Для пояснения идеи обратимся к представлению интерполяционного полинома в детерминантной форме, с которой мы стартовали при выводе формы Лагранжа: $$ f(x) \equiv \left| \begin{array}{llrrrr} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} & -y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} & -y_2 \\ \dots & & & & & \dots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} & -y_n \\ 1 & x & x^2 & \dots & x^{n-1} & 0 \end{array} \right| \Big/ \left| \begin{array}{lrrrr} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\ \dots & & & & \dots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{array} \right| \ . $$ Для простоты рассмотрим случай $ n_{}=3 $: $$ f(x) \equiv \left| \begin{array}{llrr} 1 & x_1 & x_1^2 & -y_1 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & -y_2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & -y_3 \\ 1 & x & x^2 & 0 \end{array} \right| \Big/ \left| \begin{array}{llr} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right| \ . $$ Преобразуем определитель, стоящий в числителе; с этой целью вычтем из третьего столбца второй, домноженный на $ x_{} $, а потом из второго столбца — первый, домноженный на $ x_{} $, получим $$ \left| \begin{array}{lccc} 1 & x_1-x & x_1^2 -x_1x & -y_1 \\ 1 & x_2-x & x_2^2-x_2x & -y_2 \\ 1 & x_3-x & x_3^2-x_3x & -y_3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right|= \left| \begin{array}{ccc} x_1-x & x_1^2 -x_1x & y_1 \\ x_2-x & x_2^2-x_2x & y_2 \\ x_3-x & x_3^2-x_3x & y_3 \end{array} \right| = $$ Далее, вычтем из второго столбца первый, домноженный на $ x_{1} $: $$ = \left| \begin{array}{rcc} x_1-x & 0 & y_1 \\ x_2-x & (x_2-x)(x_2-x_1) & y_2 \\ x_3-x & (x_3-x)(x_3-x_1) & y_3 \end{array} \right| = $$ Теперь вычтем первую строчку из второй и третьей: $$ = \left| \begin{array}{ccc} x_1-x & 0 & y_1 \\ x_2-x_1 & (x_2-x)(x_2-x_1) & y_2 -y_1 \\ x_3-x_1 & (x_3-x)(x_3-x_1) & y_3 -y_1 \end{array} \right| = $$ и вынесем множители из строк: $$=(x_2-x_1)(x_3-x_1) \times $$ $$ \times \left| \begin{array}{ccc} x_1-x & 0 & y_1 \\ 1 & x_2-x & (y_2 -y_1)/(x_2-x_1) \\ 1 & x_3-x & (y_3 -y_1)/(x_3-x_1) \end{array} \right| = $$ Из третьей строчки вычтем вторую: $$ =(x_2-x_1)(x_3-x_1)\times $$ $$ \times \left| \begin{array}{ccc} x_1-x & 0 & y_1 \\ 1 & x_2-x & (y_2 -y_1)/(x_2-x_1) \\ 0 & x_3-x_2 & (y_3 -y_1)/(x_3-x_1) - (y_2 -y_1)/(x_2-x_1) \end{array} \right| = $$ и снова вынесем множитель: $$=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) \times $$ $$ \times \left| \begin{array}{ccc} x_1-x & 0 & y_1 \\ 1 & x_2-x & (y_2 -y_1)/(x_2-x_1) \\ 0 & 1 & \left[(y_3 -y_1)/(x_3-x_1) - (y_2 -y_1)/(x_2-x_1)\right]/(x_3-x_2) \end{array} \right| \ . $$ В результате интерполяционный полином получается в виде определителя, имеющего структуру $$ f(x)=\left| \begin{array}{ccc} x_1-x & 0 & B_1 \\ 1 & x_2-x & B_2 \\ 0 & 1 & B_3 \end{array} \right| \ , $$ а в случае произвольного $ n_{} $: $$ f(x)= \left| \begin{array}{ccccccc} x_1-x & 0 & 0 &\dots & 0 & 0 & B_1 \\ 1 & x_2-x & 0 &\dots & 0 & 0 & B_2 \\ & 1 & x_3-x &\dots & 0 & 0 & B_3 \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 &x_{n-1}-x & B_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 &1& B_{n} \end{array} \right| \ , $$ который напоминает характеристический полином матрицы Фробениуса. Раскладывая его рекурсивно по строкам (см. ☞ вычисление определителя по методу рекуррентных соотношений ) , получаем для $ n_{}=3 $ интерполяционный полином в форме $$ f(x)=B_1+(x-x_1)B_2+(x-x_1)(x-x_2)B_3 \ , $$ а в случае произвольного $ n_{} $ — в форме $$ f(x)=B_1+(x-x_1)B_2+(x-x_1)(x-x_2)B_3 + \dots + (x-x_1)\times \dots \times (x-x_{n-1})B_n \ , $$ которая и называется формой Ньютона.