Для скалярного дифференциального уравнения $$ \frac{d\, x}{d\, t}=a(t) x $$ решение задачи Коши, т.е. нахождение функции $ x(t) $, удовлетворяющей условию $ x(t_0)=x_0 $, возможно посредством интегрирование в квадратурах: $$ x(t)=e^{\displaystyle \int_{t_0}^t a(\tau) d\, \tau} x_0 \, , $$ при условии, что функция $ a(t) $ интегрируема на интервале $ [t_0,t] $. Приведем вывод этой формулы косвенным способом. Перепишем дифференциальное уравнение в виде интегрального: $$ x(t)=x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) x(\tau_1) d\, \tau_1 \, . $$ Если функция $ x(t) $, удовлетворяющая этому уравнению, существует, то в правую часть можно подставить вместо $ x(\tau_1) $ выражение из того же равенства: $$ x(t)=x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) \left(x_0 + \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) x(\tau_2) d\, \tau_2 \right) d\, \tau_1 = $$ $$ =x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) x(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 \, . $$ Продолжим процесс подстановки в правой части равенства: $$ = x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \left( x_0 + \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) x(\tau_3) d\, \tau_3 \right) d\, \tau_2 d\, \tau_1 = $$ $$ = x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 + $$ $$ +\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) x(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \, . $$ Далее: $$ = x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 + $$ $$ + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right) x_0 + $$ $$ + \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) x(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \, . $$ И продолжая процесс сколь угодно далеко, получаем представление решения в виде ряда $$ x(t)= x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 + $$ $$ + \dots + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}a(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 + \dots $$ Довольно удивительным кажется факт, что повторные интегралы сводятся к однократному: $$ \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 = \frac{1}{2} \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^2 , $$ $$ \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 = \frac{1}{3!} \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^3 , \dots , $$ $$ \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}a(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1 = \frac{1}{k!} \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^k \, . $$ Справедливость этих равенств подтверждается последовательным дифференцированием обеих частей по $ t $. Таким образом, снова приходим к приведенной выше формуле решения.

А теперь попробуем применить те же рассуждения к системе однородных дифференциальных уравнений, представленной в матричной форме $$ \frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X \ ; $$ здесь $ A(t) $ — квадратная матрица порядка $ n >1 $ с элементами интегрируемыми на интервале $[t_0,t] $. Вектор неизвестных переменных — столбец $ X(t)=(x_1(t),\dots, x_n (t))^{\top} $ — отыскивается как решение этой системы, удовлетворяющее условию $ X(t_0)=X_0=(x_{1,0},\dots,x_{n,0})^{\top} $.

Применяя к поставленной задаче абсолютно те же рассуждения, что использовались для решения скалярного уравнения, получим представление решения в виде ряда $$ X_0 + \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 \right) X_0 + \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)X_0 + $$ $$ + \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} A(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right) X_0 + $$ $$ + \dots + \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}A(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)X_0 + \dots $$ К сожалению, получившийся ряд, как правило, нельзя свести к $$ e^{\displaystyle \int_{t_0}^t A(\tau) d\, \tau} X_0 \, . $$ Это обстоятельство связано с тем, что, в отличие от скалярного случая, матричное равенство $$ \int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 = \frac{1}{2} \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^2 , $$ как правило, т.е. для случайно выбранной матрицы $ A(t) $, не выполняется. В самом деле, попробуем продифференцировать правую часть по $ t $. В скалярном случае, совершенно не существен порядок умножения: $$ A(t) \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 \quad \mbox{или} \quad \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 A(t) \, . $$ Но в случае матриц порядка $ \ge 2 $ коммутативность умножения, как правило, не имеет места.

Матричный ряд $$ \mathbf{M}(t,t_0)= E + \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 + \int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1 + $$ $$ + \int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} A(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 + $$ $$ + \dots + \int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}A(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1 + \dots , $$ где $ E $ — единичная матрца порядка $ n $, называется матрицантом для системы дифференциальных уравнений $$ \frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X \ . $$ (Фактически, матрицант является решением этого матричного дифференциального уравнения если в качестве переменного рассматривать не вектор $ X $, а квадратную матрицу порядка $ n $.) Столбцы матрицанта образуют фундаментальную систему решений этой системы дифференциальных уравнений: любое решение последней может быть получено в виде линейной комбинации столбцов матрицы $ \mathbf{M}(t,t_0) $.-

Условие коммутирования матрицы $ A(t) $ со своим интегралом, т.е. $$ A(t) \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 = \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 A(t) \ , $$ называется условием Лаппо-Данилевского.

При выполнении этого условия матрицант совпадает с $$ e^{\displaystyle \int_{t_0}^t A(\tau) d\, \tau} \, . $$ Условие Лаппо-Данилевского выполняется для стационарных матриц, т.е. не зависящих от переменной: $ A(t)\equiv A $. В этом случае матрицант равен $$ e^{\displaystyle A(t-t_0)} \, . $$

Пример. Матрица

$$ \left(\begin{array}{cc} t^2+t+1 & -2t+1 \\ 2t-1 & t^2-t+2 \end{array} \right) $$ удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского. ♦

Если матрицант $ \mathbf{M}(t,t_0) $ системы однородных уравнений $$ \frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X $$ удается вычислить, то его можно использовать для решения системы неоднородных дифференциальных уравнений $$ \frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X + B(t) \ ; $$ при произвольном векторе $ B(t)=\left[b_1(t),\dots,b_n(t) \right]^{\top} $, состоящим из интегрируемых функций.

Это решение выписывается в виде $$ X(t)= \mathbf{M}(t,t_0)\left(X_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{M}^{-1}(s,t_0) B(s) d\, s\right) = $$ $$ = \mathbf{M}(t,t_0)X_0 + \int_{t_0}^t C(t,s) B(s) d\, s \ , $$ где матрица $$ C(t,s)= \mathbf{M}(t,t_0) \mathbf{M}^{-1}(s,t_0) $$ называется матрицей Коши.

Теорема. Для матрицанта $ \mathbf{M}(t,t_0) $ выполняется тождество Абеля-Якоби-Лиувилля:

$$ \det \mathbf{M}(t,t_0) = e^{\displaystyle \int_{t_0}^t \operatorname{Sp} (A(\tau)) d\, \tau} \, . $$ Здесь $ \operatorname{Sp}_{} $ — след.

[1]. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.Наука. 1967

[2]. Лаппо-Данилевский И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. М.-Л. ОНТИ. 1934