Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Задачи

1. [1]. Пусть $ A=\left[ a_{ij}\right]_{i,j=1}^n $ — вещественная симметричная матрица и $$ a_{ii}=1 , \ \sum_{i=1 \atop i \ne j}^n |a_{ij}| \le 1 \quad npu \quad \forall i \in \{1,\dots, n\} \ . $$ Доказать, что $ \det A \le 1 $.

2. Рассматривается случайная квадратная матрица $ A_{n\times n} $ над $ \mathbb Z_2 $ (или $ \{0,1\} $-матрица). Какова вероятность того, что $ \det A\equiv 0 \pmod{2} $?

3. Определим производную определителя — как функции всех элементов матрицы $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n $ — по матрице следующим образом: $$ \frac{d\, \det A}{d\, A}= \det \left[\frac{\partial \det A}{\partial a_{ij}} \right]_{i,j=1}^n \, . $$ Как связан этот определитель с $ \det A $?

Источники

[1]. Задача 5334. The American Math. Monthly. 1971, V. 78, N 3.

algebra2/dets/problems.txt · Последние изменения: 2020/11/09 16:04 — au