1. Доказать справедливость равенства $$ (X+Y)^{\top} {\mathbf A} (X-Y) = X^{\top}{\mathbf A}X - Y^{\top}{\mathbf A}Y $$ при $ {\mathbf A}={\mathbf A}^{\top} $.

2. Привести квадратичную форму $$ x_1^2+x_2^2+\dots+x_{n+1}^2-\frac{2}{n}\sum_{1\le j< k \le n+1} x_jx_k $$ к каноническому виду по методу Лагранжа.

3 . Доказать, что для того чтобы квадратичная форма могла быть представлена в виде произведения двух линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ее ранг не превосходил $ 2_{} $.

4 . Доказать, что если хотя бы один коэффициент характеристического полинома матрицы квадратичной формы равен нулю, то квадратичная форма не может быть знакоопределенной.

5 . Доказать, что при любой симметричной матрице $ A_{} $ квадратичная форма $ X^{\top}A^2X $ является неотрицательной; эта же форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда матрица $ A $ неособенная.

6 . Доказать, что при любой матрице $ A \in \mathbb R^{m\times n} $ квадратичная форма $ X^{\top}A^{\top} A X $ является неотрицательной; эта же форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда $ \operatorname{rank} A = m $.

7 [Фробениус]. Пусть для элементов матрицы $ A_{n\times n} $ квадратичной формы выполняется условие $ a_{jk}=0 $ при $ j+k \le n $, т.е. $$ A= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & 0 & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & a_{2,n-1} & \dots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{n-1,n} & a_{nn} \end{array} \right) \, . $$ Определить сигнатуру квадратичной формы.

8 . Доказать, что квадратичная форма $ X^{\top}{\mathbf A}X $ переходит в себя при преобразовании $$ X= (E+S{\mathbf A})(E-S{\mathbf A})^{-1} Y $$ где $ S $ означает произвольную кососимметричную матрицу.