Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Матрица Якоби и якобиан

Определение и основные свойства

Матрицей Якоби системы из $ m_{} $ функций $ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_{1},\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $ называется матрица, составленная из всевозможных частных производных: $$ \mathbf J = \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j=1,\dots,m, \atop k=1,\dots,n} = \left( \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_m}/{\partial x_1} & {\partial f_m}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_m}/{\partial x_n} \end{array} \right) . $$ В частном случае $ m_{}=1 $ матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор в $ \mathbb R_{}^{n} $ или $ \mathbb C^{n} $ называется градиентом функции $ f_{} $ (в точке $ (x_1,\dots,x_{n}) $): $$ \operatorname{grad} (f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \ . $$

П

Пример. Для линейных функций

$$f_1=a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n - b_1,\dots, f_m=a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n - b_m $$ матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных: $$ \mathbf J = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \dots & && \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{array} \right) . $$

§

Откуда возникает матрица Якоби? – Фактически оттуда же, откуда возникает обычная производная: из необходимости исследовать поведение произвольной нелинейной функции. Что делают при исследовании функции одной переменной $ y=f_{}(x) $? — Для нее выписывают формулу Тейлора и в этой формуле

$$ f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dots $$ оставляют только два первых слагаемых, чтобы нелинейную функцию подменить линейной. Геометрически: график произвольной функции заменяют на график его касательной, и считают, что эти два графика ведут себя почти одинаково — по крайней мере, локально — в окрестности точки $ x_{0} $. То же самое делается и при исследовании функций нескольких переменных. Пусть, например, задано отображение $$ x=f_1(u,v),\ y=f_2(u,v), z=f_3(u,v) $$ некоторой области пространства $ \mathbb{R}^{2} $ в пространство $ \mathbb{R}^{3} $. Это отображение можно геометрически интерпретировать, как задание некоторой поверхности в $ \mathbb{R}^{3} $ параметрически (задание параметров $ u_{} $ и $ v_{} $ однозначно определяет точку $ (x_{},y,z) $ поверхности). Если функции $ f_{j} $ нелинейные, то исследовать поведение такого отображения начинают с его линейного приближения: выписывают для этих функций формулы Тейлора $$ f_j(u,v)=f_j(u_0,v_0) + \frac{\partial f}{\partial u} (u-u_0) + \frac{\partial f}{\partial v} (v-v_0)+\dots $$ (частные производные вычисляются в точке $ (u_{0},v_0) $) и отбрасывают нелинейные по $ u_{} $ и $ v_{} $ слагаемые. Получаем отображение пространства $ \mathbb{R}^{2} $ в пространство $ \mathbb{R}^{3} $, которое по виду можно было бы назвать линейным, но в алгебре выражение линейное отображение закреплено за более узким классом отображений, а настоящее называется аффинным:

$$ \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} \partial f_1/ \partial u & \partial f_1/ \partial v \\ \partial f_2/ \partial u & \partial f_2/ \partial v \\ \partial f_3/ \partial u & \partial f_3/ \partial v \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} u-u_0 \\ v-v_0 \end{array} \right) \quad npu \quad \left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right)= \left(\begin{array}{c} f_1(u_0,v_0) \\ f_2(u_0,v_0) \\ f_3(u_0,v_0) \end{array} \right) \ . $$ Геометрически: график параметрически заданной поверхности заменяют на график ее касательной плоскости и считают, что эти два графика ведут себя почти одинаково — по крайней мере, локально,— в окрестности точки $ (x_0,y_0,z_0) $.

В частном случае $ m=n_{} $ матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется якобианом или определителем Якоби или функциональным определителем системы из $ n_{} $ функций $ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_{n}(x_1,\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $: $$ {\mathfrak J}=\frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}= \left| \begin{array}{cccc} {\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\ {\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\ \dots & && \dots \\ {\partial f_n}/{\partial x_1} & {\partial f_n}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_n}/{\partial x_n} \end{array} \right|= \det \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j,k=1}^n \ . $$ В этом же случае след матрицы Якоби называется дивергенцией вектора $ (f_1,f_2,\dots,f_n) $: $$ \operatorname{div} (f_1,f_2,\dots,f_n)= {\partial f_1}/{\partial x_1}+ {\partial f_2}/{\partial x_2}+\dots+ {\partial f_n}/{\partial x_n} \ . $$

Следующая теорема и ее следствия являются прямыми обобщениями соответствующих результатов из линейной алгебры.

Т

Теорема. Якобиан тождественно равен нулю в некоторой области $ \mathbb{S}_{} $:

$$ \frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)} \equiv 0 \mbox{ } \ \mbox{при} \mbox{ } X \in \mathbb{S} $$ тогда и только тогда, когда между функциями $ f_{1},f_2,\dots,f_n $ имеется функциональная зависимость в $ \mathbb{S} $, т.е. существует функция $ G(y_1,y_2,\dots,y_n) \not\equiv 0 $ такая, что $$ G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0 \mbox{ } \mbox{при} \mbox{ } X \in \mathbb{S} \ . $$

§

В частном случае, когда в качестве $ G(y_1,y_2,\dots,y_n) $ можно выбрать линейный однородный полином $ G(y_1,y_2,\dots,y_n)=a_1y_1+a_2y_2+\dots+a_n y_n $, говорят о линейной зависимости.

П

Пример. Являются ли полиномы

$$ f_1=x_1+x_2+x_3-1,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3-2,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2+3 $$ функционально зависимыми?

Решение. $$ \frac{D(f_1,f_2,f_3)}{D(x_1,x_2,x_3)}= $$ $$ = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_2+x_3 & x_1+x_3 & x_1+x_2 \\ 2x_1 & 2x_2 & 2x_3 \end{array} \right| = 2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_2+x_3 & x_1+x_3 & x_1+x_2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right|= $$ $$ = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1+x_2+x_3 & x_1+x_2+x_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right|\equiv 0 $$ (мы воспользовались здесь свойствами 4 и 5 определителя, выписанными ЗДЕСЬ ). Ответ оказывается положительным: рассматриваемые полиномы являются функционально зависимыми. В данном примере эта зависимость сравнительно просто «отлавливается» наметанным взглядом: $$(f_1+1)^2-2(f_2+2)-(f_3-3) \equiv 0 \ . $$

!

В общем же случае установление конкретной «обнуляющей» формулы $$ G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0 $$ представляет собой отдельную и, как правило, непростую задачу.

=>

Если какие-то $ p_{} $ функций из $ f_{1}, \dots, f_n $ связаны в $ \mathbb{S} $ функциональным соотношением $$ H(f_{j_1}, \dots f_{j_p}) \equiv 0 \ , $$ то любой минор порядка $ p_{} $ якобиана, выбранный из соответствующих строк, будет тождественно равен нулю в $ \mathbb{S}_{} $.

=>

Пусть $ \mathfrak r_{} $ обозначает ранг матрицы Якоби системы из $ m_{} $ функций $ f_1,\dots,f_{m} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $. Если минор этой матрицы $$ \frac{D(f_1,\dots,f_{\mathfrak r})}{D(x_1,\dots,x_\mathfrak r)} $$ отличен от нуля в $ \mathbb{S}_{} $, то функции $ f_1,\dots,f_{\mathfrak r} $ функционально независимы в $ \mathbb{S} $, а все оставшиеся функции системы (при условии $ \mathfrak r < m $) могут быть выражены в виде (сложных) функций от этих независимых: $$ f_{\mathfrak r+1}(x_1,\dots,x_n) \equiv G_{\mathfrak r+1}(f_1,\dots,f_{\mathfrak r}),\dots, f_{m}(x_1,\dots,x_n) \equiv G_m(f_1,\dots,f_{\mathfrak r}) \ . $$

Якобиан обладает свойствами, аналогичными свойствам обычной производной для функции одной переменной. Так, следующие результаты являются аналогами правил дифференцирования сложной, обратной и неявной функций.

Т

Теорема. Якобиан системы сложных функций

$$ F_1(x_1,\dots,x_n)=f_1(y_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n(x_1,\dots,x_n)),\dots,$$ $$ F_n(x_1,\dots,x_n)=f_n(y_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n(x_1,\dots,x_n)) $$ вычисляется по правилу умножения: $$ \frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}= \frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(y_1,\dots,y_n)}\cdot \frac{D(y_1,\dots,y_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \ . $$ где производные вычислены в соответствующих точках.

П

Пример [1]. Вычислить якобиан элементарных симметрических полиномов:

$$ f_1=\sum_{1 \le j\le n} x_j = x_1+ \dots+ x_n, $$ $$ f_2=\sum_{1\le j_1<j_2\le n} x_{j_1} x_{j_2}= x_1 x_2 + x_1 x_3 +\dots + x_2 x_3 + \dots+ x_{n-1}x_n, $$ $$ f_3=\sum_{1\le j_1<j_2<j_3\le n} x_{j_1} x_{j_2}x_{j_3}= x_1 x_2 x_3+ x_1 x_2 x_4 + \dots+ x_{n-2} x_{n-1} x_n, $$ $$ \dots $$ $$ f_{n-1}=x_{1} x_{2}\times \dots \times x_{n-1} + x_{1} x_{2} \times \dots \times x_{n-2} x_n + \dots + x_{2} x_{3}\times \dots \times x_n, $$ $$ f_n= x_{1} x_{2}\times \dots \times x_{n} .$$

Решение. Воспользуемся следствием к теореме Варинга. Составим набор новых симметрических полиномов: $$ \{ s_1,\dots,s_n \} \quad npu \quad s_j=x_1^j+x_2^j+\dots+x_n^j \ . $$ Из формул Варинга следует, что $ s_j $ выражаются через $ f_1,\dots,f_j $ по формулам $$ s_j\equiv \Psi(f_1,\dots,f_{j-1}) + j f_j \quad npu \quad j \in \{1,\dots,n \} \ . $$ Воспользуемся теоремой: $$ \frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \equiv \frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(f_1,\dots,f_n)}\cdot \frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \ ; $$ искомый якобиан определится из этой формулы если мы вычислим два других. Определитель $$ \frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(f_1,\dots,f_n)} $$ является определителем треугольной матрицы: $$ \frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(f_1,\dots,f_n)}= \left| \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \ast & 2 & 0 & \dots & 0 \\ \ast & \ast & 3 & \dots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ \ast & \ast & \ast & \dots & n \end{array} \right| \ , $$ а определитель $$ \frac{D(s_1,\dots,s_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}= \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2x_1 & 2x_2 & \dots & 2x_n \\ 3x_1^2 & 3x_2^2 & \dots & 3x_n^2 \\ \vdots & & & \vdots \\ nx_1^{n-1} & nx_2^{n-1} & \dots & nx_n^{n-1} \end{array} \right|= n! \left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{array} \right| $$ вычисляется как определитель Вандермонда.

Ответ. $ \displaystyle \prod_{1\le j < k \le n} (x_k-x_j) $.

Т

Теорема. Если уравнения $$ y_1=f_1(x_1,\dots, x_n),\dots y_n=f_n(x_1,\dots, x_n) $$ однозначно разрешимы относительно переменных $ x_{1},\dots,x_n $ в некоторой области $ \mathbb{S}_{} $: $$ x_1=\phi_1(y_1,\dots,y_n),\dots,x_n=\phi_n(y_1,\dots,y_n) $$ и существует якобиан $$ \frac{D(\phi_1,\dots,\phi_n)}{D(y_1,\dots,y_n)} \ , $$ то справедливо равенство $$ \frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \cdot \frac{D(\phi_1,\dots,\phi_n)}{D(y_1,\dots,y_n)} = 1 \ , $$ где производные вычислены в соответствующих точках.

Т

Теорема. Если уравнения $$F_1(y_1,\dots,y_n,x_1,\dots,x_n)=0,\dots, F_n(y_1,\dots,y_n,x_1,\dots,x_n)=0 $$ однозначно разрешимы относительно переменных $ y_1,\dots,y_n $ в некоторой области $ \mathbb{S}_{} $: $$ y_1=\psi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n=\psi_n(x_1,\dots,x_n) \ , $$ то справедливо равенство $$ \frac{D(\psi_1,\dots,\psi_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}=(-1)^n \frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \bigg/ \frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(y_1,\dots,y_n)} \ , $$ где производные вычислены в соответствующих точках.

Т

Теорема [Якоби]. Если $ A_{j1},\dots,A_{jn} $ — алгебраические дополнения элементов $ j_{} $-й строки якобиана, то $$ \frac{\partial A_{j1}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{j2}}{\partial x_2}+ \dots+\frac{\partial A_{jn}}{\partial x_n} \equiv 0 $$ в области $ \mathbb{S} $.

Геометрические приложения

Т

Теорема. Пусть на плоскости заданы две кривые уравнениями $$ f(x,y)=0 \quad u \quad g(x,y)=0 \ $$ и они пересекаются в точке $ \mathbf P $ с координатами $ (x_{0},y_0) $. Тогда величина угла, под которым происходит это пересечение вычисляется по правилу $$ \operatorname{tg} (\gamma) = \pm \frac{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g} {\partial y} - \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g}{\partial y}} $$ где все производные в правой части вычислены в точке $ (x_{0},y_0) $.

=>

Если $ (x_{0},y_0) $ — точка пересечения кривых $ f(x,y)=0 $ и $ g(x,y)=0 $, то

  • кривые соприкасаются в этой точке, если в ней якобиан функций $ f_{} $ и $ g_{} $ обращается в нуль:

$$\frac{\partial f}{ \partial x} \frac{\partial g}{ \partial y} - \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial g}{\partial x}= 0 \ ; $$

  • кривые пересекаются в этой точке под прямым углом, если в ней

$$ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{ \partial x} + \frac{\partial f}{ \partial y} \frac{\partial g}{ \partial y} = 0 \ . $$

?

Показать, что если функции $ u_{}(x,y) $ и $ v_{}(x,y) $ связаны соотношениями Коши-Римана (Даламбера-Эйлера): $$ \frac{\partial u}{ \partial x} \equiv \frac{\partial v}{ \partial y} , \frac{\partial u}{ \partial y} \equiv - \frac{\partial v}{ \partial x} $$ в некоторой области $ \mathbb{S}_{} $, то в этой области их линии уровня, то есть кривые $ u(x,y) = c_1 $ и $ v(x,y) = c_2 $ при $ \{c_1,c_2\} \subset \mathbb R $, могут пересекаться только под прямым углом.

Замена переменных в кратном интеграле

Источники

[1]. Задача № 5256 из журнала American Mathematical Monthly, v. 73, N 1, 1966, cc. 93-94

algebra2/dets/jacobian.txt · Последние изменения: 2020/06/02 17:54 — au