Определитель является полиномом относительно элементов матрицы. Градиент этого полинома по элементам матрицы также естественно записать в матричном виде. $$ A:=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array} \right) \ \Rightarrow \ \frac{D\, \det(A)}{ D\, A} := \left(\begin{array}{rr} a_{22} & -a_{21} \\ -a_{12} & a_{11}\end{array} \right) \ . $$ Воспользовавшись формулой разложения определителя матрицы порядка $ n $ по строке $$ \det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} $$ получаем: $$ \frac{ \partial \det(A)}{\partial a_{jk}}=A_{jk} \ , $$ где $ A_{jk} $ означает алгебраическое дополнение элемента $ a_{jk}$. Таким образом, $$ \frac{D\, \det(A)}{ D\, A} =\left[ A_{jk} \right]_{j,k=1}^n =\left[ \operatorname{adj} (A) \right]^{\top} \ , $$ где $ \operatorname{adj} (A) $ матрица, взаимная матрице $ A $.

Общая формула выводится и для градиента характеристического полинома матрицы.

$$ \det (\lambda E-A)=\lambda^n +a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda + a_0 $$

$$ \frac{\partial a_j}{\partial A^{\top}}=-\sum_{k=j+1}^n a_k A^{k-1-j} \quad \mbox{ при } \ a_n:=1 $$

В частности, $$ \frac{\partial a_{n-1}}{\partial A^{\top}}=-a_nA^0 = - E, $$ и теорема Гамильтона-Кэли подтверждает выведенное выше равенство $$ \frac{\partial a_{0}}{\partial A^{\top}}=-(a_1E+a_2A+\dots+a_nA^{n-1}) =a_0 A^{-1} = \operatorname{adj} (A) $$ где $ \operatorname{adj} (A) $ матрица, взаимная матрице $ A $.

В привычной нумерации коэффициентов $$ f(\lambda):=\det (\lambda E-A)=\lambda^n +a_{1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda + a_n $$

$$ \frac{\partial a_j}{\partial A^{\top}}=-\sum_{k=n-j+1}^n a_{n-k} A^{k-n+j-1} = -\sum_{K=0}^{j-1} a_K A^{j-K-1} \quad \mbox{ при } \ a_0:=1 $$

Тогда $$ \frac{\partial f(\lambda)}{\partial A^{\top}}= $$ $$ = - \left[a_0A^{n-1}+(a_0\lambda+a_1)A^{n-2}+(a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2)A^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda^{n-1}+a_1\lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1})E \right]= $$ $$ =B(\lambda) $$ где $ B(\lambda) $ — матрица, взаимная матрице $ \lambda E - A $.

Turnbull H.W. On differentiating a matrix. Proc. Edinburg Math.Soc. second series. Vol II, p.111-128, 1927

Turnbull H.W. Matrix differentiation of the characteristic function. Proc. Edinburg Math.Soc. second series. Vol II, p.256-264, 1931