Основное
Теорема. Собственные векторы оператора, принадлежащие различным собственным числам, линейно независимы.
Доказательство. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ — различные собственные числа оператора $\mathcal A$, а ${\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_k$ — принадлежащие им собственные векторы: $\mathcal A({\mathfrak X}_j)=\lambda_j{\mathfrak X}_j$. Докажем теорему индукцией по $k$. Для $k=1$ утверждение очевидно. Пусть оно верно для $(k-1)$-го векторов, но неверно для $k$ векторов: $$ \alpha_1{\frak X}_1+\dots+\alpha_{k-1}{\frak X}_{k-1}+\alpha_k{\frak X}_k=\mathbb O $$ при каком-то из коэффициентов отличном от нуля. Пусть $\alpha_1 \ne 0$.
К обеим частям равенства применим оператор $\mathcal A$. Получим $$\mathcal A (\alpha_1{\mathfrak X}_1+\dots+\alpha_{k-1}{\mathfrak X}_{k-1}+\alpha_k{\mathfrak X}_k)=\mathbb O \ \Longrightarrow $$ $$ \quad \Longrightarrow \alpha_1 \lambda_1{\mathfrak X}_1+\dots+\alpha_{k-1}\lambda_{k-1}{\mathfrak X}_{k-1}+\alpha_k\lambda_k{\mathfrak X}_k=\mathbb O \enspace .$$ Домножим первое равенство на $\lambda_k$ и вычтем из последнего: $$\alpha_1 (\lambda_1-\lambda_k){\mathfrak X}_1+\dots+ \alpha_{k-1} (\lambda_{k-1}-\lambda_k){\mathfrak X}_{k-1}=\mathbb O \, .$$ Здесь $\alpha_1 (\lambda_1-\lambda_k)\ne 0$ т.к. $\lambda_1 \ne \lambda_k$. Векторы ${\mathfrak X}_1,\dots,{\mathfrak X}_{k-1}$ получились линейно зависимыми, что противоречит индукционному предположению.