Теорема (Якоби). Квадратичная форма $ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $ с симметричной матрицей $ {\mathbf A} $, ранг которой равен $ \mathfrak r_{} $, а главные миноры $ \{\det \mathbf A_j \}_{j=1}^{\mathfrak r} $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду:

$$ \frac{z_1^2}{1 \cdot \det \mathbf A_1} +\frac{z_2^2}{\det \mathbf A_1 \cdot \det \mathbf A_2} +\frac{z_3^2}{\det \mathbf A_2 \cdot \det \mathbf A_3} +\dots+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{{\mathfrak r}-1} \cdot \det \mathbf A_{\mathfrak r}} $$ Здесь $$ z_1 =\frac{1}{2} \partial f / \partial x_1,\ z_2= \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ll} a_{11} & \partial f / \partial x_1 \\ a_{12} & \partial f / \partial x_2 \end{array} \right|, \ z_3= \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & \partial f / \partial x_1 \\ a_{12} & a_{22} & \partial f / \partial x_2 \\ a_{13} & a_{23} & \partial f / \partial x_3 \end{array} \right|, \ \dots \ , $$ $$ \qquad \qquad z_{\mathfrak r}= \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,\mathfrak r-1} & \partial f / \partial x_1 \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2,\mathfrak r-1} & \partial f / \partial x_2 \\ \dots & & & \dots & \dots \\ a_{1\mathfrak r } & a_{2\mathfrak r } & \dots & a_{\mathfrak r-1,\mathfrak r } & \partial f / \partial x_{\mathfrak r} \end{array} \right| $$

Доказательство теоремы основано на следующем результате, который приведем с использованием обозначений $$ \{L_j(x)=1/2\, \partial f /\partial x_j = a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots + a_{jn} x_n \}_{j=1}^n ; $$ $$ \mathbf A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \beta_1 & \dots & \beta_k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k} \end{array} \right| $$ — минор матрицы $ \mathbf A $.

Теорема (Сильвестр). Если $ \det \mathbf A \ne 0 $, то

$$ f(X)\equiv - \frac{1}{\det \mathbf A } \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_n(X) & 0 \end{array} \right| \, . $$ Если при некотором $ \mathfrak r_{} \in \{1,\dots, n-1\} $ имеем $ \det \mathbf A_{\mathfrak r} \ne 0 $, то $$ f(X)\equiv - \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right| $$ $$ + \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \sum_{j,k=1}^n \mathbf A \left( \begin{array}{lllll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\ \end{array} \right)x_j x_k \, . $$

Доказательство первого тождества следует из элементарных преобразований определителя $$ \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_n(X) & 0 \end{array} \right| \, . $$ Вычтем из последней его строки первую, умноженную на $ x_1 $, вторую, умноженную на $ x_2 $, и т.д., $ n_{} $-ю, умноженную на $ x_n $: $$ \equiv \left| \begin{array}{llllc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} & L_n(X) \\ 0 & 0 & \dots & 0 & - 1/2 (x_1\partial f /\partial x_1 + x_2\partial f /\partial x_2+\dots+ x_n \partial f /\partial x_n) \end{array} \right| \equiv $$ $$ \equiv - f(X) \det \mathbf A \, . $$

Для доказательства второго тождества представим сумму $$ \det \mathbf A_{\mathfrak r} f(X)+\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right| $$ в виде $$ \equiv \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ 0 & 0 & \dots & 0 & f(X) \end{array} \right| +\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right| $$ $$ \equiv \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & f(X) \end{array} \right| = $$ $$ = \left| \begin{array}{llllc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{1k}x_k \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{2k}x_k \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & \displaystyle \sum_{k=1}^n a_{\mathfrak r k}x_k \\ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j1}x_j & \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j2}x_j & \dots & \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{j\mathfrak r}x_j & \displaystyle \displaystyle \sum_{j,k=1}^n a_{jk}x_jx_k \end{array} \right| \, . $$ Применяя к последнему определителю теорему сложения, разобьем его на $ n^2 $ слагаемых, каждое из которых имеет вид $$ \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & a_{2k} \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & a_{\mathfrak r k} \\ a_{j1} & a_{j2} & \dots & a_{j\mathfrak r} & a_{jk} \end{array} \right|x_jx_k= \mathbf A \left( \begin{array}{lllll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\ \end{array} \right) x_jx_k \, . $$ ♦

Заметим, что при $ \mathfrak r < n $ минор $$ \mathbf A \left( \begin{array}{lllll} 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & j \\ 1 & 2 & \dots & \mathfrak r & k \\ \end{array} \right) $$ обращается в нуль если хотя бы один из индексов $ j,k $ не превосходит $ \mathbb r $.

Если $ \operatorname{rank} \mathbf A= \mathfrak r $ и $ \det \mathbf A_{\mathfrak r} \ne 0 $, то имеет место тождество Кронекера:

$$ X^{\top} \mathbf A X \equiv - \frac{1}{\det \mathbf A_{\mathfrak r}} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak r} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak r} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{\mathfrak r1} & a_{\mathfrak r2} & \dots & a_{\mathfrak r\mathfrak r} & L_{\mathfrak r}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{\mathfrak r}(X) & 0 \end{array} \right| \, . $$

Доказательство теоремы Якоби. Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму $$ f_k(X)= - \frac{1}{\det \mathbf A_k} \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & L_{k}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k}(X) & 0 \end{array} \right| \quad npu \quad k\in\{1,\dots,\mathfrak r\} \, . $$ Докажем формулу приведения $$ f_k(X) \equiv f_{k-1}(X)+\frac{z_{k-1}^2}{\det \mathbf A_{k-1} \det \mathbf A_k} \quad npu \quad k\in\{2,\dots,\mathfrak r\} \, . $$ Применим к определителю $$ B_{(k+1)\times (k+1)}=\left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1k} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2k} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kk} & L_{k}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k}(X) & 0 \end{array} \right| $$ тождество Сильвестра в версии $$ B\left( \begin{array}{cc} k & k+1 \\ k & k+1 \end{array} \right) B = B_{kk}B_{k+1,k+1}-B_{k+1,k}^2 \, . $$ Имеем: $$ \det \mathbf A_{k-1} \left(- f_k(X) \det \mathbf A_k\right)\equiv $$ $$ \equiv \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,k-1} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,k-1} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k-1,1} & a_{k-1,2} & \dots & a_{k-1,k-1} & L_{k-1}(X) \\ L_1(X) & L_2(X) & \dots & L_{k-1}(X) & 0 \end{array} \right|\cdot \det \mathbf A_{k} - \left| \begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,k-1} & L_1(X) \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,k-1} & L_2(X) \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{k,k-1} & L_{k}(X) \\ \end{array} \right|^2 $$ $$ \equiv \left(- f_{k-1}(X) \det \mathbf A_{k-1}\right) \det \mathbf A_{k} - z_{k}^2 \, , $$ откуда и следует доказываемая формула приведения. Применяя ее рекурсивно по $ k $, получаем: $$ f_{\mathfrak r}(X) \equiv f_{\mathfrak r-1}(X)+\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-1} \det \mathbf A_{\mathfrak r}} \equiv f_{\mathfrak r-2}(X)+ \frac{z_{\mathfrak r-1}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-2} \det \mathbf A_{\mathfrak r-1}} +\frac{z_{\mathfrak r}^2}{\det \mathbf A_{\mathfrak r-1} \det \mathbf A_{\mathfrak r}} \equiv \dots $$ а завершит доказательство формулы Якоби применение тождества Кронекера.

Впрочем, осталась недоказанной линейная независимость линейных форм $ z_1,\dots,z_{\mathfrak r} $. ♦

[1]. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М. Наука. 1974.