Программа разработана А.Ю.Утешевым на основе опыта чтения курса на факультете ПМ-ПУ СПбГУ.
Бином Ньютона. Треугольник Паскаля
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД, континуанта.
Делимость чисел. Взаимно простые числа. Простые числа. Каноническое разложение числа. Признаки делимости. Факторизация.
Сравнения. Алгоритм "квадрирования-умножения". Классы вычетов. Теоремы Ферма и Эйлера
Решение линейных сравнений с одним неизвестным. Нахождение обратного по модулю. Теорема Вильсона. Китайская теорема об остатках.
Определение (равенство, алгебраические действия, запись, комплексное сопряжение)
Тригонометрическая форма комплексного числа (действия с к.ч., представленными в тригонометрической форме, формула Муавра, неравенства для модуля, выведение тригонометрических формул ).
Извлечение корня из комплексного числа (cведéние к решению системы нелинейных уравнений, решение квадратных уравнений; тригонометрическая форма, корни из единицы, первообразные корни )
Определения. Форма записи, моном, степень, равенство, приведение подобных, сложение, умножение. Схема Хорнера
Основная теорема высшей алгебры (формулировка). Формулы Виета. Разложение на линейные множители. Кратность корня
Решение уравнений в радикалах (уравнения третьей и четвертой степени; неразрешимость уравнений высших степеней).
Делимость полиномов. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. Взаимно простые полиномы. Тождество Безу.
Выделение кратных корней. Установление кратности корня. Решение уравнений, имеющих кратные корни
Корни полинома с вещественными коэффициентами. Приводимость; границы расположения корней: оценки Маклорена, Лагранжа, Ньютона; геометрия вещественных корней,правило знаков Декарта.
Приводимость полиномов в $ \mathbb{Q}_{} $ (условия существования рациональных корней, критерий неприводимости Эйзенштейна ).
Численные методы нахождения корней полинома (Руффини-Хорнера1), Лагранжа2), Ньютона ).
Рациональные дроби. Разложение на простейшие над $ \mathbb{C}_{} $ и $ \mathbb{R}_{} $. Формула Лагранжа
Полиномы нескольких переменных (способы их представления, формула Тейлора, условия экстремума, алгебраические уравнения)
Решение системы линейных уравнений:метод Гаусса
Матрицы. Действия над ними: линейные, умножение,транспонирование, матричный полином, обращение
Элементарные свойства определителя
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Метод Гаусса
Теорема Бине-Коши. Неравенство Коши
Определители специального вида: Вандермонда, ганкелев, трехдиагональный, целочисленный, характеристический полином
Условие совместности линейной системы ( теорема Кронекера-Капелли, общее решение, система однородных уравнений, фундаментальная система решений ).
Интерполяционный полином; формы Лагранжа и Ньютона. Обобщенная задача интерполяции3).
Приближенная интерполяция: метод наименьших квадратов. Псевдорешения системы линейных уравнений.
Результант. Его линейное представление, связь с алгоритмом Евклида
Субрезультанты. Линейное представление НОД
Приложения: уничтожение иррациональности в знаменателе, преобразование Чирнгауза4).
Исключение переменных в системе уравнений
Число решений системы уравнений: теорема Безу, исключительные случаи теории исключения5).
Основная теорема высшей алгебры (доказательство)6)..
Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа
Формула Якоби. Матричный формализм метода Гаусса: LDU-разложение матрицы
Закон инерции. Ранг, сигнатура, конгруэнтность квадратичных форм
Теорема Штурма. Построение системы полиномов Штурма по алгоритму Евклида.7)
Ганкелевы матрицы в задаче локализации корней. Суммы Ньютона. Теоремы Якоби и Йоахимшталя.8)
Устойчивость полинома, теоремы Рауса, Льенара-Шипара. Теорема Шура-Кона.9)
Основные определения. Изоморфизм
Линейная зависимость, базис. Относительная линейная независимость. Система $ A_{}X=\mathbb{O} $ и ее фундаментальная система решений
Сумма и пересечение линейных подпространств. Система $ A_{}X= \mathcal B $. Линейные многообразия, их геометрическая интерпретация
Ортогональный базис. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта
Расстояние от точки до линейного многообразия
Свойства определителя Грама. Неотрицательность, использование для нахождения расстояния, неравенство Адамара, геометрическая интерпретация
Пространство линейных отображений
Ядро и образ линейного отображения
Инвариантные подпространства оператора. Собственные векторы и собственные числа. Характеристический полином. Диагонализуемость матрицы оператора над $ \mathbb{C}_{} $
Структура и свойства характеристического полинома. Теорема Гамильтона-Кэли. Диагонализуемость матрицы лин.оператора над $ \mathbb{R}_{} $
Диагонализуемость симметричной матрицы над $ \mathbb{R}_{} $. Локализация ее собственных чисел и их экстремальное свойство
Жорданова нормальная форма в $ \mathbb{C}_{} $. Аннулирующий полином. Корневое подпространство. Циклическое подпространство
Жорданова нормальная форма в $ \mathbb{R}_{} $
Вычисление полинома от матрицы
Задача о разорении игрока. Цепи Маркова.
Матричный степенной ряд. Норма матрицы. Аналитические функции матрицы. Устойчивость по Ляпунову.