Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к пункту СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОРНЕЙ.


Формулы Виета

Т

Теорема. Для корней $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ полинома

$$ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n,\, a_0\ne 0 $$ справедливы формулы Виета $$ \sum_{1 \le j\le n} \lambda_j = \lambda_1+ \dots+ \lambda_n= -\frac{a_1}{a_0}, $$ $$ \sum_{1\le j_1<j_2\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2}= \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1 \lambda_3 +\dots + \lambda_2 \lambda_3 + \dots+ \lambda_{n-1}\lambda_n= \ \frac{a_2}{a_0}, $$ $$ \sum_{1\le j_1<j_2<j_3\le n} \lambda_{j_1} \lambda_{j_2} \lambda_{j_3}= \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3+ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 + \dots+ \lambda_{n-2} \lambda_{n-1} \lambda_n = -\frac{a_3}{a_0}, $$ $$ \dots $$ $$ \lambda_{1} \lambda_{2}\times \dots \times\lambda_{n-1} + \lambda_{1} \lambda_{2} \times \dots \times \lambda_{n-2} \lambda_n + \dots + \lambda_{2} \lambda_{3}\times \dots \times \lambda_n = (-1)^{n-1} \frac{a_{n-1}}{a_0}, $$ $$ \lambda_{1} \lambda_{2}\times \dots \times \lambda_{n}= (-1)^{n} \frac{a_{n}}{a_0} .$$ Здесь в левой части $ k_{} $-й формулы стоит сумма всевозможных произведений из $ k_{} $ чисел, выбранных из $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ (корни учитываются в соответствии с их кратностями); в правой части формулы стоит $ (-1)^ka_{k}/a_0 $.

Можно показать, что количество слагаемых в левой части $ k_{} $-й формулы равно $$ C_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!k!} \ , $$ т.е. числу сочетаний из $ n_{} $ элементов по $ k_{} $ элементов 1).

Доказательство проведем индукцией по $n$. Для $n=1$ и $n=2$ утверждение теоремы доказано. Предположим, что формулы Виета доказаны и для степени $n$. Рассмотрим теперь произвольный полином $(n+1)$-й степени: $$F(x)= A_0x^{n+1}+A_1x^{n}+\dots+A_nx+A_{n+1} \, . $$ Обозначим его корни $\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$. Тогда $$F(x)\equiv f(x)(x-\lambda_{n+1}) \, , $$ где полином $f(x)$ имеет $n$-ю степень и корни $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. По индукционному предположению, для такого полинома формулы Виета справедливы: $$f(x)\equiv A_0\left(x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}-\dots +(-1)^k \sigma_kx^{n-k} +\dots+ (-1)^n \sigma_n \right) \, ; $$ здесь через $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ обозначены левые части соответствующих формул Виета. Имеем: $$ F(x)\equiv $$ $$ \equiv A_0\left(x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}-\dots +(-1)^k \sigma_kx^{n-k} +\dots+ (-1)^n \sigma_n \right)(x-\lambda_{n+1})\equiv $$ используем схему умножения полиномов из решения примера ПУНКТА: $$ \begin{array}{lllllll} \equiv A_0\big( x^{n+1}&-\sigma_1x^{n} &+\dots &+(-1)^k \sigma_kx^{n-k+1} &+\dots &+ (-1)^n \sigma_n x & \\ & -\lambda_{n+1}x^n &+\dots&+(-1)^k \lambda_{n+1} \sigma_{k-1}x^{n-k+1}&+ \dots & &+(-1)^{n+1} \sigma_n\lambda_{n+1} \big) \end{array} $$ Теперь приравняем коэффициенты полиномов из обеих частей тождества. $$A_1=-A_0(\sigma_1+\lambda_{n+1}) ,\ A_{n+1}=(-1)^{n+1}A_0 \sigma_n \lambda_{n+1} \enspace , $$ что соответствует утверждению теоремы. При $k\in \{2,\dots,n\}$ получаем $$A_k=(-1)^k A_0(\sigma_k+\lambda_{n+1} \sigma_{k-1}) \, . $$ Осталось показать, что сумма $$\sigma_k+\lambda_{n+1} \sigma_{k-1} $$ равна сумме всевозможных произведений из $k$ чисел, выбранных из $\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1}$. Но это действительно так: слагаемые $\sigma_k$ представляют собой произведения этих корней, не содержащие $\lambda_{n+1}$; любое же произведение из $k$ корней, содержащее $\lambda_{n+1}$, т.е. $\lambda_{j_1} \times \dots \times \lambda_{j_{k-1}}\lambda_{n+1}$, содержится в слагаемом $\lambda_{n+1} \sigma_{k-1}$, поскольку $\lambda_{j_1} \times \dots \times \lambda_{j_{k-1}}$ содержится в $\sigma_{k-1}$.

1)
В случае простых корней $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ — это прямое следствие определения сочетания.
polynomial/vietep.txt · Последние изменения: 2020/10/06 11:11 — au