1. [1]. Пусть $ A=\left[ a_{ij}\right]_{i,j=1}^n $ — вещественная симметричная матрица и $$ a_{ii}=1 , \ \sum_{i=1 \atop i \ne j}^n |a_{ij}| \le 1 \quad npu \quad \forall i \in \{1,\dots, n\} \ . $$ Доказать, что $ \det A \le 1 $.

2. Рассматривается случайная квадратная матрица $ A_{n\times n} $ над $ \mathbb Z_2 $ (или $ \{0,1\} $-матрица). Какова вероятность того, что $ \det A\equiv 0 \pmod{2} $?

3. Определим производную определителя — как функции всех элементов матрицы $ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n $ — по матрице следующим образом: $$ \frac{d\, \det A}{d\, A}= \det \left[\frac{\partial \det A}{\partial a_{ij}} \right]_{i,j=1}^n \, . $$ Как связан этот определитель с $ \det A $?

4. Вычисление определителя при возмущении матрицы $ A_{n\times n} $ одноранговой матрицей. Доказать, что $$ \det \left( A + \left[\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right] \cdot [u_1,u_2,\dots,u_n ] \right)= \det (A) + [u_1,u_2,\dots,u_n ] \operatorname{adj} (A) \left[\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right] \ , $$ где $ \operatorname{adj} (A) $ — матрица взаимная матрице $ A $.

5. Обозначим $ \mathfrak f(n) $ количество слагаемых (мономов) в полном разложении определителя матрицы $ A =\left[ a_{jk} \right]_{j,k=1}^n $, не содержащих ни одного из элементов $ \{a_{jj}\}_{j=1}^n $.

(a) Найти формулу для $ \mathfrak f(n) $.

(b) Определить

$$ \lim_{n\to + \infty} \frac{\mathfrak f(n)}{n!} \, . $$

[1]. Задача 5334. The American Math. Monthly. 1971, V. 78, N 3.