$$\det \left[\frac{1}{a_j+b_k} \right]_{j,k=1}^n= \left|\begin{array}{cccc} \displaystyle \frac{1}{a_1+b_1} & \displaystyle \frac{1}{a_1+b_2}&\ldots& \displaystyle \frac{1}{a_1+b_n}\\ & & & \\ \displaystyle \frac{1}{a_2+b_1} &\displaystyle \frac{1}{a_2+b_2}&\ldots& \displaystyle \frac{1}{a_2+b_n}\\ & & & \\ & \ldots& & \ldots\\ \displaystyle \frac{1}{a_n+b_1} &\displaystyle \frac{1}{a_n+b_2}&\ldots&\displaystyle \frac{1}{a_n+b_n} \end{array}\right|_{n\times n}\ . $$

Вычтем из второго, третьего и т.д., $ n_{} $-го столбца первый: $$ \left|\begin{array}{cccc} \frac{1}{a_1+b_1} &\frac{b_1-b_2}{(a_1+b_2)(a_1+b_1)}&\ldots &\frac{b_1-b_n}{(a_1+b_n)(a_1+b_1)}\\ & & & \\ \frac{1}{a_2+b_1} &\frac{b_1-b_2}{(a_2+b_2)(a_2+b_1)}&\ldots& \frac{b_1-b_n}{(a_2+b_n)(a_2+b_1)}\\ & & & \\ \cdots& &&\cdots\\ \frac{1}{a_n+b_1} &\frac{b_1-b_2}{(a_n+b_2)(a_n+b_1)}&\ldots& \frac{b_1-b_n}{(a_n+b_n)(a_n+b_1)} \end{array}\right|_{n\times n}= $$ и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов: $$= \frac{(b_1-b_2)\times \dots \times(b_1-b_n)}{(a_1+b_1)(a_2+b_1)\times\dots \times(a_n+b_1)} \left|\begin{array}{cccc} 1 &\frac{1}{a_1+b_2}&\ldots &\frac{1}{a_1+b_n}\\ & & & \\ 1 &\frac{1}{a_2+b_2}&\ldots& \frac{1}{a_2+b_n}\\ & & & \\ \cdots& &&\cdots\\ 1 &\frac{1}{a_n+b_2}&\ldots& \frac{1}{a_n+b_n} \end{array}\right|_{n\times n} $$ Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., $ n_{} $-й: $$ = \frac{(b_1-b_2)\dots (b_1-b_n)}{(a_1+b_1)(a_2+b_1)\dots (a_n+b_1)} \left|\begin{array}{cccc} 1 &\frac{1}{a_1+b_2}&\ldots &\frac{1}{a_1+b_n}\\ & & & \\ 0 &\frac{a_1-a_2}{(a_2+b_2)(a_1+b_2)}&\ldots& \frac{a_1-a_2}{(a_2+b_n)(a_1+b_n)}\\ & & & \\ \cdots& &&\cdots\\ 0 &\frac{a_1-a_n}{(a_n+b_2)(a_1+b_2)}&\ldots& \frac{a_1-a_n}{(a_n+b_n)(a_1+b_n)} \end{array}\right|_{n\times n}, $$ разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов: $$ = \frac{(-1)^{2(n-1)}(b_2-b_1)\dots (b_n-b_1)(a_2-a_1)\dots (a_n-a_1)} {(a_1+b_1)(a_2+b_1)\dots (a_n+b_1)(a_1+b_2)\dots (a_1+b_n)} \left|\begin{array}{ccc} \frac{1}{a_2+b_2}&\ldots &\frac{1}{a_2+b_n}\\ & & \\ \cdots& &\cdots\\ \frac{1}{a_n+b_2}&\ldots& \frac{1}{a_n+b_n} \end{array}\right|_{(n-1)\times (n-1)} $$ В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно: $$\det \left[\frac{1}{a_j+b_k} \right]_{j,k=1}^n=\frac{ \displaystyle{\prod_{1\le j < k\le n}[(a_j-a_k)(b_j-b_k)]}} {\displaystyle{\prod_{j, k= 1}^n(a_j+b_k)}} \ .$$

В частном случае $ a_j=j-1 , b_j=j $ получаем выражение для определителя матрицы Гильберта:

$$ \det \left[\begin{array}{ccccc} 1 &\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\ldots& \frac{1}{n}\\ & & & & \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\ldots& \frac{1}{n+1}\\ & & & & \\ \frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\ldots& \frac{1}{n+2}\\ & & & & \\ \vdots& &&& \vdots\\ \frac{1}{n}&\frac{1}{n+1}&\frac{1}{n+2}&\ldots& \frac{1}{2n-1} \end{array}\right]_{n\times n} =\frac{[1!\,2!\, 3! \dots (n-1)!]^3} {n!\, (n+1)!\, (n+2)!\times \dots \times (2n-1)!} \ .$$ Число справа может быть представлено в виде $$ \frac{1}{L_n} \quad \mbox{ при } \quad L_n =n! \prod_{j=1}^{2n-1} C_{j}^{\lfloor j/2 \rfloor} \, . $$ $$ L_5=266716800000, \ L_{10}= 46206893947914691316295628839036278726983680000000000, \dots $$