$ A\in \mathbb C^{n\times n} $, $$ f_{A}(\lambda):=\det (A-\lambda E) \equiv \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_n. $$ Чему равен $ f_{A+B}(\lambda) $ если матрица $ B $ — одноранговая $$ B:=U \cdot V^{\top}, \quad U^{\top}=(u_1,\dots,u_n), V^{\top}=(v_1,\dots,v_n) \, ? $$

Если $ \operatorname{adj}(A-\lambda E) $ означает матрицу, взаимную матрице $ A-\lambda E $, то $$ f_{A+B}(\lambda)\equiv f_{A}(\lambda)+V^{\top}\operatorname{adj}(A-\lambda E) U \equiv $$ $$ \equiv f_{A}(\lambda)-V^{\top}\left[A^{n-1}+(\lambda +a_1)A^{n-2}+\dots+ (\lambda^{n-1}+a_1 \lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1})E \right] U $$ Если $ V^{\top}U=0 $, то $$ \equiv f_{A}(\lambda)-V^{\top}\left[A^{n-1}+(\lambda +a_1)A^{n-2}+\dots+ (\lambda^{n-2}+a_1 \lambda^{n-3}+\dots+a_{n-2})A \right] U $$ Для матрицы Фробениуса $$ F=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -a_4 \\ 1 & 0 & 0 & -a_3 \\ 0 & 1 & 0 & -a_2 \\ 0 & 0 & 1 & -a_3 \end{array} \right) $$ и векторов $ U^{\top}=(1,0,0,0), V^{\top}=(c_1,c_2,c_3,c_4) $ как раз и получаем формулу $$ f_{F+B}(\lambda)=f_{F}(\lambda) - (c_1,c_2,c_3,c_4) E \left( \begin{array}{c} \lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3 \\ \lambda^2+a_1\lambda+a_2 \\ \lambda+a_1 \\ 1 \end{array} \right) $$