VMath

Вспомогательная страница к разделу Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы матрицы

---

Теорема [Гершгорин].¹⁾ Обозначим $ \mathbb D_{j} $ круг на комплексной плоскости $ \mathbb C_{} $ с центром в точке $ a_{jj}^{} $ и радиуса

$$ r_j=\sum_{\ell=1 \atop \ell\ne j}^n \left|a_{j \ell}\right| \ .$$ Тогда спектр матрицы $ A_{} $ лежит внутри объединения этих кругов: $$ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n \} \subset \bigcup_{j=1}^n \mathbb D_j \ . $$ Иными словами: любое собственное число матрицы должно удовлетворять хотя бы одному из неравенств $$ |z- a_{jj} | < r_j \ . $$

Доказательство. Пусть ${\mathfrak X}=\left[{\mathfrak x}_1,\dots,{\mathfrak x}_n \right]^{^{\top}}$ — собственный вектор матрицы $A$, соответствующий собственному числу $\lambda$: $$ A{\mathfrak X}=\lambda{\mathfrak X}\, . $$ Выделим у этого вектора максимальную по абсолютной величине координату: пусть $$\left|{\mathfrak x}_j \right|= \max_{1 \le k \le n} \left|{\mathfrak x}_k \right| \enspace .$$ Рассмотрим тогда $j$-ю компоненту равенства $A{\mathfrak X}=\lambda{\mathfrak X}$: $$ \sum_{k=1}^n a_{jk} {\mathfrak x}_{k} = \lambda {\mathfrak x}_{j} \ \Rightarrow \ \sum_{k=1}^n a_{jk} {\mathfrak x}_{k} - a_{jj}{\mathfrak x}_{j} =\lambda {\mathfrak x}_{j} - a_{jj}{\mathfrak x}_{j} \enspace . $$ Переходя к модулям, получаем: $$ \left|\lambda - a_{jj} \right| \cdot \left|{\mathfrak x}_{j} \right|= \left| \sum_{k \ne j} a_{jk} {\mathfrak x}_{k} \right| \le \sum_{k \ne j} \left| a_{jk} \right| \cdot \left| {\mathfrak x}_{k}\right| \le \left| {\mathfrak x}_{j}\right| \sum_{k \ne j} \left| a_{jk} \right| \enspace . $$ Поделив обе части неравенства на $\left|{\mathfrak x}_{j} \right|$, придем к $\left|\lambda - a_{jj} \right|\le r_j$; последнее неравенство говорит о том, что $\lambda \in \mathbb D_j \ \Rightarrow \ \lambda \in \bigcup_{j=1}^n \mathbb D_j$. ♦

Пример. Построить круги Гершгорина для матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{crr} -1+3\,{\mathbf i} & 2- {\mathbf i} & 3+2\, {\mathbf i} \\ -1+{\mathbf i} & 4+ {\mathbf i} & 3\, {\mathbf i} \\ -1& 2-2\,{\mathbf i}& -2-3\, {\mathbf i} \end{array} \right) . $$

Решение. $$|\lambda + 1 - 3\,{\mathbf i} |\le | 2-{\mathbf i} |+| 3+2\,{\mathbf i} |=\sqrt{5}+\sqrt{13},\ $$ $$|\lambda - 4 - {\mathbf i} |\le 3+\sqrt{2},\ $$ $$ |\lambda + 2+ 3\, {\mathbf i} |\le 1 + 2\sqrt{2} \ . $$

Проверка. Собственные числа матрицы $ A_{} $ (на рисунке обозначены красными крестиками): $$ \{ -2.509081750-3.442241533\,{\mathbf i} ,\ -1.041999986+2.655757676\,{\mathbf i} ,\ 4.551081736+1.786483857\, {\mathbf i} \} .$$

Построить круги Гершгорина для матрицы

$$ A=\left( \begin{array}{rrr} -2 & 4+7\, {\mathbf i} & -3-7 \, {\mathbf i} \\ -1& 6+2\, {\mathbf i} & -5-2\, {\mathbf i} \\ -3& 4+7\, {\mathbf i} &-2-7\, {\mathbf i} \end{array} \right) \ . $$