Теорема. Разложение полинома $ f_{}(x) $ по степеням $ x-c_{} $ имеет вид

$$ f(x) \equiv f(c)+ \frac{f^{\prime}(c)}{1!} (x-c) + \frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!} (x-c)^2+ \dots + \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x-c)^{n}= $$ $$ =\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(c)}{j!} (x-c)^{j} ; $$ это тождество называется формулой Тейлора для полинома $ f_{}(x) $ в точке $ x=c_{} $.

Доказательство. Разобьем правую часть тождества $$ f(x)\equiv A_0+A_1(x-c)+A_2(x-c)^2+\dots+A_n(x-c)^n $$ на сумму трех полиномов $$ f(x)=\big(\overbrace{A_0+A_1(x-c)+\dots+A_{k-1}(x-c)^{k-1}}^{:= P(x)}\big)+A_k(x-c)^k+ $$ $$ +(x-c)^{k+1} \big(\underbrace{A_{k+1}+A_{k+1}(x-c)+\dots +A_n (x-c)^{n-k-1}}_{:= Q(x)} \big) \, . $$ Теперь вычислим $ k $-ю производную в точке $ c $. Очевидно, что $\deg P \le k-1$ и $ P^{(k)}(x) \equiv 0 $. Далее, дифференцирование произведения $(x-c)^{k+1}Q(x)$ произведем с использованием формулы Лейбница: $$\left[(x-c)^{k+1}Q(x) \right]^{(k)}=$$ $$=(k+1)\times \dots \times 2 (x-c)Q(x)+ (k+1)\times \dots \times 3 (x-c)^2Q^{\prime}(x)+\dots+(x-c)^{k+1}Q^{(k)}(x) \, . $$ При подстановке $x=c$ это выражение обратится в нуль. Следовательно, $$f^{(k)}(c)=\left[A_k(x-c)^k \right]^{(k)} \Bigg|_{x=c}=k!A_k \ , $$ откуда и следует утверждение теоремы. ♦

Для полинома $ f(x)_{} $ коэффициенты формулы Тейлора (а следовательно и величины производных полинома в точке $ c_{} $) могут быть найдены с помощью обобщения схемы Хорнера. Прежде всего заметим, что формулу $$ f(x)\equiv A_0+A_1(x-c)+A_2(x-c)^2+\dots+A_n(x-c)^n $$ можно переписать в виде $$f(x)\equiv A_0+(x-c)f_1(x), \quad npu\ f_1(x)\equiv A_1+A_2(x-c)+\dots+A_n(x-c)^{n-1} \ . $$ Теперь очевидно, что число $ A_{0} $ можно интерпретировать как остаток от деления $ f_{}(x) $ на $ x-c_{} $, а полином $ f_{1}(x) $ — как частное при этом делении. Коэффициенты полинома $ f_{1}(x) $ и значение $ A_{0}=f(c) $ могут быть найдены по схеме Хорнера. Далее, заметим, что, в свою очередь, полином $ f_{1}(x) $ можно переписать в виде $$f_1(x)\equiv A_1+(x-c)f_2(x), \quad npu\ f_2(x)\equiv A_2+\dots+A_n(x-c)^{n-2} \ . $$ На основании тех же рассуждений заключаем, что число $ A_{1} $ является остатком от деления $ f_{1}(x) $ на $ x-c_{} $, а полином $ f_{2}(x) $ — частным при этом делении. И снова, для нахождения коэффициентов полинома $ f_{2}(x) $ и числа $ A_{1} $ можем использовать схему Хорнера. Так, если результатом первого «прогона» схемы стала таблица $$ \begin{array}{c|ccccccc} & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\ \hline c & {\mathfrak b}_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}& {\mathfrak b}_n \end{array} \ \ \begin{array}{l} npu \ {\mathfrak b}_0=a_0, \\ {\mathfrak b}_k = a_k + {\mathfrak b}_{k-1}c, (1\le k \le n) \end{array} $$ то $ A_{0}={\mathfrak b}_n $ и $ f_{1}(x)\equiv {\mathfrak b}_0x^{n-1}+{\mathfrak b}_1x^{n-2}+\dots+{\mathfrak b}_{n-1} $. Для нахождения остатка и коэффициентов частного от деления $ f_{1}(x) $ на $ x-c_{} $ достаточно эту таблицу продолжить новой — второй — строкой¹⁾. $$ \begin{array}{c|ccccccc} & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\ \hline c & {\mathfrak b}_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}& {\mathfrak b}_n \\ c & {\mathfrak b}_0 & \underbrace{{\mathfrak b}_1+c {\mathfrak b}_0}_{{\mathfrak d}_1}& \underbrace{{\mathfrak b}_2+c {\mathfrak d}_1}_{{\mathfrak d}_2} &\dots &\underbrace{{\mathfrak b}_{n-2}+c {\mathfrak d}_{n-3}}_{{\mathfrak d}_{n-2}} & \underbrace{{\mathfrak b}_{n-1}+c {\mathfrak d}_{n-2}}_{{\mathfrak d}_{n-1}} \end{array} $$ Закон формирования остается прежним, с теми только отличиями, что на этот раз за верхнюю строку принимается строка $ {\mathfrak b}_{0},\dots, {\mathfrak b}_{n-1} $ и количество вычислений уменьшается. Имеем: $ A_{1}={\mathfrak d}_{n-1} $ и $ f_{2}(x)\equiv {\mathfrak d}_0x^{n-2}+\dots+{\mathfrak d}_{n-2} $ при $ {\mathfrak d}_0={\mathfrak b}_0=a_0 $. Продолжаем далее по аналогии. Результатом будет схема $$ \begin{array}{c|ccccccc} & a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n \\ \hline c & {\mathfrak b}_0 &{\mathfrak b}_1&{\mathfrak b}_2&\dots &{\mathfrak b}_{n-2} & {\mathfrak b}_{n-1}& {\mathfrak b}_n \\ c & {\mathfrak d}_0 &{\mathfrak d}_1&{\mathfrak d}_2&\dots &{\mathfrak d}_{n-2} & {\mathfrak d}_{n-1} \\ c & {\mathfrak e}_0 &{\mathfrak e}_1&{\mathfrak e}_2&\dots &{\mathfrak e}_{n-2} \\ \vdots& & & &\dots \\ c & {\mathfrak u}_0 &{\mathfrak u}_1&{\mathfrak u}_2 \\ c & {\mathfrak v}_0 &{\mathfrak v}_1 \\ c & {\mathfrak w}_0, \end{array} $$ в которой получившиеся на диагонали коэффициенты и являются искомыми: $$ A_0={\mathfrak b}_n,\ A_1={\mathfrak d}_{n-1},\ A_2={\mathfrak e}_{n-2},\dots, A_{n-1}={\mathfrak v}_1, A_n={\mathfrak w}_0=a_0 \ . $$

Пример. Разложить полином $ -x^{5}+3\,x^4-x+1 $ по степеням $ x_{}-5 $.

Решение. $$ \begin{array}{c|rrrrrrr} & -1 & 3 & 0 & 0 & -1 & 1\\ \hline 5 & -1 &-2&-10&-50 &-251 & \underline{-1254} \\ 5 & -1 &-7&-45&-275& \underline{-1626} \\ 5 & -1 & -12&-105& \underline{-800} \\ 5 & -1 &-17& \underline{-190} \\ 5 & -1 &\underline{-22} \\ 5 & \underline{-1} \end{array} $$

Ответ. $ -1254-1626\,(x-5)-800\,(x-5)^{2}-190\,(x-5)^3-22\,(x-5)^4-(x-5)^5 $.

Пример. Найти кратность корня $ \lambda_{} = \sqrt{2} $ полинома

$$f(x)= x^5+ 3\left(1-\sqrt{2} \right)\, x^4+\left(7 -9\,\sqrt{2}\right) \, x^3 +\left( 18-5\,\sqrt{2}\right) \, x^2+6\left( 1 - \sqrt{2} \right) \, x -2\,\sqrt{2} \ . $$

Решение. Для проверки условий следствия к теореме из ☞ пункта последовательно вычисляем значения полинома и его производных в точке $ x_{}=\lambda $ с помощью схемы Хорнера до тех пор, пока не дойдем до ненулевого: $$ \begin{array}{r|rrrrrr} &1 & 3\left(1-\sqrt{2} \right) & 7 -9\,\sqrt{2} & 18-5\,\sqrt{2} & 6\left( 1 - \sqrt{2} \right) & -2\,\sqrt{2} \\ \hline \sqrt{2} & 1 & 3-2\, \sqrt{2} & 3-6\, \sqrt{2}& 6-2\, \sqrt{2} & 2 & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & 3- \sqrt{2} & 1-3\, \sqrt{2} & - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & 3 & 1 & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & 3+ \sqrt{2} & 3 \left(1+ \sqrt{2}\right) \end{array} $$ Итак, $ f(\sqrt{2})=0, f^{\prime}(\sqrt{2})=0,f^{\prime \prime}(\sqrt{2})=0, f^{\prime \prime \prime}(\sqrt{2}) \ne 0_{} $.

Ответ. $ 3_{} $.