Вещественная матрица $ A_{} $ называется кососимметричной¹⁾ если она удовлетворяет соотношению $$A=-A^{\top} ;$$ здесь $ {}^{\top} $ означает транспонирование.

Из определения следует, что кососимметричная матрица может быть только квадратной, а ее элементы должны удовлетворять соотношению: $$ a_{jk}=-a_{kj} \quad npu \quad \{j,k \} \subset \{1,\dots, n\} . $$ Из этого условия вытекает, что все элементы главной диагонали кососимметричной матрицы должны быть равны нулю и сама матрица имеет вид $$ \left( \begin{array}{ccccc} 0 & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ -a_{13} & - a_{23} & 0 & \dots & a_{3n} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & - a_{3n} & \dots & 0 \end{array} \right) \ . $$ Произвольная кососимметричная матрица порядка $ n_{} $ однозначно задается своими $$ 1+2+ \dots + (n-1) =\frac{n(n-1)}{2} \ , $$ элементами, стоящими над главной диагональю (или под ней).

Пример. Векторное произведение вектора $ X=(x_{1},x_2,x_3) $ на вектор $ Y=(y_{1},y_2,y_3) $ может быть задано с помощью кососимметричной матрицы:

$$ X\times Y = (x_{1},x_2,x_3) \left(\begin{array}{rrr} 0 & -y_3 & y_2 \\ y_3 & 0 & -y_1 \\ -y_2 & y_1 & 0 \end{array} \right) \ . $$

Пример. При произвольной квадратной матрице $ A $ матрица $ A - A^{\top} $ является кососимметричной.

Теорема 1. Для алгебраических дополнений $ A_{jk}^{} $ элементов кососимметричной матрицы выполняются равенства

$$ A_{jk}=(-1)^{n-1} A_{kj} \ . $$ Иными словами, матрица $ \operatorname{adj}(A) $ взаимная кососимметричной матрице $ A_{} $ будет симметричной при нечетном $ n_{} $ и кососимметричной при $ n_{} $ четном.

Теорема 2. Определитель кососимметричной матрицы нечетного порядка равен нулю. Определитель кососимметричной матрицы четного порядка $ n_{} $ есть квадрат однородного полинома степени $ n/2_{} $ относительно его элементов.

Доказательство. На основании определения кососимметричной матрицы, имеем: $$ A=-A^{\top} \Rightarrow \det A = \det (-A^{\top})=(-1)^n \det A $$ (здесь мы воспользовались свойствами 1 и 4 определителя).

При $ n_{} $ нечетном из последнего равенства следует, что $ \det A = 0 $.

Пусть теперь $ n_{} $ — четно. Будем рассматривать кососимметричную матрицу $ B_{} $ четного порядка как полученную из кососимметричной матрицы $ A_{} $ нечетного порядка $ n-1_{} $ окаймлением: $$ B=\left( \begin{array}{cc} A & \begin{array}{l} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n-1,n} \end{array} \\ - a_{1n}, \ - a_{2n},\dots, - a_{n-1,n} & 0 \end{array} \right) $$ Тогда, на основании формулы для окаймленного определителя, теоремы 1, доказанного выше условия $ \det A = 0 $, а также тождества Сильвестра вытекает равенство: $$ \det B = - ( - a_{1n}, \ - a_{2n},\dots, - a_{n-1,n}) \tilde A \left( \begin{array}{l} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n-1,n} \end{array} \right)= \left( \sum_{k=1}^n \sqrt{A_{kk}} a_{kn} \right)^2 ; $$ в нем знак какого-то одного из корней, например, $ \sqrt{A_{11}} $ можно считать произвольным, а $$ \operatorname{sign} ( \sqrt{A_{kk}} ) = \operatorname{sign} \left( \frac{A_{k1}}{\sqrt{A_{11}} } \right)\quad npu \quad k>1 \ . $$ Таким образом, мы получили, что $ \sqrt{ \det B} $ является однородным полиномом первой степени относительно элементов последнего столбца определителя кососимметричной матрицы $ B_{} $ четного порядка $ n_{} $. Однако же алгебраические дополнения $ A_{kk} $ представляют из себя также определители кососимметричных матриц порядка $ n-2 $ — тоже четного. К ним можно применить те же рассуждения и показать, что каждое выражение $ \sqrt{ A_{kk} } $ является однородным полиномом первой степени относительно последнего столбца этого минора. Индукция по $ n_{} $ завершит строгое доказательство. ♦

Пример.

$$ \left| \begin{array}{cc} 0 & a_{12} \\ -a_{12} & 0 \end{array} \right|=a_{12}^2 ; \ \left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \end{array} \right| =\left\{\begin{array}{l} (a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23})^2= \\ (a_{12}a_{34}+a_{13}a_{42}+a_{14}a_{23})^2 \end{array} \right\} \ ; $$ $$ \left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & \dots & a_{16} \\ -a_{12} & 0 & \dots & a_{26} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ -a_{16} & -a_{26} & \dots & 0 \end{array} \right|= \left(\begin{array}{ll} &a_{12}a_{34}a_{56}+a_{12}a_{35}a_{64}+a_{12}a_{36}a_{45}+ \\ &+a_{13}a_{45}a_{62}+a_{13}a_{46}a_{25}+a_{13}a_{42}a_{56}+ \\ &+a_{14}a_{56}a_{23}+a_{14}a_{52}a_{36}+a_{14}a_{53}a_{62}+ \\ &+a_{15}a_{62}a_{34}+a_{15}a_{63}a_{42}+a_{15}a_{64}a_{23}+ \\ &+a_{16}a_{23}a_{45}+a_{16}a_{24}a_{53}+a_{16}a_{25}a_{34} \end{array} \right)^2 \, . $$

Обратная к кососимметричной матрице может существовать только в случае четности ее порядка, и, в случае ее существования, будет кососимметричной.

Теорема 3 [2]. Ранг кососимметричной матрицы $ A_{} $ равен наивысшему порядку отличных от нуля ведущих миноров этой матрицы, т.е. миноров вида

$$ A\left( \begin{array}{lll} \alpha_1 & \dots & \alpha_k \\ \alpha_1 & \dots & \alpha_k \end{array} \right) = \left| \begin{array}{lll} a_{\alpha_1 \alpha_1} & \dots & a_{\alpha_1 \alpha_k} \\ \dots & & \dots \\ a_{\alpha_k \alpha_1} & \dots & a_{\alpha_k \alpha_k} \end{array} \right|, $$ стоящих на пересечении строк и столбцов матрицы с одинаковыми номерами²⁾.

Ранг кососимметричной матрицы — четное число.

Теорема 4. Характеристический полином $ \det (A_{}-\lambda E) $ вещественной кососимметричной матрицы $ A_{} $ не имеет вещественных корней, кроме, возможно, $ \lambda_{}=0 $.

Доказательство. Сначала проведем вычислительные эксперименты: $$ \left| \begin{array}{ccc} -\lambda & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & -\lambda & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & -\lambda \end{array} \right|=-\lambda(\lambda^2+a_{12}^2+a_{13}^2+a_{23}^2) ;\quad $$ $$ \left| \begin{array}{cccc} -\lambda & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & -\lambda & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & -\lambda & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & -\lambda \end{array} \right|= $$ $$ = \lambda^4+(a_{12}^2+a_{13}^2+a_{14}^2 +a_{23}^2+a_{24}^2+a_{34}^2)\lambda^2+ (a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23})^2 \ ; $$ для кососимметричной матрицы $ A_{} $ порядка $ 5_{} $: $$ \det (A-\lambda E)=-\lambda \bigg(\lambda^4 + \lambda^2 \sum_{1\le j < k\le 5} a_{jk}^2+ $$ $$ +\underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} \\ -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23})^2}+ \underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ -a_{23} & 0 & a_{34} & a_{35} \\ -a_{24} & -a_{34} & 0 & a_{45} \\ -a_{25} & -a_{35} & -a_{45} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{23}a_{45}-a_{24}a_{35}+a_{25}a_{34})^2}+ \underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ -a_{13} & 0 & a_{34} & a_{35} \\ -a_{14} & -a_{34} & 0 & a_{45} \\ -a_{15} & -a_{35} & -a_{45} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{13}a_{45}-a_{14}a_{35}+a_{15}a_{34})^2}+ $$ $$ +\underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{14} & a_{15} \\ -a_{12} & 0 & a_{24} & a_{25} \\ -a_{14} & -a_{24} & 0 & a_{45} \\ -a_{15} & -a_{25} & -a_{45} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{12}a_{45}-a_{14}a_{25}+a_{15}a_{24})^2}+ \underbrace{\left| \begin{array}{cccc} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{15} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{25} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{35} \\ -a_{15} & -a_{25} & -a_{35} & 0 \end{array} \right|}_{(a_{12}a_{35}-a_{13}a_{25}+a_{15}a_{23})^2} \bigg) . $$ Видим, что характеристические полиномы являются четными или нечетными функциями от $ \lambda_{} $ в зависимости от четности порядка матрицы $ n_{} $. Кроме того, их коэффициенты всегда одного знака. Такие полиномы не могут иметь вещественных корней, отличных от $ \lambda_{} = 0 $.

Для доказательства общего случая следует воспользоваться формулой представления характеристического полинома через миноры матрицы $ A_{} $. Коэффициент при $ \lambda^{n-k} $ будет равен $$ (-1)^{n-k} \sum_{1\le j_1< j_2 < \dots < j_k\le n} \left|\begin{array}{llll} a_{j_1j_1}& a_{j_1j_2} & \dots & a_{j_1j_k}\\ a_{j_2j_1}& a_{j_2j_2} & \dots & a_{j_2j_k}\\ \vdots & & & \vdots \\ a_{j_kj_1}& a_{j_kj_2} & \dots & a_{j_kj_k} \end{array}\right| $$ и каждый минор под знаком суммы будет кососимметричным. На основании теоремы 2 он будет равен нулю при $ k_{} $ нечетном, и он будет положительным при $ k_{} $ четном. ♦

Теорема 5. Все ненулевые собственные числа кососимметричной матрицы — чисто мнимые, т.е. спектр матрицы, помимо, возможно, нулевых собственных чисел, состоит из пар

$$ \pm \beta_1 \mathbf i, \pm \beta_2 \mathbf i,\dots \quad npu \quad \{\beta_1,\beta_2 \dots \} \subset \mathbb R \setminus \{0\} \, . $$

Пример [3]. Характеристический полином матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrrcrr} 0 & a & 0 & \dots & 0 & 0 \\ -a & 0 & a & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -a & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -a & 0 \end{array} \right)_{n\times n} $$ равен $$(-1)^n \left(\lambda^n+C_{n-1}^1a^2\lambda^{n-2}+C_{n-2}^2a^4\lambda^{n-4}+C_{n-3}^3a^6\lambda^{n-6}+\dots \right) \ . $$ При $ a=1 $ и $ \lambda=-1 $ из этой формулы и альтернативного способа вычисления трехдиагонального определителя следует формула, связывающая биномиальные коэффициенты с числами Фибоначчи: $$ \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} C_{n-j}^j = C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+\dots = F_n \ . $$ Здесь $ \lfloor \ \ \ \rfloor $ — целая часть числа.

Теорема 6. Экспоненциал кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей.

Доказательство. Для кососимметричной матрицы $ A $: $$\left(\exp(A) \right)^{\top}= \left(E+A+\frac{A^2}{2}+ \frac{A^3}{3!}+\dots \right)^{\top}= $$ $$=E-A+\frac{A^2}{2}- \frac{A^3}{3!}+\dots = \exp(-A)= (\exp ( A))^{-1} \, . $$ ♦

Линейное пространство матриц порядка $ n $ раскладывается в прямую сумму подпространств симметричных и кососимметричных матриц, или, что то же, произвольная матрица $ A_{n\times n} $ представляется в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, причем такое представление однозначно: $$ A= \frac{1}{2}(A+A^{\top}) +\frac{1}{2}(A-A^{\top}) \, . $$

Если в пространстве квадратных матриц задать скалярное произведение формулой $$ \langle A,B \rangle = \operatorname{Sp} \left(A\cdot B^{\top} \right) = \sum_{j,k=1}^n a_{jk}b_{jk} \ , $$ то подпространство кососимметричных матриц является ортогональным дополнением подпространства симметричных матриц. В евклидовой норме расстояние от матрицы $ A $ до ближайшей к ней симметричной матрицы равно $$ \| (A-A^{\top})/2 \| \, . $$

☞ ЗДЕСЬ.

[1]. Нетто Е. Начала теорiи опредѣлителей. Mathesis. Одесса. 1912, cc.86-90

[2]. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974.

[3]. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. Часть I. М.-Л., ОНТИ, 1936, сс.47-50