Теорема. Собственные числа вещественной симметричной матрицы все вещественны.

Доказательство I. Пусть $ A $ вещественная симметричная матрица: $ A= A^{^{\top}} $. Если $ \lambda \in \mathbb C $ — ее собственное число, соответствующее собственному вектору $ {\mathfrak X} =(x_1,\dots,x_n)^{\top} \in \mathbb C^n \ ({\mathfrak X}\ne \mathbb O) $, то $ A{\mathfrak X}=\lambda {\mathfrak X} $. Обозначим $ \overline {\mathfrak X} $ вектор комплексно-сопряженный $ {\mathfrak X} $. Вычислим число $ a=({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X}\in \mathbb C $ $$a=({\overline{\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X} =({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} \lambda {\mathfrak X} = \lambda ({\overline {\mathfrak X}})^{^{\top}} {\mathfrak X}= \lambda \underbrace{(|x_1|^2+\dots+|x_n|^2)}_{\in \mathbb R}.$$ Если мы теперь докажем, что $ a \in \mathbb R $, то тогда и $ \lambda \in \mathbb R $. Имеем: $$\overline{ a}=(\overline {a})^{^{\top}}=\left( \overline{(\overline {{\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X}} \right)^{^{\top}}= \left( {\mathfrak X}^{^{\top}} \overline{ A } \overline{ {\mathfrak X}} \right)^{^{\top}} =(\overline{ {\mathfrak X}})^{^{\top}} A^{^{\top}} {\mathfrak X}=(\overline{ {\mathfrak X}})^{^{\top}} A {\mathfrak X} =a.$$ Но это и означает, что $ a \in \mathbb R $.

Доказательство II [Борхардт]. Предыдущее доказательство позволило установить вещественность всех корней характеристического полинома симметричной матрицы косвенным путем. Хотя это доказательство и является достаточно компактным, неплохо было бы уставовить и более непосредственную связь результата теоремы с общими результатами по условиям вещественности всех корней произвольного полинома. Приводимое ниже доказательство основывается на одном из таких результатов, а именно теореме Якоби.

Рассмотрим евклидово пространство квадратных матриц порядка $ n $ со скалярным произведением, введенным формулой: $$ \langle A, B \rangle = \operatorname{Sp} \left(A \cdot B^{^{\top}} \right) \ , $$ рассмотрим систему матриц $ \left\{E,A,A^2,\dots,A^{n-1} \right\} $. Составим матрицу Грама этой системы: $$ G(E,A,A^2,\dots,A^{n-1})= \left( \begin{array}{cccc} \langle E,E \rangle & \langle E,A \rangle & \dots & \langle E,\, A^{n-1} \rangle \\ \langle A,E) & \langle A,A \rangle & \dots & \langle A,\, A^{n-1} \rangle \\ \dots & & & \dots \\ \langle A^{n-1},E \rangle & \langle A^{n-1},A \rangle & \dots & \langle A^{n-1},A^{n-1} \rangle \end{array} \right) \ . $$ При симметричной матрице $ A $ любая ее степень также является симметричной матрицей. Тогда $$ \langle A^{j},A^{k} \rangle= \operatorname{Sp} (A^{j+k}) = s_{j+k} , $$ где $ s_{j} $ означает $ j $-ю сумму Ньютона характеристического полинома матрицы $ A $. Следовательно, сама матрица Грама $ G(E,A,A^2,\dots,A^{n-1}) $ совпадает с матрицей $$ S= \left( \begin{array}{llll} s_0& s_1 & \dots & s_{n-1} \\ s_1 & s_2 & \dots & s_n \\ \dots & & & \dots \\ s_{n-1} & s_n & \dots & s_{2n-2} \end{array} \right) $$ из теоремы Якоби.

По одному из свойств матрицы Грама все главные миноры $ S_j $ построенной матрицы должны быть неотрицательны. Следовательно, по теореме Якоби, все корни характеристического полинома матрицы $ A $. вещественны.

Доказательство I хорошо известно и содержится, например в

[1.] Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука.1984

Доказательство II взято из

[2.] Серре И.А. Курсъ высшей алгебры., cc. 513-518
(разумеется, привожу его в «осовремененном» виде — матриц Грама там нет и в помине).