Задача. Дана последовательность вещественных чисел

$$ \{\mathbb c \}= c_0,c_1,\dots \, .$$ Требуется определить числа $$ \mu_1, \dots , \mu_m \quad \mbox{ и } \quad u_1,\dots, u_m $$ такие, чтобы выполнялись равенства $$ c_k=\sum_{j=1}^m \mu_j u_j^k \quad \mbox{ при } \quad \ k\in \{0,1,2,\dots \} \, . $$ Эта задача называется проблемой моментов — конечной или бесконечной в зависимости от количества равенств. Если константы $ \{\mu_j,u_j\} $ ищутся вещественными, то говорят о вещественной проблеме моментов.

Бесконечная проблема моментов равносильна задаче поиска правильной рациональной дроби, имеющей заданное разложению в ряд Лорана по степеням $ x^{-1} $ $$ \sum_{j=1}^m \frac{\mu_j}{x-u_j} = \frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\frac{c_2}{x^3}+ \dots $$ Конечная проблема моментов — первые $ 2 m $ членов разложения в ряд Лорана должны иметь заданный вид.

Источник задачи,похоже, связан с Гауссом.

Задача (Гаусс). Найти величины $ \{\mu_j, u_j \}_{j=1}^m \subset \mathbb R $ так, чтобы равенство $$ \mu_1 \varphi(u_1)+\mu_2 \varphi(u_2)+ \dots + \mu_m \varphi(u_m) = \int_{0}^1 \varphi(t) d\, t $$ выполнялось для любого полинома $ \varphi(x) \in \mathbb R[x] $ степени $ \le 2m-1 $.

Если $ \varphi(x)=a_0+a_1x+\dots+a_{2m-1}x^{2m-1} $ то сравнивая коэффициенты при $ a_0,\dots, a_{2m-1} $ в обеих частях равенства, получаем систему уравнений $$ \left\{ \begin{array}{lllll} \mu_1 & + \mu_2 & + \dots & + \mu_m &=1 \\ \mu_1u_1 & + \mu_2u_2 & + \dots & + \mu_mu_m &=1/2 \\ \dots &&&& \dots \\ \mu_1u_1^{2m-1} & + \mu_2u_2^{2m-1} & + \dots & + \mu_mu_m^{2m-1} &=1/(2m) \end{array} \right. $$ ♦

Решение конечной проблемы моментов производится по следующему алгоритму. Определим коэффициенты полинома $$ p(x):=p_0+p_1x+\dots+ p_mx^m $$ имеющего своими корнями $ u_1,\dots, u_m $: $$ \{p_0+p_1u_j+\dots+p_mu_j^m=0\}_{j=1}^m \quad \iff \quad p(x)\equiv p_m \prod_{j=1}^m (x-u_j) \, , $$ А фактически же мы ищем знаменатель дроби $$ \sum_{j=1}^m \frac{\mu_j}{x-u_j} \, . $$ Сложив почленно равенства $$ \begin{array}{rrrrr} \mu_1(p_0 &+p_1u_1&+\dots &+ p_mu_1^m) & =0, \\ \mu_2(p_0 &+p_1u_2&+\dots &+ p_mu_2^m) & =0, \\ \dots & & & & \dots \\ \mu_m(p_0 &+p_1u_m&+\dots &+ p_mu_m^m) & =0, \end{array} $$ получим уравнение $$ p_0c_0+p_1c_1+\dots + p_mc_m=0 \, . $$ Сложив почленно равенства $$ \begin{array}{rrrrr} \mu_1u_1(p_0 &+p_1u_1&+\dots &+ p_mu_1^m) & =0, \\ \mu_2u_2(p_0 &+p_1u_2&+\dots &+ p_mu_2^m) & =0, \\ \dots & & & & \dots \\ \mu_mu_m(p_0 &+p_1u_m&+\dots &+ p_mu_m^m) & =0, \end{array} $$ получим уравнение $$ p_0c_1+p_1c_2+\dots + p_mc_{m+1}=0 \, . $$ Аналогичным образом получаем систему уравнений, которую в матричном виде представляется так: $$ \left( \begin{array}{llll} c_0 & c_1&\dots & c_m \\ c_1 & c_2&\dots & c_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-1} \end{array} \right)_{m\times (m+1)} \left( \begin{array}{l} p_0 \\ p_1 \\ \vdots \\ p_{m} \end{array} \right)= \mathbb O_{m\times 1} $$ Если дополнить эти уравнения еще и равенством $$ p_0+p_1u_j+\dots+p_mu_j^m=0 \ , $$ то получим систему из $ m+1 $ однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов $ p_0,\dots,p_m $. Условие существования нетривиального решения этой системы: $$ \left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1&\dots & c_m \\ c_1 & c_2&\dots & c_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-1} \\ 1 & u_j & \dots & u_j^m \end{array} \right|=0 \, , $$ и это условие должно выполняться для любого корня искомого полинома $ p(x) $. Отсюда получаем представление для полинома $ p(x) $: с точностью до домножения на константу он равен определителю $$ \mathcal H_m(x; \{\mathbf c\}):= \left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1&\dots & c_m \\ c_1 & c_2&\dots & c_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-1} \\ 1 & x & \dots & x^m \end{array} \right| \, . $$ Старший коэффициент $ \mathcal H_m(x) $ совпадает с $ C_m $, свободный член — с $ (-1)^{m} \widetilde C_m $ при ганкелевых определителях $$ C_m= \left| \begin{array}{llll} c_0 & c_1&\dots & c_{m-1} \\ c_1 & c_2&\dots & c_{m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{m-1} & c_m&\dots & c_{2m-2} \end{array} \right|, \quad \widetilde C_m = \left| \begin{array}{llll} c_1&c_2 & \dots & c_{m} \\ c_2& c_3 & \dots & c_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_m&c_{m+1} &\dots & c_{2m-1} \end{array} \right| \, . $$ По своему детерминантному представлению полином $ \mathcal H_m(x; \{\mathbf c\}) $ относится к типу ганкелевых полиномов; последовательность $ \{\mathbf c\} $ — его порождающая.

В дальнейшем будем записывать этот полином без указания порождающей последовательности.

Если $ C_m \ne 0, \widetilde C_m \ne 0 $, то $ \mathcal H_m(x) $ имеет $ m $ ненулевых корней $ u_1,\dots,u_m $. Различность их, вообще говоря, не гарантирована.

Если они всё-таки различны, то для определения констант $ \mu_1,\dots, \mu_m $ имеем систему линейных уравнений из первых $ m $ уравнений проблемы моментов: $$ c_k=\sum_{j=1}^m \mu_j u_j^k , \ k\in \{0,1,2,\dots, m-1 \} \, . $$ Матрица этой системы — матрица Вандермонда, и система однозначно разрешима.

В общем же случае, если условие различности $ \{u_j \}_{j=1}^m $ не удовлетворяется, то проблема получается либо неразрешимой, либо же имеющей бесконечное множество решений…

Для существования решения вещественной проблемы моментов необходимо, чтобы $ p(x) $ имел только вещественные корни.

Теорема 1 [1]. Для того, чтобы конечная вещественная проблема моментов

$$ c_k=\sum_{j=1}^m \mu_j u_j^k , \ k\in \{0,1,2,\dots, 2m-1 \} $$ имела решение при положительных $u_1,\dots,u_m $ необходимо и достаточно, чтобы ганкелевы матрицы $$ C=\left[c_{j+k} \right]_{j,k=0}^{m-1} \quad \mbox{ и } \quad \widetilde C = \left[c_{j+k+1} \right]_{j,k=0}^{m-1} $$ были положительно определенными.

Условия теоремы переформулируются в виде условий на главные миноры матриц:

$$ \{ C_j >0,\ \widetilde C_j > 0 \}_{j=1}^m \, . $$

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.