Определитель является полиномом относительно элементов матрицы. Градиент этого полинома по элементам матрицы также естественно записать в матричном виде. $$ A:=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array} \right) \ \Rightarrow \ \det (A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$ $$ \ \Rightarrow \ \frac{D\, \det(A)}{ D\, (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})}=(a_{22},-a_{21},-a_{12},a_{11}) \ \iff \ \frac{D\, \det(A)}{ D\, A} := \left(\begin{array}{rr} a_{22} & -a_{21} \\ -a_{12} & a_{11}\end{array} \right) \ . $$ Воспользовавшись формулой разложения определителя матрицы порядка $ n $ по строке $$ \det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} $$ получаем: $$ \frac{ \partial \det(A)}{\partial a_{jk}}=A_{jk} \ , $$ где $ A_{jk} $ означает алгебраическое дополнение элемента $ a_{jk}$. Таким образом, $$ \frac{D\, \det(A)}{ D\, A} =\left[ A_{jk} \right]_{j,k=1}^n =\left[ \operatorname{adj} (A) \right]^{\top} \ , \qquad {\color{Red}{ (1)} } $$ где $ \operatorname{adj} (A) $ матрица, взаимная матрице $ A $.

Для матрицы $A\in \mathbb R^{n\times n} $ с положительным определителем справедлива формула

$$ \frac{ D\, \ln (\det A)} {D\, A} = \left(A^{-1}\right)^{\top} \, . $$

Доказательство. Дифференцируем сложную функцию: $$ \frac{\partial \ln (\det A)}{\partial a_{jk}}=\frac{1}{\det A} \frac{\partial \det A}{\partial a_{jk}} \quad \Rightarrow \ \frac{ D\, \ln (\det A)} {D\, A} = \frac{1}{\det A} \frac{ D\, \det A} {D\, A} = \frac{1}{\det A} \left[\operatorname{adj} (A)\right]^{\top} $$ ввиду формулы ${\color{Red}{ (1)} } $ .

Теорема [Тeрнбулл]. Если

$$ f(\lambda):=\det (\lambda E-A)=a_0\lambda^n +a_{1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda + a_n \quad \mbox{при} \ a_0:=1 $$ то $$ \frac{D\, f(\lambda)}{D\, A}=-\left[\operatorname{adj} ( \lambda E - A) \right]^{\top} = $$ $$ = - \left[a_0A^{n-1}+(a_0\lambda+a_1)A^{n-2}+(a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2)A^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda^{n-1}+a_1\lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1})E \right]^{\top}\, . $$

В частности, $$ \frac{D\, a_1}{D\, A}=-E, \ \frac{D\, a_2}{D\, A}=-A^{\top}+\operatorname{Sp}(A)E, \dots $$ $$ \frac{D\, a_j}{D\, A}=-\sum_{k=n-j+1}^n a_{n-k} \left[A^{k-n+j-1}\right]^{\top} = -\sum_{K=0}^{j-1} a_K \left[A^{j-K-1}\right]^{\top} \ . $$

Пример. Для $n=3$

$$ f(\lambda)=\lambda^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+(a_{11}a_{22}+a_{11}a_{33}-a_{12}a_{21}-a_{13}a_{31}+a_{22}a_{33}-a_{2 3}a_{32})\lambda - \det A \, , $$ $$ \frac{\partial f}{\partial a_{11}}=-\lambda^2+(a_{22}+a_{33})\lambda-(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) \, , \ \frac{\partial f}{\partial a_{12}}=-a_{21} \lambda-(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})\, , $$ $$ \frac{\partial f}{\partial a_{13}}=-a_{31}\lambda -(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}) \ , \dots $$ $$ \operatorname{adj} ( \lambda E - A)= \left[\begin{array}{ccc} \left|\begin{array}{cc} -a_{22}+\lambda & -a_{23} \\ -a_{32} & -a_{33}+\lambda \end{array} \right| & \ast & \ast \\ -\left|\begin{array}{cc} -a_{21} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{33}+\lambda \end{array} \right| & \ast & \ast \\ \left|\begin{array}{cc} -a_{21}& -a_{22}+\lambda \\ -a_{31} & -a_{32} \end{array} \right| & \ast & \ast \end{array} \right] $$

Turnbull H.W. On differentiating a matrix. Proc. Edinburg Math.Soc. second series. Vol II, p.111-128, 1927

Turnbull H.W. Matrix differentiation of the characteristic function. Proc. Edinburg Math.Soc. second series. Vol II, p.256-264, 1931

Обобщение через кронекеровское произвдение 01102144.pdf