Инструменты сайта


§

Вспомогательная страница к разделу СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА


Теоремы Коши о спектре симметричной матрицы

В настоящем пункте $ n_{+} (A) $ и $ n_{-} (A) $ означают положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы $$ X^{\top} A X, \ X^{\top}=(x_1,\dots,x_n) $$ с симметричной матрицей $ A \in \mathbb R^{n \times n} $.

Т

Теорема 1. Если все главные миноры

$$ A_1,A_2,\dots,A_{n} $$ симметричной матрицы $ A \in \mathbb R^{n \times n} $ отличны от нуля, то число положительных собственных чисел матрицы $ A_{} $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,\dots,A_n $:

$$ \operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda>0 \} = {\mathcal P}(1,A_1,\dots,A_n), $$ $$ \operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda<0 \}={\mathcal V}(1,A_1,\dots,A_n) \ . $$

Доказательство следует из закона инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы $ X^{\top} A X $ можно вычислять двумя способами. Первый основан на способе Лагранжа приведения этой формы к каноническому виду и является следствием теоремы Якоби. Второй же основан на приводимости $ X^{\top} A X $ к каноническому виду посредством ортогонального преобразования. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Т

Теорема 2 [Коши]. Для симметричной матрицы $ A \in \mathbb R^{n \times n} $ число ее собственных чисел, лежащих на интервале $ ]a,b_{}[ $, определяется по формуле:

$$\operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ a< \lambda<b \}= $$ $$= {\mathcal P}(1, H_1(a), H_2(a),\dots, H_n(a))- {\mathcal P}(1, H_1(b), H_2(b),\dots, H_n(b)) \ . $$ Здесь $ H_1(\lambda), H_2(\lambda),\dots, H_n(\lambda) $ — главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $, а $ {\mathcal P}_{} $ — число знакопостоянств.

Доказательство. Пусть $f(\lambda)= \det (A-\lambda\, E)$. Тогда $$ \operatorname{nrr} \left\{ f(\lambda)=0 \ \big| \ \lambda >t \right\} = $$ делаем подстановку $ \lambda=\mu +t $: $$ \operatorname{nrr} \left\{ \widetilde{f}(\mu):= f(\mu +t)=0 \ \big| \ \mu >0 \right\} \enspace . $$ Полином $\widetilde{f}(\mu)$ — характеристический для матрицы $ A-t\, E$ поскольку $$\det \left((A-t \, E) - \mu \, E \right) = \det \left({\bf A}-(t + \mu) \, E \right)=f(\mu +t)=\widetilde{f}(\mu) \enspace .$$ На основании теоремы 1 $$ \operatorname{nrr} \left\{ \widetilde{f}(\mu)=0 \ \big| \ \mu >0 \right\}=n_{+} (A-t \, E)={\mathcal P}\left(1,H_1(t),H_2(t),\dots, H_n(t) \right) $$ и тогда $$ \operatorname{nrr} \left\{ f(\lambda)=0 \ \big| \ \lambda >a \right\} ={\mathcal P}\left(1,H_1(a),H_2(a),\dots, H_n(a) \right) \ , $$ $$ \operatorname{nrr} \left\{ f(\lambda)=0 \ \big| \ \lambda >b \right\} = {\mathcal P}\left(1,H_1(b),H_2(b),\dots, H_n(b) \right) \ . $$ Разность двух последних чисел даст требуемое $ \operatorname{nrr}\left\{ f(\lambda)=0 \ \big| \ a< \lambda <b \right\}$.

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_{} $.

П

Пример. Локализовать собственные числа матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrr} 11 & 2 & -8 \\ 2 & 2 & 10 \\ -8 & 10 & 5 \end{array} \right) $$

Решение. $$ H_1(\lambda)=11- \lambda, \ H_2(\lambda)=\lambda^2-13\, \lambda+18, $$ $$ f(\lambda)= H_3(\lambda)=-\lambda^3+18\, \lambda^2 +81\, \lambda -1458 \ . $$

$ \lambda $ $ 1_{} $ $ H_1(\lambda) $ $ H_2(\lambda) $ $ H_3(\lambda) $ $ {\mathcal P} $ Комментарии
$ 0_{} $ $ + $ $ + $ $ + $ $ - $ 2 число положительных =2
$ -10 $ $ + $ $ + $ $ + $ $ + $ 3 собственное число
$ -5 $ $ + $ $ + $ $ + $ $ - $ 2 лежит на $ ]-10,-5[ $
$ 5 $ $ + $ $ + $ $ - $ $ - $ 2 собственное число
$ 10 $ $ + $ $ + $ $ - $ $ + $ 1 лежит на $ ]5,10[ $
$ 15 $ $ + $ $ - $ $ - $ $ + $ 1 собственное число
$ 20 $ $ + $ $ - $ $ + $ $ - $ 0 лежит на $ ]15,20[ $

Проверка. Спектр матрицы: $ \{-9,9,18 \} $.

П

Пример. Локализовать собственные числа матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array} \right) \ . $$

Решение. $$H_1(\lambda)=1- \lambda, \ H_2(\lambda)=\lambda^2+\, \lambda-6, \ f(\lambda)=H_3(\lambda)=-\lambda^3-3\, \lambda^2 +24\, \lambda -28 \ . $$

$ \lambda_{} $ $ 1_{} $ $ H_1(\lambda) $ $ H_2(\lambda) $ $ H_3(\lambda) $ $ {\mathcal P} $ Комментарии
$ 0_{} $ $ + $ $ + $ $ - $ $ - $ 2 число положительных =2
$ -8 $ $ + $ $ + $ $ + $ $ + $ 3 собственное число
$ -6 $ $ + $ $ + $ $ + $ $ - $ 2 лежит на $ ]-8,-6[ $
$ 1.5 $ $ + $ $ - $ $ - $ $ - $ 2 два собственных числа
$ 3_{} $ $ + $ $ - $ $ + $ $ - $ 0 лежат на $ ]1.5,3[ $

Никаким дроблением интервала $ ]1.5\, , \, 3[ $ не удается отделить два вещественных собственных числа. Вывод: имеется кратное собственное число.

Проверка. Спектр матрицы: $ \{-7,2,2 \} $.

Т

Теорема 3 [Коши]. Пусть собственные числа симметричной матрицы $ A \in \mathbb R^{n \times n} $ занумерованы в порядке неубывания

$$ \lambda_n \le \lambda_{n-1} \le \dots \le \lambda_1 \, . $$ Пусть матрица $ B \in \mathbb R^{(n-1) \times (n-1)} $ представляет собой подматрицу матрицы $ A $, состоящую из элементов левого верхнего угла: $$ B= \left( \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \dots & \color{Green}a_{1,n-1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{1,n-1} & a_{2,n-1} & \dots & a_{n-1,n-1} \end{array} \right) $$ и $$ \mu_n\le \mu_{n-1} \le \dots \le \mu_2 $$ ее собственные числа. Тогда имеет место следующее правило чередования собственных чисел: $$ \lambda_n \le \mu_n \le \lambda_{n-1} \le \mu_{n-1} \le \dots \le \lambda_2 \le \mu_2 \le \lambda_1 \, . $$

П

Пример. Спектр матрицы

$$ \left( \begin{array}{rrrrr} 92 & -91 & -48 & 5 & 71\\ -91 & -88 & 53 & 13 & 16\\ -48 & 53 & -28 & -10 & 83\\ 5 & 13 & -10 & -82 & 9\\ 71 & 16 & 83 & 9 & -60 \end{array} \right) $$ $$ -161.5072661,\ -139.8987405,\ -76.13034063,\ 53.80615125,\ 157.7301960 \, . $$ Спектр матрицы $$ \left( \begin{array}{rrrr} 92 & -91 & -48 & 5 \\ -91 & -88 & 53 & 13 \\ -48 & 53 & -28 & -10 \\ 5 & 13 & -10 & -82 \end{array} \right) $$ $$ -140.5888982, -77.99595802, -40.93338453, 153.5182408 $$

algebra2/symmetric/cauchy.txt · Последние изменения: 2021/12/23 17:08 — au