Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ


Геометрические приложения определителя

Уравнения кривых и поверхностей

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) $ и $ (x_{2},y_2) $: $$ \left| \begin{array}{lll} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{array} \right|=0 \qquad \iff \qquad \left| \begin{array}{ll} x-x_1 & y-y_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{array} \right|=0 . $$ Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $ (окружности, описанной вокруг треугольника): $$ \left| \begin{array}{llll} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 . $$ При условии, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой; см. ЗДЕСЬ ): $$ \left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|=0 $$ окружность вырождается в прямую $$ \left| \begin{array}{clll} 0 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 . $$

Координаты центра окружности, проходящей через точки $ (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $: $$ x_C=\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & y_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|},\quad y_C=-\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|} \ . $$

Т

Теорема [Птолемей]. Точки

$$ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_2,y_2), P_3 =(x_{3},y_3), P_4=(x_{4},y_4) $$ лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство $$ \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 \end{array} \right|=0 . $$ Здесь $ |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2 $.

Доказательство, альтернативная геометрическая формулировка, а также пространственный аналог теоремы ЗДЕСЬ.

Уравнение плоскости, проходящей через точки пространства с координатами $ (x_{1},y_1,z_1) $, $ (x_{2},y_2,z_2) $ и $ (x_{3},y_3,z_3) $: $$ \left| \begin{array}{llll} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{array} \right|=0 . $$ Уравнение сферы, проходящей через точки $ (x_{1},y_1,z_1) $, $ (x_{2},y_2,z_2) $, $ (x_{3},y_3,z_3) $ и $ (x_{4},y_4,z_4) $: $$ \left| \begin{array}{cllll} x^2+y^2+z^2 & x & y & z & 1 \\ x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0 . $$ При условии, что все четыре точки компланарны (лежат в одной плоскости; см. ЗДЕСЬ ): $$ \left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0 $$ сфера вырождается в плоскость. Координаты центра сферы: $$ x_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ y_C=-\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ z_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|} $$

§

Сформулированные выше геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

Площади

Площадь треугольника с вершинами $ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_{2},y_2) $ и $ P_3=(x_{3},y_3) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right| . $$

Доказательство ЗДЕСЬ.

Квадрат площади треугольника $ P_{1}P_2P_3 $ выражается через квадраты длин его сторон по формуле $$ S^2=-\frac{1}{16} \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \ , $$ которая в развернутом виде $$ =\frac{1}{16}\left(|P_1P_2|+|P_1P_3|+|P_2P_3| \right)\left(|P_1P_2|+|P_1P_3|-|P_2P_3| \right)\left(|P_1P_2|-|P_1P_3|+|P_2P_3| \right) \left(-|P_1P_2|+|P_1P_3|+|P_2P_3| \right) $$ представляет собой формулу Герона.

Площадь треугольника с вершинами $ P_1=(x_{1},y_1,z_1) , P_2=(x_{2},y_2,z_2) $ и $ P_3=(x_{3},y_3,z_3) $ в $ \mathbb R^{3} $ равна $$ \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right|^2 + \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & z_3 \end{array} \right|^2+ \left| \begin{array}{lll} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \end{array} \right|^2 } \ . $$ Выражение под радикалом можно преобразовать к виду $$ \det\left[\left( \begin{array}{lll} x_2-x_1 & y_2-y_1 &z_2- z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3- z_1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ y_2-y_1 & y_3-y_1 \\ z_2-z_1 & z_3-z_1 \end{array} \right)\right] $$ с помощью теоремы Бине-Коши. Таким образом, площадь треугольника также равна $$ \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \begin{array}{cc} \langle P_2P_1,P_2P_1 \rangle & \langle P_2P_1,P_3P_1 \rangle \\ \langle P_2P_1,P_3P_1 \rangle & \langle P_3P_1,P_3P_1 \rangle \end{array} \right|} \ , $$ где скобками $ \langle \ , \ \rangle $ обозначено скалярное произведение.

Площадь четырехугольника с вершинами $ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_{2},y_2), P_3=(x_{3},y_3), P_4=(x_4,y_4) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{2} \left| \begin{array}{cc} x_1-x_3 & y_1-y_3 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 \end{array} \right| =\frac{1}{2} \left[(x_1-x_3)(y_2-y_4)-(x_2-x_4)(y_1-y_3)\right] $$ при условии, что стороны не пересекаются.

Площадь $ n_{} $-угольника $ P_{0}P_1\dots P_{n-1} P_0 $ с вершинами $ P_0 = (x_{0},y_0) ,\dots, P_{n-1} = (x_{n-1},y_{n-1}) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_0 & y_0 \\ 1 & x_k & y_k \\ 1 & x_{k+1} & y_{k+1} \end{array} \right| $$ при условии, что стороны не пересекаются.

П

Пример. Найти площадь пятиугольника, изображенного на рисунке.

Решение. Имеем: $ P_{0} =(1,2),P_1= (3,4),P_2=(4,1), P_3=(6,5) , P_4=(2,6) $. $$ S=\frac{1}{2}\Bigg( \left| \begin{array}{ccc} 1& 1 & 2 \\ 1& 3 & 4 \\ 1& 4 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 1 & 2 \\ 1& 4 & 1 \\ 1& 6 & 5 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 1 & 2 \\ 1& 6 & 5 \\ 1 & 2 & 6 \end{array} \right| \Bigg) = $$ $$ =\frac{1}{2}(-8+14+17)=\frac{23}{2} \ . $$ Геометрический смысл суммирования будет более понятен, если перенумеровать точки, сделав стартовой $ P_{1} $: слагаемые в сумме $$ \frac{1}{2}\Bigg( \left| \begin{array}{ccc} 1& 3 & 4 \\ 1& 4 & 1 \\ 1& 6 & 5 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 3 & 4 \\ 1& 6 & 5 \\ 1& 2 & 6 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1& 3 & 4 \\ 1& 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right| \Bigg) = \frac{1}{2}(10+7+6) $$ теперь отвечают за площади треугольников, на которые разбит пятиугольник точечными линиями.

Площадь параллелограмма в $ {\mathbb R}^{2} $ с вершинами $ (0,0), (x_{1},y_1) , (x_2,y_2), (x_1+x_2,y_1+y_2) $ равна абсолютной величине (модулю) определителя $$ \left| \begin{array}{ll} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{array} \right| . $$

П

Пример. Для $ x_{1} =3,y_1=1,x_2=1,y_2=2 $ имеем: $ S_{}=3\cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5 $.

Площадь параллелограмма в $ {\mathbb R}^{3} $ с вершинами $ (0,0,0), (x_{1},y_1,z_1) , (x_2,y_2,z_2), (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) $ равна $$ \sqrt{\det\left[\left( \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{array} \right)\right] }=\sqrt{\left| \begin{array}{cc} x_1^2+y_1^2 + z_1^2 & x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \\ x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 & x_2^2+y_2^2 + z_2^2 \\ \end{array} \right| } . $$

Если применить к определителю произведения матриц теорему Бине-Коши, то получим следующее равенство $$ \det\left[\left( \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ll} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{array} \right)\right]= \left| \begin{array}{ll} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{array} \right|^2+\left| \begin{array}{ll} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \\ \end{array} \right|^2 + \left| \begin{array}{ll} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{array} \right|^2 \ , $$ которое интерпретируется следующим образом: квадрат площади параллелограмма в $ \mathbb R^{3} $ равен сумме квадратов площадей его проекций на координатные плоскости. Можно считать этот результат обобщением теоремы Пифагора.

Объемы

тетраэдра

Объем тетраэдра в $ \mathbb R^{3} $ с вершинами $ P_1= (x_{1},y_1,z_1) ,P_2=(x_2,y_2,z_2) , P_3=(x_3,y_3,z_3) , P_4=(x_4,y_4,z_4) $ равен абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{6} \left| \begin{array}{llll} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{array} \right| . $$ Формула Тартальи (Кэли-Менгера) для квадрата объема тетраэдра через длины его ребер: $$ V^2=\frac{1}{288} \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \ . $$

Доказательство ЗДЕСЬ.

Интересно было бы посмотреть, как эта формула выглядела в оригинале у Тартальи, если аппарат определителей был придуман лет на 250 позже…
=>

Если точки $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ компланарны, т.е. тетраэдр вырождается в плоский четырехугольник, то формула Тартальи дает связь между сторонами четырехугольника и его диагоналями:

$$ \left| \begin{array}{ccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right|=0 \, . $$ Применение тождества Сильвестра дает (в обозначениях рисунка): $$ \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_2P_3|^2 & d_2^2 & 1 \\ |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ d_2^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = $$ $$ = \left| \begin{array}{cccc} |P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\ d_1^2 & |P_2P_3|^2 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right|^2 \, . $$ Откуда получаем формулу $$ 2\, d_1^2 d_2^2=(|P_1P_2|^2+|P_2P_3|^2+|P_3P_4|^2+|P_1P_4|^2-d_2^2) d_2^2+ $$ $$ +(|P_3P_4|^2-|P_2P_3|^2)(|P_1P_2|^2-|P_1P_4|^2)+ $$ $$ +\left\{ \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_2P_3|^2 & d_2^2 & 1 \\ |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\ d_2^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\ |P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right|\right\}^{1/2} \, , $$ позволяющую определить длину диагонали $ d_1 $ четырехугольника $ P_1P_2P_3P_4 $ через длину его второй диагонали и длины сторон. Из формулы Герона далее следует: $$ 2\,d_1^2 d_2^2=(|P_1P_2|^2+|P_2P_3|^2+|P_3P_4|^2+|P_1P_4|^2-d_2^2) d_2^2+ $$ $$ + (|P_2P_3|^2-|P_3P_4|^2)(|P_1P_2|^2-|P_1P_4|^2)+ $$ $$ +16\, S_{\triangle P_1P_2P_3} S_{\triangle P_1P_3P_4} \, . $$

Объем симплекса в $ \mathbb R_{}^{n} $ с вершинами в $$ P_1=(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,P_2=(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots ,P_n=(x_{n1},x_{n2},\dots,x_{nn}),P_{n+1}=(x_{n+1,1},x_{n+1,2},\dots,x_{n+1,n}) \ , $$ т.е. тела, заданного уравнениями $$ \left\{ X=\sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j P_j \ \big| \ , \alpha_1\ge 0,\dots \alpha_{n+1} \ge 0, \sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j =1 \right\} $$ равен абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{n!}\left| \begin{array}{cllll} 1 & x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\ 1 & x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn} \\ 1 & x_{n+1,1} & x_{n+1,2} & \dots & x_{n+1,n} \end{array} \right| \ . $$ Формула Кэли-Менгера для квадрата объема симплекса через длины его ребер: $$ V^2=\frac{(-1)^{n-1}}{2^n(n!)^2} \left| \begin{array}{cccccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & \dots & |P_1P_{n+1}|^2 & 1 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & \dots & |P_2P_{n+1}|^2 & 1 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & \dots & |P_3P_{n+1}|^2 & 1 \\ \dots & & & & & \dots \\ |P_1P_{n+1}|^2 & |P_2P_{n+1}|^2 & |P_3P_{n+1}|^2 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \end{array} \right| \ . $$

В частном случае: объем пирамиды $$ \left\{ X=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb R^n \ \Big| \ \sum_{j=1}^n\frac{x_j}{a_j} \le 1, x_1 \ge 0,\dots, x_n \ge 0 \right\} \quad npu \quad a_1>0,\dots,a_n>0 $$ равен $$ \frac{1}{n!}\prod_{j=1}^n a_j \ . $$

параллелепипеда

Объем $ n_{} $-мерного параллелепипеда в $ {\mathbb R}^{n} $, построенного на вершинах $$ (0,0,\dots,0), (x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots ,(x_{n1},x_{n2},\dots,x_{nn}), $$ равен абсолютной величине (модулю) определителя $$ \left| \begin{array}{cccc} x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\ x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn} \end{array} \right| \ . $$

Доказательство ЗДЕСЬ.

Объем $ m_{} $-мерного параллелепипеда в $ {\mathbb R}^{n} $, построенного на вершинах $$ (0,0,\dots,0), (x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots , (x_{m1},x_{m2},\dots,x_{mn}), $$ равен $$ \sqrt{\det(X\cdot X^{\top}}) \ npu \ X= \left( \begin{array}{cccc} x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\ x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ x_{m1}& x_{m2}& \dots & x_{mn} \end{array} \right) \ . $$ Здесь $ {}^{\top} $ означает транспонирование.

Неотрицательность определителя под знаком квадратного корня следует из теоремы Бине-Коши или же из свойств определителя Грама.

Объем $ n_{} $-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями $$ a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots+a_{jn}x_n= \pm h_j \ npu \ j \in \{1,\dots, n \} $$ равен $$ \frac{2^n \displaystyle \prod_{j=1}^n h_j}{\det[a_{jk}]_{j,k=1}^n} \ . $$

эллипсоида

Объем $ n_{} $-мерного эллипсоида, ограниченного поверхностью $$ (x_1,x_2,\dots ,x_n)\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & & & \dots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) =1 $$ (квадратичная форма, стоящая в левой части, положительно определена) равен $$ \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} \frac{1}{\sqrt{\det [a_{jk}]_{j,k=1}^n}} \ . $$ Здесь $ \Gamma_{} $ обозначает гамма-функцию, при вычислениях значений которой в последней формуле достаточно пользоваться следующими ее свойствами: $$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\ \Gamma(1)=\Gamma(2)=1, \ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \ npu \ \forall x >0,\ \Gamma(n+1)=n! \ npu \ \forall n \in {\mathbb N} \ . $$

П

Пример. Площадь, ограниченная эллипсом

$$ a_{11}x_{1}^2+2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2=1 \, ,$$ вычисляется по формуле $$ \frac{\pi}{\sqrt{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}} \ . $$ Объем фигуры, ограниченной эллипсоидом $$ (x_1,x_2,x_3)\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =1 $$ равен $$ \frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right| }} \ . $$ Объем фигуры, ограниченной четырехмерным эллипсоидом (в записи, аналогичной предыдущей) – $$ \frac{\pi^2}{2\sqrt{\det(A)}} \ . $$

Классификация алгебраических кривых и поверхностей

Источники

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

dets/geometry.txt · Последние изменения: 2020/10/27 12:40 — au