Задача. Для таблицы значений $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_N \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_N \end{array} $$ построить рациональную функцию в виде $ f(x)=p(x)/q(x) $ при $ p_{}(x) $ — полиноме степени $ \le n $, $ q_{}(x) $ — полиноме степени $ \le m $, так, чтобы $ \{ f(x_j)=y_j \}_{j=1}^N $. При этом $ N,n,m $ связаны соотношением: $$ N=m+n+1 \, . $$

Условия $$ \{ p(x_j)/q(x_j)=y_j \}_{j=1}^N $$ влекут за собой соотношения $$ \{ p(x_j)=y_jq(x_j) \}_{j=1}^N \, , $$ которые представляют собой систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов полиномов числителя и знаменателя: $$ p(x):=p_n+p_{n-1}x+\dots+p_0x^n, \ q(x):=q_m+q_{m-1}x+\dots+q_0x^m \, . $$ Общее количество этих коэффициентов $ m+n+2 $ и система является однородной относительно них. Поэтому она имеет бесконечное множество решений — что и очевидно, поскольку если дробь $ p(x)/q(x) $ является решением задачи интерполяции, то и дробь $ (Сp(x))/(Сq(x)) $ также является решением этой задачи при любой ненулевой константе $ C $. Поскольку поставленная задача свелась к хорошо исследованной задаче решения системы линейных уравнений, можно было бы на этом моменте и закончить ее обсуждение, если бы не одно обстоятельство.

Дело в том, что поставленная задача не всегда имеет решение, а переход $$ \{ p(x_j)/q(x_j)=y_j \}_{j=1}^N \quad \longrightarrow \quad \{ p(x_j)=y_jq(x_j) \}_{j=1}^N \, , $$ не всегда законен.

Пример. Для таблицы

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 1 & 1 & 1/3 & 3 & 1/13 \end{array} $$ построить удовлетворяющую ей рациональную функцию $ f(x)=p(x)/q(x) $ при $ \deg p(x)=1,\deg q(x) =3 $.

Решение. Решение системы линейных уравнений дает числитель и знаменатель в виде $$ p(x)\equiv x-2, \quad q(x)\equiv x^3-x^2-x-2 \, . $$ Однако $ p(2)=0 $ и $ q(2)=0 $, и условие $ f(2)=3 $ не выполняется. Оно не выполнится даже если мы разделим полученные полиномы на общий линейный делитель. ♦

Точки, подобные точке $ x=2 $ из рассмотренного примера, называются недостижимыми точками¹⁾ задачи.

Тем не менее, любой метод решения задачи сводится — прямо или косвенно — к решению системы линейных уравнений. Метод, разбираемый в настоящем разделе, был предложен К. Якоби. Задачу удается разделить на независимые подзадачи вычисления числителя и знаменателя. В методе существенно используются определители специального вида, так называемые ганкелевы. Для произвольной числовой последовательности $ \{c\}= \{c_j\}_{j=0}^{\infty} $ определитель $$ H_{k}(\{c\}) :=\left|\begin{array}{llllll} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 & \dots & c_{k-1} \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & \dots & c_k \\ c_2 & c_3 & c_4 & &\dots & c_{k+1} \\ c_3 & c_4 & & & & \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & &\dots & c_{2k-2} \end{array} \right|_{k\times k}= \left[ c_{j+k}\right]_{j,k=0}^{k-1} \ . $$ называется ганкелевым определителем $ k $-го порядка, порожденным этой последовательностью. Полином по переменной $x $ $$ \mathcal H_k(x; \{c\}) = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k+1} \\ \vdots & & & \ddots& \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-1} \\ 1 & x & x^2 & \ldots & x^{k} \end{array} \right|_{(k+1) \times (k+1)} $$ называется ганкелевым полиномом k-го порядка (порожденным последовательностью $ \{c\} $). Если $ H_{k}(\{c\}) \ne 0 $, то этот полином имеет степень $ k $. Обозначим его коэффициенты $ \{h_{kj}\} $: $$ \mathcal H_k(x; \{c\})\equiv h_{k0} x^k +h_{k1} x^{k-1} +\dots + h_{kk} \quad \mbox{ при } \quad h_{k0}= H_{k}(\{c\}) \ . $$

Обозначим $$ W(x) = \prod_{j=1}^N (x-x_j) \ . $$

Теорема 1. Пусть $ \left\{ y_j \ne 0 \right\}_{j=1}^N $. Вычислим последовательности

$$ \left\{ \tau_k=\sum_{j=1}^N y_j \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2m} \quad \mbox{ и } \quad \left\{ \widetilde \tau_k=\sum_{j=1}^N \frac{1}{y_j} \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)} \right\}_{k=0}^{2n-2} \, , $$ и построим соответствующие им ганкелевы полиномы $ \mathcal H_m (x;\{\tau\}) $ и $ \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) $. Если $$ H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \ne 0 $$ и $$ \left\{ \mathcal H_m (x_j;\{\tau\})\ne 0 \right\}_{j=1}^{N} , $$ то существует единственное решение задачи рациональной интерполяции при $$ \deg p(x)=n, \deg q(x) \le m=N-n-1 \, .$$ Это решение можно представить в виде $$ p(x) = H_{m+1}(\{\tau\}) \mathcal H_n (x;\{\widetilde \tau\}) = $$ $$ =\left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ \tau_{m} & \tau_{m+1} & \dots & \tau_{2m} \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{llll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_n \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-1} \\ 1 & x & \dots & x^n \end{array} \right| \, , $$ $$ q(x) = H_{n}(\{\widetilde \tau\}) \mathcal H_m (x;\{\tau\}) = $$ $$ =\left| \begin{array}{llll} \widetilde \tau_0 & \widetilde \tau_1 & \dots & \widetilde \tau_{n-1} \\ \widetilde \tau_1 & \widetilde \tau_2 & \dots & \widetilde \tau_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde \tau_{n-1} & \widetilde \tau_n & \dots & \widetilde \tau_{2n-2} \end{array} \right| \cdot \left| \begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_{m} & \dots & \tau_{2m-1} \\ 1 & x & \dots & x^m \end{array} \right| \, . $$

Идея доказательства ☞ ЗДЕСЬ.

Вычисление ганкелевых полиномов из теоремы 1 может оказаться нетривиальной задачей при больших их порядках. Известна трудность общей задачи вычисления определителя, зависящего от параметров, к примеру, характеристического полинома матрицы. К счастью, специфичная структура ганкелевой матрицы позволяет упростить вычисления.

Рассмотрим последовательность ганкелевых полиномов $ \mathcal H_1(x), \mathcal H_2(x) ,\dots $, порожденных последовательностью $ \{ \mathbf c \} $. Коэффициенты канонического разложения полинома $ \mathcal H_k(x) $ будем обозначать $ \{h_{kj}\} $: $$ \mathcal H_k(x)\equiv h_{k0} x^k +h_{k1} x^{k-1} +\dots + h_{kk} \quad npu \quad h_{k0}= H_k \ . $$

Теорема 2 [Якоби, Йоахимшталь]. Любые три ганкелевых полинома

$$ \mathcal H_{k-2}(x), \mathcal H_{k-1}(x), \mathcal H_{k}(x) $$ связаны тождеством $$ H_k^2\mathcal H_{k-2}(x) + \left(H_kh_{k-1,1}-H_{k-1}h_{k1}-H_kH_{k-1}x\right)\mathcal H_{k-1}(x) + H_{k-1}^2 \mathcal H_{k}(x) \equiv 0 \, . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

JJ-тождество позволяет организовать процедуру вычисления ганкелевых полиномов, рекурсивную по их порядку. Предположим, что канонические представления полиномов $ \mathcal H_{k-2}(x) $ и $ \mathcal H_{k-1}(x) $ уже известны: $$ \mathcal H_{k-1}(x) \equiv h_{k-1,0} x^{k-1}+h_{k-1,1}x^{k-2}+\dots+ h_{k-1,k-1} \, , $$ и $$ h_{k-1,0}=H_{k-1} \ne 0 \, . $$ Тогда в JJ-тождестве известны значения всех констант, за исключением $ H_k $ и $ h_{k1} $. Для последних имеются лишь детерминантные представления: $$ H_k = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k-1} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-3} \\ c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-2} \end{array} \right| \ , \ h_{k1} = - \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-2} \\ c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-1} \end{array} \right| \, . $$ Эти определители отличаются от детерминантного представления $ \mathcal H_{k-1}(x) $ (транспонированного) $$ \left[\mathcal H_{k-1}(x) \right]^{\top} = \left| \begin{array}{llllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-2} & 1 \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k-1} & x \\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-3} & x^{k-1} \end{array} \right| $$ только своими последними столбцами. Разложения определителей по элементам этих последних столбцов имеют одинаковые значения для соответствующих алгебраических дополнений, и поэтому следующие формулы $$ \left\{\begin{array}{rcl} h_{k0}=H_k&=&c_{k-1}h_{k-1,k-1}+c_{k}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-2}h_{k-1,0}, \\ h_{k1}&=&-(c_{k}h_{k-1,k-1}+c_{k+1}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-1}h_{k-1,0}) \end{array} \right. $$ позволяют вычислить $ h_{k0} $ и $ h_{k1} $ посредством уже известных коэффициентов полинома $ \mathcal H_{k-1}(x) $.

Конкретно для задачи рациональной интерполяции JJ-тождество позволяет вычислять все семейство рациональных функций, удовлетворяющих заданной таблице — для произвольной комбинации степеней числителя и знаменателя, связанных равенством $ \deg p(x) + \deg q(x) +1 = N $.

Пример. Построить все удовлетворяющие таблице

$$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 3 & 1 & 4 & 1 & 5 & 9 & 3 \end{array} $$ рациональные функции $ r(x)=p(x)/q(x) $ при условии $ \deg p(x)+\deg q(x) \le 6 $.

Решение. Сначала вычисляем элементы последовательностей $ \{ \tau \} $ и $ \{ \widetilde \tau \} $: $$ \tau_0=\frac{61}{720},\ \tau_1=-\frac{9}{80},\ \tau_2=-\frac{17}{240}, \dots, \tau_{12}=\frac{981007}{240}; $$ $$ \widetilde \tau_0=-\frac{77}{2880},\ \widetilde \tau_1=\frac{119}{8640}, \widetilde \tau_2=-\frac{167}{8640}, \dots, \widetilde \tau_{12}=\frac{3923929}{8640} \, . $$

Теперь вычисляем ганкелевы полиномы первого и второго порядков: $$ \mathcal H_1(x;\{\tau\})=\frac{61}{720}x+\frac{9}{80}\, ,\ \mathcal H_2(x;\{\tau\})=\underbrace{-\frac{403}{21600}}_{h_{2,0}}x^2+\underbrace{\frac{37}{720}}_{h_{2,1}}x+ \underbrace{\frac{379}{7200}}_{h_{2,2}} \, . $$

Вычисление $ \mathcal H_3(x;\{\tau\}) $ может быть организовано с помощью теоремы $ 2 $: $$ \mathcal H_3(x;\{\tau\}) \equiv - \left(\frac{h_{3,0}}{h_{2,0}}\right)^2 \mathcal H_1(x;\{\tau\})+ \frac{h_{3,0}}{h_{2,0}}\left(x-\frac{h_{2,1}}{h_{2,0}}+\frac{h_{3,1}}{h_{3,0}} \right)\mathcal H_2(x;\{ \tau\}) $$ в правой части равенства все константы, за исключением $ h_{3,0}=H_3(\{\tau\}) $ и $ h_{3,1} $, уже известны. Для нахождения оставшихся используем формулы $$ h_{3,0}=H_3(\{\tau \})=\tau_4 h_{2,0}+\tau_3 h_{2,1}+\tau_2 h_{2,2}=-\frac{1379}{64800} \, , $$ $$ h_{3,1}=-(\tau_5 h_{2,0}+\tau_4 h_{2,1}+\tau_3 h_{2,2})= \frac{127}{10800}\, . $$ Таким образом, $$ \mathcal H_3(x;\{\tau\}) \equiv-\frac{1379}{64800}x^3+\frac{127}{10800}x^2+\frac{5111}{64800}x-\frac{17}{1200} \, . $$ Продолжаем рекурсивное применение JJ-тождества: \begin{eqnarray*} \mathcal H_4(x;\{\tau\}) &\equiv & -\frac{1609}{21600}x^4-\frac{347}{10800}x^3+\frac{368}{675}x^2-\frac{2201}{5400}x-\frac{111}{160} \, , \\ ~\\ \mathcal H_5(x;\{\tau\}) & \equiv & -\frac{763}{1440}x^5+\frac{301}{144}x^4+\frac{1715}{288}x^3-\frac{2947}{144}x^2 +\frac{301}{80}x +\frac{357}{16}\, , \\ ~\\ \mathcal H_6(x;\{\tau\}) & \equiv & \underbrace{\frac{693}{16}}_{h_{6,0}}x^6\underbrace{-\frac{357}{16}}_{h_{6,1}}x^5-\frac{9201}{16}x^4+\frac{3489}{16}x^3+\frac{7149}{4}x^2 -\frac{621}{4}x\underbrace{-1620}_{h_{6,6}} \, . \end{eqnarray*}

И еще одно дополнительное вычисление константы: $$ H_7(\{\tau\})=\tau_{12}h_{6,0}+ \tau_{11}h_{6,1} + \dots + \tau_{6} h_{6,6}=-1620 \, . $$ Тем самым все возможные знаменатели дробей найдены. Параллельно, и в той же рекурсивной манере, запускается процедура нахождения числителей $$ \mathcal H_1(x;\{\widetilde\tau\}) =-\frac{77}{2880}x-\frac{119}{8640}\, ,\ \mathcal H_2(x;\{\widetilde\tau\})=\underbrace{\frac{763}{2332800}}_{\widetilde h_{2,0}=H_2(\{\widetilde \tau\})}\,x^2+\underbrace{\frac{301}{233280}}_{\widetilde h_{2,1}}\, x+\underbrace{\frac{37}{86400}}_{\widetilde h_{2,2}}\, , $$ $$ \widetilde h_{3,0}=H_3(\{\widetilde \tau \})= \widetilde \tau_4 \widetilde h_{2,0}+ \widetilde \tau_3 \widetilde h_{2,1}+ \widetilde \tau_2 \widetilde h_{2,2}=\frac{1609}{34992000} \, , $$ $$ \widetilde h_{3,1}=-(\widetilde \tau_5 \widetilde h_{2,0}+\widetilde \tau_4 \widetilde h_{2,1}+\widetilde \tau_3 \widetilde h_{2,2})=-\frac{347}{17496000} \, , $$ \begin{eqnarray*} \mathcal H_3(x;\{\widetilde\tau\}) &\equiv & - \left(\frac{\widetilde h_{3,0}}{\widetilde h_{2,0}}\right)^2 \mathcal H_1(x;\{\widetilde\tau\})+ \frac{\widetilde h_{3,0}}{\widetilde h_{2,0}}\left(x-\frac{\widetilde h_{2,1}}{\widetilde h_{2,0}}+\frac{\widetilde h_{3,1}}{\widetilde h_{3,0}} \right)\mathcal H_2(x;\{\widetilde \tau\}) \\ & \equiv & \frac{1609}{34992000}x^3-\frac{347}{17496000}x^2-\frac{7181}{34992000}x+\frac{17}{1944000} \, , \\ \mathcal H_4(x;\{\widetilde\tau\}) & \equiv & \frac{\scriptstyle 1379}{\scriptstyle 104976000}x^4+\frac{\scriptstyle 127}{\scriptstyle 17496000}x^3-\frac{\scriptstyle 4771}{\scriptstyle 52488000}x^2-\frac{\scriptstyle 13}{\scriptstyle 81000}x-\frac{\scriptstyle 379}{\scriptstyle 11664000} \, , \\ \mathcal H_5(x;\{\widetilde\tau\}) & \equiv & \frac{\scriptstyle 403}{\scriptstyle 34992000}x^5+\frac{\scriptstyle 37}{\scriptstyle 1166400}x^4-\frac{\scriptstyle 707}{\scriptstyle 6998400}x^3-\frac{\scriptstyle 13}{\scriptstyle 43200}x^2 -\frac{\scriptstyle 13}{\scriptstyle 72000}x-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 14400} \, , \\ \mathcal H_6(x;\{\widetilde\tau\}) & \equiv & -\frac{\scriptstyle 61}{\scriptstyle 1166400}x^6+\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 14400}x^5+\frac{\scriptstyle 181}{\scriptstyle 233280}x^4-\frac{\scriptstyle 17}{\scriptstyle 25920}x^3-\frac{\scriptstyle 841}{\scriptstyle 291600}x^2 +\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 3600}x -\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle 1620} \, . \end{eqnarray*}

Остается только скомбинировать числители со знаменателями: \begin{eqnarray*} r_{0,6}(x)&=&\frac{H_7(\{\tau\})}{\mathcal H_6(x;\{\tau\})} \\ & \equiv & -\frac{8640}{231\,x^6-119\,x^5-3067\,x^4+1163\,x^3+9532\,x^2-828\,x-8640} \, , \\ r_{1,5}(x)&=&\frac{h_{6,0}\mathcal H_1(x;\{\widetilde \tau\})}{\widetilde h_{1,0} \mathcal H_5(x;\{\tau\})} \equiv -\frac{270(33\,x+17)}{109\,x^5-430\,x^4-1225\,x^3+4210\,x^2-774\,x-4590} \, , \\ r_{2,4}(x)&=&\frac{h_{5,0}\mathcal H_2(x;\{\widetilde \tau\})}{\widetilde h_{2,0} \mathcal H_4(x;\{\tau\})} \equiv \frac{15(763\,x^2+3010\,x+999)}{1609\,x^4+694\,x^3-11776\,x^2+8804\,x+14985}\ , \cdots , \end{eqnarray*} и, наконец, полиномиальный интерполянт: $$ r_{6,0}(x)=\frac{h_{1,0}\mathcal H_6(x;\{\widetilde \tau\})}{\widetilde h_{6,0}} \equiv \frac{61}{720}x^6 -\frac{9}{80}x^5 -\frac{181}{144}x^4 +\frac{17}{16}x^3 +\frac{841}{180}x^2 -\frac{9}{20}x +1 \, . $$ ♦

JJ-тождество перестает работать для вычисления $ \mathcal H_{k}(x) $ если $ h_{k-1,0}=H_{k-1} = 0 $. Обобщения теоремы $ 2 $ для этого случая см. ☞ ЗДЕСЬ

Теорема 3. Если существует рациональный интерполянт при $ m \le n $, то вектор $ \mathbf u=[u_1,\dots,u_N] $ является вектором весов в одном из барицентрических представлений этого интерполянта

$$ r(x)= \frac{ \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{u_j}{x-x_j}y_j }{ \displaystyle \sum_{j=1}^N \frac{u_j}{x-x_j}} $$ тогда и только тогда, когда $ \mathbf u $ принадлежит ядру блочной матрицы $$ \mathbf A= \left(\begin{array}{c} \mathbf V \\ \hline \mathbf H \end{array} \right)_{ (N-1)\times N } $$ где $$ \mathbf V = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_N \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_N^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_N^{n-1} \end{array} \right) \, ,\ \mathbf H = \left( \begin{array}{cccc} y_1 & y_2 & \dots & y_N \\ x_1y_1 & x_2y_2 & \dots & x_Ny_N \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{m-1}y_1 & x_2^{m-1}y_2 & \dots & x_N^{m-1}y_N \end{array} \right)\, . $$

Теперь проанализируем результат этой теоремы на взаимосвязь с методом Якоби. Прежде всего, утверждается, что $ m+1 $ векторов $$ \Xi_j=\big[x_1^j/W^{\prime}(x_1), \dots, x_N^j/W^{\prime}(x_N)\big] \ \mbox{ при } j\in \{0,1,\dots,m\} $$ принадлежат ядру матрицы Вандермонда $ \mathbf V $. Это действительно следует из равенств Эйлера-Лагранжа. Далее, ищем линейную комбинацию $$ v_0 \Xi_0+v_1 \Xi_1+\dots+v_m \Xi_m \, , $$ принадлежащую ядру матрицы $ \mathbf H $: $$ \left(\begin{array}{cccc} y_1 & y_2 & \dots & y_N \\ x_1y_1 & x_2y_2 & \dots & x_Ny_N \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{m-1}y_1 & x_2^{m-1}y_2 & \dots & x_N^{m-1}y_N \end{array} \right) \left(\begin{array}{cccc} 1/W^{\prime}(x_1) & x_1/W^{\prime}(x_1) & \dots & x_1^m/W^{\prime}(x_1) \\ 1/W^{\prime}(x_2) & x_2/W^{\prime}(x_2) & \dots & x_2^m/W^{\prime}(x_2) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1/W^{\prime}(x_N) & x_N/W^{\prime}(x_N) & \dots & x_N^m/W^{\prime}(x_N) \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} v_0 \\ v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{array} \right) = \mathbb O_{m\times 1} \, , $$ или, в терминах симметрических функций из формулировки теоремы $ 1 $: $$ \left(\begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \ \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_m & \dots & \tau_{2m-1} \end{array} \right)_{m\times (m+1)} \left(\begin{array}{c} v_0 \\ v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{array} \right) = \mathbb O_{m\times 1} \, . $$ При условии, что ранг матрицы, стоящей в левой части этого уравнения, равен $ m $ размерность ядра равна $ 1 $, а его базисный вектор состоит из алгебраических дополнений к элементам последней строки матрицы $$ \left(\begin{array}{llll} \tau_0 & \tau_1 & \dots & \tau_m \\ \tau_1 & \tau_2 & \dots & \tau_{m+1} \\ \vdots & \ \vdots & & \vdots \\ \tau_{m-1} & \tau_m & \dots & \tau_{2m-1} \\ \ast & \ast & \dots & \ast \end{array} \right)_{(m+1)\times (m+1)} \, . $$ Следовательно, этот вектор должен быть пропорционален (коллинеарен) вектору коэффициентов знаменателя рационального интерполянта, представленного в теореме $ 1 $.

Таким образом, метод решения задачи рациональной интерполяции, основанный на вычислении ганкелевых полиномов, может быть интерпретирован как метод решения системы линейных уравнений, составленной для определения вектора весов в барицентрическом представлении интерполянта из теоремы $ 3 $.

ЗДЕСЬ

[1]. Jacobi C.G.J. Űber die Darstellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rationale Function. J.reine angew. Math. 1846. Bd. 30, S. 127-156

[2]. Eĝecioĝlu Ö., Koç Ç.K. A fast algorithm for rational interpolation via orthogonal polynomials. Math. Comp. 1989, v. 53, 249-264.

[3]. Утешев А.Ю., Боровой И.И. Решение задачи рациональной интерполяции с использованием ганкелевых полиномов. Вестник СПбГУ. Серия 10. 2016. Вып. 4, С. 31-43. Текст ☞ ЗДЕСЬ (pdf).

[4]. Uteshev A., Baravy I., Kalinina E. Rational Interpolation: Jacobi's Approach Reminiscence. Symmetry, 2021, 13 (8), 1401 Текст — в открытом доступе ☞ symmetry-13-01401.pdf

[5]. Berrut J.-P., Baltensperger R., Mittelmann H.D. Recent developments in barycentric rational interpolation. Trends and Applications in Constructive Approximation. Birkhãuser: Basel, Switzerland, 2005; pp. 27–51.