_0+t_1 X_1+\dots+ t_{n-{\mathfrak r}} X_{n-{\mathfrak r}} \mid (t_1,\dots, t_{n-{\mathfrak r}}) \in \mathbb R^{n-{\mathfrak r}} \right\} \ ; $$ здесь $ X_{0} $ означает частное решение системы (т.е. $ AX_0={\mathcal B} $),

$ \{X_1,\dots,X_{n-{\mathfrak r}}\} $ — ФСР для системы $ AX= \mathbb O $,

а $ \mathfrak r= \operatorname{rank} A= \operatorname{rank} [A\mid \mathcal B] $.

Получаем, следовательно, $ (n-{\mathfrak r}) $-мерную плоскость в $ \mathbb R^n $, a в случае $ (n-{\mathfrak r})=1 $ — прямую $$\mathbb M=X_0+tX_1 \quad npu \ t \in \mathbb R \ ; $$ в последнем случае вектор $ X_{1} $ называют направляющим вектором этой прямой.

§

Некоторые задачи на линейные многообразия ЗДЕСЬ.

Факторпространство

определяется ЗДЕСЬ.

Преобразование координат при замене базиса

Пусть $ \mathbb V_{} $ — линейное пространство размерности $ n_{} $, пусть $$ \{X_1,\dots,X_n\} \quad u \quad \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\}$$ — два произвольных его базиса («старый» и «новый»).

Задача. Вывести соотношения, связывающие координаты произвольного вектора $ X\in \mathbb V_{} $ в старом и новом базисах: $$X=x_1X_1+\dots+x_nX_n={\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n \ .$$

Предположим, что нам известны координаты векторов нового базиса в старом: $$ \left\{ \begin{array}{ccc} {\mathfrak X}_1&=&c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n, \\ {\mathfrak X}_2&=&c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n, \\ \dots& & \dots \\ {\mathfrak X}_n&=&c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n. \end{array} \right. $$ Матрица $$ C=\left( \begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nn} \\ \end{array} \right), $$ по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе называется матрицей перехода от старого базиса к новому, а также — ввиду одного из приведенных ниже результатов — матрицей преобразования координат.

Т

Теорема. Матрица $ C_{} $ неособенная.

Доказательство. Cначала покажем справедливость утверждения в частном случае $ \mathbb V=\mathbb R^n $. Вектора нового и старого базисов являются столбцами из $ n $ вещественных чисел, и равенства, задающие элементы матрицы $ C_{} $, можно переписать в матричном виде: $$ \left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \ . $$ Здесь $ | $ означает конкатенацию. Поскольку системы $ \{X_1,\dots,X_n\} $ и $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\} $ — базисные, то $$\det \left[X_1|\dots |X_n\right] \ne 0, \quad \det \left[{\mathfrak X}_1|\dots |{\mathfrak X}_n\right] \ne 0 \ .$$ Из последнего матричного равенства (и теоремы Бине-Коши ) тогда следует, что $ \det C\ne 0 $.

Теперь докажем теорему для случая произвольного пространства. Если $ \det C= 0 $, то столбцы матрицы $ C_{} $ линейно зависимы (см. ЗДЕСЬ ), т.е. существует линейная комбинация $$\alpha_1 c_{j1}+ \dots+\alpha_n c_{jn}=0 \quad npu \quad \forall j\in \{1,\dots,n \} $$ и при некотором $ \alpha_k\ne 0 $. Но тогда из формул $$ \left\{ \begin{array}{ccc} {\mathfrak X}_1&=&c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n, \\ {\mathfrak X}_2&=&c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n, \\ \dots& & \dots \\ {\mathfrak X}_n&=&c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n. \end{array} \right. $$ следует, что $$\alpha_1 {\mathfrak X}_1+ \dots+\alpha_n {\mathfrak X}_n=\mathbb O \ ,$$ что противоречит линейной независимости системы $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n\} $.

П

Пример. Найти матрицу перехода

от базиса к базису
$ \left[1,1,0,0,0\right] $ $ \left[1,1,1,1,1\right] $
$ \left[1,0,1,0,0\right] $ $ \left[1,1,1,1,0\right] $
$ \left[1,0,0,1,0\right] $ $ \left[1,1,1,0,0\right] $
$ \left[1,0,0,0,1\right] $ $ \left[1,1,0,0,0\right] $
$ \left[1,1,1,1,1\right] $ $ \left[1,0,0,0,0\right] $

Решение. Можно попытаться найти элементы матрицы $ C_{} $ напрямую — устанавливая формулы связи между строками. В нашем конкретном примере это не очень трудно сделать — первый и четвертый столбцы матрицы $ C_{} $ вообще очевидны поскольку $ {\mathfrak X}_1 = X_5,\, {\mathfrak X}_4 = X_1 $. Но мы пойдем по формальному пути и воспользуемся определяющим матричным соотношением, которое мы получили при доказательстве предыдущей теоремы. Поставим координаты базисных векторов по столбцам соответствующих матриц: $$ \left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right]=\left[X_1|\dots|X_n\right]\cdot C \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ C= \left[X_1|\dots|X_n\right]^{-1} \cdot \left[{\mathfrak X}_1|\dots|{\mathfrak X}_n\right] \ . $$ В нашем примере имеем: $$ C= \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)= $$ $$ =\frac{1}{3} \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = $$ $$ =\left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1/3 & 2/3 & 1 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & 1/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 0 & -2/3 & -1/3 & 0 & 1/3 \\ 1 & 2/3 & 1/3 & 0 & -1/3 \end{array} \right) . $$

Т

Теорема. Координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода $ C_{} $ соотношением $$ \left\{ \begin{array}{ccc} x_1&=&c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n, \\ x_2&=&c_{21}{\mathfrak x}_1+c_{22}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{2n}{\mathfrak x}_n, \\ \dots& & \dots \\ x_n&=&c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n \end{array} \right. \quad \iff \quad \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =C \left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) \ . $$

Доказательство. $$ \begin{array}{lll} X=x_1X_1+\dots+x_nX_n&=&{\mathfrak x}_1{\mathfrak X}_1+\dots+{\mathfrak x}_n{\mathfrak X}_n = \\ &=&{\mathfrak x}_1(c_{11}X_1+c_{21}X_2+\dots+c_{n1}X_n)+\\ &+&{\mathfrak x}_2(c_{12}X_1+c_{22}X_2+\dots+c_{n2}X_n)+\\ &+& \dots +\\ &+&{\mathfrak x}_n(c_{1n}X_1+c_{2n}X_2+\dots+c_{nn}X_n)=\\ =(c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n)X_1&+&\dots+ (c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n)X_n \end{array} $$ Поскольку при фиксированном базисе координаты вектора определяются однозначно (теорема $ 6 $ ЗДЕСЬ ), получаем равенства $$ \left\{ \begin{array}{ccc} x_1&=&c_{11}{\mathfrak x}_1+c_{12}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{1n}{\mathfrak x}_n, \\ x_2&=&c_{21}{\mathfrak x}_1+c_{22}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{2n}{\mathfrak x}_n, \\ \dots& & \dots \\ x_n&=&c_{n1}{\mathfrak x}_1+c_{n2}{\mathfrak x}_2+\dots+c_{nn}{\mathfrak x}_n \end{array} \right. \quad \iff \quad \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =C \left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) $$

Практическое значение последнего результата невелико, т.к. нас интересуют именно новые координаты.

=>

Новые координаты выражаются через старые по формуле $$ \left( \begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) =C^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), $$ при этом матрицу $ C^{-1} $ можно интерпретировать как матрицу перехода от нового базиса к старому.

?

Пусть в некотором «новейшем» базисе $ \{ {\mathcal X}_1,\dots,{\mathcal X}_n \} $ пространства $ \mathbb V_{} $ вектор $ X_{} $ имеет координаты $ (\varkappa_1,\dots,\varkappa_n) $. Как они связаны с координатами $ (x_{1},\dots,x_n) $ в старом базисе $ \{X_1,\dots,X_n\} $, если известны матрица $ C_{} $ перехода от этого базиса к базису $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} $ и матрица $ D_{} $ перехода от базиса $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} $ к базису $ \{{\mathcal X}_1,\dots,{\mathcal X}_n \} $ ?

Евклидовы пространства

— как линейные пространства, в которых вводится понятия угла и расстояния между векторами — рассматриваются ЗДЕСЬ.

Нормированные пространства

— как линейные пространства, в которых вводится понятие расстояния между векторами — рассматриваются ЗДЕСЬ.

Линейные отображения

пространств рассматриваются ЗДЕСЬ

Задачи

ЗДЕСЬ.

Источники

[1]. Лаврентьев М., Люстерник Л. Основы вариационного исчисления. Том 1. Часть I. М.-Л.ОНТИ. 1935, с. 22

[2]. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.1975

[3]. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.Наука.1969

1)
scalar — слово, придуманное английским математиком Уильямом Гамильтоном, производное от scale (англ.) — шкала; вследствие того, что этих чисел достаточно для построения шкалы какого-нибудь измерительного инструмента.
2)
Растяжение понимается в обобщенном смысле: при $ |\alpha|<1 $ вектор $ \alpha X_1 $ сокращается по длине по сравнению с $ X_{1} $.
3)
veho (лат.) — тащить, влечь; термин придуман все тем же Гамильтоном.
4)
Приходится заботиться о его включении специально, поскольку формально его степень не определяется; без его же включения не будет выполнена аксиома 3 .
5)
dimensio (лат.) — обмер, измерение, протяжение; хлебная мера, солдатский паек.
6)
codimension (англ.)
7)
Один из возможных.
8)
Для математической строгости здесь требуется введение отдельного определения — аналога понятия конкатенации, но из соображений экономии лучше слегка ослабим однозначность терминологии.
linear_space.txt · Последние изменения: 2020/07/15 12:34 — au