Инструменты сайта


Линейное отображение

§

Для понимания материалов этого раздела рекомендуется просмотреть материалы раздела ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Линейным отображением линейного векторного пространства $ \mathbb V_{} $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ +_{} $, в линейное векторное пространство $ \mathbb W_{} $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ \boxplus_{} $, называется функция (соответствие) $$ \mathcal A:\ \mathbb V \longmapsto \mathbb W $$ (т.е. определенная на $ \mathbb V_{} $, имеющая значения в $ \mathbb W_{} $), обладающая свойством линейности, которое описывается одним из двух эквивалентных представлений: $$ \mathcal A (X_1 +X_2)= \mathcal A(X_1) \boxplus \mathcal A(X_2),\quad \mathcal A (\alpha_1 X_1)= \alpha_1 \mathcal A (X_1), $$ или $$ \mathcal A(\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2)= \alpha_1 \mathcal A(X_1) \boxplus \alpha_2 \mathcal A(X_2) $$ указанные свойства должны быть выполнены для любых векторов $ X_1,X_2 $ пространства $ \mathbb V_{} $ и любых скаляров $ \alpha_1,\alpha_ 2 $ (вещественных если оба пространства вещественны, и комплексных если хотя бы одно из пространств комплексное). Если $ Y=\mathcal A(X) $, то говорят, что $ Y_{} $ — образ вектора $ X_{} $, а $ X_{} $ — прообраз вектора $ Y_{} $ при отображении $ \mathcal A_{} $. Пространство $ \mathbb V_{} $ называется областью определения отображения $ \mathcal A_{} $.

§

Образно говоря, свойство линейности отображения заключается в том, что при этом отображении образ суммы любых двух векторов совпадает с суммой образов этих векторов, а произвольное растяжение прообраза влечет за собой сообразное же растяжение образа1).

Примеры линейных отображений

П

Пример 1. Рассмотрим линейное пространство полиномов степени не выше $ n_{} $: $ \mathbb P_n=\{p(x) \in \mathbb R[x] \mid \deg p(x) \le n \} $; в это же множество включаем и тождественно нулевой полином (для которого степень не определяется). Операция нахождения частного и операция нахождения остатка от деления полинома $ p(x)_{} $ на заданный фиксированный полином $ g(x) \in \mathbb R[x], g(x) \not\equiv 0 $ являются линейными отображениями пространства $ \mathbb P_{n} $: если $$ p_1(x)\equiv q_1(x)g(x)+r_1(x),\ p_2(x)\equiv q_2(x)g(x)+r_2(x) $$ при $ \deg r_j(x)<\deg g(x) $ то $$ (\alpha_1p_1(x)+\alpha_2p_2(x)) \equiv $$ $$ \equiv (\alpha_1q_1(x)+\alpha_2q_2(x)) g(x) + (\alpha_1r_1(x)+\alpha_2r_2(x)) \ . $$ Фактически, операция деления на $ g_{}(x) $ (с остатком) порождает два разных линейных отображения. Если $ \deg g(x) = m $ при $ 0<m\le n $, то операция нахождения остатка — это отображение $ \mathbb P_{n} \mapsto \mathbb P_{m-1} $, а операция нахождения частного — это отображение $ \mathbb P_{n} \mapsto \mathbb P_{n-m} $.

П

Пример 2. В том же линейном пространстве $ \mathbb P_{n}^{} $ операция дифференцирования $$ \frac{d }{d\, x}:\ p(x) \longmapsto p'(x) $$ является отображением $ \mathbb P_{n}^{} $ в $ \mathbb P_{n-1}^{} $ линейным поскольку $$\frac{d }{d\, x} (\alpha_1 p_1(x) + \alpha_2 p_2(x))= \alpha_1 \frac{d }{d\, x} p_1(x) + \alpha_2 \frac{d }{d\, x} p_2(x) \ . $$ Прообраз любого элемента $ \mathbb P_{n-1}^{} $ неединствен: $ \frac{d }{d\, x}(\frac{1}{2} x^2 + \ const)=x $.

П

Пример 3. Операцию нахождения первообразной: $$ \int_{0}^{x}:\ \begin{array}{ccc} p(x) &\longmapsto& \int_{0}^{x} p(t) d\, t \\ a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n &\longmapsto& \displaystyle \frac{a_0}{n+1}x^{n+1}+\frac{a_1}{n}x^{n}+\cdots+a_nx \end{array} $$ тоже можно рассматривать как линейное отображение $ \mathbb P_n \longmapsto \mathbb P_{n+1} $. При этом прообраз каждого полинома из $ \mathbb P_{n+1} $ (если существует) будет единствен.

П

Пример 4. Линейная форма от переменных $ x_{1},\dots,x_n $: $$\mathcal A(x_1,\dots,x_n)=a_1x_1+\dots+a_nx_n,\quad \{a_j \}_{j=1}^{n} \subset \mathbb R $$ является примером линейного отображения $ \mathbb R^{n}_{} $ в $ \mathbb R_{} $. Здесь тоже прообразов у одного и того же элемента из $ \mathbb W_{} $ может быть несколько: $$\mathcal A(x_1,x_2)=2x_1-x_2 \ \mbox{ отображает вектора } \ X_1=[0,0] \ \mbox{ и } \ X_2=[1,2] \ \mbox{ в } \ 0 \ .$$

П

Пример 5. Обобщением предыдущего примера является отображение $ \mathcal A: \mathbb R^n \longmapsto \mathbb R^m $, задаваемое $$ \mathcal A \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ \dots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \end{array} \right)= $$ $$ = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2}& \dots & a_{mn} \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) $$ при произвольной вещественной матрице. Оно является линейным — в отличие от похожего на него отображения $$ \begin{array}{ll} \tilde{\mathcal A} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n +b_1 \\ \dots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n + b_m \end{array} \right)= \\ &=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2}& \dots & a_{mn} \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{array} $$ при хотя бы одном из чисел $ b_1,\dots,b_{m} $ отличном от нуля. В самом деле, если записать последнее в матричном виде: $$ \tilde{\mathcal A}(X)=A\cdot X+ \mathcal B, \quad \mbox{ то } \quad \tilde{\mathcal A}(\alpha X)=A\cdot (\alpha X)+ \mathcal B \ne \alpha \tilde{\mathcal A}(X)= \alpha \left(A\cdot X+ \mathcal B \right). $$ Для этого отображения свойство линейности не выполняется.

П

Пример 6. Предыдущим примерам можно дать и геометрическую интерпретацию. Так, линейное отображение $ \mathbb R^3 \longmapsto \mathbb R^3 $: $$\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \longmapsto \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ 0 \end{array} \right) $$ задает ортогональную проекцию вектора $ X=(x,y,z) $ на плоcкость $ z=0 $. Можно рассматривать его и как отображение $ \mathbb R^{3} \longmapsto \mathbb R^2 $. Проецирование же на произвольное подпространство может быть задано с помощью матрицы. Так, например, отображение $$\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \longmapsto \frac{1}{3} \left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1 \\ -1& 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) $$ задает ортогональную проекцию вектора $ X_{} $ на многообразие $ x+y+z=0 $.

§

Общее выражение для отображения ортогонального проецирования на линейное подпространство в $ \mathbb R^{n}_{} $ ЗДЕСЬ.

П

Пример 7. В линейном пространстве $ \mathbb R^{m\times n} $ матриц порядка $ m\times n_{} $ с вещественными элементами определим два отображения: $$ X \mapsto A\cdot X \quad u \quad X \mapsto X \cdot B $$ умножения слева на фиксированную матрицу $ A_{\ell\times m} $ и умножения справа на также фиксированную матрицу $ B_{n\times k} $. Оба отображения являются линейными. Линейным также будет и отображение $$ X \mapsto A\cdot X \cdot B \ . $$ При дополнительных условиях $ m=n,\ell=k $ линейным будет и отображение $$ X \mapsto A\cdot X + X \cdot B \ . $$ Оно отображает множество квадратных матриц порядка $ n_{} $ во множество квадратных матриц порядка $ k_{} $.

П

Пример 8. В пространстве полиномов с вещественными коэффициентами от $ m_{} $ переменных $ x_1,x_2,\dots,x_{m} $ степени не выше $ n_{} $ рассмотрим отображение $$ f(x_1,x_2,\dots,x_m) \mapsto \operatorname{grad} (f)= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_m} \right) \ . $$ Здесь вектор $ \operatorname{grad} (f) $ называется градиентом функции $ f_{} $. Это отображение будет линейным. Для его записи используют следующий формализм. Вводят в рассмотрение специальный вектор, называемый набла2) $$ \nabla = \left(\frac{\partial }{\partial x_1}, \frac{\partial }{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial }{\partial x_m} \right) \ . $$ Умножение этого вектора на функцию $ f_{} $ имеет результатом именно градиент: $$ \nabla \cdot f = \operatorname{grad} (f) \ . $$ Умножение же этого вектора по правилу скалярного произведения на вектор $ F= (f_1,f_2,\dots,f_m) $, состоящий из $ m_{} $ полиномов, порождает отображение этого вектора в полином: $$ \operatorname{div} (F) = (\nabla, F)=\frac{\partial f_1 }{\partial x_1}+ \frac{\partial f_2 }{\partial x_2}+ \dots+ \frac{\partial f_m }{\partial x_m} \ ; $$ он называется дивергенцией вектора $ F_{} $. Это отображение $$ F \mapsto \operatorname{div} (F) $$ также будет линейным.

?

В частном случае линейных форм: $$ f_j=a_{j1}x_1+\dots+a_{jn}x_m \quad npu \quad j\in\{1,\dots,m\} $$ получим связь $ \operatorname{div} (F) $ с одним объектом матричного анализа. Каким именно?

?

Является ли линейным отображение $$ X \longmapsto \operatorname{Sp} (X) \ , $$ определенное в пространстве квадратных матриц порядка $ n_{} $? Здесь $ \operatorname{Sp} (X) $ — след матрицы $ X_{} $.

?

Про линейное отображение $ \mathcal A $ пространства $ \mathbb R^{3}_{} $ в пространство $ \mathbb P_3^{} $ известно, что $$ \mathcal A(1,0,1)=1+3\,x+x^3,\ \mathcal A(1,-1,0)=-1+x-x^2 \ . $$ Найти $ \mathcal A(-1,2,1) $.

Свойства линейных отображений

§

В настоящем пункте $ \mathbb O_{} $ означает нулевой вектор пространства $ \mathbb V_{} $, а $ \mathbb O' $ — нулевой вектор пространства $ \mathbb W_{} $.

Два линейных отображения $ \mathcal A $ и $ \mathcal B $ из $ \mathbb V_{} $ в $ \mathbb W_{} $ называются равными если $ \mathcal A(X)=\mathcal B(X) $ для любого $ X\in \mathbb V $. Нулевое отображение определяется условием $${\mathcal O}(X)=\mathbb O' \quad npu \quad \forall \ X\in \mathbb V \ .$$

Т

Теорема 1. Для любого линейного отображения $ \mathcal A(X) $:

а) $ \mathcal A(\mathbb O)=\mathbb O' $;

б) если система $ \{X_1,\dots,X_k\} $ линейно зависима, то и система $ \{ \mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_k) \} $ линейно зависима;

в) если система $ \{ \mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_k) \} $ линейно независима, то и система $ \{X_1,\dots,X_k\} $ линейно независима.

Т

Теорема 2. Линейное отображение отображает произвольное линейное многообразие пространства $ \mathbb V_{} $ в линейное же многообразие пространства $ \mathbb W_{} $.

Доказательство. Если $$ \mathbb M = X_0+\mathcal L(X_1,\dots,X_k) $$ $$ =\{X_0+\alpha_1X_1+\dots+ \alpha_kX_k \mid (\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in \mathbb R^k \} , $$ то свойство линейности отображения $ \mathcal A_{} $ дает: $$ \mathcal A( \mathbb M) =\{\mathcal A(X_0)\boxplus \alpha_1\mathcal A(X_1) \boxplus \dots \boxplus \alpha_k\mathcal A(X_k) \mid (\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in \mathbb R^k \} = $$ $$ =\mathcal A(X_0) \boxplus \mathcal L(\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_k)) \ . $$ Заметим, что в соответствии с теоремой 1, можно утверждать, что линейное отображение не увеличивает размерности отображаемого многообразия: $ \dim \mathcal A( \mathbb M) \le \dim \mathbb M $.

=>

Линейное отображение отображает произвольную прямую пространства $ \mathbb V_{} $ в прямую или точку пространства $ \mathbb W $.

?

Доказать, что линейное отображение отображает параллельные многообразия пространства $ \mathbb V_{} $ в параллельные же многообразия пространства $ \mathbb W_{} $.

Т

Теорема 3. Пусть $ \{X_1,\dots,X_n\} $ — произвольный базис $ \mathbb V_{} $, а $ Y_1,\dots,Y_n $ — произвольные векторы из $ \mathbb W_{} $. Существует единственное линейное отображение $ \mathcal A: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ такое, что$$ \mathcal A(X_1)=Y_1,\dots,\mathcal A(X_n)=Y_n \ .$$

§

Иными словами: любое линейное отображение пространства $ \mathbb V_{} $ в другое пространство однозначно определяется его заданием на базисных векторах пространства $ \mathbb V_{} $.

Доказательство. Поскольку векторы $ X_1,\dots,X_{n} $ — базисные, то существует и единственно разложение любого $ X\in \mathbb V_{} $: $ X=x_1X_1+\cdots+x_nX_n $. Зададим отображение $ \mathcal A: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ формулой $$\mathcal A(X) = x_1Y_1\boxplus \dots \boxplus x_nY_n \ . $$ Легко проверить свойство его линейности. Кроме того: $$\mathcal A(X_j)=\mathcal A(0\cdot X_1+\dots+1\cdot X_j+\dots+0\cdot X_n)= $$ $$ =0\cdot Y_1 \boxplus \dots \boxplus 1\cdot Y_j \boxplus \dots \boxplus 0\cdot Y_n=Y_j,$$ т.е. оно удовлетворяет условиям теоремы.

Предположим теперь, что существует еще одно отображение $ \mathcal B(X) $, удовлетворяющее этим условиям: $ \mathcal B(X_j)=Y_j $. Тогда $$\mathcal A(X)=x_1Y_1 \boxplus \cdots \boxplus x_nY_n= $$ $$ =x_1\mathcal B(X_1) \boxplus \cdots \boxplus x_n\mathcal B(X_n)=\mathcal B(X),$$ и, на основании определения, $ \mathcal A(X)=\mathcal B(X) $.

Отображение $ {\mathcal S}: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ называется суммой линейных отображений $ \mathcal A $ и $ \mathcal B $ если $ \mathcal S(X)=\mathcal A(X) \boxplus \mathcal B(X) $ для $ \forall X\in \mathbb V_{} $. Отображение $ \mathcal F:\mathbb V \longmapsto \mathbb W $ называется произведением линейного отображения $ \mathcal A_{} $ на число (скаляр) $ \lambda_{} \in \mathbb R $ если $ {\mathcal F}(X)=\lambda \cdot \mathcal A(X) $ для $ \forall X\in \mathbb V_{} $.

Т

Теорема 4. Отображения $ {\mathcal S} $ и $ {\mathcal F} $ — линейные.

П

Пример. В пространстве полиномов $ \mathbb P_n $ операцию нахождения второй производной $$ \frac{d^2 }{d\, x^2}:p(x) \longmapsto p''(x)$$ тоже можно рассматривать как линейное отображение $ \mathbb P_n \longmapsto \mathbb P_{n-1} $. Линейным также будет и отображение $$ \frac{d^2 }{d\, x^2}\times \Box + 2 \frac{d}{d\, x}\times \Box: \ p(x) \ \longmapsto \ p''(x)+2 p'(x) \ .$$

Т

Теорема 5. Множество $ {\mathcal H}om(\mathbb V,\mathbb W) $ всех линейных отображений из $ \mathbb V_{} $ в $ \mathbb W_{} $ образует линейное пространство и$$\dim {\mathcal H}om(\mathbb V,\mathbb W) = \dim \mathbb V \cdot \dim \mathbb W \ .$$

Ядро и образ линейного отображения

Для линейного отображения $ \mathcal A $ его ядром3) называется множество векторов из $ \mathbb V_{} $, отображающихся в $ \mathbb O' \in \mathbb W $: $$\mathcal{K}er (\mathcal A)= \left\{X\in \mathbb V \big| \mathcal A(X)=\mathbb O' \right\} \ ; $$ а его образом называется множество всех векторов из $ \mathbb W_{} $, для каждого из которых существует прообраз из $ \mathbb V_{} $: $$\mathcal{I}m (\mathcal A)= \left\{Y\in \mathbb W \mid \exists X \in \mathbb V, \ \mathcal A(X)= Y \right\} \ .$$

§

Фактически $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $ можно назвать областью значений линейного отображения $ \mathcal A_{} $.

Т

Теорема 1. $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ и $ \mathcal{I}m(\mathcal A) $ являются линейными подпространствами соответствующих пространств.

Для линейного отображения $ \mathcal A_{} $ его дефектом называется размерность ядра, а его рангом — размерность образа: $$ \operatorname{dfc}(\mathcal A )=\dim (\mathcal{K}er (\mathcal A )) , \ \operatorname{rank}(\mathcal A )= \dim (\mathcal{I}m (\mathcal A )) \ . $$ Отображение называется невырожденным если $ \operatorname{dfc}(\mathcal A )=0 $.

Т

Теорема 2. Линейное отображение $ \mathcal A $ невырождено тогда и только тогда, когда у каждого образа существует единственный прообраз.

Доказательство. Необходимость. Если $ \mathcal A $ невырождено, то $ \mathcal{K}er (\mathcal A )=\{\mathbb O\} $, т.е. единственным вектором из $ \mathbb V_{} $, отображающимся в $ \mathbb O' \in \mathbb W $ должен быть $ \mathbb O_{} $. Если предположить неединственность прообраза для какого-то $ Y\in \mathbb W $: $ Y=\mathcal A (X_1)=\mathcal A (X_2) $ при $ X_1\ne X_2 $, то $$\mathbb O'=\mathcal A (X_1)-\mathcal A (X_2)=\mathcal A (X_1-X_2)$$ и получаем противоречие с единственностью прообраза у $ \mathbb O' $.

Достаточность. Пусть $ \mathcal A (X_1)\ne \mathcal A (X_2) $ для любых $ X_1\ne X_2 $. Если бы $ \mathcal{K}er (\mathcal A ) $ имело ненулевую размерность, то существовал бы $ X\ne \mathbb O $ такой, что $ \mathcal A (X)=\mathbb O' $, что противоречило бы предыдущей фразе: $ \mathcal A (X)= \mathcal A (\mathbb O) $.

Т

Теорема 3. Если $ \{X_1,\dots,X_{n}\} $ — произвольный базис $ \mathbb V_{} $, то $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $ совпадает с линейной оболочкой образов этих векторов$$ \mathcal{I}m (\mathcal A) ={\mathcal L}\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) \right) \ .$$

Доказательство. Действительно, любой вектор $ Y \in \mathcal{I}m (\mathcal A) $ является образом какого-то вектора $ X=x_1X_1+\cdots+x_nX_n $, тогда на основании линейности отображения: $$ Y=\mathcal A (X)=x_1\mathcal A (X_1) \boxplus \cdots \boxplus x_n \mathcal A (X_n) \in {\mathcal L}\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A(X_n) \right) \ .$$ Таким образом $$\mathcal{I}m (\mathcal A) \subset {\mathcal L}\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) \right) \ .$$ Обратно, поскольку векторы $ \mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) $ принадлежат $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $, то по теореме 1 и любая линейная комбинация этих векторов должна принадлежать $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $: $${\mathcal L}\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) \right) \subset \mathcal{I}m (\mathcal A) \ .$$ Из двух взаимных включений множеств следует их равенство.

П

Пример. Найти ядро и образ отображения $ \mathbb R^3 \longmapsto \mathbb R^4 $ $$ \mathcal A \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} x_3 \\ 0 \\x_1+x_2+x_3 \\ x_1+x_2-x_3 \end{array} \right) \ . $$

Решение. Для определения $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ найдем фундаментальную систему решений системы уравнений $$\left\{ \begin{array}{rrr} x_3 &=&0 \\ 0 &=&0 \\ x_1+x_2+x_3 &=&0 \\ x_1+x_2-x_3 &=&0 \end{array} \right. \quad \Longrightarrow X_1= \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\0 \end{array} \right) $$ Имеем $ \operatorname{dfc}(\mathcal A )=1 $ и $ \mathcal{K}er (\mathcal A)= \mathcal L (X_1) $.

Теперь для нахождения $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $ воспользуемся теоремой 3: базис следует искать среди векторов $$Y_1=\mathcal A \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\0 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \ Y_2=\mathcal A \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\0 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), $$ $$ Y_3=\mathcal A \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\1 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \ . $$ Имеем: $ \operatorname{rank}(\mathcal A )=2 $ и $ \mathcal{I}m (\mathcal A) = \mathcal L (Y_1,Y_3) $.

П

Пример. Найти ядро и образ отображения пространства полиномов $ \mathbb P_3 $ в $ \mathbb P_2 $, задаваемого формулой: $$ \mathcal A \left(p(x)\right) = x^2 p^{\prime \prime} (x) + p^{\prime} (x) - 6 p(x) \ . $$

Решение. Для начала проверим, что это отображение именно $ \mathbb P_3 \mapsto \mathbb P_2 $, т.е. при таком отображении происходит понижение степени полинома, по крайней мере на $ 1_{} $. И действительно, если $ p(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $, то $$ x^2 p^{\prime \prime} (x) + p^{\prime} (x) - 6 p(x) \equiv $$ $$ \equiv (-4\,a_1+3\,a_0)x^2+(2\,a_1-6\,a_2)x+(a_2-6\,a_3) \ . $$ Теперь понятно, что $ \mathcal{I}m (\mathcal A) \subset \mathbb P_2 $, а, на самом деле, это включение может быть заменено на равенство. Действительно, в соответствии с теоремой 2, имеем: $$ \mathcal{I}m (\mathcal A)= {\mathcal L}\left(\mathcal A (1),\mathcal A (x),\mathcal A (x^2),\mathcal A (x^3) \right)= $$ $$ = {\mathcal L}\left(-6,\,-6\,x+1 ,\, -4\,x^2+2\,x ,\, 3\,x^2 \right) = \mathbb P_2 $$ поскольку три из четырех получившихся полиномов линейно независимы.

Теперь найдем $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $, или, в альтернативной формулировке, подмножество решений дифференциального уравнения $$ x^2 p^{\prime \prime} (x) + p^{\prime} (x) - 6 p(x)=0 $$ во множестве $ \mathbb P_3 $ (полиномов степени не выше третьей). Воспользуемся уже выведенной выше формулой для образа произвольного полинома $ p(x) \in \mathbb P_3 $. Этот образ будет тождественно равным нулю полиномом при выполнении условий $$ -4\,a_1+3\,a_0=0,\ 2\,a_1-6\,a_2=0,\ a_2-6\,a_3=0 \ . $$ Решаем эту систему: $$ a_0=\frac{4}{3} a_1,\ a_2=\frac{1}{3} a_1,\ a_3=\frac{1}{18} a_1 \ . $$ Таким образом, $$ \mathcal{K}er (\mathcal A) = \left\{ \lambda (24\,x^3+18\,x^2+6\,x+1) \mid \lambda \in \mathbb R \right\} \ . $$

Т

Теорема 4. Пусть $ \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}}\} $ — относительный базис $ \mathbb V_{} $ над $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $. Тогда система $ \{\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_{{\mathfrak r}}) \} $ образует базис $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $.

Доказательство. Любой вектор $ X\in \mathbb V $ представи́м в виде $ X=X_{\ast}+\alpha_1X_1+\dots+ \alpha_{{\mathfrak r}}X_{{\mathfrak r}} $, где $ X_{\ast} \in \mathcal{K}er (\mathcal A) $. Тогда $ \mathcal A(X) \in \mathcal L ( \mathcal A(X_1),\dots, \mathcal A(X_mathfrak_r)) $ и, следовательно, $$ \mathcal{I}m (\mathcal A) = \mathcal L ( \mathcal A(X_1),\dots, \mathcal A(X_{{\mathfrak r}})) \ . $$ Если векторы $ \mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_{{\mathfrak r}}) $ удовлетворяют равенству: $$ \beta_1 \mathcal A(X_1) \boxplus \dots \boxplus \beta_{{\mathfrak r}} \mathcal A(X_{{\mathfrak r}})= \mathbb O' \ , $$ то $ \beta_1 X_1 + \dots + \beta_{{\mathfrak r}} X_{{\mathfrak r}} \in \mathcal{K}er (\mathcal A) $. На основании определения относительного базиса из такого равенства необходимо следует $ \beta_1 = \dots = \beta_{{\mathfrak r}}=0 $. Таким образом, система $ \{\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_{{\mathfrak r}}) \} $ л.н.з.

Т

Теорема 5. Имеет место равенство: $$ \dim \mathbb V=\dim \left( \mathcal{K}er (\mathcal A) \right) + \dim \left( \mathcal{I}m (\mathcal A) \right) = \operatorname{dfc}(\mathcal A )+ \operatorname{rank}(\mathcal A ) \ .$$

Доказательство ЗДЕСЬ.

§

Утверждение $ \mathbb V= \mathcal{K}er (\mathcal A) \oplus \mathcal{I}m (\mathcal A) $ (здесь $ \oplus $ означает прямую сумму подпространств ), вообще говоря, неверно!

Т

Теорема 6. Пусть $ \mathbb V_1 $ — линейное подпространство $ \mathbb V_{} $, а $ \mathbb W_1 $ — линейное подпространство $ \mathbb W $, причем $$ \dim \mathbb V_1 + \dim \mathbb W_1 =\dim \mathbb V \ . $$ Тогда существует линейное отображение $ \mathcal A : \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ такое, что $$ \mathcal{K}er (\mathcal A ) =\mathbb V_1 , \quad \mathcal{I}m (\mathcal A )=\mathbb W_1 \ . $$

Определенные в настоящем пункте множества $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ и $ \mathcal{I}m(\mathcal A) $ позволяют полностью решить и следующую задачу:

Задача. Установить множество всех прообразов вектора $ Y \ne \mathbb O^{\prime} $ при линейном отображении $ \mathcal A_{} $ .

Т

Теорема 7. Если $ Y \not\in \mathcal{I}m(\mathcal A) $, то у вектора $ Y \in \mathbb W $ не существует прообраза в $ \mathbb V_{} $. Если $ X_{0} \in \mathbb V $ — какой-то из прообразов вектора $ Y_{} $, то все множество прообразов этого вектора является линейным многообразием в $ \mathbb V_{} $, а именно: $$ X_0 + \mathcal{K}er (\mathcal A) \ . $$

Матрица линейного отображения

Рассмотрим линейное отображение $ \mathcal A: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $, и пусть $ \{X_1,\dots,X_n\} $ — базис $ \mathbb V_{} $, а $ \{Y_1,\dots,Y_m\} $ — базис $ \mathbb W_{} $. Найдем координаты векторов $ \mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_n) $ в базисе $ \{Y_1,\dots,Y_m\} $: $$ \left\{ \begin{array}{ccr} \mathcal A(X_1)&=&{\color{RubineRed} \alpha }_{11}Y_1 \boxplus {\color{RubineRed} \alpha }_{21}Y_2 \boxplus \dots \boxplus {\color{RubineRed} \alpha }_{m1}Y_m, \\ \mathcal A(X_2)&=&{\color{Green} \alpha }_{12}Y_1 \boxplus {\color{Green} \alpha }_{22}Y_2 \boxplus \dots \boxplus {\color{Green} \alpha }_{m2}Y_m, \\ \dots & & \dots, \\ \mathcal A(X_n)&=&\alpha_{1n}Y_1 \boxplus \alpha_{2n}Y_2 \boxplus \dots \boxplus \alpha_{mn}Y_m. \end{array} \right. $$ Матрица $$ {\mathbf A}= \left(\begin{array}{cccc} {\color{RubineRed} \alpha } _{11} & {\color{Green} \alpha }_{12}& \dots & \alpha_{1n} \\ {\color{RubineRed} \alpha } _{21} & {\color{Green} \alpha }_{22}& \dots & \alpha_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ {\color{RubineRed} \alpha } _{m1} & {\color{Green} \alpha }_{m2}& \dots & \alpha_{mn} \end{array} \right)_{m\times n}, $$ по столбцам которой стоят координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного отображения $ \mathcal A_{} $ в выбранных базисах.

§

Почему запись координат в матрицу производится по столбцам? Казалось бы, естественней ставить их по строкам :-\ Объяснение этому решению будет дано ниже.

Т

Теорема 1. Координаты произвольного вектора $ X=x_1X_1+\dots+x_nX_n $ и его образа $ \mathcal A (X)=y_1Y_1 \boxplus \dots \boxplus y_mY_m $ связаны формулой: $$ \left(\begin{array}{l} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array} \right) = {\mathbf A}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \ . $$

§

Вот именно для этой последней формулы необходимо было «транспонировать» запись матрицы линейного отображения в начале настоящего пункта.

Доказательство. С помощью приведенных выше формул для $ \mathcal A (X_1), \dots, \mathcal A (X_n) $ получаем: $$ \begin{array}{rcl} \mathcal A (X)&=&\mathcal A (x_1X_1+\dots+x_nX_n)=x_1\mathcal A (X_1) \boxplus \dots \boxplus x_n\mathcal A (X_n)= \\ &=&x_1 (\alpha_{11}Y_1 \boxplus \dots \boxplus \alpha_{m1}Y_m) \boxplus \dots \boxplus x_n(\alpha_{1n}Y_1 \boxplus \dots \boxplus \alpha_{mn}Y_m)= \\ &=&\underbrace{(x_1\alpha_{11} +\dots+x_n\alpha_{1n})}_{y_1}Y_1 \boxplus \dots \boxplus \underbrace{(x_1\alpha_{m1}+\dots+x_n\alpha_{mn})}_{y_m}Y_m, \end{array} $$ откуда и следует утверждение теоремы.

П

Пример. Найти матрицу линейного отображения $$ \mathcal A \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} x_3 \\ 0 \\x_1+x_2+x_3 \\ x_1+x_2-x_3 \end{array} \right) $$ в стандартных базисах пространств $$ \overbrace{\left\{\underbrace{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]}_{=\mathfrak e_{_1}} ,\ \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]}_{=\mathfrak e_{_2}},\ \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]}_{=\mathfrak e_{_3}}\ \right\}}^{\mathbb R^3} \quad u \quad \overbrace{\left\{ \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]}_{={\mathfrak E_{_1}}} ,\ \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{array} \right]}_{=\mathfrak E_{_2}},\ \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\0 \end{array} \right]}_{=\mathfrak E_{_3}}\ ,\ \underbrace{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\1 \end{array} \right]}_{=\mathfrak E_{_4}}\ \right\} }^{\mathbb R^4} $$

Решение. $$ \mathcal A(\mathfrak e_1)= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]=0\cdot \mathfrak E_{_1}+0\cdot \mathfrak E_{_2}+1\cdot \mathfrak E_{_3}+1\cdot \mathfrak E_{_4} ;\quad \mathcal A(\mathfrak e_2)= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]=0\cdot \mathfrak E_{_1}+0\cdot \mathfrak E_{_2}+1\cdot \mathfrak E_{_3}+1\cdot \mathfrak E_{_4} ; $$ $$ \mathcal A(\mathfrak e_3)= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]=1\cdot \mathfrak E_{_1}+0\cdot \mathfrak E_{_2}+1\cdot \mathfrak E_{_3}-1\cdot \mathfrak E_{_4} . $$ Матрица отображения $ \mathcal A_{} $ в выбранных базисах: $$ \mathbf A= \left(\begin{array}{ccr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right) $$ совпадает с матрицей коэффициентов при переменных $ x_1,x_2,x_3 $ в выражениях координат вектора $ \mathcal A(X) $.

П

Пример. Найти матрицу линейного отображения пространства полиномов $ \mathbb P_3 $ в $ \mathbb P_2 $, задаваемого формулой: $$ \mathcal A \left(p(x)\right) = x^2 p^{\prime \prime} (x) + p^{\prime} (x) - 6 p(x) \ . $$ Базисом пространства $ \mathbb P_3 $ выбран $ \{1,x,x^2,x^3\} $, а базис пространства $ \mathbb P_2 $ состоит из полиномов Лежандра $$ \{P_0(x)=1,\ P_1(x)= x,\ P_2(x)=\frac{1}{2}(3\,x^2-1) \} \ .$$

Решение. В предыдущем ПУНКТЕ уже были получены выражения: $$ \mathcal A(1)=-6,\ \mathcal A(x)=-6\,x+1,\ \mathcal A(x^2)=-4\,x^2+2\,x ,\ \mathcal A(x^3)=3\,x^2 \ .$$ Если бы базис пространства $ \mathbb P_2 $ составляли полиномы, входящие в базис исходного пространства, т.е. $ \{1,x,x^2\} $, то матрица линейного отображения построилась бы достаточно просто: $$ \mathbf B= \left( \begin{array}{rrrr} -6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 &-6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ \end{array} \right) \ . $$ Однако базис пространства $ \mathbb P_2 $ отличается от $ \{1,x,x^2\} $ в последнем полиноме: $ P_2(x) \not\equiv x^2 $. Координаты $ \mathcal A(1) $ и $ \mathcal A(x) $ остаются прежними, а вот $ \mathcal A(x^2) $ и $ \mathcal A(x^3) $ приходится переписывать под базис из полиномов Лежандра: $$ -4\,x^2+2\,x \equiv a_{13}\cdot 1 + a_{23}\cdot x + a_{33} \cdot \left( \frac{1}{2}(3\,x^2-1) \right) \ . $$ Откуда получаем: $ a_{13}=-4/3,\ a_{23}=2,\ a_{33}=-8/3 $. Аналогично $$ 3\,x^2\equiv P_0(x)+2\,P_2(x) $$ и, следовательно, матрица линейного отображения: $$ \mathbf A= \left( \begin{array}{rrrr} -6 & 1 & -4/3 & 1 \\ 0 &-6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -8/3 & 2 \\ \end{array} \right) \ . $$

Т

Теорема 2. Существует изоморфизм между линейным пространством $ {\mathcal H}om(\mathbb V,\mathbb W) $ (линейных отображений из $ \mathbb V_{} $ в $ \mathbb W_{} $) и линейным пространством матриц $ \mathbb R^{m\times n } $.

!

Фактически теоремы $ 1_{} $ и $ 2_{} $ сводят рассмотрение произвольного линейного отображения $ \mathcal A_{} $ пространства $ \mathbb V_{} $ в пространство $ \mathbb W_{} $ к рассмотрению отображения арифметического пространства $ n_{} $-компонентных столбцов в арифметическое пространство $ m_{} $-компонентных столбцов $$ Y=\mathbf AX \quad \mbox{ при } \quad X\in \mathbb R^n, Y\in \mathbb R^m ; $$ это отображение задается $ m\times n_{} $-матрицей $ \mathbf A_{} $. Получается, что для полного задания исходного линейного отображения достаточно знать только результат его действия на базисные векторы пространства $ \mathbb V_{} $. После фиксирования базисов обоих пространств и установления матрицы линейного отображения, можно «забыть» о природе этих пространств и исследовать свойства отображения в «переводе на язык» умножения матрицы на столбец. В частности, «почти даром» получаем следующий результат:

Т

Теорема 3. Если $ A_{} $ — матрица линейного отображения $ \mathcal A_{} $ в каких-то выбранных базисах пространств $ \mathbb V_{} $ и $ \mathbb W_{} $, то $$\operatorname{rank} (\mathcal A)=\operatorname{rank}( A ),\ \operatorname{dfc} (\mathcal A)=n-\operatorname{rank}( A ) \ .$$

Ядро линейного отображения $$ Y=AX \quad \mbox{ при } \quad X\in \mathbb R^n, Y\in \mathbb R^m, \quad A \in \mathbb R^{m\times n } $$ часто называется ядром матрицы $ A_{} $ или нуль-пространством матрицы $ A_{} $ и также обозначается $ {\mathcal K}er (A) $. Наряду с определением ядра матрицы через свойства отображения $ AX $, можно дать ему и другую интерпретацию:

Т

Теорема 4. Если в пространстве $ \mathbb R_{}^{n} $, рассматриваемом как пространство $ n_{} $-строк, ввести скалярное произведение формулой $$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \quad npu \quad X=[x_1,x_2,\dots,x_n],\ Y=[y_1,y_2,\dots,y_n] , $$ то $ {\mathcal K}er (A) $ образует ортогональное дополнение линейной оболочки строк этой матрицы в пространстве $ \mathbb R_{}^{n} $: $$ {\mathcal K}er (A) \bot \mathcal L ( A^{[1]}, A^{[2]},\dots, A^{[m]} ),\ {\mathcal K}er (A) \oplus \mathcal L ( A^{[1]}, A^{[2]},\dots, A^{[m]} ) = \mathbb R_{}^{n} \ . $$

Дефектом матрицы4) $ A_{} $ будем называть размерность ядра этой матрицы, или, что то же, число элементов фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений $ AX=\mathbb O $. В соответствии с результатами, приведенными ЗДЕСЬ: $$ \operatorname{dfc}(A) = n - \mathfrak r \ npu \ \mathfrak r = \operatorname{rank}(A) . $$

Вернемся теперь к общему случаю линейного пространства.

Задача. Как изменяется матрица линейного отображения $ \mathcal A_{} $ при изменении базисов?

Т

Теорема 5. Пусть $ \{{\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_n \} $ — новый базис пространства $ \mathbb V_{} $, $ \{ {\mathfrak Y}_1,\dots,{\mathfrak Y}_m \} $— новый базис $ \mathbb W_{} $, и в этих базисах линейное отображение $ \mathcal A $ имеет матрицу $ {\mathbf B} $. Если $ C_{} $ — матрица перехода от старого базиса к новому в пространстве $ \mathbb V_{} $, а $ D_{} $ — матрица перехода от старого базиса к новому в пространстве $ \mathbb W_{} $, то$$ {\mathbf B}=D^{-1}\cdot {\mathbf A} \cdot C \ . $$

Доказательство. Действительно, координаты произвольного вектора $$ X=x_1X_1+\dots+x_nX_n = {\mathfrak x}_1 {\mathfrak X}_1+\dots+ {\mathfrak x}_n {\mathfrak X}_n \ ,$$ и его образа $$ Y =\mathcal A(X)=y_1Y_1 \boxplus \dots \boxplus y_mY_m= {\mathfrak y}_1{\mathfrak Y}_1 \boxplus \dots \boxplus {\mathfrak y}_m{\mathfrak Y}_m $$ связаны следующими соотношениями: с одной стороны, на основании теоремы 1, $$ \left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array} \right) = {\mathbf A}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), \qquad \left(\begin{array}{c} {\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_m \end{array} \right) = {\mathbf B}\left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right) \ . $$ с другой стороны, на основании результатов пункта ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ЗАМЕНЕ БАЗИСА, $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)=C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right), \qquad \left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array} \right)=D \left(\begin{array}{c} {\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_m \end{array} \right). $$ Получаем цепочку равенств: $$ {\mathbf B}\left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} {\mathfrak y}_1 \\ \vdots \\ {\mathfrak y}_m \end{array} \right) =D^{-1}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array} \right)=D^{-1} {\mathbf A}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)=D^{-1} {\mathbf A} C \left(\begin{array}{c} {\mathfrak x}_1 \\ {\mathfrak x}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak x}_n \end{array} \right). $$ Поскольку равенство справедливо для любого столбца координат, то оно справедливо и для столбцов $$ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \ , \ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \ ,\dots, \ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right) \ . $$ Объединяя полученные $ n_{} $ равенств в одно матричное, получаем $ {\mathbf B}E = D^{-1} {\mathbf A} C E $, где $ E_{} $ — единичная матрица порядка $ n_{} $. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Канонический вид матрицы линейного отображения

Задача. Подобрать базисы пространств $ \mathbb V_{} $ и $ \mathbb W_{} $ так, чтобы матрица заданного линейного отображения $ \mathcal A $ имела наиболее простой вид.

Найдем относительный базис $ \mathbb V_{} $ над $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $, т.е. базис $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ дополним до базиса $ \mathbb V_{} $: $$ \{X_1,\dots,X_{{\mathfrak r}}\} \gets \ \mbox{ относительный базис } \ \mathbb V \ \mbox{ над } \ \mathcal{K}er (\mathcal A) $$ $$ \{X_{{\mathfrak r}+1},\dots,X_{n} \} \gets \ \mbox{ базис } \ \mathcal{K}er (\mathcal A) $$ Было доказано (см. теорему 4 ), что $ \{\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_{{\mathfrak r}}) \} \subset \mathbb W $ является базисом $ \mathcal{I}m (\mathcal A) $. Составим базис $ \mathbb W_{} $ ее дополнением: $$ \{\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_{{\mathfrak r}})\} \gets \ \mbox{ базис } \ \mathcal{I}m (\mathcal A) $$ $$ \{ Y_{{\mathfrak r}+1},\dots,Y_{m}\} \gets \ \mbox{ относительный базис } \ \mathbb W \ \mbox{ над } \ \mathcal{I}m (\mathcal A) $$

Т

Теорема. В выбранных базисах матрица линейного отображения $ \mathcal A $ имеет следующий канонический вид: $$ {\mathbf B}=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & & & & \\ &1 & & &\mathbb O\\ & &\ddots& & \\ & & & 1 & \\ & & & & \\ &\mathbb O & & & \mathbb O \end{array} \right) \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \end{array} \right\} \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} \\ \\ {\mathfrak r} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} = \left( \begin{array}{ll} E_{{\mathfrak r}\times {\mathfrak r}} & \mathbb O_{{\mathfrak r}\times (n-{\mathfrak r})} \\ \mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times {\mathfrak r}} & \mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times (n-{\mathfrak r})} \end{array} \right) \ . $$ Здесь $ {\mathfrak r}= \operatorname{rank} (\mathcal A) $.

Доказательство. Разложим образы базисных векторов $ \{X_1,\dots,X_n\} $ по базису пространства $ \mathbb W $: $$ \begin{array}{llllllll} \mathcal A(X_1) & = 1\cdot \mathcal A(X_1) & \boxplus 0 \cdot \mathcal A(X_2) & \boxplus \dots & \boxplus 0\cdot \mathcal A(X_{\mathfrak r})& \boxplus 0\cdot Y_{{\mathfrak r}+1}&\boxplus\dots &\boxplus 0\cdot Y_m, \\ \mathcal A(X_2) & = 0\cdot \mathcal A(X_1) & \boxplus 1 \cdot \mathcal A(X_2) & \boxplus \dots & \boxplus 0\cdot \mathcal A(X_{\mathfrak r})& \boxplus 0\cdot Y_{{\mathfrak r}+1}&\boxplus \dots & \boxplus 0\cdot Y_m, \\ \dots & & & \dots \\ \mathcal A(X_{\mathfrak r}) & = 0\cdot \mathcal A(X_1) & \boxplus 0 \cdot \mathcal A(X_2) & \boxplus \dots & \boxplus 1\cdot \mathcal A(X_{\mathfrak r})& \boxplus 0\cdot Y_{{\mathfrak r}+1}&\boxplus \dots & \boxplus 0\cdot Y_m, \end{array} $$ а $ \mathcal A(X_{{\mathfrak r}+1})=\mathbb O^{\prime},\dots, \mathcal A(X_{m})=\mathbb O^{\prime} $ по определению $ \mathcal{K}er (\mathcal A) $.

Матричный формализм

§

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

В частном случае отображения $ \mathbb R^{n} $ в $ \mathbb R^{m} $, задаваемого матрицей в стандартных базисах пространств, результат последнего пункта можно переформулировать в следующем виде.

Т

Теорема. Любую матрицу $ A_{m\times n} $ ранга $ \mathfrak r > 0 $ можно представить в виде произведения $$ A=D\cdot A_d \cdot \tilde C \quad npu \quad A_d =\left( \begin{array}{cccccc} 1 & & & & \\ &1 & & &\mathbb O\\ & &\ddots& & \\ & & & 1 & \\ & & & & \\ &\mathbb O & & & \mathbb O \end{array} \right) \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \end{array} \right\} \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} \\ \\ {\mathfrak r} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} = \left( \begin{array}{ll} E_{{\mathfrak r}\times {\mathfrak r}} & \mathbb O_{{\mathfrak r}\times (n-{\mathfrak r})} \\ \mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times {\mathfrak r}} & \mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times (n-{\mathfrak r})} \end{array} \right) $$ и при невырожденных матрицах $ D_{m\times m} $ и $ \tilde C_{n\times n} $.

Здесь матрица $ \tilde C $ соответствует матрице $ C^{-1} $ из теоремы предыдущего пункта.

П

Пример. Представить матрицу $$ A = \left( \begin{array}{rrr} 2 & - 1 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 4/3 \\ 2 & - 1 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 4/3 \end{array} \right) $$ в виде произведения из теоремы.

Решение. Здесь $ \operatorname{rank} (A) =2 $, так что $$ A_d= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \, . $$ Для нахождения матрицы $ C $ из теоремы предыдущего пункта ищем базис ядра отображения $ AX $, т.е. попросту говоря, фундаментальную систему решений системы уравнений $ AX=\mathbb O $. Можно взять $ X=[1,2,-2]^{\top} $. Этот столбец будет третьим столбцом матрицы $ C $. Первые два — любые линейно независимые с этим столбцом. Например $$ C= \left(\begin{array}{ccr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right) \, . $$ Теперь умножаем столбцы $ C_{[1]} $ и $ C_{[2]} $ на матрицу $ A $ (слева). Полученные столбцы $$ D_{[1]}=\left[2,-2/3,2,-2/3\right]^{\top}, \ D_{[2]}=\left[-1,5/3,-1,5/3\right]^{\top} $$ будут первыми столбцами искомой матрицы $ D $. Оставшиеся два выбираем произвольными линейно независимыми с уже найденными. $$ D= \left( \begin{array}{rrrr} 2 & - 1 & 1 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 0 & 0 \end{array} \right), \quad \tilde C= C^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} - 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1/2 \end{array} \right) \, . $$

§

Разложение матрицы в произведение из теоремы не единственно. Так, например, матрицу $ \tilde C $ можно выбрать в классе ортогональных матриц. Из этого замечания можно «перебросить мостик» к похожему разложению матрицы в произведение, известному как сингулярное разложение. Очень полезно в задачах обработки данных.

Линейный оператор

Линейное отображение векторного пространства $ \mathbb V_{} $ в себя $$ \mathcal A : \mathbb V \longmapsto \mathbb V $$ называется линейным преобразованием $ \mathbb V_{} $ или линейным оператором на $ \mathbb V_{} $. Подробнее ЗДЕСЬ.

Аффинное отображение

Линейные отображения пространства $ \mathbb V_{} $ в пространство $ \mathbb W_{} $ составляют подмножество более широкого класса отображений.

Рассмотрим пример $ 5_{} $ ЗДЕСЬ. Отображение пространства $ \mathbb R^{n}_{} $ в пространство $ \mathbb R^{m} $, задаваемое соотношением $$ \begin{array}{ll} \tilde{\mathcal A} \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) &= \left(\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n +b_1 \\ \dots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n + b_m \end{array} \right)= \\ &=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{m1} & a_{m2}& \dots & a_{mn} \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)+ \left(\begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \end{array} $$ будет линейным отображением при условии, что $ b_1=0,\dots, b_m=0 $ и не будет линейным отображением при хотя бы одном из чисел $ b_1,\dots,b_{m} $ отличном от нуля. Тем не менее, по своему внешнему виду отображение из $ \mathbb R^{n}_{} $ в $ \mathbb R^{m} $, задаваемое в матричном виде как $ A\, X + \mathcal B $ напоминает линейную функцию $ a\, x+b $, действующую в $ \mathbb R $. Кажется очень несправедливым лишать подобные отображения эпитета линейный, однако же именно это и произошло в линейной алгебре и геометрии.

Аффинным5) отображением линейного векторного пространства $ \mathbb V_{} $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ +_{} $, в линейное векторное пространство $ \mathbb W_{} $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ \boxplus_{} $, называется функция вида $$ \mathcal A(X) \boxplus_{} \mathcal B \ npu \ X \in \mathbb V \ . $$ Здесь $ \mathcal A $ — линейное отображение $ \mathbb V_{} $ в $ \mathbb W_{} $, а $ \mathcal B $ — некоторый вектор пространства $ \mathbb W_{} $.

§

Образно говоря, аффинное отображение может быть получено сдвигом некоторого линейного отображения. Фактически же определение содержит в себе объяснение той причины, по которой аффинные отображения изучаются менее подробно, чем линейные: первые сводятся ко вторым.

Основное геометрическое свойство аффинного отображения проявилось в ПУНКТЕ для отображения линейного.

Т

Теорема. Аффинное отображение отображает произвольное линейное многообразие пространства $ \mathbb V_{} $ в линейное же многообразие пространства $ \mathbb W_{} $. Аффинное отображение отображает параллельные многообразия пространства $ \mathbb V_{} $ в параллельные же многообразия пространства $ \mathbb W_{} $.

=>

Аффинное отображение отображает произвольную прямую пространства $ \mathbb V_{} $ в прямую или точку пространства $ \mathbb W $.

Почему рассматриваются только линейные отображения?

Почему во всех вузовских курсах алгебры не рассматриваются более сложные отображения, задаваемые, например, нелинейными полиномами: $$ \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{c} x_1^4-\sqrt{2} x_1^2x_3 + 17\, x_2^5+2\, x_1 - 3\,x_3-14 \\ x_2^{18}- x_2^7+x_1x_2^4x_3^6-x_1-5\,x_2+2 \\ x_2x_3^3+x_3-6 \\ x_1-2\,x_2+6\,x_3-33 \end{array} \right) \ ? $$ — Да потому что про них мало что понятно. Попытки обобщения на нелинейный случай практически любого понятия, введенного для линейного отображения, приводят к нерешенной задаче. Так, для обобщения понятия ядра придется решить не решенную на настоящий момент 16-ю проблему Гильберта; еще одна нерешенная проблема — проблема якобиана — связана с существованием обратного к полиномиальному отображению.

В одном частном случае нелинейные отображения сравнительно хорошо изучены — это отображения $ \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2 $, заданные условиями: $$ \left( \begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{l} u(x,y) \\ v(x,y) \end{array} \right) \quad npu \quad \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \ ; $$ (функции $ u_{} $ и $ v_{} $ — не обязательно полиномы). Последние два условия называются условиями Коши-Римана (Даламбера-Эйлера); из них следует, что каждая из функций $ u_{} $ и $ v_{} $ является гармонической функцией, т.е. удовлетворяет тождествам: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\equiv 0,\quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \equiv 0 \ . $$ Подобные отображения рассматриваются в разделе математики, известном как КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ или теория функций комплексной переменной (ТФКП).


Как же исследовать нелинейные отображения в общем случае? — Ну, по крайней мере, можно попытаться свести их исследование к линейному случаю. Рассмотрим пример отображения из начала пункта $$ \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array}{c} x_1^4-\sqrt{2} x_1^2x_3 + 17\, x_2^5+2\, x_1 - 3\,x_3-14 \\ x_2^{18}- x_2^7+x_1x_2^4x_3^6-x_1-5\,x_2+2 \\ x_2x_3^3+x_3-6 \\ x_1-2\,x_2+6\,x_3-33 \end{array} \right) = $$ $$ =\left( \begin{array}{r} -14 \\ 2 \\ -6 \\ -33 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 2\, x_1 - 3\,x_3 \\ -x_1-5\,x_2 \\ x_3 \\ x_1-2\,x_2+6\,x_3 \end{array} \right) + \dots $$ В разложении каждого элемента вектора отбросим все члены степени выше первой. В результате мы получили отображение, которое можно представить в матричном виде $$ \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \mapsto \underbrace{\left( \begin{array}{r} -14 \\ 2 \\ -6 \\ -33 \end{array} \right)}_{=\mathcal B}+ \underbrace{\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & - 3 \\ -1 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 6 \end{array} \right)}_{=A} \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \ . $$ Это новое отображение является аффинным отображением пространства $ \mathbb R^{3} $ в пространство $ \mathbb R^{4} $. Таким образом, исходное, существенно нелинейное, отображение $ \mathcal F(X) $ фактически заменили аффинным $ \tilde \mathcal A(X)=AX+\mathcal B $. Насколько такая замена оправдана? — Ну, по крайней мере, в одной точке эти отображения совпадают: $ \mathcal F(\mathbb O) = \tilde \mathcal A(\mathbb O) $. Трудно ожидать, что они будут совпадать еще где-нибудь. Однако же, в малой окрестности точки $ \mathbb O $ значения этих двух функций оказываются близкими! $$ \begin{array}{lll} \mathcal F \left( \begin{array}{r} 0.01 \\ -0.02\\ 0.07 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} -14.19000994 \\ 2.090000000 \\ -5.930006860 \\ -32.53000000 \end{array} \right); & \mathcal F \left( \begin{array}{r} 0.05 \\ 0.12\\ -0.14 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} -13.47907577 \\ 1.349999642 \\ -6.140329280 \\ -34.03000000 \end{array} \right); & \mathcal F \left( \begin{array}{r} -0.30 \\ 0.25\\ -0.24 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} -13.82475143 \\ 1.049938741 \\ -6.243456000 \\ -35.24000000 \end{array} \right) ; \dots \\ \tilde \mathcal A \left( \begin{array}{r} 0.01 \\ -0.02\\ 0.07 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} -14.19000000 \\ 2.090000000 \\ -5.930000000 \\ -32.53000000 \end{array} \right) ; & \tilde \mathcal A \left( \begin{array}{r} 0.05 \\ 0.12\\ -0.14 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} -13.48000000 \\ 1.350000000\\ -6.140000000 \\ -34.03000000 \end{array} \right) & \tilde \mathcal A \left( \begin{array}{r} -0.30 \\ 0.25\\ -0.24 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} -13.88000000 \\ 1.050000000 \\ -6.240000000 \\ -35.24000000 \end{array} \right); \dots \end{array} $$ Иными словами, в некоторой достаточно малой окрестности6) точки $ X_0=\mathbb O_{} $ нелинейное отображение аппроксимируется аффинным. А чем аппроксимировать за пределами этой окрестности, скажем, в окрестности вектора $ X_0=[1,-1,1]^\top $? — Для этого придется привлекать аппарат разложения нелинейных функций нескольких переменных в ряды Тейлора. К счастью, функции нашего примера являются полиномиальными, поэтому этот ряд не будет содержать бесконечного числа членов. Воспользовавшись материалом пункта ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА, получим: $$ \mathcal F \left( \begin{array}{r} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -31-\sqrt{2} \\ 9 \\ -6 \\ -24 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{rrr} (6-2\,\sqrt{2})(x_1-1) &+ 85\, (x_2+1) & +(-\sqrt{2}-3)(x_3-1)\\ &-34\,(x_2+1) & +6\,(x_3-1) \\ &(x_2+1) & -2\,(x_3-1)\\ (x_1-1) &- 2\,(x_2+1) & +6\,(x_3-1) \end{array} \right)+ \dots $$ Перепишем второе слагаемое в матричном виде: $$ = \left( \begin{array}{c} -31-\sqrt{2} \\ 9 \\ -6 \\ -24 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{ccc} 6-2\,\sqrt{2} &85& -\sqrt{2}-3\\ 0 &-34 & 6 \\ 0&1& -2\\ 1 &- 2 & 6 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1-1 \\ x_2+1 \\ x_3-1 \end{array} \right) + \dots $$ В общем же случае, если $$ \mathcal F \left( \begin{array}{l} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} f_1(x_1,\dots,x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1,\dots,x_n) \end{array} \right), $$ то, в окрестности вектора $ X_0= (x_{01},x_{02},\dots,x_{0n})^{\top} $ его можно аппроксимировать аффинным отображением $$ \tilde \mathcal A \left( \begin{array}{l} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)= \underbrace{\left( \begin{array}{c} f_1(x_{01},\dots,x_{0n}) \\ \vdots \\ f_m(x_{01},\dots,x_{0n}) \end{array} \right)}_{=\mathcal F(X_0)}+ \underbrace{\left( \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_m}/{\partial x_1} & {\partial f_m}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_m}/{\partial x_n} \end{array} \right)}_{\mathbf J}\left( \begin{array}{l} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) \ , $$ которое рассматривается в окрестности $ Y_0=\mathbb O_{} $. Здесь все частные производные в матрице $ \mathbf J $ вычисляются в точке $ X_{0} $. Матрица $$ \mathbf J = \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j=1,\dots,m, \atop k=1,\dots,n} $$ называется матрицей Якоби системы из $ m_{} $ функций $ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_{1},\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_1,\dots,x_{n} $.

Подводя итог, можно сказать, что линейные (аффинные) отображения служат основой анализа отображений нелинейных — но этот анализ носит локальный характер: линеаризация адекватно приближает исходное нелинейное отображение лишь в малых областях значений аргументов.

1)
Удачная фраза получилась — с шестью включениями слова образ!:-)
2)
$ \nu\alpha \beta \lambda \alpha $ (др.греч.) — род струнного инструмента, прототипа арфы.
3)
kernel (англ.) — ядро
4)
Nullity of matrix (англ.), Defekt der Matrix (нем.)
5)
affinis (лат.) — смежный, соседний, сопредельный; родственник по мужу или жене.
6)
В общем случае оценить величину этой малости — отдельная проблема!
mapping.txt · Последние изменения: 2020/03/11 22:36 (внешнее изменение)