Теорема 1. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде $ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $, будет неотрицательной тогда и только тогда, когда ее отрицательный индекс инерции равен нулю:

$$ n_{-} ({\mathbf A})=0 \qquad \iff \qquad \qquad \sigma ( {\mathbf A})=\operatorname{rank} {\mathbf A} \ .$$ Если это условие выполнено, то для положительной определенности формы необходимо и достаточно чтобы она была невырождена: $ \det {\mathbf A} \ne 0 $.

Доказательство. По теореме из ☞ ПУНКТА всегда найдется невырожденная замена переменных $ X=CY $, приводящая квадратичную форму к каноническому виду: $$ f(X)=\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_{\mathfrak r}y_{\mathfrak r}^2 \ , \ {\mathfrak r}=\operatorname{rank} f \, . $$ Для записи обратной замены переменных $ Y=C^{-1}X $ обозначим $ \widetilde C = C^{-1} $: $$\widetilde C=\left[\widetilde c_{jk} \right]_{j,k=1}^n \, . $$

Достаточность. Если $ n_{-} ({\bf A})=0 $, то $ \alpha_1>0,\dots, \alpha_{\mathfrak r}>0 $, и тогда $ f(X)\ge 0 $.

Необходимость. Пусть теперь $ f(X)\ge 0 $, но $ n_{-} ({\bf A})>0 $, т.е. в каноническом виде какой-то коэффициент отрицателен: $ \alpha_j<0 $. Система линейных уравнений $$ \left\{ \begin{array}{llll} {\widetilde c}_{11}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{1n}x_n &=0 \\ \dots & & & \dots \\ {\widetilde c}_{j-1,1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{j-1,n}x_n &=0 \\ {\widetilde c}_{j+1,1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{j+1,n}x_n &=0 \\ \dots & & & \dots \\ {\widetilde c}_{n1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{nn}x_n &=0 \end{array} \right. $$ является однородной и имеет нетривиальное решение $ X=X_{\ast} $ (поскольку число уравнений меньше числа переменных). Соответствующие значения переменных $ Y=Y_{\ast}=\widetilde CX_{\ast} $ обратятся в нуль: $$y_{1\ast}=0,\dots,y_{j-1,\ast}=0,y_{j+1,\ast}=0,\dots, y_{n\ast}=0 \, . $$ Однако же $ y_{j,\ast} $ должно быть отличным от нуля. В противном случае $ Y_{\ast}=\mathbb O $ и система $ \widetilde CX=\mathbb O $ имеет нетривиальное решение $ X=X_{\ast} $. Тогда на основании теоремы 1 из ☞ ПУНКТА должно выполняться равенство $ \det \widetilde C=0 $, что невозможно, поскольку $ \det C \ne 0 $. Поэтому $ f(X_{\ast})=\alpha_j y_{j,\ast}^2<0 $, но это противоречит предположению о неотрицательности $ f(X) $. Итак, предположение $ n_{-} ({\bf A})>0 $ ошибочно, т.е. $ n_{-} ({\bf A})=0 $.

Осталось доказать, что для положительной определенности Н. и Д., чтобы $ {\mathfrak r}=n $, т.е. $ \det {\mathbf A} \ne 0 $. Предположив, что $ {\mathfrak r}<n $, мы приходим к существованию $ X=X_{\ast \ast}\ne \mathbb O $ такого, что первые $ {\mathfrak r} $ соответствующих значений переменных $ Y=Y_{\ast \ast}=\widetilde CX_{\ast \ast} $ обратятся в нуль: в системе $$ \left\{ \begin{array}{llll} {\widetilde c}_{11}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{1n}x_n &=0, \\ \dots & & & \dots \\ {\widetilde c}_{{\mathfrak r}1}x_1&+\dots + & {\widetilde c}_{{\mathfrak r}n}x_n &=0 \end{array} \right. $$ число уравнений меньше числа переменных. Это значит, что $ f(X_{\ast \ast})=0 $ при $ X_{\ast \ast}\ne \mathbb O $, что противоречит положительной определенности. Следовательно, $ {\mathfrak r}=n $.

Обратно, пусть $ {\mathfrak r}=n=n_{+}(f) $, т.е. $$ f(X)=\alpha_1y_1^2+\dots+\alpha_ny_n^2\ npu \ \alpha_1>0,\dots, \alpha_n>0 \, . $$ Очевидно, что $ f(X)=0 $ тогда и только тогда, когда $ Y=\mathbb O $, но это возможно только при условии $ X=\mathbb O $ поскольку $ X=CY $ при $ \det C \ne 0 $. ♦

Теорема 2 [Сильвестр]. Квадратичная форма

$$ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $$ будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны: $$ a_{11}>0, \ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right| >0, \ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right| >0, \dots, \det \mathbf A >0 \ . $$

Доказательство достаточности фактически следует из формулы Якоби и теоремы $ 1 $.

Необходимость. Пусть $ f(X)=X^{\top}{\mathbf A}X $ положительно определена. Тогда любая форма $$f_j(x_1,\dots,x_j) = f(x_1,\dots,x_j,0,\dots, 0)=X_j^{\top}{\mathbf A}_j X_j \, ,$$ рассматриваемая как форма относительно переменных $ X_j= (x_1,\dots,x_j)^{\top} $, также будет положительно определенной. В самом деле, если $ f(X)\ge 0 $, то и $ f_j(X_j)\ge 0 $. Если предположить, что существует $ X_j=X_{j\ast}\ne \mathbb O $ такой, что $ f_j(X_j)=0 $, то при $$X=X_{\ast}=(x_{1\ast},\dots, x_{j\ast},0,\dots,0)^{\top} $$ обратится в нуль и сама форма $ f(X) $. Это противоречит предположенной положительной определенности формы. Следовательно, форма $ f_j(X_j) $ является положительно определенной относительно своих переменных. Но тогда, согласно теореме 1, ее дискриминант должен быть отличным от нуля: $ \det {\mathbf A}_j \ne 0 $. Поскольку предшествующие рассуждения справедливы для любого индекса $ j $, то получаем возможность воспользоваться формулами Якоби $$ n_{+}(f)={\mathcal P}(1,\det {\mathbf A}_1,\dots, \det {\mathbf A}_n),\ n_{-}(f)={\mathcal V}(1,\det {\mathbf A}_1,\dots, \det {\mathbf A}_n) $$ для вычисления индекса инерции. Теорема 1 требует, чтобы $ n_{+}(f)=n $, но это возможно только когда все главные миноры положительны. ♦