В настоящем разделе $ n_{} $ означает порядок квадратной матрицы $ A_{} $.

определяется для произвольной квадратной матрицы $ A_{} $ как¹⁾ $ \det (A_{}-\lambda E) $, где $ E_{} $ – единичная матрица одинакового с $ A_{} $ порядка.

Пример. Для $ n=2_{} $:

$$ \det (A-\lambda E)= \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda \end{vmatrix}= $$ $$ =\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda + (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}) ; $$ для $ n=3_{} $: $$ \det (A-\lambda E)= \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33}-\lambda \end{vmatrix}= $$ $$ =-\lambda^3+(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2 - $$ $$ -\left \{ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33} \end{vmatrix} \right \}\lambda+ \det A . $$

Теорема 1.

$$ \det (A-\lambda E)= (-1)^n\Bigg( \lambda^n - \lambda^{n-1}\sum_{1\le j\le n} a_{jj} + \lambda^{n-2}\sum_{1\le j_1< j_2 \le n} \left|\begin{array}{ll} a_{j_1j_1}& a_{j_1j_2}\\ a_{j_2j_1}& a_{j_2j_2} \end{array}\right| - \dots + $$ $$ +(-1)^k \lambda^{n-k} \sum_{1\le j_1< j_2 < \dots < j_k\le n} \left|\begin{array}{llll} a_{j_1j_1}& a_{j_1j_2} & \dots & a_{j_1j_k}\\ a_{j_2j_1}& a_{j_2j_2} & \dots & a_{j_2j_k}\\ \vdots & & & \vdots \\ a_{j_kj_1}& a_{j_kj_2} & \dots & a_{j_kj_k} \end{array}\right|+ \dots + (-1)^n \det A \Bigg) \ . $$ Образно говоря, коэффициент при $ (-1)^{k}\lambda^{n-k} $ получается суммированием всех миноров $ k_{} $-го порядка матрицы $ A_{} $, построенных на элементах, стоящих в строках и столбцах с одинаковыми номерами..

Пример. Характеристический полином матрицы Фробениуса

$$ \mathfrak F= \left( \begin{array}{lllllll} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots& &&&\ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & & \dots & a_2 & a_1 \end{array} \right)_{n \times n} $$ равен $ (-1)^n(\lambda^n-a_1\lambda^{n-1}-\dots-a_{n}) $.

определяется как характеристический полином матрицы этого оператора в произвольном базисе линейного пространства, в котором этот оператор задан. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

$ n_{} $-го порядка $$ x_{n+K}=a_1 x_{n+K-1}+ \dots+ a_n x_K, \quad a_n \ne 0, $$ определяется как $$ \lambda^n - a_1 \lambda^{n-1} - \dots - a_n . $$ Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 2. Характеристический полином матрицы не меняется

1. при ее транспонировании: $$ \det (A-\lambda E) = \det (A^{\top}-\lambda E_{}) \, ;$$ 2. при переходе к подобной матрице: если $ B=C^{-1}AC^{} $ при произвольной неособенной матрице $ C_{} $, то $$ \det (A-\lambda E) \equiv \det (B-\lambda E_{}) \, . $$

Теорема 3. Пусть матрица $ A_{} $ имеет порядок $ m\times n_{} $, а $ B_{} $ — порядок $ n\times m_{} $. Тогда эти матрицы допускают умножение в любом порядке, т.е. определены $ AB_{} $ и $ BA_{} $ и оба произведения будут квадратными матрицами — порядков $ m_{} $ и $ n_{} $ соответственно. Тогда характеристические полиномы этих произведений различаются лишь на степень $ \lambda_{} $:

$$ \lambda^n \det (AB - \lambda E_{m \times m})\equiv \lambda^m \det (BA - \lambda E_{n \times n}) \ . $$

Если матрицы $ A_{} $ и $ B_{} $ — квадратные одинакового порядка, то характеристические полиномы матриц $ AB_{} $ и $ BA_{} $ тождественны.

Теорема 4. Если характеристический полином матрицы $ A_{} $ равен

$$ f(\lambda)=(-1)^n \lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+a_n $$ и $ a_{n} \ne 0 $, то характеристический полином матрицы $ A^{-1}_{} $ равен $$ f^{\ast}(\lambda)=\frac{(-\lambda)^n}{a_n} f(1/\lambda) = \frac{(-1)^n}{a_n} \left[ (-1)^n+a_1 \lambda + \dots+ a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_n\lambda^{n} \right] \ . $$

Теорема 5. Результатом подстановки в характеристический полином $ \det (A_{}-\lambda E) $ самой матрицы $ A_{} $ будет нулевая матрица:

$$ \det (A-\lambda E)= (-1)^n \lambda^n +a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda+ a_n \ \Rightarrow \ $$ $$ \ \Rightarrow \ (-1)^n A^n +a_1 A^{n-1}+\dots+a_{n-1}A+ a_n E = {\mathbb O}_{n\times n} \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Для $ n_{}=2 $:

$$ \left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)^2 - (a_{11}+a_{22})\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) + (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}) \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \ . $$

Собственное (или характеристическое) число²⁾ определяется для квадратной матрицы $ A_{} $ как произвольный корень ее характеристического полинома $ \det (A_{}-\lambda E) $. Уравнение $$ \det(A-\lambda E)=0 $$ называется характеристическим уравнением матрицы $ A $.

Понятие характеристического уравнения было введено Коши в 1840 г. В литературе XIX века известно также как вековое уравнение.

Набор всех собственных чисел матрицы $ A_{} $ (с учетом их кратностей) называется спектром матрицы³⁾ (таким образом спектр матрицы $ A_{} $ порядка $ n_{} $ всегда состоит из $ n_{} $ чисел, часть из которых могут быть одинаковыми). Максимальный из модулей собственных чисел матрицы $ A_{} $ называется ее спектральным радиусом⁴⁾, он иногда обозначается $ \rho(A) $.

Пример. Найти спектр матрицы

$$ A= \left(\begin{array}{rrrr} 0&1&2&3\\ -1&0&4&7\\ -2&-4&0&2\\ -3&-7&-2&0 \end{array}\right). $$ Решение. Характеристический полином $$ \det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{rrrr} -\lambda&1&2&3\\ -1&-\lambda&4&7\\ -2&-4&-\lambda&2\\ -3&-7&-2&-\lambda \end{array}\right|=\lambda^4+ 83\lambda^2 $$ имеет корни $ \lambda_1=0, \lambda_2 = {\mathbf i}\sqrt{83}, \lambda_3 = - {\mathbf i} \sqrt{83} $, причем $ \lambda_{1} $ — второй кратности.

Ответ. Спектр матрицы $ A_{} $: $ \{0,0, {\mathbf i} \sqrt{83},- {\mathbf i} \sqrt {83} \} $. Спектральный радиус матрицы $ A_{} $: $ \rho(A)= \sqrt {83} $.

Теорема 6. Если $ \{\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n} \} $ — спектр матрицы $ A_{} $, то

$$ \lambda_1+\lambda_{2}+\dots+\lambda_n = \operatorname{Sp}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}, $$ $$ \lambda_1\cdot\lambda_{2}\times \dots \times \lambda_n = (-1)^n\det (A) \ . $$

Доказательство следует из представления характеристического полинома через миноры матрицы и формул Виета. ♦

Для того, чтобы матрица $ A_{} $ была неособенной необходимо и достаточно, чтобы среди ее собственных чисел не было нулевого.

Теорема 7. Пусть $ g(x)=b_{0}x^m+\dots+b_m \in {\mathbb C}[x] $ — произвольный полином. Вычислим полином от матрицы $ A_{} $:

$$ g(A)=b_{0}A^m+\dots+b_m E \, . $$ Тогда если $ \{\lambda_{1},\dots,\lambda_{n} \} $ — спектр матрицы $ A_{} $, то $ \{g(\lambda_{1}),\dots,g(\lambda_n) \} $ — спектр матрицы $ g(A_{}) $.

Результат теоремы обобщается и на более широкий класс функций $ g_{}(x) $ — фактически на любую функцию, которая, вместе со своими производными, может быть определена на спектре матрицы $ A_{} $. В частности, если $ \det A_{} \ne 0 $, то спектр матрицы $ A^{-1}_{} $ совпадает с $ \{1/\lambda_j\}_{j=1}^n $.

Имеет место следующее равенство, связывающее степени матрицы $ A_{} $ с суммами Ньютона ее характеристического полинома:

$$ \operatorname{Sp}(A^k)=\lambda_1^k+\dots+\lambda_n^k \ . $$ Здесь $ \operatorname{Sp}_{} $ обозначает след матрицы (т.е. сумму ее диагональных элементов). Утверждение остается справедливым и для отрицательных показателей $ k_{} $ при условии, что $ \det A_{} \ne 0 $.

Имеет место следующее равенство:

$$ \det g(A) = (-1)^{mn} {\mathcal R}(f,g_{}) , $$ где $ {\mathcal R}(f,g_{}) $ означает результант полиномов $ f(x) =\det (A-x_{} E) $ и $ g_{}(x) $.

Теорема 8. Собственные числа вещественной симметричной матрицы $ A_{} $ все вещественны.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 9. Собственные числа вещественной кососимметричной матрицы $ A_{} $ все мнимы, за исключением, возможно, $ \lambda_{} = 0 $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 10. Собственные числа вещественной ортогональной матрицы все равны $ 1_{} $ по абсолютной величине (модулю). Характеристический полином ортогональной матрицы является возвратным если $ +1 $ не является его корнем или является корнем четной кратности. Хотя бы одно собственное число ортогональной матрицы нечетного порядка равно $ +1 $ или $ (-1) $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 11. Спектр циклической матрицы

$$ \left(\begin{array}{lllll} a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \dots & a_{n-2} \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \dots & a_1 \end{array} \right) \ . $$ совпадает с набором чисел $$ \{f(1),f(\varepsilon_1), \dots, f(\varepsilon_{n-1}) \} ,$$ при $$ f(x)=a_{1}+a_2x+a_3x^2+\dots+a_nx^{n-1} $$ и $$ \varepsilon_k=\cos \frac{2\,\pi k}{n} + {\mathbf i} \sin \frac{2\,\pi k}{n} $$ — корне n-й степени из единицы.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 12. [1]. Собственные числа матрицы являются непрерывными функциями ее элементов. Иначе: пусть

$$A=\left[a_{jk} \right]_{j,k=1}^n \quad , \quad B=\left[b_{jk} \right]_{j,k=1}^n \ . $$ Обозначим $$M= \max_{j,k\in\{1,\dots,n\}} \left\{|a_{jk} |, |b_{jk} | \right\} \quad , \quad \delta = \frac{1}{nM}\sum_{j,k=1}^n |a_{jk} - b_{jk} | \ . $$ Тогда любому собственному числу $ \lambda_{\ast}^{} $ матрицы $ A_{} $ можно поставить в соответствие такое собственное число $ \mu_{\ast}^{} $ матрицы $ B_{} $, что $$ |\lambda_{\ast}-\mu_{\ast} | \le (n+2) M \sqrt[n]{\delta} \ . $$

Собственно факт непрерывной зависимости собственных чисел от элементов матрицы следует из представления характеристического полинома из теоремы ☞ ПУНКТА — коэффициенты этого полинома полиномиально (и, следовательно, непрерывно) зависят от элементов матрицы. Далее используем теорему о непрерывной зависимости корней полинома от его коэффициентов.

Выясним теперь на примере, насколько малым может быть возмущение элементов матрицы чтобы сохранились хотя бы количество вещественных корней ее характеристического полинома.

Пример [Уилкинсон] [2]. Найти собственные числа матрицы

$$ A= \left( \begin{array}{cccccc} 20 & 20 & & & & \\ & 19 & 20 & & & \\ & & 18 & 20 & & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 2 & 20 \\ {\color{Red} \varepsilon } & & & & & 1 \\ \end{array} \right)_{20\times 20} $$ при $ {\color{Red} \varepsilon }=10^{-10} $ (все неуказанные элементы матрицы считаются равными нулю).

Решение. Характеристический полином $$ \det(A-\lambda E) = \prod_{j=1}^{20} (j-\lambda) - 20^{19} {\color{Red} \varepsilon } = $$ $$ =\lambda^{20}-{\scriptstyle 210}\,\lambda^{19}+{\scriptstyle 20615}\,\lambda^{18}-{\scriptstyle 1256850}\, \lambda^{17} +{\scriptstyle 53327946}\, \lambda^{16}-{\scriptstyle 1672280820}\, \lambda^{15}+ {\scriptstyle 40171771630}\, \lambda^{14}-{\scriptstyle 756111184500}\, \lambda^{13}+ $$ $$ +{\scriptstyle 11310276995381}\, \lambda^{12} - {\scriptstyle 135585182899530}\, \lambda^{11} +{\scriptstyle 1307535010540395}\, \lambda^{10}-{\scriptstyle 10142299865511450}\, \lambda^9 + $$ $$ +{\scriptstyle 63030812099294896}\, \lambda^8 - {\scriptstyle 311333643161390640}\, \lambda^7+{\scriptstyle 1206647803780373360}\, \lambda^6 -{\scriptstyle 3599979517947607200}\, \lambda^5 +{\scriptstyle 8037811822645051776}\, \lambda^4- $$ $$ -{\scriptstyle 12870931245150988800}\, \lambda^3 +{\scriptstyle 13803759753640704000}\, \lambda^2 -{\scriptstyle 8752948036761600000}\,\lambda +{\scriptstyle 2432377720176640000} $$ очень похож на полином из другого ☞ ПРИМЕРА Уилкинсона. Он имеет корни $$ \lambda_1=0.995754, \ \lambda_2=2.109241,\ \lambda_3=2.574881,\ $$ $$ \lambda_{4,5}=3.965331\pm 1.087735\, \mathbf i,\ \lambda_{6,7}=5.893977\pm 1.948530 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_{8,9}=8.118073 \pm 2.529182 \, \mathbf i,\ \lambda_{10,11}=10.5\pm 2.733397 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_{12,13}=12.881926\pm 2.529182 \, \mathbf i,\ \lambda_{14,15}=15.106022 \pm 1.948530 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_{16,17}=17.034669\pm 1.087735 \, \mathbf i,\ $$ $$ \lambda_{18}=18.425118,\ \lambda_{19}=18.890758,\ \lambda_{20}=20.004245 \ . $$ Итак, нановозмущение⁵⁾ в одном-единственном элементе матрицы приводит к существенному изменению спектра: из $ 20 $ вещественных собственных чисел «остаются в живых» только $ 6_{} $; кроме того, у образовавшихся мнимых корней оказываются достаточно большими мнимые части. В данном примере допустимые возмущения для $ {\color{Red} \varepsilon } $, т.е. такие, при которых сохранится свойство вещественности всех корней характеристического полинома, находятся в пределах⁶⁾ $$ -8.636174\times 10^{-14}\ < \ {\color{Red} \varepsilon } \ \le \frac{685872258640569}{8796093022208000000000000000} \approx +7.797464 \times 10^{-14} \ .$$ ♦

Теорема 13 [Гершгорин].⁷⁾ Обозначим $ \mathbb D_{j} $ круг на комплексной плоскости $ \mathbb C_{} $ с центром в точке $ a_{jj}^{} $ и радиуса

$$ r_j=\sum_{\ell=1 \atop \ell\ne j}^n \left|a_{j \ell}\right| \ .$$ Тогда спектр матрицы $ A_{} $ лежит внутри объединения этих кругов: $$ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n \} \subset \bigcup_{j=1}^n \mathbb D_j \ . $$ Иными словами: любое собственное число матрицы должно удовлетворять хотя бы одному из неравенств $$ |z- a_{jj} | < r_j \ . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Пример. Построить круги Гершгорина для матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{crr} -1+3\,{\mathbf i} & 2- {\mathbf i} & 3+2\, {\mathbf i} \\ -1+{\mathbf i} & 4+ {\mathbf i} & 3\, {\mathbf i} \\ -1& 2-2\,{\mathbf i}& -2-3\, {\mathbf i} \end{array} \right) . $$

Решение. $$|\lambda + 1 - 3\,{\mathbf i} |\le | 2-{\mathbf i} |+| 3+2\,{\mathbf i} |=\sqrt{5}+\sqrt{13},\ $$ $$|\lambda - 4 - {\mathbf i} |\le 3+\sqrt{2},\ $$ $$ |\lambda + 2+ 3\, {\mathbf i} |\le 1 + 2\sqrt{2} \ . $$

Проверка. Собственные числа матрицы $ A_{} $ (на рисунке обозначены красными крестиками): $$ \{ -2.509081750-3.442241533\,{\mathbf i} ,\ -1.041999986+2.655757676\,{\mathbf i} ,\ 4.551081736+1.786483857\, {\mathbf i} \} .$$

Теорема 14 [Коши]. Для вещественной симметричной матрицы $ A_{} $ число ее собственных чисел, лежащих на интервале $ ]a,b_{}[ $, определяется по формуле:

$$\operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ a< \lambda<b \}= $$ $$= {\mathcal P}(1, H_1(a), H_2(a),\dots, H_n(a))- {\mathcal P}(1, H_1(b), H_2(b),\dots, H_n(b)) \ . $$ Здесь $ H_1(\lambda), H_2(\lambda),\dots, H_n(\lambda) $ — главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $, а $ {\mathcal P}_{} $ — число знакопостоянств.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_{} $.

Если все главные миноры $ A_1,A_2,\dots,A_{n} $ симметричной матрицы $ A_{} $ отличны от нуля, то число положительных собственных чисел матрицы $ A_{} $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,\dots,A_n $:

$$ \operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda>0 \} = {\mathcal P}(1,A_1,\dots,A_n), $$ $$ \operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda<0 \}={\mathcal V}(1,A_1,\dots,A_n) \ . $$

Пример. Локализовать собственные числа матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrr} 11 & 2 & -8 \\ 2 & 2 & 10 \\ -8 & 10 & 5 \end{array} \right) $$

Решение. $$ H_1(\lambda)=11- \lambda, \ H_2(\lambda)=\lambda^2-13\, \lambda+18, $$ $$ f(\lambda)= H_3(\lambda)=-\lambda^3+18\, \lambda^2 +81\, \lambda -1458 \ . $$

Проверка. Спектр матрицы: $ \{-9,9,18 \} $.

Пример. Локализовать собственные числа матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array} \right) \ . $$

Решение. $$H_1(\lambda)=1- \lambda, \ H_2(\lambda)=\lambda^2+\, \lambda-6, \ f(\lambda)=H_3(\lambda)=-\lambda^3-3\, \lambda^2 +24\, \lambda -28 \ . $$

Никаким дроблением интервала $ ]1.5\, , \, 3[ $ не удается отделить два вещественных собственных числа. Вывод: имеется кратное собственное число.

Проверка. Спектр матрицы: $ \{-7,2,2 \} $.

Собственный вектор матрицы⁸⁾ $ A_{} $, принадлежащий (или соответствующий) ее собственному собственному числу $ \lambda_{\ast}^{} $, определяется как ненулевой столбец $$ X_{\ast}= \left( \begin{array}{c} x_{1}^{\ast} \\ \vdots \\ x_{n}^{\ast} \end{array} \right) \in \mathbb{C}^n $$ такой, что $$ AX_{\ast}=\lambda_{\ast} X_{\ast} \quad \iff \quad (A -\lambda_{\ast}E) X_{\ast} = \mathbb O_{n\times 1} \ . $$ По определению собственного числа, $ \det (A^{} -\lambda_{\ast}E) = 0 $ и, следовательно, система однородных уравнений $ (A -\lambda_{\ast}E) X^{} = \mathbb O $ всегда имеет нетривиальное решение; более того, этих решений бесконечно много. Таким образом, одному и тому же собственному числу матрицы принадлежит бесконечное множество собственных векторов. Эту бесконечность можно описать с помощью фундаментальной системы решений (ФСР).

Пример. Найти собственные векторы матрицы

$$ A= \left(\begin{array}{rrrr} 0&1&2&3\\ -1&0&4&7\\ -2&-4&0&2\\ -3&-7&-2&0 \end{array}\right). $$

Решение. Спектр матрицы найден выше. $$(A-0 \cdot E)X=\mathbb O \quad \Longrightarrow \ \mbox{ ФСР}= \ \left\{ {\mathfrak X}_1=\left(\begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \ {\mathfrak X}_2=\left(\begin{array}{r} 7 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\}.$$ Любой вектор вида $ \alpha_{1} {\mathfrak X}_1 + \alpha_2 {\mathfrak X}_2 $ будет собственным, принадлежащим $ \lambda_{}=0 $. $$ \begin{array}{c} (A- \mathbf i\, \sqrt {83} E)X=\mathbb O \\ \\ \Downarrow \\ \\ {\mathfrak X}_3= \left(\begin{array}{c} 1- \mathbf i \, \sqrt {83} \\ 8-2\, \mathbf i \, \sqrt {83} \\ 12 \\ 17+\mathbf i \, \sqrt {83} \end{array}\right) \end{array} \qquad \begin{array}{c} (A+\mathbf i \sqrt {83} E)X=\mathbb O \\ \\ \Downarrow \\ \\ {\mathfrak X}_4= \left(\begin{array}{c} 1+\mathbf i \, \sqrt {83} \\ 8+2\mathbf i \, \sqrt {83} \\ 12 \\ 17- \mathbf i \,\sqrt {83} \end{array}\right) \end{array} \ . $$ ♦

Еще один способ нахождения собственного вектора основан на теореме Гамильтона-Кэли.

Теорема 15. Пусть $ \lambda_{\ast}^{} $ — собственное число матрицы $ A_{} $. Обозначим частное от деления характеристического полинома на линейный множитель $ \lambda_{} - \lambda_{\ast} $ через $ f_{\ast}(\lambda)^{} $:

$$ f_{\ast}(\lambda) \equiv f(\lambda) / (\lambda-\lambda_{\ast}) \ . $$ Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_{\ast}(A)^{} $ является собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_{\ast}^{} $.

Доказательство следует из равенства $$(A-\lambda_{\ast} E)f_{\ast}(A)=\mathbb O_{n\times n} . $$ На основании определения любой ненулевой столбец $ f_{\ast}(A)^{} $ должен быть собственным вектором матрицы $ A_{} $. ♦

Пример. Найти собственные векторы матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{rrr} 9 & 22 & -6 \\ -1 &-4 & 1 \\ 8 & 16 & -5 \end{array} \right) . $$

Решение. $$ \det (A-\lambda E)=-\lambda^3+ 7\, \lambda + 6 \equiv -(\lambda_{}-3) (\lambda+2)(\lambda+1) \, .$$ Пренебрегая знаком – , имеем: $$ \begin{matrix} f_1(\lambda)=\lambda^2+3\lambda+2 & u & f_1(A)= \left( \begin{array}{rrr} 40 & 80 & -20 \\ 0 &0 & 0 \\ 40 & 80 & -20 \end{array} \right) \ , \\ f_2(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-3 & u & f_2(A)= \left( \begin{array}{rrr} -10 & -30 & 10 \\ 5 &15 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ , \\ f_3(\lambda)=\lambda^2-\lambda-6 & u & f_3(A)= \left( \begin{array}{rrr} -4 & -8 & 4 \\ 4 & 8 & -4 \\ 8 & 16 & -8 \end{array} \right) \ . \end{matrix} $$

Ответ. $ {\mathfrak X}_{1}=[1,0,1]^{^{\top}} $ принадлежит $ \lambda_{1}^{}=3 $, $ {\mathfrak X}_{2}=[-2,1,0]^{^{\top}} $ принадлежит $ \lambda_{2}^{}=-2 $, $ {\mathfrak X}_{3}=[-1,1,2]^{^{\top}} $ принадлежит $ \lambda_{3}^{}=-1 $.

Если $ \lambda_{\ast}^{} $ является простым корнем характеристического полинома⁹⁾, то ненулевые столбцы $ f_{\ast}(A)^{} $ будут пропорциональными. Или, что то же, $ \operatorname{rank} f_{\ast}(A)^{} = 1 $.

Тогда очевидно, что и строки матрицы $ f_{\ast}(A)^{} $ тоже должны быть пропорциональны!

На практике вычисление полинома $ f_{\ast}(\lambda)^{} $ может быть осуществлено с помощью схемы Хорнера.

Пример. Вычислить собственный вектор матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{rrr} 23 & 75 & -92 \\ 6 & 74 & 72 \\ 37 & -23 & 87 \end{array} \right) , $$ принадлежащий ее вещественному собственному числу.

Решение. Характеристический полином $$ f(\lambda)= -\lambda^3+184\,\lambda^2-14751\,\lambda+611404 $$ имеет единственное вещественное собственное число $ \lambda_{\ast} \approx 96.8817 $. Составляем схему Хорнера $$ \begin{array}{c|cccc} & -1 & 184 & -14751 & 611404 \\ \hline 96.8817 & -1 & 87.1183 & -6310.8310 & -0.0352 \end{array} $$ За счет ошибок округления мы получили ненулевое значение для $ f(\lambda_{\ast}) $. В качестве частного от деления $ f(\lambda) $ на $ \lambda-\lambda_{\ast} $ берем $$ f_{\ast}(\lambda)= -\lambda^2 + 87.1183\, \lambda - 6310.8310 \ . $$ Подставляем в него матрицу $ A_{} $ и вычисляем первый столбец матрицы $$ -A^2+87.1183\,A -6310\, E = \left( \begin{array}{rrr} -1882.1101 & * & * \\ -2723.2902 & * & * \\ -708.6229 & * & * \end{array} \right) \ .$$ Проверяем: $$ \left( \begin{array}{rrr} 23 & 75 & -92 \\ 6 & 74 & 72 \\ 37 & -23 & 87 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} -1882.1101 \\ -2723.2902 \\ -708.6229 \end{array} \right) - 96.8817 \left( \begin{array}{r} -1882.1101 \\ -2723.2902 \\ -708.6229 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} 0.0356 \\ 0 \\ -0.0002 \end{array} \right) \ . $$ ♦

Можно развить последний метод далее: найти универсальную формулу для собственного вектора как функции ее собственного числа. Действительно, найдем частное от деления характеристического полинома $$ f(\lambda) =a_0\lambda^n+a_0\lambda^{n-1}+\dots+ a_n, \ \quad a_0=(-1)^n $$ на линейный полином $ \lambda- \lambda_{\ast} $, где $ \lambda_{\ast} $ — произвольное число из $ \mathbb C $. С помощью той же схемы Хорнера, получаем $$ q(\lambda)= $$ $$ =a_0\lambda^{n-1}+(a_0\lambda_{\ast}+a_1)\lambda^{n-2}+(a_0\lambda_{\ast}^2+a_1\lambda_{\ast}+a_2)\lambda^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda_{\ast}^{n-1}+a_1\lambda_{\ast}^{n-2}+\dots+a_{n-1}) \, . $$ Если $ \lambda_{\ast} $ является собственным числом матрицы $ A_{} $, то любой ненулевой столбец матрицы $$ q(A)= $$ $$ =a_0A^{n-1}+(a_0\lambda_{\ast}+a_1)A^{n-2}+(a_0\lambda_{\ast}^2+a_1\lambda_{\ast}+a_2)A^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda_{\ast}^{n-1}+a_1\lambda_{\ast}^{n-2}+\dots+a_{n-1})E $$ будет собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_{\ast} $.

Пример. Найти представление всех собственных векторов матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{rrr} 9 & 22 & -6 \\ -1 &-4 & 1 \\ 8 & 16 & -5 \end{array} \right) $$ в виде функции ее собственных чисел.

Решение. Характеристический полином матрицы был вычислен выше: $ f(\lambda)=-\lambda^3+ 7\, \lambda + 6 $. Имеем, $$ q(\lambda)=-\lambda^2-\lambda_{\ast}\lambda+(7-\lambda_{\ast}^2) $$ и $$ q(A)=-A^2-\lambda_{\ast}A+(7-\lambda_{\ast}^2)E= \left(\begin{array}{ccc} -\lambda_{\ast}^2-9\lambda_{\ast}-4 & -22\lambda_{\ast}-14 & 6\lambda_{\ast}+2 \\ \lambda_{\ast}-3 & -\lambda_{\ast}^2+4\lambda_{\ast}-3 & -\lambda_{\ast}+3 \\ -8\lambda_{\ast}-16 & -16\lambda_{\ast}-32 & -\lambda_{\ast}^2+5\lambda_{\ast}+14 \end{array} \right) \, . $$ Берем произвольный столбец этой матрицы, например, первый: $$ X_{\ast}(\lambda_{\ast})= \left(\begin{array}{c} -\lambda_{\ast}^2-9\lambda_{\ast}-4 \\ \lambda_{\ast}-3 \\ -8\lambda_{\ast}-16 \end{array} \right) \, . $$ Утверждается, что $ \mathfrak X_{\ast} (\lambda_{\ast}) $ — универсальное представление всех собственных векторов матрицы. Действительно, $$ \mathfrak X_{\ast}(-1) = \left(\begin{array}{r} 4 \\ -4 \\ -8 \end{array} \right),\ \mathfrak X_{\ast}(-2) = \left(\begin{array}{r} 10 \\ -5 \\ 0 \end{array} \right),\ \mathfrak X_{\ast}(3) = \left(\begin{array}{r} -40 \\ 0 \\ -40 \end{array} \right) \, . $$ ♦

Теорема 16. Пусть $ g(x)=b_0x^m+\dots+b_{m} \in {\mathbb C}[x] $ – произвольный полином. Если $ \mathfrak X_{\ast}\in \mathbb C^{n} $ — собственный вектор матрицы $ A_{} $, соответствующий собственному числу $ \lambda_{\ast}^{} $, то он же будет собственным и для матрицы $ g(A)^{} $, принадлежащим собственному числу $ g(\lambda_{\ast})^{} $.

Доказательство. Домножим равенство $ A{\mathfrak X}_{\ast}=\lambda_{\ast}^{}{\mathfrak X}_{\ast} $ слева на матрицу $ A_{} $: $$ A^2{\mathfrak X}_{\ast}=\lambda_{\ast}A{\mathfrak X}_{\ast}=\lambda_{\ast}^2{\mathfrak X}_{\ast} .$$ По индукции доказывается и общее равенство: $$ A^k{\mathfrak X}_{\ast}=\lambda_{\ast}^k{\mathfrak X}_{\ast} .$$ Домножим его на $ b_{m-k}^{} $ и просуммируем по $ k_{} $ от $ 0_{} $ до $ m_{} $: $$ g(A){\mathfrak X}_{\ast}=g(\lambda_{\ast}){\mathfrak X}_{\ast} ,$$ что и доказывает утверждение теоремы. ♦

Если матрица $ A $ невырождена, то теорема остается справедливой и для произвольного полинома от $ A^{-1} $. В частности, собственные векторы $ A^{-1} $ совпадают с собственными векторами матрицы $ A $.

Теорема 17. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам матрицы $ A_{} $, линейно независимы.

Теорема 18. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам вещественной симметричной матрицы $ A_{} $, ортогональны, т.е. если $ \mathfrak X_1 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_{1} $, а $ \mathfrak X_2 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_{2} $ и $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $, то

$$ \langle \mathfrak X_1, \mathfrak X_2 \rangle =0 \ , $$ где $ \langle \ ,\ \rangle $ означает скалярное произведение, определяемое стандартным образом: $ \langle X,Y \rangle =x_1y_1+\dots+x_ny_n $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 19 [Перрон, Фробениус]. Для положительной матрицы $ A_{} $ существует положительное собственное число $ \lambda_{+} $ такое, что все остальные собственные числа этой матрицы меньше $ \lambda_{+} $ по абсолютной величине (модулю). Соответствующий этому собственному числу собственный вектор может быть выбран положительным:

$$ \exists \mathfrak X_{+} > \mathbb O: \quad A \mathfrak X_{+} = \lambda_{+} \mathfrak X_{+} \ . $$

Число $ \lambda_{+} $ из теоремы называется собственным числом Перрона или собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A_{} $, а соответствующий ему произвольный положительный собственный вектор — собственным вектором Перрона-Фробениуса матрицы $ A_{} $.

Спектральный радиус положительной матрицы $ A_{} $ совпадает с ее собственным числом Перрона-Фробениуса:

$$ \rho(A)=\lambda_{+} \ . $$

Пример. Найти собственное число и вектор Перрона-Фробениуса для матрицы

$$ A= \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 7 & 18 & 28 \\ 1 & 8 & 2 & 8 \\ 3 & 1 & 4 & 1 \\ 5 & 9 & 26 & 5 \end{array} \right) \, . $$

Решение. Характеристический полином матрицы $ A_{} $ $$ \det(A-\lambda E)=\lambda^4-19\, \lambda^3-175\, \lambda^2-285\, \lambda+10390 $$ имеет корнями $$ \lambda_{1,2} \approx -6.260463 \pm 5.452465 \mathbf i,\ \lambda_3 \approx 5.878976, \lambda_4 \approx 25.641950 \ . $$ Числом Перрона-Фробениуса является $ \lambda_4 $, а соответствующий ему собственный вектор Перрона-Фробениуса можно взять равным $$ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0.365240 \\ 0.184802 \\ 0.634244 \end{array} \right) \quad \mbox{ или } \quad \left( \begin{array}{c} 2.737922 \\ 1 \\ 0.505974 \\ 1.736510 \end{array} \right) \quad \mbox{ или } \left( \begin{array}{c} 5.411185 \\ 1.976383 \\ 1 \\ 3.432010 \end{array} \right) \quad \mbox{ или } \quad \left( \begin{array}{c} 1.576681 \\ 0.575868 \\ 0.291374 \\ 1 \end{array} \right) \quad \mbox{ или } \quad \left( \begin{array}{r} 0.798133 \\ 0.291510 \\ 0.147496\\ 0.506210 \end{array} \right) \quad \mbox{ или } \dots $$ (напоминаю: собственный вектор определяется с точностью до ненулевого сомножителя!). Последний вектор имеет длину равную $ 1_{} $. ♦

Свойства.

1. Собственное число Перрона-Фробениуса всегда простое для характеристического полинома матрицы $ A_{} $. Отсюда следует, что собственный вектор Перрона-Фробениуса определяется единственным образом — с точностью до домножения на положительный скаляр.

2. Любой собственный вектор положительной матрицы $ A_{} $, не соответствующий собственному числу Перрона-Фробениуса, не может состоять исключительно только из положительных элементов. Иными словами, хотя бы одна компонента такого вектора должна быть либо отрицательной либо мнимой.

3. Для собственного числа Перрона-Фробениуса справедливо неравенство $$ \min_{j\in\{1,\dots,n\}} \sum_{k=1}^n a_{jk} \le \lambda_{+} \le \max_{j\in\{1,\dots,n\}} \sum_{k=1}^n a_{jk} \ . $$

4. Собственное число Перрона-Фробениуса матрицы $ A_{} $ совпадает с собственным числом Перрона-Фробениуса матрицы $ A^{\top} $.

Какие из перечисленных свойств можно распространить на случай неотрицательных матриц ? Каждую такую матрицу можно рассматривать как предел последовательности (строго) положительных матриц. Воспользовавшись теоремой о непрерывной зависимости собственных чисел матрицы от ее элементов, можем сделать вывод, о том, что для неотрицательной матрицы $ A_{} $ всегда найдется вещественное неотрицательное собственное число, которое будет являться максимальным по модулю среди всех собственных чисел матрицы. Другое дело, что в данном случае — в отличие от случая положительных матриц — такое мажорирующее собственное число может оказаться не единственным.

Пример. Спектр неотрицательной матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$ состоит из чисел $ \lambda_1=+1 $ и $ \lambda_1=-1 $ одинакового модуля. ♦

Однако, по-прежнему, хотя бы одно неотрицательное вещественное число $ \lambda_{+} $ со свойством $ \rho(A) = \lambda_{+} $ существовать будет; более того, ему будет соответствовать неотрицательный собственный вектор $ \mathfrak X \ge \mathbb O $. Это число (вектор) по-прежнему называются числом (вектором) Перрона-Фробениуса¹⁰⁾ матрицы $ A_{} $.

Частным случаем неотрицательных матриц являются стохастические матрицы, т.е. неотрицательные матрицы, в которых сумма элементов каждой строки равна $ 1_{} $: $$ \mathfrak P=\left[p_{jk}\right]_{j,k=1}^n, \{p_{jk}\ge 0 \}_{j,k=1}^n,\ \sum_{k=1}^n p_{jk} = 1 \ npu \quad j \in \{1,2,\dots,n\} \ . $$

Теорема 20. Собственное число Перрона-Фробениуса стохастической матрицы равно $ 1_{} $. Этому собственному числу соответствует собственный вектор $ X=[1,1,\dots,1]^{\top} $.

Доказательство существования собственного числа равного $ 1_{} $ и соответствующего ему собственного вектора $ X=[1,1,\dots,1]^{\top} $ следует из равенства $$\mathfrak P \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right) \ . $$ Далее, из теоремы Гершгорина следует, что любое собственное число $ \lambda_{}\in \mathbb C $ стохастической матрицы должно удовлетворять неравенству $$|\lambda - p_{jj}|\le \sum_{k\ne j} |p_{jk}|=1-p_{jj} $$ хотя бы при одном $ j_{} $. Воспользовавшись следствием к неравенству треугольника получаем: $$|\lambda| - |p_{jj}|\le |\lambda - p_{jj}| \le 1-p_{jj} \ \Rightarrow \ |\lambda| \le 1 \ . $$ ♦

Вычисление коэффициентов характеристического полинома матрицы $ A_{} $ непосредственным разложением определителя $ \det (A-\lambda_{} E) $ на $ n!_{} $ слагаемых — крайне неэффективно. Элементами этого разложения являются выражения, полиномиально зависящие от параметра $ \lambda_{} $. На каждом этапе вычислений мы получаем проблему символьных вычислений: хранения таких полиномов и действий над ними.

Основной метод вычисления числовых определителей — метод Гаусса — также неэффективен в приложении к вычислению определителя, элементы которого зависят от параметра. Источником вычислительных проблем является неудобное расположение переменной $ \lambda_{} $ — на главной диагонали матрицы. Первый же шаг метода Гаусса приводит к делению на элемент $ a_{11} - \lambda $, и, в дальнейшем, элементы преобразованной матрицы будут уже не полиномами, а рациональными функциями относительно $ \lambda_{} $. Следующие шаги метода приводят к возрастанию степеней знаменателей. Необходимость в организации хранения рациональных функций и программировании действий с ними кажется тем более неоправданной, если вспомнить, что окончательный ответ — выражение для $ \det (A-\lambda_{} E) $ — должно быть полиномом по $ \lambda_{} $; т.е. знаменатели дробей в конечном ответе сократятся.

А в качестве усугубляющего положение обстоятельства «на заднем плане» маячит проблема точности вычислений коэффициентов характеристического полинома — чувствительность его корней к возмущению его коэффициентов бывает весьма высокой.

Какой выход предлагается? — Предварительно преобразовать определитель $ \det (A-\lambda_{} E) $ к виду, когда переменная $ \lambda_{} $ оказывается «выметенной» с диагонали на крайний ряд (в столбец или в строку). При этом допускается увеличение размеров (порядка) определителя. Такое представление дает возможность разложения определителя по этому исключительному ряду, и, тем самым, позволяет свести задачу к вычислению числовых определителей — а уж для этой задачи применение метода Гаусса вполне эффективно.

Метод основан на формуле (см. следствие к теореме $ 7 $ ☞ ЗДЕСЬ ): $$ \operatorname{Sp} (A^k)=\lambda_1^k+\dots+\lambda_n^k=s_k \ , $$ т.е. след $ k_{} $-й степени матрицы $ A_{} $ равен $ k_{} $-й сумме Ньютона ее характеристического полинома $ f(\lambda)=\det (A-\lambda E ) $. Вычисляем последовательные степени матрицы $ A_{} $: $$s_1=\operatorname{Sp} (A),\ s_2=\operatorname{Sp} (A^2),\ \dots, s_n=\operatorname{Sp} (A^n) \ .$$ Неизвестные коэффициенты $ f(\lambda)=(-1)^n(\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+ \dots+a_n) $ находим по рекурсивным формулам Ньютона: $$ a_1=-s_1, a_2=-(s_2+a_1s_1)/2, $$ $$ a_k=-(s_{k}+a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1)/k \ npu \ k \le n. $$ Очевидно, что не имеет смысла вычислять все элементы матрицы $ A^{n} $ — достаточно обойтись лишь элементами ее главной диагонали.

Пример [Леверье]. Найти характеристический полином матрицы

$$ A=\left(\begin{array}{rrrr} -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \\ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \\ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \\ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 \end{array} \right) \ . $$

Решение. $$ A^2=\left(\begin{array}{rrrr} 30.91795128&-30.56848188&2.878480155&0.0031325713\\ -4.705449283&164.6764010&-141.3504639&-0.4143169528\\ 0.3341843103&-106.6094396&193.1869924& -6.756396001\\ 0.0022236138&-1.904168948&-41.16923134& 309.9628536 \end{array} \right), $$ $$ A^3=\left(\begin{array}{rrrr} -179.0125092&431.2849919&-198.8601505& -0.9173897610\\ 66.38829278&-2562.954533& 2771.458834& -15.49709921\\ -23.08728044&2090.291485&-3124.010318& 156.9329019\\ -0.649145142&-71.21907809&956.2502143& -5463.723497 \end{array} \right), $$ $$ A^4=\left(\begin{array}{cccc} 1100.720103& \ast& \ast& \ast \\ \ast& 42332.23816& \ast& \ast \\ \ast& \ast& 52669.62534& \ast \\ \ast& \ast& \ast& 96355.91518 \end{array} \right) \ . $$ Вычисляем следы матриц: $$s_1=-47.888430,\ s_2=698.7441983,\ s_3=-11329.70086,\ s_4= 192458.4988 \ ,$$ и по формулам Ньютона получаем: $$a_1= 47.888430,\ a_2 = 797.278764_{\displaystyle 8} ,\ a_3 = 5349.45551_{\displaystyle 3},\ a_4 = 12296.550_{\displaystyle 68} \ . $$ ♦

После нахождения коэффициентов характеристического полинома можно найти его корни каким-либо¹¹⁾ методом. Если $ \lambda_{\ast}^{} $ — одно из собственных чисел, то для нахождения соответствующего собственного вектора воспользуемся алгоритмом из ☞ ПУНКТА. Предположив дополнительно, что это собственное число простое¹²⁾, обозначим $$ f_{\ast}(\lambda)= f(\lambda)/(\lambda-\lambda_{\ast})=(-1)^n(\lambda^{n-1} +p_1\lambda^{n-2}+\dots+p_{n-2}\lambda+p_{n-1}) $$ т.е. частное от деления $ f(\lambda_{}) $ на $ \lambda-\lambda_{\ast} $. Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_{\ast}(A)^{} $ будет собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_{\ast}^{} $. Как правило, собственным вектором можно взять комбинацию

Степени матрицы $ A_{} $ уже нами посчитаны при вычислении коэффициентов характеристического полинома.

Пример. Для приведенного выше примера находим собственные числа:

$$ \lambda_1=-17.86326,\ \lambda_2=-17.15242,\ \lambda_3=-7.57404,\ \lambda_4= -5.29869 \ . $$ Коэффициенты $ f_1(\lambda) $ можно определить по схеме Хорнера: $$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} &1 & 47.888430 & 797.2787648 & 5349.455513 & 12296.55068 \\ \hline -17.86326 & 1 & \underbrace{30.025170}_{p_{_1}}& \underbrace{260.9313465}_{p_{_2}} &\underbrace{688.371028}_{p_{_3}}& \approx 0 \\ \end{array} $$ Собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_{1} $, будет $$\left[ -0.0256_{\displaystyle 67},\ 0.21938_{\displaystyle 0},\ -0.24187_{\displaystyle 1},\ 1.044526 \right]^{^{\top}} \ .$$ ♦

Теорема 21. Характеристический полином явно выражается через суммы Ньютона с помощью следующего представления:

$$ f(\lambda)=\frac{1}{n!}\left| \begin{array}{llllll} s_1 &1 & & & &\\ s_2&s_1& 2 & &\mathbb O & \\ s_3&s_2&s_1&3& & \\ \vdots& & & \ddots &\ddots & \\ s_n&s_{n-1}& s_{n-2} & \dots &s_1&n \\ \lambda^n&\lambda^{n-1}&\lambda^{n-2}& \dots &\lambda&1 \end{array} \right|_{(n+1)\times (n+1)} \ . $$

Биографические заметки о Леверье ☞ ЗДЕСЬ.

Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=\left[ y_{1}^{[0]},\dots,y_{n}^{[0]} \right]^{^{\top}} \in \mathbb C^n $. Cоставим итерационную векторную последовательность $$ Y_1=A\cdot Y_0,\ Y_2=A\cdot Y_1, \dots,\ Y_{n}=A\cdot Y_{n-1} \ . $$

Теорема 22. Определитель

$$ \det \left[\begin{array}{c|c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&\dots&Y_{n-1}&Y_{n}\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^{n-1}&\lambda^n \end{array} \right]_{(n+1)\times (n+1)} $$ совпадает — с точностью до постоянного множителя — с характеристическим полиномом матрицы $ A_{} $. Здесь $ |_{} $ означает конкатенацию.

Доказательство. Легко видеть, что $$ Y_K=A^KY_0 \quad npu \quad K \in \{1,\dots,n\} \ . $$ Если $$ f(\lambda)=\det(A-\lambda E) =(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+a_2 \lambda^{n-2}+\dots+a_n \ , $$ то по теореме Гамильтона-Кэли: $$ (-1)^n A^n+a_1A^{n-1}+\dots+a_nE=\mathbb O_{n \times n} \ . $$ Это равенство останется справедливым и после умножения его на произвольный вектор, в том числе на $ Y_{0} $: $$ (-1)^n A^n\cdot Y_0+a_1A^{n-1} \cdot Y_0 +\dots+a_n\cdot Y_0=\mathbb O_{n \times 1} \iff $$ $$ \iff \quad (-1)^n Y_n+a_1Y_{n-1} +\dots+a_nY_0=\mathbb O \ . $$ Последнее равенство представляет линейную систему относительно неизвестных коэффициентов характеристического полинома. Можно решать ее по формулам Крамера, но мы пойдем другим путем. Дополним эту систему тождеством $ f(\lambda)=(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+a_2 \lambda^{n-2}+\dots+a_n $. Рассмотрим получившуюся систему как линейную однородную относительно столбца $ \left[ a_n,a_{n-1},\dots,a_1,1\right]^{\top} $. Поскольку эта система имеет нетривиальное решение, то ее определитель должен равняться нулю: $$ 0=\det \left[\begin{array}{c|c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&\dots&Y_{n-1}&(-1)^nY_{n}\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^{n-1}&(-1)^n\lambda^n-f(\lambda) \end{array} \right]= $$ (представляем последний столбец в виде суммы двух столбцов и используем свойство 5 определителя) $$ =\det \left[\begin{array}{c|c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&\dots&Y_{n-1}&(-1)^nY_{n}\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^{n-1}&(-1)^n\lambda^n \end{array} \right]-f(\lambda) \det \left[\begin{array}{c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&\dots&Y_{n-1} \end{array} \right] \ . $$ Таким образом, $$ f(\lambda)=(-1)^n \frac{\det \left[\begin{array}{c|c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&\dots&Y_{n-1}&Y_{n}\\ 1& \lambda&\dots&\lambda^{n-1}&\lambda^n \end{array} \right]}{\det \left[\begin{array}{c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&\dots&Y_{n-1} \end{array} \right]} \ , $$ если только знаменатель в этой дроби не обратится в нуль. ♦

Пример. Найти характеристический полином матрицы примера Леверье

$$ A=\left(\begin{array}{rrrr} -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \\ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \\ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \\ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 \end{array} \right) \ . $$

Решение. Возьмем $ Y_0=\left[ 1,0,0,0 \right]^{\top} $. Имеем $$ \begin{array}{cccc} Y_1=A Y_0= & Y_2=AY_1= & Y_3=AY_2= & Y_4=AY_3= \\ \left(\begin{array}{r} -5.509882\\ 0.287865 \\ 0.049099 \\ 0.006235 \end{array} \right), & \left(\begin{array}{r} 30.917951\\ -4.705449 \\ 0.334184 \\ 0.002223 \end{array} \right), & \left(\begin{array}{r} -179.012509\\ 66.388293 \\ -23.087280\\ -0.649145 \end{array} \right), & \left(\begin{array}{r} 1100.720101\\ -967.597333\\ 576.522644\\ -4.040153 \end{array} \right)\ . \end{array} $$ $$ \det \left[\begin{array}{c|c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&Y_2& Y_{3}& Y_{4}\\ 1& \lambda&\lambda^2 &\lambda^{3}&\lambda^4 \end{array} \right]= \left| \begin{array}{rrrrr} 1 & -5.509882 & 30.917951 & -179.012509 & 1100.720101 \\ 0 & 0.287865 & -4.705449 & 66.388293 & -967.597333\\ 0 & 0.049099 & 0.334184 & -23.087280 & 576.522644\\ 0 & 0.006235 & 0.002223 & -0.649145 & -4.040153 \\ 1 & \lambda & \lambda^2 & \lambda^3 & \lambda^4 \end{array} \right|= $$ $$ =0.348621 \lambda^4+16.694915\lambda^3+277.948166\lambda^2+1864.932835\lambda+4286.836454 = $$ $$ =0.348621 \left(\lambda^4+47.888430\lambda^3+797.27876_{\displaystyle 3}\lambda^2+5349.4555_{\displaystyle 0}\lambda+12296.550_{\displaystyle 5} \right) \ . $$ ♦

После нахождения характеристического полинома можно найти его корни каким-либо¹³⁾ методом. Пусть $ \lambda_{\ast}^{} $ — одно из собственных чисел, и оно — простое; тогда для нахождения соответствующего собственного вектора можно воспользоваться тем же приемом, что был задействован в предыдущем ПУНКТЕ. Вычислим¹⁴⁾ частное от деления $ f(\lambda_{}) $ на $ \lambda-\lambda_{\ast} $ $$ f_{\ast}(\lambda)= f(\lambda)/(\lambda-\lambda_{\ast})=(-1)^n(\lambda^{n-1} +p_1\lambda^{n-2}+\dots+p_{n-2}\lambda+p_{n-1}) \ . $$ Тогда любой ненулевой столбец матрицы $ f_{\ast}(A)^{} $ будет собственным вектором, принадлежащим $ \lambda_{\ast}^{} $. Но тогда и произвольная комбинация столбцов этой матрицы тоже будет собственным вектором (если только не обратится в нулевой вектор). В частности, это относится и к комбинации, записываемой в матричном виде $$ (-1)^n f_{\ast}(A) Y_0 = A^{n-1}Y_0 +p_1A^{n-2}Y_0+\dots+p_{n-1}Y_0=Y_{n-1}+p_1Y_{n-2}+\dots+p_{n-1}Y_0 \ . $$ А комбинируемые векторы уже посчитаны.

Теперь обсудим исключительные случаи. При неудачном выборе $ Y_{0} $ определитель $$ \det \left[\begin{array}{c|c|c|c} Y_0&Y_{1}&\dots&Y_{n-1} \end{array} \right] $$ может обратиться в нуль. Эта неприятность обязательно произойдет если, например, наш выбор пал на вектор $ Y_0 $, совпадающий с собственным вектором матрицы $ A_{} $. Вероятность такого события — нулевая. В общем же случае, трудно ожидать, чтобы $ n_{} $ почти произвольных столбцов $ Y_0,Y_{1},\dots,Y_{n-1} $ оказались линейно зависимыми — если только сама матрица $ A_{} $ не обладает «скрытым дефектом» — типа рассмотренного в следующем примере.

Пример. Найти характеристический полином матрицы

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&1 \\ 1&2&1 \\ 1&1&2 \end{array} \right) \ . $$

Решение. При любом выборе $ Y_0 $ векторы $ \{Y_0,Y_1,Y_2 \} $ оказываются линейно зависимыми: $$ Y_0= \left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right), Y_1= \left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 1 \end{array} \right), Y_2= \left(\begin{array}{r} 6\\ 5\\ 5 \end{array} \right),\dots ; Y_0= \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right),\ Y_1= \left(\begin{array}{r} 4\\ 4\\ 4 \end{array} \right),\dots $$ Объяснение этого феномена состоит в том, что для матрицы $ A_{} $ ее аннулирующий полином имеет степень меньшую ее порядка: $$ A^2-5\ A+4 E = \mathbb O \ . $$ Домножение этого равенства на произвольный столбец $ Y_0 $ и доказывает линейную зависимость системы $ \{Y_0,Y_1,Y_2\} $. ♦

Такая ситуация возможна только в случае, когда характеристический полином матрицы $ A_{} $ имеет кратные корни (в рассмотренном выше примере $ \lambda_{}=1 $ являлся двойным корнем $ \det (A-\lambda_{} E) $); она исключительно редко встречается на практике.

Существуют методы нахождения спектра матрицы, не требующие предварительного построения характеристического полинома.

Этот алгоритм основан на QR-разложении матрицы $ A $.

Теорема 23. Спектр матрицы $ A $ совпадает со спектром матрицы $ P^{\top} A P $ при произвольной ортогональной матрице $ P $.

Доказательство. $$ \det (P^{\top} A P-\lambda E)=\det (P^{\top} A P- \lambda P^{\top} E P)=\det P^{\top} (A -\lambda E ) P = \det (A -\lambda E ) P P^{\top} = \det (A -\lambda E ) \, . $$ ♦

Пусть QR-разложение матрицы $ A $ имеет вид $$ A=Q_1R_1 \, , $$ где $ Q_1 $ — ортогональная, а $ R_1 $ — верхнетреугольная матрицы. Тогда матрица $$ A_2=R_1Q_1 $$ имеет тот же спектр, что и матрица $ A $. Действительно, поскольку $$ A_2=Q_1^{\top} A Q_1 , $$ то сработает предыдущая теорема. Вычислим QR-разложение матрицы $ A_2 $ $$ A_2=Q_2R_2 $$ и переставим местами матрицы этого произведения: $$ A_3=R_2Q_2 \, . $$ Матрица $$ A_3= Q_2^{\top} A_2 Q_2=Q_2^{\top} Q_1^{\top} A Q_1 Q_2 $$ продолжаем иметь те же собственные числа, что и матрица $ A $. Утверждается, что бесконечная последовательность матриц $$ \{A_j=R_{j-1}Q_{j-1}\}_{j=1}^{\infty} $$ как правило, сходится к матрице $ A_{\infty} $, которая будет верхнетреугольной.

Теорема 24 [4]. Если все собственные числа матрицы $ A $ различны по модулю, то матрица $ A_{\infty} $ является верхнетреугольной и на ее главной диагонали стоят собственные числа матрицы $ A $.

Пример. Найти все собственные числа матрицы

$$ A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 3 &-1\\ 7 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \end{array} \right) \, . $$

Решение. $$ A_1=A\approx \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} 0.272165 & 0.759752 & 0.590511 \\ 0.952579 & -0.299517 & -0.053683 \\ -0.136083& -0.577119 & 0.805242 \end{array} \right)}_{Q_1} \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} 7.348469 & 3.946400 & 2.041241\\ 0 & 2.534941 & -3.966781 \\ 0 & 0 & 2.469409 \end{array} \right)}_{R_1} $$ Теперь переставляем матрицы произведения местами и строим QR-разложение получившейся матрицы: $$ \quad \Rightarrow \quad A_2 = R_1Q_1\approx \left(\begin{array}{rrr} 5.481481 & 3.222957 & 5.771191 \\ 2.954542 & 1.530046 & -3.3303021 \\ -0.336044 & -1.425143 & 1.988472 \end{array} \right)\approx $$ $$ \approx\underbrace{\left(\begin{array}{rrr} -0.878992 & 0.022595 & 0.476300\\ 0.473781 & -0.154267 & -0.867026 \\ 0.053886 & -0.987771 & 0.146304 \end{array} \right)}_{Q_2} \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} -6.236096& -3.634658 & -3.387848\\ 0 & 1.244502 & -1.319999\\ 0 & 0 & 5.927198 \end{array} \right)}_{R_2} $$ Продолжим процесс: $$ \quad \Rightarrow \quad A_3 = R_2Q_2\approx \left(\begin{array}{rrr} 7.020952& 3.766220 & -0.314568\\ -0.660752 & 1.111870 & -1.272137\\ 0.319398 & -5.854713 & 0.867177 \end{array} \right) \approx $$ $$ \approx \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} -0.994581 & -0.065879 & 0.080426 \\ 0.093601 & -0.230749 & 0.968501 \\ -0.045246 & 0.970780 & 0.235665 \end{array} \right)}_{Q_3} \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} -7.059205 & -3.376839 & 0.154554 \\ 0 & -6.188319 & 1.156106 \\ 0 & 0 & -1.053002 \end{array} \right)}_{R_3} $$ Замечаем тенденцию убывания элементов матриц $ \{A_j\} $, стоящих под главной диагональю. $$ \Rightarrow \dots \Rightarrow A_{10} \approx \left(\begin{array}{rrr} \mathbf{6.}_{246022} & 2.758769 & -2.160057\\ -0.0467437 & \mathbf{4.4}_{09292} & -5.341014\\ 0.000018 &-0.005924 & \mathbf{-1.6}_{55314} \end{array} \right) \approx $$ $$ \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} -0.999972 & -0.007483 & 0.000007 \\ 0.007483 & -0.999971 & 0.001339 \\ -0.000003 & 0.001339 & 0.999999 \end{array} \right)}_{Q_{10}} \underbrace{\left(\begin{array}{rrr} -6.246197 & -2.725694 & 2.120031\\ 0 & -4.429817 & 5.354807 \\ 0 & 0 & -1.662479 \end{array} \right)}_{R_{10}} \, . $$ Матрица $ Q_j $ уже близка к диагональной (с элементами $ \pm 1 $), верхнетреугольность матрицы $ A_j $ также заметна, но точность приближения еще не достаточна. $$ \Rightarrow \dots \Rightarrow A_{20} \approx \left(\begin{array}{rrr} \mathbf{6.17}_{5608} & 2.805821 & -2.020513 \\ -0.001776 & \mathbf{4.48}_{4917} & -5.388407\\ 0 & 0 & -\mathbf{1.660525} \end{array} \right) \approx $$ Точность приближения минимильного собственного числа существенно выше точностей приближения остальных чисел. $$ \Rightarrow \dots \Rightarrow A_{30} \approx \left(\begin{array}{rrr} \mathbf{6.172}_{778} & 2.807524 & -2.015076\\ -0.000073 & \mathbf{4.487}_{747} & -5.390442\\ 0 & 0 & -\mathbf{1.660525} \end{array} \right) \, . $$ ♦

К сожалению условие теоремы достаточно ограничительно: собственные числа вещественной матрицы $ A $ могут оказаться и мнимыми, но тогда они одинаковы по модулю.

Как это обстоятельство сказывается на структуре матрицы $ A_{\infty} $ и дальнейшее развитие метода ☞ ЗДЕСЬ

Задача. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы $ A_{} $.

Предположение . Будем считать сначала, что максимальное по модулю собственное число матрицы единственно.

Излагаемый ниже метод поиска этого собственного числа называется методом степенны́х итераций¹⁵⁾.

Рассмотрим произвольный ненулевой столбец $ Y_0=\left[ y_{1}^{[0]},\dots,y_{n}^{[0]} \right]^{^{\top}} \in \mathbb C^n $. Cоставим такую же итерационную векторную последовательность, как и в методе Крылова $$ Y_1=A\cdot Y_0,\ Y_2=A\cdot Y_1, \dots,\ Y_{K}=A\cdot Y_{K-1},\dots , $$ (только теперь, в отличие от метода Крылова, считаем ее неограниченно продолжающейся) и выделим последовательность первых элементов этих векторов: $$y_{1}^{[1]},y_{1}^{[2]},\dots,y_{1}^{[K]},\dots $$

Теорема 25. Как правило, предел

$$ \lim_{K\to +\infty}\frac{y_{1}^{[K+1]}}{y_{1}^{[K]}} $$ существует и он равен максимальному по модулю собственному числу матрицы $ A_{} $.

Доказательство. Перенумеруем собственные числа $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ матрицы $ A_{} $ так, чтобы $ \lambda_{1} $ обозначило максимальное по модулю: $$|\lambda_1|= \max_{j\in \{1,\dots,n\}} |\lambda_j| \ , \quad |\lambda_1|>|\lambda_j| \quad npu \quad j\in \{2,\dots,n\} \ . $$ Очевидно, $$ Y_{K}=A^K\cdot Y_0 \ ; $$ отсюда следует, что любой элемент столбца $ Y_{K} $ может быть линейно выражен через $ \lambda_{1}^K,\dots,\lambda_n^K $. В частности, это справедливо и для первого элемента: $$ y_{1}^{[K]}=C_1\lambda_1^K+C_2\lambda_2^K+\dots+C_n\lambda_n^K \ . $$ В этом представлении $ \{C_j\}_{j=1}^n $ — будут константами из $ \mathbb C_{} $ в случае если все собственные числа являются простыми, и полиномами из $ \mathbb C[K] $ в случае, если имеются кратные собственные числа. Действительно, в первом случае существует базис пространства $ \mathbb C^n $, состоящий из собственных векторов матрицы $ A_{} $: $$ A{\mathfrak X}_j=\lambda_j{\mathfrak X}_j \quad npu \quad j\in \{1,\dots,n\} . $$ Вектор $ Y_0 $ можно разложить по этому базису: $$Y_0=\alpha_1{\mathfrak X}_1+\dots+\alpha_n{\mathfrak X}_n \ .$$ Тогда последовательным домножением на матрицу $ A_{} $ получаем : $$\begin{matrix} Y_1=AY_0&=& \alpha_1 \lambda_1{\mathfrak X}_1+\dots+\alpha_n\lambda_n{\mathfrak X}_n, \\ \dots & & \dots \\ Y_K=A^KY_0&=& \alpha_1 \lambda_1^K{\mathfrak X}_1+\dots+\alpha_n\lambda_n^K{\mathfrak X}_n \end{matrix} $$ откуда и следует доказываемое равенство.

Во втором случае — когда имеются кратные собственные числа матрицы $ A_{} $ — придется применять «тяжелую артиллерию» в виде жордановой нормальной формы; см. теорему $ 5 $ ☞ ЗДЕСЬ. Для простоты рассуждений, будем в оставшейся части доказательства считать все собственные числа матрицы различными. Имеем тогда $$ \lim_{K \to +\infty} \frac{y_{1}^{[K+1]}}{y_{1}^{[K]}}= \lim_{K \to +\infty} \frac{\lambda_1^{K+1} \left[C_1+ C_2(\lambda_2/\lambda_1)^{K+1}+\dots+ C_n(\lambda_n/\lambda_1)^{K+1} \right]} {\lambda_1^{K} \left[C_1+C_2(\lambda_2/\lambda_1)^{K}+\dots+ C_n(\lambda_n/\lambda_1)^{K} \right]} =\lambda_1 $$ поскольку $$ \lim_{K \to +\infty} \left| \frac{\lambda_j}{\lambda_1} \right|^K = 0 \quad npu \quad j\in \{2,\dots,n\} \ . $$ Исключительным случаем является ситуация $ C_1=0 $, в этом случае утверждение теоремы может оказаться несправедливым¹⁶⁾. ♦

Как правило, вектор

$$ \left[1, \lim_{K\to +\infty}\frac{y_{2}^{[K]}}{y_{1}^{[K]}},\dots, \lim_{K\to +\infty}\frac{y_{n}^{[K]}}{y_{1}^{[K]}}\right]^{^{\top}} $$ будет собственным, принадлежащим максимальному по модулю собственному числу матрицы $ A_{} $.

Пример. Для матрицы

$$ A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 3 &-1\\ 7 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & -4 \end{array} \right) $$ найти максимальное по модулю собственное число и принадлежащий ему собственный вектор.

Решение. Возьмем в качестве стартового столбца $ Y_0=[1,0,0]^{^{\top}} $. Имеем: $$ Y_1=AY_0=\left( \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ -1 \end{array} \right),\ Y_2=AY_1=\left( \begin{array}{r} 26 \\ 32 \\ -12 \end{array} \right),\ Y_3=AY_2=\left( \begin{array}{r} 160 \\ 242 \\ -42 \end{array} \right),\dots, $$ $$ Y_{19}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 4259667747238636} \\ {\scriptstyle 6435097324667832} \\ {\scriptstyle -1571397155909260} \end{array} \right),\ Y_{20}=AY_{19}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 29396024624390028} \\ {\scriptstyle 44408774736946168} \\ {\scriptstyle -10844273772937260} \end{array} \right) $$ Смотрим на отношения первых элементов векторов: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} K & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 15 & \dots & 19 \\ \hline y_{1}^{[K+1]}/y_{1}^{[K]} & 2 & 13 & 6.153846 & 6.8 & 7.180147 & \dots & 6.900726 & \dots & \mathbf{6.90101}_{\displaystyle 3} \end{array} $$ Далее, в соответствии со следствием, собственный вектор, принадлежащий найденному числу $$ \approx \left[1, \frac{y_{2}^{[20]}}{y_{1}^{[20]}},\frac{y_{3}^{[20]}}{y_{1}^{[20]}}\right]^{^{\top}} \approx \left[1, 1.51070_{\displaystyle 6}, -0.368902 \right]^{^{\top}} $$ ♦

Теперь обсудим исключительные случаи алгоритма.

1. Нарушение сходимости итерационного процесса за счет неудачного выбора стартового вектора. Если в качестве $ Y_{0} $ оказался случайно взят собственный вектор $ \mathfrak X_{\ast} $ матрицы $ A_{} $, принадлежащий произвольному ее собственному числу $ \lambda_{*} $, то предел последовательности из теоремы будет равен именно этому числу; если при этом $ |\lambda_{*} | \ne \max_{1\le j \le n} | \lambda_j | $, то мы выйдем за пределы смысла выражения «как правило». Понятно, что вероятность настолько плохого выбора нулевая, но и выбор $ Y_0 $ вблизи $ \mathfrak X_{\ast} $ также может существенно замедлить скорость сходимости. Поэтому если возникает ситуация медленной «стабилизации» значащих цифр в десятичном приближении собственного числа, попробуйте сменить начальный вектор.

2. Нарушение условия предположения , выдвинутого в начале пункта: максимальное по модулю собственное число неединственно.

Пример. Найти максимальное по модулю собственное число матрицы примера Леверье

$$ A=\left(\begin{array}{rrrr} -5.509882&1.870086&0.422908&0.008814 \\ 0.287865&-11.811654&5.711900&0.058717 \\ 0.049099&4.308033&-12.970687&0.229326 \\ 0.006235&0.269851&1.397369&-17.596207 \end{array} \right) \ . $$

Решение. Для столбца $ Y_0=[1,0,0,0]^{^{\top}} $ имеем $$y_{1}^{[100]}/y_{1}^{[99]}=-17.8_{\displaystyle 3113} \ ,$$ т.е. на $ 100 $-й итерации получаем лишь $ 3_{} $ истинные десятичные цифры в представлении собственного числа. При этом компонентами векторов $ Y_{K} $ являются числа порядка $ 10^{123} $. Если мы посмотрим на ответ примера Леверье, то увидим, что имеются два собственных числа матрицы, близких по модулю. ♦

К сожалению, вероятность того факта, что у случайно выбранной матрицы два ее собственных числа будут иметь одинаковый модуль становится ненулевой если эта матрица выбирается из множества вещественных матриц. Дело в том, что в этом случае ее характеристический полином будет иметь вещественные коэффициенты, а мнимые корни такого полинома всегда пáрные — для любого невещественного корня $ \lambda_{\ast}^{} $ полинома, комплексно сопряженное к нему число $ \overline{\lambda_{\ast}} $ также будет корнем. При этом $ |\lambda_{\ast}|= |\overline{\lambda_{\ast}} | $.

Пример. Для матрицы

$$ A=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 2 &7\\ -2 & -8 & 2 \\ 5 & -3 & -2 \end{array} \right) $$ итерационная последовательность из теоремы ведет себя хаотически: при выборе $ Y_0=[1,0,0]^{\top} $ получим $$ \left\{\frac{y_{1}^{[K+1]}}{y_{1}^{[K]}}\right\}_{K=1}^{\infty} = 3; 13.3333; 5.9250; 4.6455; 15.9273; 0.8546; 68.0186; $$ $$ 0.4543; 91.7873; \dots $$ Спектр матрицы: $ \{ 6.9363, -6.9682\pm 3.0186 \mathbf i\} $, и максимальное по модулю собственное число неединственно. ♦

Предположение 2 . Пусть два максимальных по модулю собственных числа матрицы разнесены по величине, например $$ |\lambda_1| > | \lambda_2 | > | \lambda_ j | \quad npu \ j \in \{2,\dots, n \} . $$

Обобщение степенного метода основывается на использовании последовательностей из каких-то двух компонент векторов $ Y_{K+1}=AY_K $, например, наряду с уже использованной выше последовательностью первых компонент $$y_{1}^{[1]},y_{1}^{[2]},\dots,y_{1}^{[K]},\dots $$ возьмем еще и аналогичную для вторых: $$y_{2}^{[1]},y_{2}^{[2]},\dots,y_{2}^{[K]},\dots $$

Теорема 26 [Эйткен]. При практически любом выборе стартового вектора $ Y_0 \ne \mathbb O $ для последовательности

$$ Y_1=A\cdot Y_0,\ Y_2=A\cdot Y_1, \dots,\ Y_{K}=A\cdot Y_{K-1},\dots , $$ имеет место равенство $$ \lambda_1 \lambda_2 = \lim_{K\to +\infty} \frac{\left|\begin{array}{ll} y_1^{[K+1]} & y_1^{[K+2]} \\ y_2^{[K+1]} & y_2^{[K+2]} \end{array} \right|} {\left|\begin{array}{ll} y_1^{[K]} & y_1^{[K+1]} \\ y_2^{[K]} & y_2^{[K+1]} \end{array} \right|} \, . $$

Доказательство. Построим квадратное уравнение $$ p_0x^2+p_1x+p_2 = 0 $$ имеющее корнями $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $. Если существует базис рпостранства $ \mathbb C^n $ $$Y_0=\alpha_1{\mathfrak X}_1+\alpha_2{\mathfrak X}_2+\dots+\alpha_n{\mathfrak X}_n \ .$$ Тогда последовательным домножением на матрицу $ A_{} $ получаем : $$\begin{array}{llll} Y_K=& \alpha_1 \lambda_1^K{\mathfrak X}_1 &+\alpha_2 \lambda_2^K{\mathfrak X}_2+\dots &+\alpha_n\lambda_n^K{\mathfrak X}_n, \\ Y_{K+1}=& \alpha_1 \lambda_1^{K+1}{\mathfrak X}_1 &+\alpha_2 \lambda_2^{K+1}{\mathfrak X}_2+\dots &+\alpha_n\lambda_n^{K+1}{\mathfrak X}_n,\\ Y_{K+2}=& \alpha_1 \lambda_1^{K+2}{\mathfrak X}_1 & +\alpha_2 \lambda_2^{K+2}{\mathfrak X}_2+\dots &+\alpha_n\lambda_n^{K+2}{\mathfrak X}_n. \end{array} $$ Отбрасываем из правых частей равенств слагаемые порядков возрастания ниже, чем $ \lambda_2^K, \lambda_2^{K+1}, \lambda_2^{K+2} $ соответственно, домножаем получившиеся приближенные равенства $$\begin{array}{lll|l} Y_K & \approx \alpha_1 \lambda_1^K{\mathfrak X}_1 &+\alpha_2 \lambda_2^K{\mathfrak X}_2, & \color{Red} \times p_2 \\ Y_{K+1}& \approx \alpha_1 \lambda_1^{K+1}{\mathfrak X}_1 &+\alpha_2 \lambda_2^{K+1}{\mathfrak X}_2, & \color{Red} \times p_1\\ Y_{K+2} & \approx \alpha_1 \lambda_1^{K+2}{\mathfrak X}_1 & +\alpha_2 \lambda_2^{K+2}{\mathfrak X}_2, & \color{Red} \times p_0 \end{array} $$ и складываем: $$ p_2 Y_K + p_1Y_{K+1} + p_0 Y_{K+2} \approx \mathbb O \, . $$ В получившемся векторном равенстве выбираем первые две компоненты: $$ \left\{ \begin{array}{ll} p_2 y_1^{[K]} + p_1 y_1^{[K+1]} + p_0 y_1^{[K+2]} \approx 0 \, , \\ p_2 y_2^{[K]} + p_1 y_2^{[K+1]} + p_0 y_2^{[K+2]} \approx 0 \, , \end{array} \right. $$ которые и позволят определить приближенное значение набора $ p_0,p_1,p_2 $. С точностью до числового сомножителя, искомый полином можно представить в виде определителя $$ p_0x^2+p_1x+p_2 \approx \left|\begin{array}{lll} y_1^{[K]} & y_1^{[K+1]} & y_1^{[K+2]} \\ y_2^{[K]} & y_2^{[K+1]} & y_2^{[K+2]} \\ 1 & x & x^2 \end{array} \right| \, . $$ Формулы Виета завершат доказательство. ♦

При выполнении условия предположения 2 имеет место равенство

$$ \lambda_2 = \lim_{K\to +\infty} \frac{\left|\begin{array}{ll} y_1^{[K+1]} & y_1^{[K+2]} \\ y_2^{[K+1]} & y_2^{[K+2]} \end{array} \right| y_{1}^{[K+1]}} {\left|\begin{array}{ll} y_1^{[K]} & y_1^{[K+1]} \\ y_2^{[K]} & y_2^{[K+1]} \end{array} \right| y_{1}^{[K+2]} } \, . $$

Пример. Для матрицы

$$ A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 3 &-1\\ 7 & 3 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \end{array} \right) $$ найти первые два по порядку убывания модулей собственных числа.

Решение. Для $ Y_0= [1,0,0]^{\top} $ имеем: $$ Y_1=\left( \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ -1 \end{array} \right), \ Y_2=\left( \begin{array}{r} 26 \\ 32 \\ -20 \end{array} \right), \dots, $$ $$ Y_{18}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 164983395620948} \\ {\scriptstyle 156537857759336} \\ -{\scriptstyle 219402049179956} \end{array} \right), Y_{19}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 1018982413699860} \\ {\scriptstyle 966291195084776} \\ -{\scriptstyle 1355667307859444} \end{array} \right), Y_{20}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 6292505720513492} \\ {\scriptstyle 5964748557575016} \\ -{\scriptstyle 8374234035307188} \end{array} \right)\, . $$ Таким образом, $$ \lambda_1 \approx \frac{y_1^{[20]}}{y_1^{[19]}}= \frac{1573126430128373}{254745603424965} \approx \mathbf{6.17}_5 \ , $$ $$ \lambda_2 \approx \frac{\left|\begin{array}{ll} y_1^{[19]} & y_1^{[20]} \\ y_2^{[19]} & y_2^{[20]} \end{array} \right| y_{1}^{[19]}} {\left|\begin{array}{ll} y_1^{[18]} & y_1^{[19]} \\ y_2^{[18]} & y_2^{[19]} \end{array} \right| y_{1}^{[20]} }= \frac{300892177677465751832368453246033765185}{67074186846991590001957412392957971737 } \approx \mathbf{4.48}_5 $$ ♦

☞ ЗДЕСЬ.

.

[1]. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М. ИЛ, 1963, c. 137-142

[2]. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.Наука. 1970, с.93-94

[3]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ. 1960

[4]. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989