Вспомогательный раздел. Пока здесь выложены основы теории на полуинтуитивном уровне.

На практике часто приходится сталкиваться со случайными процессами (испытаниями, опытами, наблюдениями), т.е. процессами, результаты которых различны и зависят от обстоятельств, которые мы не знаем или не умеем учитывать. Так, к примеру, при бросании игральной кости (шестигранного кубика, с гранями, занумерованными цифрами $ 1,2,3,4,5,6 $) мы не можем знать заранее какая грань окажется сверху, так как это зависит от многих неизвестных нам обстоятельств. Нельзя также предсказать заранее, сколько выпускников школы подаст в определенный год заявления на конкретный факультет СПбГУ или сколько дождливых дней будет в августе следующего года.

Применение математики к изучению подобного рода явлений опирается на то, что во многих случаях при многократном повторении одного и того же опыта в одних и тех же условиях частота появления интересующего нас результата (т.е. отношение числа опытов, в которых этот результат наблюдался, к общему числу производимых опытов) остается все время примерно одинаковой, близкой к некоторому постоянному числу.

События, которые могут произойти или не произойти на каждом шаге случайного процесса (или в результате производимого опыта) будем называть случайными событиями (или исходами данного опыта). Вероятностью события называется отношение числа равновероятных исходов, благоприятных для данного события к общему числу равновероятных исходов.

Везде в настоящем разделе предполагается, что число событий конечно.

Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами $ A,B,S $ и т.п., а их вероятности обозначать буквой¹⁾ $ P_{} $, именно: $ P(A), P(B), P(S), \dots $.

Иногда я буду использовать и строчную букву $ p_{} $, но тогда возникает коллизия с теорией целых чисел — буква $ p_{} $ зарезервирована в ней за простым числом.

Из этого определения следует, что вероятность всегда выражается правильной дробью. Так, например, пусть имеется хорошо перемешанная колода из $ 36 $ игральных карт, и из этой колоды вынимают одну карту, тогда число случаев благоприятных тому событию, что карта будет бубновой масти ♦ равно $ 9_{} $, общее число всех равновероятных случаев равно $ 36 $. Поэтому $$ P_{} (\mbox{ появление карты бубновой масти }) = \frac{9}{36}= \frac{1}{4} . $$

Пусть случайный процесс может находиться в одном из $ n_{} $ возможных состояний $ S_1,S_2,\dots, S_n $ с вероятностями, заданными таблицей $$ \begin{array}{l|l|l|l} S_1 & S_2 & \dots & S_n \\ \hline P_1 & P_2 & \dots & P_n \end{array} \quad \mbox{ при этом } \quad P_1+P_2+\dots+P_n=1 \ . $$

Предположим, что каждое из состояний описывается появлением некоторого вещественного числа, т.е. $ S_1=a_1,\dots,S_n=a_n $ при $ \{a_j\}_{j=1}^{n} $ — различных. Например, замеры температуры в Петербурге, с интервалом в $ 12 $ часов, с точностью до десятых долей градуса попадают в набор чисел $ \{-35.9,-35.8,\dots,+37.0,+37.1\} $. В данном случае случайный процесс «оцифрован» — каждое его состояние описывается числом; для такого случайного процесса принято название случайная величина.

Само название «случайная величина» обязывает как-то оценивать ее значение. Это удается сделать с помощью понятия среднего значения. Для случайной величины $ A_{} $ с таблицей вероятностей $$ \begin{array}{l|l|l|l} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \hline P_1 & P_2 & \dots & P_n \end{array} \ ; P_1+P_2+\dots+P_n=1 \ . $$ средним значением или математическим ожиданием случайной величины $ A_{} $ называется число²⁾ $$ M(A)=P_1a_1+P_2a_2+\dots+ P_n a_n \ . $$ В случае равновероятных состояний имеем: $$ M(A)= (a_1+a_2+\dots+ a_n)/n \ . $$

Таблицы вероятностей, указывающие частоту попаданий в мишень двух стрелков $ A_{} $ и $ B_{} $ имеют вид

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline A & 0.02 & 0.03 & 0.05 & 0.10 & 0.15 & 0.20 & 0.20 & 0.10 & 0.07 & 0.05 & 0.03 \\ \hline B & 0.01 & 0.01 & 0.04 & 0.10 & 0.25 & 0.30 & 0.18 & 0.05 & 0.03 & 0.02 & 0.01 \end{array} $$ Кого из стрелков следует считать более метким?

Какова, на Ваш взгляд, среднегодовая температура в Петербурге? Выскажите гипотезу , а потом попробуйте найти статистику в интернете.

Еще одной характеристикой случайной величины $ A_{} $ является ее дисперсия, т.е. мера разброса значений этой величины от ее среднего значения $ M(A) $. Она вычисляется по формуле³⁾ $$ D(A)=\sum_{j=1}^n P_j ( a_j-M(A))^2 $$ и представляет собой математическое ожидание случайной величины, равной квадрату отклонения случайной величины $ A $ от ее среднего значения $ M(A) $. Часто обозначается $ \sigma^2 $, где величина⁴⁾ $ \sigma=\sqrt{D(A)} $ называется среднеквадратичным отклонением.

Так, в случае равновероятных состояний имеем: $$ D(A)=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \left( a_j- \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i \right)^2=\frac{1}{n^2} \sum_{i,j=1}^n \frac{1}{2} (a_i-a_j)^2= \frac{1}{n^2} \sum_{1\le i<j \le n} (a_j-a_i)^2 \, . $$ То есть, если $ A $ обозначает какую-то из координат попаданий пули в мишень, то действительно $ D(A) $ отвечает за разброс этих попаданий.

Продолжая обсуждение результатов стрельбы, зададимся следующим вопросом. Можно ли по виду двух мишений после стрельбы определить являлись ли они результатами стрельбы одного и того же человека?

Вычисление вероятностей основано на довольно наглядных результатах. Определенная в предыдущем пункте вероятность случайного события $ A_{} $ есть правильная дробь: $$ 0 \le P(A) \le 1 \ . $$ Вероятность может равняться $ 1_{} $; это означает, что случайное событие осуществляется при любом исходе рассматриваемого опыта, т.е. событие $ A_{} $ достоверно. Вероятность может также равняться $ 0_{} $: это означает, что событие не осуществляется ни при каком исходе опыта, т.е. оно невозможно. Так, достоверным является событие извлечение белого шара из урны, в которой находятся только белые шары; невозможным является событие извлечение черного шара из той же урны.

Пусть теперь случайное событие имеет лишь два взаимно исключающих друг друга состояния: $ A_{} $ и $ B_{} $. В этом случае событие $ B_{} $ будем называть противоположным событию $ A_{} $ и обозначать $ \overline A_{} $. Если событие $ A_{} $ реализуется когда случайный процесс находится в $ m_{} $ равновероятных состояниях из $ n_{} $ возможных, то событие $ \overline A_{} $ реализуется при $ n-m $ состояниях, поэтому $$ P(A)=\frac{m}{n},\ P(\overline A)=\frac{n-m}{n}=1-\frac{m}{n}=1-P(A) \ . $$

Рассмотрим теперь два такие события $ A_{} $ и $ A_{1} $, что осуществление события $ A_{} $ влечет за собой и выполнение события $ A_{1} $. Например, $ A_{} $ — выемка карты трефовой ♣ масти из колоды карт, а $ A_{1} $ — выемка карты черной масти. В этом случае событие $ A_{1} $ заведомо выполняется при всех тех состояниях случайного процесса, при которых выполняется событие $ A_{} $; поэтому вероятность события $ A_{1} $ не может быть меньше вероятности события $ A_{} $. То обстоятельство, что выполнение события $ A_{} $ влечет за собой $ A_{1} $ будем записывать в виде $ A \subset A_1 $. Имеет место свойство: $$ P(A) \le P(A_1) \quad \mbox{ при } \quad A \subset A_1 \ . $$

Рассмотрим теперь событие, которое состоит в том, что выполняется хотя бы одно из двух событий $ A_{} $ и $ B_{} $; это событие будем называть суммой событий $ A_{} $ и $ B_{} $ и обозначать $ A+B $. При этом могут иметь место два существенно различных случая. События $ A_{} $ и $ B_{} $ называются несовместимыми, если сразу оба они не могут иметь места. Найденная на улице монета не может быть одновременно и рублем и пятирублевкой.

Теорема 1 [сложения вероятностей]. Если события $ A_{} $ и $ B_{} $ несовместимы то

$$ P(A+B) = P(A)+P(B) \ . $$

Доказательство проиллюстрируем на простом примере. Предположим, например, что в ящике содержатся $ n_{1} $ белых шаров, на которых написан номер $ 1_{} $ , и $ n_{2} $ белых шаров, на которых написан номер $ 2_{} $, а также $ m_{1} $ черных шаров, на которых написан номер $ 1_{} $, и $ m_{2} $ черных шаров, на которых написан номер $ 2_{} $. Случайный процесс выемки шаров (с последующим возвращением их в ящик) может находиться в четырех состояниях: $$ S_1 = \mbox{белый шар с номером 1},\ S_2 = \mbox{белый шар с номером 2}, $$ $$ S_3 = \mbox{черный шар с номером 1},\ S_4 = \mbox{черный шар с номером 2} \ . $$ Вероятность того, что случайным образом выбранный шар окажется белым равна $ (n_1+n_2)/(n_1+m_1+n_2+m_2) $. Тот же самый результат получится если мы сложим вероятность появления белого шара с номером $ 1_{} $ с вероятностью появления белого шара с номером $ 2_{} $. ♦

Если некоторое событие представимо в виде суммы нескольких несовместимых событий, то его вероятность равна сумме вероятностей всех этих событий:

$$ P(A_1+A_2+\dots+A_k)=P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_k) \ . $$

Предположим теперь, что события $ A_{} $ и $ B_{} $ не несовместимы, т.е. некоторые состояния, принимаемые случайным процессом, могут относится и к событию $ A_{} $ и к событию $ B_{} $. В этом случае уже нельзя утверждать, что $ P(A+B)=P(A)+P(B) $.

Пример. Если рассматривать пример с киданием игральной кости, и в качестве события $ A_{} $ рассматривать появление чётной кости, а событием $ B_{} $ считать появление кости, делящейся на $ 3_{} $, то

$$ P(A)=3/6,P(B)=2/6 \ \mbox{и} \ P(A)+P(B)=5/6 \, .$$ Но сумма событий $ A+B $ — т.е. событие, которое происходит либо при выпадении чётной кости, либо кости, делящейся на $ 3_{} $ — эквивалентно событию, заключающемуся в выпадении любой из костей $ \{ 2,3,4,6 \} $. Следовательно, $ P(A+B)= 4/6 \ne P(A)+P(B) $. ♦

И в общем случае можно лишь утверждать, что $$ P(A+B) \le P(A)+P(B) \ . $$

Теперь попробуем уточнить последнее неравенство. Назовем произведением или совместным появлением событий $ A_{} $ и $ B_{} $ событие, которое заключается в наступлении и события $ A_{} $ и события $ B_{} $.

Пример. В примере с киданием игральной кости в качестве события $ A_{} $ рассмотрим появление чётной кости, а в качестве события $ B_{} $ — появление кости, делящейся на $ 3_{} $. Тогда произведением событий $ A_{} $ и $ B_{} $ будет событие, заключающееся в появлении кости $ 6_{} $. ♦

Пример. На дороге ГАИшник останавливает случайным образом машины. Событие $ A_{} $ заключается в том, что марка машины — японская, событие $ B_{} $ — что эта машина собрана в России. Произведением событий является то событие, что машина является японской марки, но отечественной сборки. ♦

Теорема 2. Вероятности суммы событий и их произведения связаны равенством: $$ P(A+B) = P(A)+P(B) - P(AB) \ . $$

Доказательство. В самом деле, пусть среди равновероятных состояний $ S_{j_{_1}},\dots, S_{j_{_{m_1}}} $ случайного процесса, при которых выполняется событие $ A_{} $ и $ S_{k_{_1}},\dots, S_{k_{_{m_2}}} $ состояний, при которых выполняется событие $ B_{} $, имеется ровно $ \ell_{} $ одинаковых состояний: $ S_{t_{_1}},\dots,S_{t_{_{\ell}}} $. Очевидно, если имеет место одно из состояний $ S_{t_{_1}},\dots,S_{t_{_{\ell}}} $, то имеют место оба события $ A_{} $ и $ B_{} $, поэтому $ P(AB)=\ell/n $. С другой стороны, если среди состояний $ S_{j_{_1}},\dots, S_{j_{_{m_1}}} $ и состояний $ S_{k_{_1}},\dots, S_{k_{_{m_2}}} $ имеется ровно $ \ell_{} $ одинаковых, то суммарное количество состояний равно $ m_1+m_2- \ell $. Таким образом, $$ P(A+B)=\frac{m_1+m_2-\ell}{n}=\frac{m_1}{n}+ \frac{m_2}{n}- \frac{\ell}{n}= P(A)+P(B) - P(AB) \ . $$ ♦

Применение этого правила к последнему примеру приводит к правильному выводу поскольку одновременное выпадение кости, которая будет и чётной и делящейся на $ 3_{} $ совпадает со случайным событием, заключающимся в выпадении шестёрки — и вероятность этого события $ 1/6 $.

Задача определения вероятности события $ A+B $ по вероятностям событий $ A_{} $ и $ B_{} $ сводится к нахождению вероятности произведения $ AB_{} $. Этот вопрос не тривиален и будет рассмотрен в следующем пункте.

Результат теоремы 2 обобщается и на случай произвольного числа событий.

Теорема 3. Имеет место равенство

$$ P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3) \ . $$

Вероятность события $ B_{} $ в том случае, когда известно, что имело место событие $ A_{} $, называется условной вероятностью события $ B_{} $ при условии $ A_{} $; она обозначается $ P_A(B) $ или $ P(B \mid A) $. В контексте этого определения вероятности $ P(A) $ и $ P(B) $ иногда называют безусловными вероятностями соответствующих событий.

Пример. В ящике лежат $ 3_{} $ черных шара и $ 1_{} $ белый. Вероятность выбора черного шара равна $ 3/4 $. Теперь предположим, что один шар убирают. Если этот шар был черным, то вероятность вытащить черный шар при следующей попытке уменьшается до $ 2/3 $; если убранный шар был белым, то вероятность вытащить следующим черный шар увеличивается до $ 1_{} $. ♦

Пример показывает, что условная вероятность может быть как больше, так и меньше безусловной. Важным случаем является и случай равенства этих вероятностей.

События $ A_{} $ и $ B_{} $ называются независимыми если наступление или ненаступление одного из них не меняет вероятности наступления другого. Пусть вероятность события $ A_{} $ ненулевая. Тогда для независимости событий $ A_{} $ и $ B_{} $ необходимо, чтобы $ P_A(B) = P(B) $. На самом деле, как покажем ниже, это условие будет и достаточным для независимости, т.е. $$ P(A) \ne 0,\ P_A(B) = P(B) \quad \Rightarrow \quad P_B(A) = P(A) \ . $$

Пример. Пусть случайный событие $ A_{} $ заключается в появлении масти карты — бубновой ♦ , червовой ♥ , трефовой ♣ или пиковой ♠ — при выборе ее из колоды в $ 36_{} $ карт. Пусть случайное событие $ B_{} $ заключается в появлении достоинства карты — шестерки,семерки, восьмерки, девятки, десятки, валета, дамы, короля или туза — при выборе ее из той же колоды. Какова вероятность появления семерки при выборе карты из колоды? — Очевидно, она равна $ 4/36=1/9 $. Предположим теперь, что из колоды выбрана карта пиковой масти. Какова вероятность, что она окажется семеркой? — Да всё та же: $ 1/9 $. К аналогичному результату придем и сменой последовательности рассуждений: если выбранная карта оказалась семеркой, то какова вероятность, что она — пика? — Да такая же, как если бы нам не была известна информация о том, что она — именно семерка. Следовательно, два события $ A_{} $ и $ B_{} $ независимы. ♦

В чем различие между независимыми событиями и несовместимыми событиями?

Теорема [умножения вероятностей]. Вероятность произведения двух событий вычисляется по правилу $$ P(AB)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A) \ . $$

Доказательство. Пусть случайный процесс может находиться в одном из $ n_{} $ возможных, несовместимых и равновероятных состояний $$S_1,\dots,S_m,S_{m+1},\dots,S_{m_1},S_{m_1+1},\dots S_n \ .$$ При этом нахождение системы в первых $ m_1 $ состояний $$ S_1,\dots,S_m,S_{m+1},\dots,S_{m_1} $$ благоприятствует некоторому событию $ A_{} $, а остальные — не благоприятствуют. Пусть далее, из указанных состояний первые $ m_{} $, т.е. $ S_1,\dots,S_m $ благоприятствуют другому событию $ B_{} $, а остальные — не благоприятствуют. При таких условиях $ P(A)= m_1/n $. Вероятность же события $ B_{} $, когда известно, что событие $ A_{} $ уже произошло, равна $ m/m_1 $, так как при осуществлении события $ A_{} $ состояния $ S_{m_1+1},\dots,S_{n} $ невозможны, а состояния $ S_1,\dots,S_{_{m_1}} $ остаются по-прежнему равновероятными. Наконец, $ P(AB)= m/n $, так как совместное появление обоих событий — только в состояниях $ S_1,\dots,S_m $. Очевидно: $$ \frac{m}{n}=\frac{m_1}{n} \cdot \frac{m}{m_1} \ ,$$ что и доказывает первое равенство теоремы. Второе равенство следует из того, что $ P(AB)=P(BA) $. ♦

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их безусловных вероятностей: $$ P(AB)=P(A)P(B) \ . $$

Пример. Какова вероятность появления карты семерка пик? С одной стороны, понятно, что она — как результат выбора одной карты из колоды — равна $ 1/36 $. То же число появляется в результате перемножения двух вероятностей: вероятности появления пиковой масти на вероятность появления семерки (произвольной масти). ♦

Пусть $ A_1,A_2,\dots,A_k $ — какие-то $ k_{} $ взаимно независимых события, т.е. условия опыта, с результатом которого связано какое-либо одно из этих событий, никак не зависят от выполнения или невыполнения остальных событий. В этом случае $$P(A_1A_2\times \dots \times A_k)=P(A_1)P(A_2)\times \dots \times P(A_k) \ . $$

Пример[1]. В семье — двое детей. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики, если известно, что в семье уже есть мальчик?

Решение. Интуитивно кажется, что ответом будет $ 1/2 $. Однако это не так. Обозначим буквами М и Д соответственно мальчика и девочку, и на первом месте будем указывать старшего ребенка⁵⁾ . Имеем четыре возможности: М М , М Д , Д М и Д Д . Этим события несовместимы и имеют вероятность $ 1/4 $. Событие $ A_{} $: один из детей — мальчик; событие $ B_{} $: оба ребенка — мальчики. Если произошло событие $ A_{} $, то случайный процесс находится в одном из трех равновероятных и несовместных состояний: М М , М Д , Д М . Правильный ответ: $ P_A(B)=1/3 $. ♦

Пример. Вероятность прихода в течение четверти часа автобуса 404 к остановке у станции метро "Автово" равна $ 1/6 $, автобуса 424 — $ 1/2 $, а автобуса 224 — $ 1/3 $. Какова вероятность того, что студент, ожидающий любого из указанных видов транспорта уедет в университет в течение четверти часа?

Решение. 1. Можно решить пример применением теоремы 3 из предыдущего пункта и теоремы об умножении вероятностей. Поскольку все три события являются взаимно независимыми, то $$p(A_1+A_2+A_3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}+ \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} \right) + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} =\frac{13}{18} \ . $$ 2. Альтернативный способ заключается в поиске вероятности того события, что студент не уедет ни на одном автобусе. События противоположные событиям $ A_1,A_2 $ и $ A_3 $ имеют вероятности: $$ P(\overline{A_1})=1-\frac{1}{6},\ P(\overline{A_2})=1-\frac{1}{2},\ P(\overline{A_3})=1-\frac{1}{3} \ . $$ Для того чтобы студент не уехал, необходимо, чтобы не пришел ни один автобус, т.е. речь идет о событии $ \overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3} $. Имеем, следовательно: $$ P(\overline{A_1})= 1- P(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3})=1-\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{18} \ . $$ ♦

Пример. Студент выходит из здания университета и едет на "Балтийскую" на одном из видов транспорта: автобусе или электричке. В среднем, в трех случаях из четырех он идет на платформу, а в одном случае — на автобусную остановку⁶⁾. Ждет транспорта $ 20 $ минут. Вероятность прихода автобуса — $ 1/2 $, электрички — $ 1/3 $. Какова вероятность, что студент уедет в город в течение этих $ 20 $ минут?

Решение. Итак, событие отъезд в город достигается при нахождении в одном из двух несовместимых состояний: $$ S_1 = \mbox{ отъезд в город на автобусе }, \quad S_2= \mbox{ отъезд в город на электричке} \ . $$ Вероятность каждого из этих двух событий вычисляется по теореме умножения вероятностей: $ P(S_1)= 1/4 \cdot 1/2 $ , $ P(S_2)= 3/4 \cdot 1/3 $. В соответствии с теоремой о сложении вероятностей, вероятность отъезда: $ P(S_1)+P(S_2)=3/8 $. ♦

В ящике имеются $ 3_{} $ карточки, на которых написана буква А , $ 2_{} $ карточки, на которых написана буква П и $ 1_{} $ карточка, на которой ничего не написано. Поочередно выбираются четыре карточки и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово П А П А ?

Пусть $ M \in \mathbb N $. Определить вероятность того, что число случайным образом выбранное из множества $ \{1,2,\dots,M\} $, будет взаимно просто с $ M_{} $.

Теорема [Бернулли]. Если вероятность некоторого события равна $ P $, то вероятность того, что в серии из $ n $ испытаний это событие произойдет в $ m $ испытаниях равна

$$ C_n^mP^m(1-P)^{n-m} \, . $$ Здесь $ C_n^m $ — биномиальный коэффициент.

В комнате находятся $ n_{} $ человек. Какова вероятность того события, что дни их рождения все различны? Будем считать, что в году — $ 365 $ дней. Интуитивно кажется, что при $ n\le 182 $ более вероятно, что все дни рождения будут различными. Однако это не так. Для наглядности рассуждений, предположим, что что люди входят в комнату один за другим — как приглашенные гости. Вероятность того, что у второго гостя день рождения не совпадает с первым равна $ 364/365 $, у третьего гостя не совпадает с первым и вторым — $ 363/365 $, и т.д., у $ n_{} $-го не совпадает со всеми пришедшими ранее — $ (365 - (n - 1))/ 365 $. Вероятность совместного осуществления всех этих событий выражается (см. ☞ теорему умножения вероятностей ) произведением $$ P_n = \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{366-n}{365} \ , $$ и понятно, что эта вероятность уменьшается с возрастанием $ n_{} $. Насколько быстро? $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} n & 5 & 10 & 15 & 20 & 21 & 22 & 23 \\ \hline P_n & 0.9728644263 & 0.8830518223 & 0.7470986802 & 0.5885616164 & 0.5563116648 & 0.5243046923 & 0.4927027657 \\ \end{array} $$ Итак, уже среди $ 23 $-х гостей более вероятно то, что хотя бы у одной пары дни рождения будут одинаковыми, чем то, что у всех дни рождения будут различными!

☞ ЗДЕСЬ

[1]. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. Т.2. М.Мир. 1967

[2]. Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация. М. Наука. 1973.