Вронскианом системы функций $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ называется определитель $$ W(u_1(x),\dots,u_n(x))= \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \ ; $$ (функции предполагаются $ (n-1) $ раз дифференцируемыми при в точке $ x_{} $).

Теорема. Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ будут линейно зависимыми на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда

$$ W(u_1(x),\dots,u_n(x))\equiv 0 \quad \mbox{ на } \quad ]a,b[ \, . $$

Являются ли системы функций

a) $ \{ 1,\cos^2 x,\cos^4 x,\cos (4\,x) \} $; б) $ \{ 1,\sin^2 x,\sin^4 x,\sin (4\,x) \} $; в) $ \{ \sin x,\sin^3 x,\sin (3\,x) \} $

линейно зависимыми на $ \mathbb R $?

Решение (частичное) ☞ ЗДЕСЬ.

Если $ W(u_1,u_2,\dots,u_n) \equiv 0 $ при $ \forall x\in ]a,b[ $, а $ W(u_2,\dots,u_n) \ne 0 $ при $ \forall x\in ]a,b[ $, то существуют такие постоянные $ c_2,\dots,c_n $, что $$ u_1 \equiv c_2u_2+\dots+c_n u_n \quad npu \quad x \in ]a,b[ \ . $$

Теорема. При любых постоянных $ \{c_{jk}\}_{j,k=1}^n $ выполяется равенство

$$W(c_{11}u_1+c_{12}u_2+\dots+c_{1n}u_n,c_{21}u_1+c_{22}u_2+\dots+c_{2n}u_n,\dots, c_{n1}u_1+c_{n2}u_2+\dots+c_{nn}u_n)= $$ $$ =\det \left[ c_{jk}\right]_{j,k=1}^n W(u_1,u_2,\dots,u_n) \ . $$

Теорема.

$$ W(u_1(\phi(x)),u_2(\phi(x)),\dots,u_n(\phi(x))) \equiv \left( \phi(x) \right)^n W(u_1(y),u_2(y),\dots,u_n(y)) \ , $$ здесь после вычисления вронскиана в правой части тождества, в него производится подстановка $ y= \phi(x) $.

Теорема [Кристофель]. Если $ \{u(x),u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ — функции $ (n-1) $ раз дифференцируемые на $ ]a,b[ $, то

$$ W(u(x)u_1(x),\dots,u(x)u_n(x))\equiv (u(x))^n W(u_1(x),\dots,u_n(x)) \ \mbox{ на } ]a,b[ \ . $$

Теорема. Если функции $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ дифференцируемы $ n_{} $ раз, то дифференцирование вронскиана сводится к дифференцированию его последней строки:

$$ \frac{d\, }{d\, x} \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-2)}(x) &u_2^{(n-2)}(x) &\dots & u_n^{(n-2)}(x) \\ u_1^{(n-1)}(x) &u_2^{(n-1)}(x) &\dots & u_n^{(n-1)}(x) \end{array} \right| \equiv \left| \begin{array}{llll} u_1(x) & u_2(x) & \dots & u_n(x) \\ u_1^{\prime}(x) & u_2^{\prime}(x) & \dots & u_n^{\prime}(x) \\ u_1^{\prime \prime}(x) & u_2^{\prime \prime}(x)&\dots& u_n^{\prime \prime}(x)\\ \dots & & & \dots \\ u_1^{(n-2)}(x) &u_2^{(n-2)}(x) &\dots & u_n^{(n-2)}(x) \\ u_1^{(n)}(x) &u_2^{(n)}(x) &\dots & u_n^{(n)}(x) \end{array} \right| $$

Доказательство следует из правила дифференцирования определителя и свойства определителя, сформулированного в теореме $ 4 $ ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Задача. По заданной системе функций $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ построить дифференциальное уравнение, которому они удовлетворяют.

Теорема. Если вронскиан $ W(u_1(x),\dots,u_n(x)) $ не равен тождественно нулю, то набор $ \{u_1(x),\dots,u_n(x)\} $ образует фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения $ n $-го порядка

$$ \frac{W(u_1(x),\dots,u_n(x),y(x))}{W(u_1(x),\dots,u_n(x))}=0 \ , $$ (коэффициент при $ y^{(n)}(x) $ равен $ 1 $).