матрица — это квадратная вещественная матрица $ P_{} $, удовлетворяющая равенству: $$ P \cdot P^{\top} = E \ , $$ здесь $ E_{} $ — единичная матрица того же порядка, а $ {}^{\top} $ означает транспонирование. Иными словами, строки матрицы $ P_{} $ удовлетворяют условию $$ P^{[j]}\cdot \left( P^{[k]} \right)^{\top} = p_{j1}p_{k1}+p_{j2}p_{k2} + \dots + p_{jn}p_{kn}= \delta_{jk} \ , $$ где $ \delta_{jk}^{} $ — символ Кронекера. Если скалярное произведение строк $ X=(x_1,x_2,\dots,x_{n}) $ и $ Y=(y_1,y_2,\dots,y_{n}) $ задается стандартным способом: $$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \ , $$ то определение ортогональной матрицы оправдано тем, что ее строки оказываются взаимно ортогональными. К тому же, они все имеют «единичную длину»: сумма квадратов элементов любой строки равна $ 1 $. Как следствие имеем, что любой элемент ортогональной матрицы не превышает $ 1 $ по модулю: $ | p_{jk} | \le 1 $.

Пример. Матрицы

$$ \left( \begin{array}{rr} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \, , \ \left( \begin{array}{rrr} 2/3 & -1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 2/3 \end{array} \right) \, , \ \left( \begin{array}{rrrr} 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \end{array} \right) $$ — ортогональные. Последняя получена из матрицы Адамара четвертого порядка. Вообще, умножение любой матрицы Адамара порядка $ n $ на $ 1/\sqrt{n} $ дает ортогональную матрицу.

Пример. Матрица оператора (зеркального) отражения (оператора Хаусхолдера) в $ \mathbb R^n $ относительно плоскости $ c_1x_1+\dots+c_nx_n =0 $ является ортогональной.

Пример. Единичная матрица — ортогональная. Вообще, любая диагональная матрица, элементы диагонали которой равны либо $ +1 $ либо $ -1 $ являются ортогональными. Ортгональными будут и матрицы, полученные из них произвольной перестановкой столбцов (или строк).

Одно из подмножеств таких матриц имеют специальное название.

Пример. Матрица $ P_{} $ называется матрицей перестановки если в любой ее строке и любом ее столбце в точности один элемент равен $ 1_{} $ при всех остальных равных $ 0_{} $. Она тесно связана с понятием перестановки элементов. Пусть имеются различные числа¹⁾ $ \{\alpha_1,\dots, \alpha_n\} $. Любое их упорядочивание называется перестановкой. Если имеются две перестановки одного и того же набора чисел, записываемые в виде векторов-строк:

$$ (x_1,\dots,x_{n}) \quad \mbox{и} (y_1,\dots,y_n) \, ,$$ то они связаны между собой посредством умножения на матрицу перестановки $ P_{} $ порядка $ n_{} $: $$ (y_1,\dots,y_n) =(x_1,\dots,x_n)P \ . $$ Так, к примеру, если $ (y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_2,x_4,x_3,x_1) $, то $$(y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_1,x_2,x_3,x_4) \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \ . $$

Теорема. Если матрица $ P_{} $ — ортогональная, то и матрица $ P_{}^{\top} $ — ортогональная, т.е. у ортогональной матрицы взаимно ортогональны не только строки, но и столбцы: $$ P^{\top} P = E \, $$

Теорема. Если линейный оператор в $ \mathbb R^n $ задан ортогональной матрицей, то он сохраняет скалярное произведение. Иными словами, инвариантными остаются длины векторов и углы между ними.

Доказательство. Пусть столбцы $ X=(x_1,x_2,\dots,x_{n})^{\top}, Y=(y_1,y_2,\dots,y_{n})^{\top} $ связаны соотношением $ X=PY $ при ортогональной матрице $ P_{n\times n} $. Если $$ Y_1 = PX_1, \ Y_2=PX_2 $$ то $$ \langle Y_1,Y_2 \rangle=Y_1^{\top}Y_2 = X_1^{\top} P^{\top}P X_2 = X_1^{\top} X_2= \langle X_1,X_2 \rangle \, . $$ ♦

Теорема. Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Как правило, ортогональные матрицы не коммутируют.

Теорема. Определитель ортогональной матрицы равен либо $ +1 $ либо $ (-1) $.

Доказательство. В равенстве $ P \cdot P^{\top} = E $ переходим к определителям $ \left(\det P \right) \left(\det P^{\top} \right) = \left( \det P \right)^2=1 $. ♦

Для ортогональной матрицы $ P $ обратная матрица всегда существует и совпадает с ей транспонированной: $$ P^{-1}=P^{\top} \, . $$

Множество ортогональных матриц одинакового порядка образует группу относительно операции умножения.

Будет ли эта группа коммутативной, т.е. абелевой?

Теорема. Алгебраическое дополнение любого элемента ортогональной матрицы с точностью до знака совпадает с этим элементом: $$ P_{jk} = p_{jk} \det P \, . $$

Для ортогональности квадратной матрицы $ A_{} $ необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен либо $ 1 $ либо $ (-1) $, и для каждого ее элемента было выполнено равенство из предыдущей теоремы.

Теорема. Евклидова норма ортогональной матрицы порядка $ n $ равна $ \sqrt{n} $; спектральная норма произвольной ортогональной матрицы равна $ 1_{} $.

Произвольная матрица порядка $ n_{} $ задается $ n^2 $ параметрами — своими элементами, симметричная матрица того же порядка — $ n(n+1)/2 $ элементами, кососимметричная — $ n(n-1)/2 $ элементами. Сколько параметров надо задать, чтобы определить ортогональную матрицу? Какова размерность подмножества ортогональных матриц во множестве всех матриц?

Для ответа на эти вопросы проанализируем условия ортогональности $ P^{\top}P=E $. Для случая ортогональной матрицы порядка $ n=3 $ эти условия перепишем в виде системы $$ \begin{array}{cc} p_{11}^2+p_{21}^2+p_{31}^2=1, & p_{11}p_{12}+p_{21}p_{22}+p_{31}p_{32}=0, \\ p_{12}^2+p_{22}^2+p_{32}^2=1, & p_{13}p_{12}+p_{23}p_{22}+p_{33}p_{32}=0, \\ p_{13}^2+p_{23}^2+p_{33}^2=1, & p_{11}p_{13}+p_{21}p_{23}+p_{31}p_{33}=0 \end{array} $$ квадратных уравнений относительно $ 9 $ ее элементов. Можно ожидать, что какие-то $ 3 $ элемента могут быть выбраны произвольными, а остальные определятся из полученной системы уравнений. А в общем случае ортогональная матрица может быть задана $ n(n-1)/2 $ параметрами. Обратим внимание, что такое же количество параметров задает и произвольную кососимметричную матрицу. Возникает подозрение, что эти два типа матриц завязаны друг на друга.

Теорема [Кэли]. Любая матрица $ P $ такая, что

$$ \det P =1, \det (P+E)\ne 0 $$

будет ортогональной тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде произведения $$ P=(E+S)(E-S)^{-1} \ , $$ где $ E $ — единичная, а $ S $ — некоторая кососимметричная матрица.

Доказательство. Если $ S $ — кососимметричная, т.е. $ S^{\top}=-S $, то $$ P^{\top} = \left((E+S)(E-S)^{-1}\right)^{\top} = \left((E-S)^{\top}\right)^{-1}(E+S)^{\top}=(E+S)^{-1}(E-S) \, . $$ $$ P^{\top} P= (E+S)^{-1}(E-S)(E+S)(E-S)^{-1}=(E+S)^{-1}(E+S)(E-S)(E-S)^{-1}= E , $$ поскольку матрицы $ E-S $ и $ E+S $ коммутируют. Обратные к матрицам $ E-S $ и $ E+S $ всегда существует поскольку характеристический полином $ \det (S- \lambda E) $ кососимметричной матрицы не имеет вещественных корней ( кроме, возможно, $ \lambda=0 $).

Обратно, если $ P $ — ортогональная, т.е. $ P^{-1}=P^{\top} $, то в качестве матрицы $ S $ можно взять матрицу $$ S=(P+E)^{-1} (P-E) \, . $$ Докажем, что матрица $ S $ кососимметричная. Имеем: $$ S=E-2(P+E)^{-1} \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow S^{\top} = E-2\left((P+E)^{-1}\right)^{\top}=E-2\left((P+E)^{\top}\right)^{-1}=E-2\left(P^{\top}+E\right)^{-1}= $$ $$ =E-2\left(P^{-1}+E\right)^{-1}=E-2\,P \left(E+P\right)^{-1} \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \quad S+S^{\top}=2\, E -2(P+E)^{-1}-2\,P \left(E+P\right)^{-1}= \mathbb O \, . $$ ♦

Произвольная ортогональная матрица $ P_{} $ может быть представлена в виде произведения

$$ P=J(E+S)(E-S)^{-1} \ , $$ где $ E $ — единичная, $ S $ — кососимметричная, а $$ J = \left(\begin{array}{cccc} \varkappa_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \varkappa_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \varkappa_n \end{array} \right) $$ — диагональная матрица, на диагонали которой стоят числа $ +1 $ или $ -1 $.

Теорема [Родриг]. Любая ортогональная матрица $ P_{3\times 3} $ с определителем равным $ + 1 $ может быть представлена в виде

$$ P=\frac{1}{1+a^2+b^2+c^2} \left[ \begin{array}{ccc} 1-a^2-b^2+c^2 & 2(a-bc) & 2(ac+b) \\ -2(a+bc) & 1-a^2+b^2-c^2 & 2(c-ab) \\ 2(ac-b) & -2(ab+c) & 1+a^2-b^2-c^2 \end{array} \right] $$ при некоторых вещественных значениях параметров $ a,b,c $.

Доказательство следует из теоремы Кэли при $$ S=\left( \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right) \, . $$ ♦

Теорема. Матрица $ A $ с определителем, равным $ 1 $, представима в виде

$$ A=e^S $$ с кососимметричной матрицей $ S $ тогда и только тогда, когда она ортогональна.

Доказательство достаточности. Для кососимметричной матрицы $ S $:

$$\left(\exp(S) \right)^{\top}= \left(E+S+\frac{S^2}{2}+ \frac{S^3}{3!}+\dots \right)^{\top}= $$ $$=E-S+\frac{S^2}{2}- \frac{S^3}{3!}+\dots = \exp(-S)= (\exp (S))^{-1} \, . $$ ♦

В пространстве $ \mathbb R^3 $ со стандартным скалярным произведением линейное преобразование $$ X=PY $$ с ортогональной матрицей $ P_{3\times 3} $ с определителем равным $ +1 $ определяет операцию поворота твердого тела вокруг неподвижной точки, закрепленной в начале координат $ X=\mathbb O $.

Теорема [Эйлер]. Произвольное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, закрепленной в начале координат, задается ортогональной матрицей

$$ P= \left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \cos \psi - \cos \theta \sin \varphi \sin \psi & -\cos \varphi \sin \psi - \cos \theta \sin \varphi \cos \psi & \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \cos \psi + \cos \theta \cos \varphi \sin \psi & -\sin \varphi \sin \psi + \cos \theta \cos \varphi \cos \psi & -\cos \varphi \sin \theta \\ \sin \psi \sin \theta & \cos \psi \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \, . $$

Доказательство. Матрицу $ P $ можно представить в виде произведения $$ P= \left(\begin{array}{rrr} \cos \varphi & - \sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & - \sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} \cos \psi & - \sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ трех ортогональных матриц. Первая матрица определяет вращение вокруг оси $ Oz $ на угол $ \varphi $.

Матрица $$ \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) $$ является ортогональной если $ \sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}=1 $. Если не накладывать последнего условия, то множество подобных матриц $$ \{ x_0 E +x_1 \mathbf I +x_2 \mathbf J + x_3 \mathbf K \ \mid \ (x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^4 \} \ $$ при $$ E=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right), \ \mathbf I = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right), \ \mathbf J = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right), \ $$ $$ \mathbf K= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ оказывается замкнутым относительно операций сложения и умножения. Это множество тесно связано со множеством гиперкомплексных чисел, известных как кватернионы.

Теорема. Собственные числа ортогональной матрицы $ P_{} $ все равны $ 1_{} $ по абсолютной величине (модулю). Характеристический полином

$$ \det (P-\lambda E) $$ ортогональной матрицы нечетного порядка всегда имеет корнем $ \lambda=+1 $ или $ \lambda=-1 $. Если характеристический полином не имеет корнем $ \lambda= +1 $ или же кратность этого корня — четная, то этот полином является возвратным. Если же кратность корня $ \lambda=+1 $ — нечетная, то частное $$ \frac{\det (P-\lambda E)}{\lambda-1} $$ является возвратным полиномом.

Доказательство. Если $$ P\mathfrak X=\lambda_{\ast} \mathfrak X \quad npu \quad \lambda_{\ast} \in \mathbb C, \mathfrak X\in \mathbb C^n, \mathfrak X \ne \mathbb O \ , $$ то $$ \mathfrak X^{\top}P^{\top}=\lambda_{\ast} \mathfrak X^{\top} \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathfrak X}^{\top}P^{\top}=\overline{\lambda_{\ast} } \overline{\mathfrak X}^{\top} $$ при $ \overline{ \ .} $ означающем комплексное сопряжение. Тогда $$ \left(\overline{\mathfrak X}^{\top}P^{\top} \right) P\mathfrak X = \overline{\lambda_{\ast} } \lambda_{\ast} \overline{\mathfrak X}^{\top} \mathfrak X $$ или $$ \overline{\mathfrak X}^{\top} {\mathfrak X} = \overline{\lambda_{\ast}} \lambda_{\ast} \overline{\mathfrak X}^{\top} {\mathfrak X} \quad \iff \quad (|\lambda_{\ast} |^2-1) \left( |x_1|^2+|x_2|^2+\dots + |x_n|^2\right) =0 \, . $$ Следовательно, $ |\lambda_{\ast} |=1 $. Если порядок матрицы нечетен, то хотя бы одно из ее собственных чисел вещественно, но тогда оно равно $ +1 $ или $ (-1) $.

Если $ \lambda_{\ast} $ является мнимым собственным числом ортогональной матрицы $ P $, то и $ \overline{\lambda_{\ast}} $ также является ее собственным числом. Таким образом, все мнимые собственные числа ортогональной матрицы можно разбить на пары $ \{\lambda_{\ast}, \overline{\lambda_{\ast}} \} $, и соответствующие линейные множители характеристического полинома перемножатся в виде $$ (\lambda-\lambda_{\ast})(\lambda-\overline{\lambda_{\ast}})\equiv \lambda^2- 2\,\mathfrak{Re}(\lambda_{\ast}) \lambda +|\lambda_{\ast}|^2 \equiv \lambda^2- 2\,\mathfrak{Re}(\lambda_{\ast}) \lambda + 1 $$ т.е. в виде возвратного полинома. Линейный полином $ \lambda+1 $ и квадратный полином $ (\lambda-1)^2 $ являются возвратными.

Произведение возратных полиномов будет возвратным полиномом. ♦

Пример. Найти характеристический полином и спектр матрицы

$$ P= \left(\begin{array}{rrrrrrrr} -\sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 1/2 & \sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 & -1/2 & \sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 \\ -\sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 1/2 & -\sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 & 1/2 & \sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 \\ -\sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 0 & 0 & \sqrt{6}/4 & 0 & -\sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/12 \\ -\sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 0 & \sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/12 & 0 & 0 & -\sqrt{6}/4 \\ \sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 1/2 & -\sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 & -1/2 & -\sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 \\ \sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 1/2 & \sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 & 1/2 & -\sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 \\ \sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 0 & \sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/12 & 0 & 0 & \sqrt{6}/4 \\ \sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 0 & 0 & \sqrt{6}/4 & 0 & \sqrt{3}/3 & -\sqrt{6}/12 \end{array} \right) \, . $$

Решение. Имеем: $$ \det(P- \lambda E)= $$ $$ =\lambda^8+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\lambda^7+\left(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{5 \sqrt{2}}{12}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\lambda^6 + $$ $$ +\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\lambda^5+ $$ $$ +\left(\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{6}}{6}+\frac{11\sqrt{3}}{12}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\lambda^4+\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\lambda^3+ $$ $$ +\left(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{5 \sqrt{2}}{12}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\lambda^2+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\lambda+1 \ , $$ т.е. действительно полином является возвратным. Теоретически, его корни можно найти в радикалах, поскольку согласно алгоритму, изложенному ЗДЕСЬ, эта задача сводится к решению уравнения $ 4 $-й степени: $$ -12\,w^4+(6+4\sqrt{3}-6\sqrt{2})w^3+(44-2\sqrt{3}+5\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{3})w^2+ $$ $$ +(-9-7\sqrt{3}+14\sqrt{2}-4\sqrt{6})w-20-7\sqrt{3}-4\sqrt{2}-6\sqrt{6}=0 \, . $$ Но я ограничусь здесь приближенными значениями $$ \lambda_{1,2}\approx -0.907626 \pm 0.419779 \mathbf i, \ \lambda_{3,4}\approx -0.503048\pm 0.864258 \mathbf i , $$ $$ \lambda_{5,6}\approx 0.602940 \pm 0.797785 \mathbf i, \ \lambda_{7,8}\approx 0.992855 \pm 0.119324 \mathbf i \, . $$ ♦

Теорема. Для любой ортогональной матрицы $ P $ существует ортогональная же матрица $ Q $ такая, что

$$Q^{\top} P Q= P_{\mathfrak J} \ , $$ где матрица $ P_{\mathfrak J} $ — блочно-диагональная, имеющая на диагонали клетки первого порядка вида $$ [+1] \quad \mbox{ и/или } \ [-1] \, $$ и/или клетки второго порядка вида $$ \left[ \begin{array}{rr} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right] \quad \mbox{ при } \ \varphi \ne k \pi, k \in \mathbb Z \, . $$

Теорема [о QR-разложении]. Для любой вещественной неособенной матрицы $ A_{n\times n}^{} $ существует вещественные ортогональная матрица $ Q_{n\times n} $ и верхнетреугольная матрица $ R_{n\times n} $, такие, что $$ A=Q \cdot R \, . $$

Теорема (о сингулярном разложении). Для матрицы $ A \in \mathbb R^{m\times n} $, $ \operatorname{rank} (A)=\mathfrak r $ существует представление ее в виде произведения $$ A=U \Sigma V^{\top} \, . $$

Схематически при $ m<n $:

а при $ m>n $:

Здесь

• $ U \in \mathbb R^{m\times m} $ и $ V \in \mathbb R^{n\times n} $ — ортогональные матрицы;
• матрица $ \Sigma \in \mathbb R^{m\times n} $ имеет ненулевыми только элементы $ \sigma_{jj}=\sigma_j $ при $ j\in \{1,\dots, \mathfrak r \} $:

$$ \Sigma=\left( \begin{array}{cccc|c} \sigma_1 & & & & \\ & \sigma_2 & & &\mathbb O_{{\mathfrak r}\times (n-{\mathfrak r})}\\ & &\ddots& & \\ & & & \sigma_{\mathfrak r} & \\ & & & & \\ \hline &\mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times {\mathfrak r}} & & & \mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times (n-{\mathfrak r})} \end{array} \right) $$ Числа $ \sigma_1, \sigma_2,\dots,\sigma_{\mathfrak r} $ расположены в порядке неубывания: $$ \sigma_1\ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_{\mathfrak r} > 0 $$ и равны арифметическим квадратным корням из ненулевых собственных чисел матрицы $ A \cdot A^{\top} $ $$ \{\sigma_j= |\lambda_j| \}_{j=1}^{\mathfrak r} $$ где $ \lambda_1^2, \lambda_2^2,\dots, \lambda_{\mathfrak r}^2 $ — корни уравнения $$ \det ( A \cdot A^{\top}-\lambda E) =0 \, . $$

• Столбцы матрицы $ U $ являются собственными векторами матрицы $ A \cdot A^{\top} $:

$$ U= \left[ U_{[1]}| U_{[2]}|\dots | U_{[m]} \right],\ npu \ ( A \cdot A^{\top}-\lambda_j^2 E) U_{[j]} = \mathbb O_{m\times 1} \, . $$

• cтолбцы матрицы $ V $ являются собственными векторами матрицы $ A^{\top} \cdot A $:

$$ V= \left[ V_{[1]}|V_{[2]}|\dots | V_{[n]} \right],\ npu \ ( A^{\top} A -\lambda_j^2 E) V_{[j]} = \mathbb O_{n\times 1} \, . $$

Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

☞ ЗДЕСЬ

[1]. Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1840. V. 5, 380–440

[2]. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974; задача N 896, задача 1570.