Аппроксимируем ступенчатую функцию $$ y=F(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -1 & \mbox{при}\ x<0 \\ +1 & \mbox{при}\ x>0 \end{array} \right. $$ на отрезке $ [-1,1] $ интерполяционным полиномом по таблице значений $$ \left\{x_j = -1 + \frac{2(j-1)}{19} \right\}_{j=1}^{20} , \ y_j = \left\{ \begin{array}{cc} -1 & \mbox{при}\ j\in \{1,\dots,10 \} \\ +1 & \mbox{при} \ j\in \{11,\dots,20 \} \end{array} \right. $$ Этот полином оказывается нечетным: $$ f(x)=-\frac{104127350297911241532841}{34519618525593600} x^{19} + \frac{2175713582540566467817783}{195611171645030400}x^{17}- $$ $$ -\frac{242123794999473158070751}{14383174385664000} x^{15} + \dots + \frac{71872071561982553}{3288935631421440} x \, . $$ Его график на интервале $[-0.5, 0.5] $ демонстрирует сильные колебания в окрестности прямых $ y=-1 $ и $ y=+1 $. Эти колебания кажутся неожиданными только на первый взгляд. В самом деле, между двумя последовательными узлами интерполяции обязана лежать по крайней мере одна точка локального экстремума полинома $ f(x) $: см. ☞ теорему Ролля. Хуже то, что амплитуда этих осцилляций возрастает при возрастании $ |x| $. Так, на интервале $ [-0.75, 0.75] $ получаем (масштабы по осям не совпадают). А при приближении к концам интервала картина становится чудовищной: $$ f(18/19) \approx 693.293934 $$ — и это при том, что $ f(17/19)=f(1)=1 $.