Рассмотрим случай симметричной матрицы $ A\in \mathbb R^{n\times n} $. Пусть ее собственные числа (они вещественны) занумерованы в порядке убывания модулей: $$ |\lambda_1|>|\lambda_2|> \dots > |\lambda_n | $$ и среди этих модулей нет одинаковых.

Предположим, что мы определили — методом, изложенным ☞ ЗДЕСЬ — максимальное по модулю собственное число $ \lambda_1 $ и соответствующий ему собственный вектор $ \mathfrak X_1 $. Как определить следующее число $ \lambda_2 $? Воспользуемся для этого свойством ортогональности собственных векторов симметричной матрицы. Собственный вектор, принадлежащий $ \lambda_2 $ должен быть перпендикулярен $ \mathfrak X_1 $. Выберем в качестве стартового вектора $ X_0 $ произвольный вектор $ \mathbb R^n $ перпендикулярный $ \mathfrak X_1 $. Так, например, если $ \widetilde X_0 \in \mathbb R^n $ — произвольный ненулевой вектор, а $ |\mathfrak X_1|=1 $, то $$ X_0 =\widetilde X_0 - (\mathfrak X_1^{\top} \widetilde X_0) \mathfrak X_1 $$ будет вектором, ортогональным $ \mathfrak X_1 $. Тогда вектор $ X_0 $ принадлежит линейной оболочке $$ \mathcal L(\mathfrak X_2,\mathfrak X_3,\dots,\mathfrak X_n) $$ оставшихся собственных векторов матрицы $ A $, т.е. его можно представить в виде $$ X_0=\alpha_2 \mathfrak X_2+\alpha_3 \mathfrak X_3+\dots+ \alpha_n \mathfrak X_n \, . $$ Умножим этот вектор слева на матрицу $ A $. Поскольку $ \{A \mathfrak X_j=\lambda_j \mathfrak X_j \}_{j=2}^n $, то получаем $$ X_1=AX_0=\alpha_2 \lambda_2 \mathfrak X_2+\alpha_3 \lambda_3 \mathfrak X_3+\dots+ \alpha_n \lambda_n \mathfrak X_n \, , $$ т.е. $ X_1 $ не покинул $ \mathcal L(\mathfrak X_2,\mathfrak X_3,\dots,\mathfrak X_n) $. Еще раз домножаем на матрицу $ A $: $$ AX_1=\alpha_2 \lambda_2^2 \mathfrak X_2+\alpha_3 \lambda_3^2 \mathfrak X_3+\dots+ \alpha_n \lambda_n^2 \mathfrak X_n \, . $$ и продолжаем далее: $$ X_1=AX_0, X_2=AX_1,\dots, X_{K+1}=AX_K,\dots $$ Все эти векторы остались в $ \mathcal L(\mathfrak X_2,\mathfrak X_3,\dots,\mathfrak X_n) $. Выделим последовательность первых элементов получившихся векторов $$x_{1}^{[1]},x_{1}^{[2]},\dots,x_{1}^{[K]},\dots $$

Теорема. Как правило, предел

$$ \lim_{K\to +\infty}\frac{x_{1}^{[K+1]}}{x_{1}^{[K]}} $$ существует и он равен второму по убыванию модуля собственному числу матрицы $ A_{} $, т.е. в наших обозначениях, $ \lambda_2 $. Соответствующий собственный вектор единичной длины тогда равен $$ \mathfrak X_2 =\lim_{K\to +\infty} \frac{X_{K+1}}{|X_{K+1}|} \, . $$

Доказательство фактически повторяет доказательство теоремы из ПУНКТА. $$ X_{K+1}=AX_K=\alpha_2 \lambda_2^{K+1} \mathfrak X_2+\alpha_3 \lambda_3^{K+1} \mathfrak X_3+\dots+ \alpha_n \lambda_n^{K+1} \mathfrak X_n $$ и слагаемые, содержащие $ \lambda_2 $, доминируют в асимптотике при $ K \to +\infty $.

Пример. Для матрицы

$$ A=\left(\begin{array}{rrrr} -46 & 185 & 36 & -20\\ 185 & -46 & -19 & -108\\ 36 & -19 & 190 & 51\\ -20 & -108 & 51 & -162 \end{array} \right) $$ максимальное по модулю собственное число и соответствующий ему собственный вектор следующие:

$$ \lambda_1 \approx -273.34192789,\ \mathfrak X_1 \approx \left(-0.49490060,0.66743225,0.00457756,0.55640509 \right)^{\top} \, . $$ Определить следующее по убыванию модуля собственное число и соответствующий собственный вектор.

Решение. Положив $ \widetilde X_0=(1,0,0,0)^{\top} $, в качестве $ X_0 $ получим нормализованный вектор $$ X_0 \approx (0.86894959, 0.38012863, 0.00260709, 0.31689434)^{\top} $$ $$ X_1=AX_0 \approx \left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 24.10808504} \\ {\scriptstyle 108.99563271} \\ {\scriptstyle 40.71670159} \\ -{\scriptstyle 109.63680722} \end{array} \right),\ Y_2=AX_1 \approx \left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 22713.75754114} \\ {\scriptstyle 10513.35447799} \\ {\scriptstyle 941.6701741} \\ {\scriptstyle 7584.02451759} \end{array} \right),\ X_3=AX_2 \approx \left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 782357.36745348} \\ {\scriptstyle 2881464.45791505} \\ {\scriptstyle 1183644.1198834} \\ -{\scriptstyle 2770304.22741518} \end{array} \right),\dots, $$ $$ X_{67}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 6.1245792}\times 10^{151} \\ -{\scriptstyle 1.8898150}\times 10^{152} \\ {\scriptstyle 1.54327938}\times 10^{153} \\ {\scriptstyle 2.6847072} \times 10^{152} \end{array} \right),\ X_{68}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 1.24097586} \times 10^{154} \\ -{\scriptstyle 3.82935257} \times 10^{154} \\ {\scriptstyle 3.12710586} \times 10^{155} \\ {\scriptstyle 5.44000775} \times 10^{154} \end{array} \right),\ X_{69}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 2.51442839} \times 10^{156} \\ -{\scriptstyle 7.75940198} \times 10^{156} \\ {\scriptstyle 6.33637437} \times 10^{157} \\ {\scriptstyle 1.10229329} \times 10^{157} \end{array} \right),\ X_{70}=\left( \begin{array}{r} {\scriptstyle 5.09483040} \times 10^{158} \\ -{\scriptstyle 1.57228614} \times 10^{159} \\ {\scriptstyle 1.28392289} \times 10^{160} \\ {\scriptstyle 2.23356263} \times 10^{159} \end{array} \right) \ . $$ Смотрим на отношения первых элементов векторов: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} K & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 20 & 21 & \dots & 40 & 41 & \dots & 67 & 68 & 69 & 70 \\ \hline x_{1}^{[K+1]}/x_{1}^{[K]} & 942.163 & 34.444 & 760.649 & 41.131 & 638.671 & \dots & 103.141 & 277.657 & \dots & 197.091 & 203.151 & \dots & 202.622 & 202.617 & 202.623 & \mathbf{202.62}_0 \end{array} $$ Подпоследовательность с нечетными номерами убывает, а с четными — возрастает. $$ X_{71}/|X_{71}| \approx \left( \mathbf{0.0387}_{8264}, -\mathbf{0.1196}_{8969}, \mathbf{0.97737}_{446}, \mathbf{0.17002}_{778} \right)^{\top} \, . $$

Ответ. $$ \lambda_2 \approx 202.6274413, \ \mathfrak X_2 \approx (0.03877879, -0.11969401, 0.97737378, 0.17002955)^{\top} \, . $$

Как найти следующее по модулю собственное число? — Имеет смысл обобщить идею, использованную для предыдущего случая. Выберем в качестве вектора $ X_0 $ произвольный вектор, ортогональный уже найденным собственным векторам $ \mathfrak X_1 $ и $ \mathfrak X_2 $. Это можно сделать, взяв вектор $ \widetilde X_0 \in \mathbb R^n $ произвольным ненулевым и ортогонализовав затем систему векторов $ \{ \mathfrak X_1, \mathfrak X_2, \widetilde X_0 \} $. $$ Y_0 =\widetilde X_0 - (\mathfrak X_1^{\top} \widetilde X_0) \mathfrak X_1 - (\mathfrak X_2^{\top} \widetilde X_0) \mathfrak X_2 \, . $$ На основании свойства собственных векторов симметричной матрицы, вектор $ Y_0 $ должен принадлежать ортогональному дополнению подпространства $ \mathcal L(\mathfrak X_1, \mathfrak X_2) $, совпадающем с линейной оболочкой оставшихся собственных векторов $ \mathfrak X_3,\dots, \mathfrak X_n $: $$ Y_0= \alpha_3\mathfrak X_3+ \dots + \alpha_n \mathfrak X_n \, . $$ Запускаем последовательность $$ Y_1=AY_0, Y_2=AY_1,\dots, Y_{K+1}=AY_K,\dots $$ Все ее векторы остаются в $ \mathcal L( \mathfrak X_3,\dots, \mathfrak X_n) $.

Теорема. Как правило, предел

$$ \lim_{K\to +\infty}\frac{y_{1}^{[K+1]}}{y_{1}^{[K]}} $$ существует и он равен третьему по убыванию модуля собственному числу матрицы $ A_{} $, т.е. в наших обозначениях, $ \lambda_3 $. Соответствующий собственный вектор единичной длины тогда равен $$ \mathfrak X_3 =\lim_{K\to +\infty} \frac{Y_{K+1}}{|Y_{K+1}|} \, . $$

Пример. Для матрицы предыдущего примера определить третье по убыванию модуля собственное число и соответствующий собственный вектор.

Решение. Положив $ \widetilde X_0=(1,0,0,0)^{\top} $, в качестве $ Y_0 $ получим нормализованный вектор $$ Y_0 \approx (0.86808386, 0.38585467, -0.04105126 , 0.30961487 )^{\top} \, . $$ Запускаем последовательность $ \{Y_{K+1}= AY_K\}_{K=0}^{\infty} $: $$ Y_{200} \approx \left(7.61827975\times 10^{442}, 8.10767900 \times 10^{442}, 1.2054512000 \times 10^{442} , -2.95927062 \times 10^{442}\right)^{\top} \, . $$

Смотрим на отношения первых элементов векторов: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} K & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 100 & 101 & \dots & 150 & 151 & \dots & 197 & 198 & 199 & 200 \\ \hline y_{1}^{[K+1]}/y_{1}^{[K]} & 953.079 & 33.916 & 771.111 & 40.335 & 649.462 & \dots & 168.294 & 160.763 & \dots & 164.884 & 163.949 & \dots & 164.339 & 164.471 & 164.344 & \mathbf{164.4}_6 \end{array} $$ Подпоследовательность с нечетными номерами убывает, а с четными — возрастает. $$ X_{200}/|X_{200}| \approx \left (\mathbf{0.658}_1 \mathbf{0.7004}_4, \mathbf{0.1041}_4, -\mathbf{0.255}_6 \right)^{\top} \, . $$

Ответ. $$ \lambda_3 \approx 164.40656546, \ \mathfrak X_3 \approx (0.658044444, 0.70048686, 0.10417953, -0.25581689)^{\top} \, . $$

Предположим, для простоты, что все координаты вектора $$ \mathfrak X_1=[\mathfrak x_1, \mathfrak x_2,\dots, \mathfrak x_n ]^{\top} $$ ненулевые. Тогда фундаментальную систему решений уравнения $$ \mathfrak x_1 y_1+ \mathfrak x_2 y_2+\dots + \mathfrak x_n y_n=0 $$ составляют векторы $$ \left[ \begin{array}{r} \mathfrak x_2 \\ - \mathfrak x_1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right],\ \left[ \begin{array}{r} \mathfrak x_3 \\ 0 \\ - \mathfrak x_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \left[ \begin{array}{r} \mathfrak x_4 \\ 0 \\ 0 \\ - \mathfrak x_1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \dots , \left[ \begin{array}{r} \mathfrak x_n \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ - \mathfrak x_1 \end{array}\right] \, . $$ Их ортогонализация приводит к системе $$ \left[ \begin{array}{r} \mathfrak x_2 \\ - \mathfrak x_1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \ \left[ \begin{array}{r} \mathfrak x_1 \mathfrak x_3 \\ \mathfrak x_2 \mathfrak x_3 \\ -\mathfrak x_1^2 - \mathfrak x_2^2 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \ \left[ \begin{array}{r} \mathfrak x_1 \mathfrak x_4 \\ \mathfrak x_2 \mathfrak x_4 \\ \mathfrak x_3 \mathfrak x_4 \\ -\mathfrak x_1^2 - \mathfrak x_2^2 - \mathfrak x_3^2 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \dots $$ Нормировав эти столбцы, получим столбцы $ Q_2,\dots,Q_n $ ортогональной матрицы $ Q $.

Пример. В рассмотренном выше примере, при выборе в качестве $ \mathfrak X_1 $ собственного вектора, принадлежащего числу $ \lambda_1 $, получим матрицу $ Q $ в виде

$$ Q\approx \left( \begin{array}{rrrr} -0.49490060 & 0.80326562 & -0.00328132 & -0.33140151 \\ 0.66743225 & 0.59562096 & 0.00442525 & 0.44693430 \\ 0.00457755 & 0 & -0.99998482 & 0.00306528 \\ 0.55640509 & 0 & 0 & -0.83091116 \end{array} \right) \, . $$ $$ Q^{\top} A Q \approx \left( \begin{array}{rrrr} -273.3419278 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 131.0234834 & -17.30445446 & 96.7520712 \\ 0 & -17.30445446 & 190.3918737 & 61.8736745 \\ 0 & 96.7520712 & 61.8736745 & -112.0734293 \end{array} \right) $$ Симметричная матрица $$ \widetilde A = \left( \begin{array}{rrr} 131.0234834 & -17.30445446 & 96.7520712 \\ -17.30445446 & 190.3918737 & 61.8736745 \\ 96.7520712 & 61.8736745 & -112.0734293 \end{array} \right) $$ имеет собственные числа равными $ \lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 $.