Инструменты сайта


УказательРазделыОбозначенияАвторО проекте


§

Вспомогательная страница к странице СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ


Неприводимость определителя

Т

Теорема. Определитель, рассматриваемый как полином относительно своих элементов, является неприводимым.

Доказательство. Пусть $ \det A_{} $ раскладывается в произведение двух множителей: $$ f_1(a_{11},a_{12},\dots,a_{nn}) f_2(a_{11},a_{12},\dots,a_{nn}) $$ — полиномов с комплексными коэффициентами. Поскольку $ \det A_{} $ является линейной функцией от любого своего элемента, то в случае когда $ f_{1} $ зависит от $ a_{11}^{} $, полином $ f_{2} $ не должен зависеть от $ a_{11}^{} $. Поскольку в разложении определителя все члены, содержащие $ a_{11}^{} $, не должны содержать ни какого другого элемента первой строки и первого столбца, то в разложении $ f_{2} $ не должно быть элементов, зависящих от $ a_{j1}^{} $ и от $ a_{1k}^{} $. Пусть $ a_{jk}^{} $ — элемент определителя, содержащийся в $ f_2 $. По уже упомянутому выше свойству определителя, ни один элемент $ j_{} $-й строки и $ k_{} $-го столбца определителя не должен содержаться в $ f_{1} $. Таким образом, $ a_{j1}^{} $ и $ a_{1k}^{} $ не содержатся ни в $ f_{1} $, ни в $ f_{2} $. Это противоречит тому, что $ \det A_{} $ зависит от всех своих элементов.

Источник

[1]. Turnbull H.W. The Theory of Determinants, Matrices and Invariants. Blackie & Sons Ltd. 1929, сс.33-34

dets/irreduc.txt · Последние изменения: 2020/03/11 14:00 (внешнее изменение)