1. Известен характеристический полином матрицы $ A_{} $: $$ \det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+\dots+a_n \ . $$ Найти характеристический полином матрицы $ A^{2} $.

2. Доказать, что характеристический полином матрицы $ A_{} $ ранга $ \mathfrak r_{} $ имеет вид: $$ \det(A-\lambda E)=(-1)^n \lambda^n +\dots+a_{\mathfrak r} \lambda^{n-\mathfrak r} \ , $$ т.е. имеет $ \lambda=0 $ корнем кратности $ \ge n-\mathfrak r $. Можно ли последнее неравенство заменить на равенство?

3. Доказать, что любой собственный вектор матрицы $ A $ является собственным вектором ее взаимной матрицы $ \operatorname{adj}(A) $.

4. К методу Леверье. Определить асимптотику последовательности $ \{Y_K=AY_{K-1}\}_{K=1}^{\infty} $ при $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 \\ 1& 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \qquad \mbox{ и } \qquad Y_0= \left(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \ . $$

5. Для матрицы $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} -1& -2 &-3& 0\\ 0&2&4&6\\ 6&-3&1&2\\ -1&-1&1&1 \end{array} \right) $$ найти числа $ \{b_j\}_{j=0}^4 $, обеспечивающие выполнение соотношения $$ b_0E+b_1A+b_2A^2+b_3A^4+b_4A^8= \mathbb O_{4\times 4} \ . $$

6. Пусть $ H_n(\lambda) $ — характеристический полином матрицы $$ \left( \begin{array}{ccccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & \dots & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 5 & 5 \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n+1 \\ \end{array} \right) \ . $$ Доказать, что $$ H_n(\lambda)\equiv (1-2\, \lambda)H_{n-1}(\lambda)-\lambda^2 H_{n-2}(\lambda) \ . $$

7. Найти хотя бы одно собственное число и соответствующий собственный вектор матрицы

Собор Sagrada Familia, архитектор А.Гауди

8. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы магического квадрата

с гравюры Дюрера «Меланхолия»

9. Найти собственные числа и собственные векторы обратно симметричной матрицы $$ \left[w_{j}/w_{k} \right]_{j,k=1}^n \ .$$

10. Доказать матричное равенство $$ (\lambda A - E)^{-1}=-E+\lambda (\lambda E - A^{-1})^{-1} \, . $$

11. Доказать, что матрица $$ A= \left( \begin{array}{lllllll} 1 & -1 & 1 & -1 & \dots & (-1)^{n-2} & (-1)^{n-1} \\ C_{n-1}^1 & -C_{n-2}^1 & C_{n-2}^2 & -C_{n-3}^1 & \dots & (-1)^{n-2} & 0 \\ C_{n-1}^2 & -C_{n-2}^2 & C_{n-2}^3 & -C_{n-3}^2 & \dots & 0 & 0 \\ C_{n-1}^3 & -C_{n-2}^3 & C_{n-2}^4 & -C_{n-3}^3 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ C_{n-1}^{n-2} & -1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \end{array} \right)_{n\times n} $$ удовлетворяет уравнению $$ A^{3}=(-1)^{n-1}E \, . $$ Найти характеристический полином матрицы $ A_{} $.

12 [1]. Пусть $ f(\lambda)=\det (A-\lambda E ) $, $ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n\} $ — спектр матрицы $ A $, а $ B(\lambda)= \operatorname{adj}(A-\lambda E) $ — взаимная матрица для характеристической матрицы $ A-\lambda E $. Доказать, что спектр матрицы $ B(\lambda) $ — $$ \{ -f_1(\lambda),\dots, -f_n(\lambda) \} \quad npu \quad \left\{ f_j(\lambda)\equiv \frac{f(\lambda)}{\lambda-\lambda_j} \right\}_{j=1}^n \, . $$

13. Найти спектр матрицы $$ E_{n\times n}-\left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) (x_1,\dots,x_n) $$ при $ x_1^2+\dots+x_n^2=1 $.

14. Для любой матрицы $ A $ один из коэффициентов характеристического полинома совпадает, с точностью до знака, с одним из коэффициентов характеристического полинома взаимной матрицы $ \operatorname{adj}(A) $. Какой это коэффициент?

15. У матрицы $ A \in \mathbb C^{n \times n} $ имеется нулевое собственное число кратности $ 2 $. Какое событие более вероятно: $ \operatorname{rank} A=n-1 $ или $ \operatorname{rank} A=n-2 $?

16. Вычислить характеристический полином и найти хотя бы один собственный вектор квадратной матрицы ранга $ 1 $.

17. Пусть матрица $ A_{} $ квадратная порядка $ n_{} $ и $ \operatorname{adj}(A) $ — матрица ей взаимная.

a) Доказать, что если $ \operatorname{rank} (A) = n-1 $, то $ \operatorname{rank} (\operatorname{adj}(A)) = 1 $. Доказать, что в этом случае любой столбец матрицы $ \operatorname{adj}(A) $ является решением системы уравнений $ AX=\mathbb O_{n\times 1} $.

б) Доказать, что любой собственный вектор матрицы $ A_{} $, соответствующий ненулевому собственному числу, будет собственным и для $ \operatorname{adj}(A) $.

в) В случае $ \operatorname{rank} (A) = n-1 $ построить характеристический полином матрицы $ \operatorname{adj}(A) $.

18. Пусть $ X_1 $ — правый собственный вектор матрицы $ A $, принадлежащий собственному числу $ \lambda_1 $, а $ Y_2 $ — левый собственный вектор матрицы $ A $, принадлежащий собственному числу $ \lambda_2 $. Доказать, что $$ Y_2X_1=0 \quad \mbox{если} \ \lambda_1 \ne \lambda_2 \, . $$ Для того, чтобы собственное число $ \lambda_1 $ было кратным необходимо и достаточно, чтобы произведение соответствующих ему левого собственного вектора на правый было нулевым.

19. Теорема 16 утверждает, что если $ X_{\ast} $ — собственный вектор матрицы $ A $, то он же является собственным вектором матрицы $ A^2 $. Верно ли обратное утверждение: любой собственный вектор $ A^2 $ является собственным для матрицы $ A $?

[1]. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т.2. М.Наука. 1978, с.123