В наиболее общей формулировке, сигнал — это зависимость одной физической величины от другой. Это может быть зависимость напряжения от времени, звука от времени, цвета от координат точки на изображении: и т.д. Строгим математическим языком: сигнал — это функция от одной или нескольких переменных и имеющая значения во множестве, которое также описывается одной или несколькими величинами (параметрами). При этом области определения функции могут быть также различными по структуре: например, сигнал может быть определен (известен) при всех вещественных значениях времени, а может быть задан только в дискретном (конечном или бесконечном) наборе моментов. Первое задание эквивалентно заданию функции $ s(t) $, второе — последовательности $ s_0,s_1,s_2,\dots,s_k $ или $ \dots, s_{-k},s_{-k+1},\dots,s_0,s_1,s_2,\dots $ В первом случае говорят об аналоговом сигнале, во втором — о дискретном. На практике дискретные сигналы возникают при преобразовании аналогового сигнала в дискретную форму: при выборе последовательности равноотстоящих моментов времени полагают $$ s(nT)=s_{n} \ . $$ Число $ T_{} $ называют шагом дискретизации, а число $ 1/T $ — частотой дискретизации, число $ s_n $ — $ n $-м отсчетом, в теории сигналов его принято обозначать $ s[n] $. В настоящем разделе мы, как правило, будем рассматривать последовательности «бесконечные в обе стороны» и будем обозначать их либо $ \{s_n\} $ либо — в контексте теории сигналов — $ \{s[n]\} $, считая при этом индекс $ n_{} $ «пробегающим» все множество целых чисел $ \mathbb Z_{} $.

С математической точки зрения, система с дискретным временем определяется как преобразование, переводящее входную последовательность (сигнал) $ \{x[n]\} $ в выходную последовательность $ \{y[n]\} $; последняя называется откликом или реакцией системы. Будем обозначать системы каллиграфическими прописными буквами: $$ \{y[n]\}= \mathcal A \{x[n]\} \ . $$

С физической же точки зрения, систему с дискретным временем можно представлять как «черный ящик» , на вход которого подаются разные дискретные сигналы: например, с интервалом в одну секунду вбрасываются одинаковые или различные монетки, и иногда нажимается кнопка «зачислить»; на выходе же, также с интервалом в одну секунду, происходят какие-то действия: выдача товаров, напитков, сообщений и т.п. Представьте теперь, что инструкция по работе аппарата утеряна и закономерность, связывающая «вход» с «выходом», неочевидна: аппарат может даже выдавать товары «в долг» (в рассчете на честность клиента), возможна и ситуация, когда «вход» и «выход» не связаны причинно-следственными связями (например, аппарат сломался и выдает товары даром или же не выдает их вовсе).

Задача. Описать работу системы с дискретным временем, имея возможность провести (как правило, конечный) набор испытаний, т.е. на основе знания конечного набора пар «вход-выход» $ \{x[n]\} \mapsto \{y[n]\} $ предсказать работу системы для произвольного входного сигнала.

Пример. Идеальная система задержки (ИСЗ) определяется формулой $$ y[n]=x[n-n_d] \quad npu \quad n \in \mathbb Z \ . $$ Целое число $ n_d $ считается фиксированным и называется задержкой системы¹⁾. Если $ n_d > 0 $ то ИСЗ сдвигает сигнал вправо (по времени) на $ n_d $ отсчетов, т.е. реально задерживает сигнал; при $ n_d < 0 $ — последовательность сдвигается влево, т.е. выступает в роли гадалки, предсказывающей будущее состояние этого сигнала.

Пример. Системой без памяти называется идеальная система задержки при $ n_d=0 $. Такой системой будет, например, $$ y[n]=x[n]^2 \quad npu \quad n \in \mathbb Z\ . $$

В двух предыдущих примерах реакция системы зависела только одного значения входного сигнала; следующий пример отражает более сложную ситуацию.

Пример. Система скользящего среднего имеет общий вид:

$$ y[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1} \left(x[n-M_2]+x[n-M_2+1]+\dots+x[n]+x[n+1]+\dots+x[n+M_1] \right)= $$ $$ =\frac{1}{M_1+M_2+1} \sum_{k=-M_1}^{M_2}x[n-k] \ . $$ Она вычисляет $ n_{} $-й отсчет выходной последовательности системы как среднее арифметическое $ M_1+M_2+1 $ отсчетов входного сигнала, расположенных вокруг $ n_{} $-го . ♦

Система $ \mathcal A_{} $ называется линейной если она удовлетворяет свойству линейности $$ \mathcal A \{\alpha u[n] + \beta v[n]\} = \alpha \mathcal A \{u[n] \} + \beta \mathcal A \{v[n]\} $$ при любых входных сигналах $ \{u[n]\} $ и $ \{v[n]\} $ и любых константах $ \alpha, \beta $.

Строгим математическим языком: $ \mathcal A $ является (линейным) оператором, действующим в линейном пространстве последовательностей. И для описания этих операторов мы могли бы прекрасно обойтись аппаратом, разработанным для этой задачи в линейной алгебре — именно, теорией матриц. Если бы только не одно неприятное обстоятельство. Линейная алгебра имеет дело с конечномерными пространствами, т.е. с объектами (векторами), описываемыми конечным набором параметров (измерений, координат). В теории сигналов приходится же рассматривать бесконечномерные линейные пространства… Теперь представьте себе бесконечную матрицу, причем бесконечную «во все стороны» — не только влево и вправо, но и вниз и вверх. Представили? — А теперь представьте, что нужно найти обратную к ней! Разумеется, математики не опустили в бессилии руки, и бесконечные матрицы рассматривают,… однако инженеры пошли собственным путем.

Какие из приведенных выше систем будут линейными?

Пример. Система, определяемая уравнением $$y[n]=\sum_{k=-\infty}^n x[k] \quad npu \quad n \in \mathbb Z\ , $$ называется сумматором. Она является линейной. ♦

Система $ \mathcal A $ называется стационарной если для нее временной сдвиг (задержка) входной последовательности вызывает соответствующий сдвиг (задержку) выходной последовательности: $$ {}_{} \mbox{если }\ \mathcal A \{x[n]\}=y[n] \quad \mbox{ то } \quad \mathcal A \{x[n-n_0]\}=y[n-n_0] \quad \mbox{ при } \quad \forall \{n,n_0\} \subset \mathbb Z \ . $$

Пример. Система $$ y[n]=x[nM] \quad npu \quad n \in \mathbb Z $$ и фиксированном $ M\in \mathbb N $ называется уплотнителем. Образно говоря, эта система из каждых $ M_{} $ входных отсчетов оставляет только один. При $ M>1 $ она является нестационарной. ♦

Система называется причинной (или казуальной) если член выходной последовательности $ y[m] $ зависит только от членов входной последовательности $ \{x[n]\} $ с номерами не превосходящими $ m_{} $.

Пример. Левая разностная система $$ y[n]=x[n]-x[n-1] \quad npu \quad n \in \mathbb Z $$ является причинной, а правая разностная система $$ y[n]=x[n+1]-x[n] \quad npu \quad n \in \mathbb Z $$ не является причинной.

Система называется устойчивой, если ее отклик на любой ограниченный входной сигнал будет также ограниченным.

Пример. Система $ y[n]=x[n]^2 $ устойчива, т.к. при любой ограниченной входной последовательности $ \{x[n]\} $: $ |x[n]|\le B $ при $ n \in \mathbb Z $ для выходной последовательности будет выполнено $ |y[n]|\le B^2 $. Система $ y[n]=\operatorname{lg} |x[n]| $, напротив, неустойчива поскольку $ y[n]=-\infty $ для любого $ x[n] $ равного нулю даже при условии ограниченности всей входной последовательности.

Особый интерес представляют системы, которые обладают одновременно двумя свойствами: линейности и стационарности; для них будем использовать сокращение «ЛС-системы». Во-первых, для таких систем упрощается анализ свойств; во-вторых, более сложные системы, не обладающие каким-то из свойств «Л» или «C», пытаются представить как комбинацию ЛС-систем.

В линейном пространстве всех последовательностей $ \{x_n\} $ можно выбрать естественный базис, состоящий из последовательностей, для каждой из которых ровно один элемент отличен от нуля и равен $ 1_{} $; обозначим эти последовательности $ \{ \delta_{0n}\},\{ \delta_{1n}\},\{ \delta_{-1,n}\},\{ \delta_{2n}\},\{ \delta_{-2,n}\},\dots $ при величине $ \delta_{kn} $ определяемой условиями $$ \delta_{kn}=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & npu \ k = n, \\ 0 & npu \ k \ne n. \end{array} \right. $$ и известной как символ Кронекера. Очевидно, что любая последовательность $ \{ \delta_{kn} \} $ получается из одной-единственной, например $ \{ \delta_{0n}\} $, в результате сдвига на $ k $ отсчетов. В указанном базисе любая последовательность $ \{x_n\} $ может быть представлена в виде $$ \{x_n\}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_n \{ \delta_{kn}\}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_n \{ \delta_{0,n-k}\} \ . $$

Теперь рассмотрим действие на входную последовательность $ \{x[n]\} $ системы $ \mathcal A $, которая является как линейной, так и стационарной. Имеем, сначала, за счет свойства линейности: $$ \mathcal A\{x[n]\}= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n] \mathcal A \{ \delta_{kn}\} \ , $$ т.е. действие системы на произвольную входную последовательность полностью описывается ее действием на базисные последовательности. Идем далее: $$ \mathcal A \{ \delta_{kn}\} = \mathcal A \{ \delta_{0,n-k}\} \ . $$ Обозначим теперь отклик системы $ \mathcal A $ на входную последовательность $ \{ \delta_{0,n-k}\} $ через $ \{h_{kn}\} $. Если бы система $ \mathcal A $ была нестационарной, то величины $ h_{kn} $ зависели бы от $ k_{} $ и $ n_{} $ независимым образом. Свойство стационарности обеспечивает нам более простой характер зависимости: $ h_{kn}=h_{0,n-k} $, т.е. отклик системы на произвольный «базисный» входной сигнал получается сдвигом ее отклика на входной сигнал $ \{ \delta_{0,n}\} $.

Обращаясь к использованной в начале ☞ ПУНКТА аналогии с автоматом по выдаче товаров с потерянной инструкцией по использованию, можно сказать, что линейная стационарная система представляет такую разновидность аппарата, реакция которого на любую вложенную сумму денег полностью определяется по одной единственной известной — именно, его реакции на вброшенный $ 1_{} $ (один) рубль, причем вброшенный, скажем, в полночь 31 декабря 2000 года²⁾.

Окончательно, получаем формулу $$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h_{0,n-k} \ , $$ позволяющую вычислить отклик системы на произвольный входной сигнал.

Последовательность $ \{h_{0,n}\} $ — т.е. отклик системы на входной сигнал $ \{\delta_{0,n}\} $ — называется импульсной характеристикой системы $ \mathcal A $. В дальнейшем, с целью упрощения обозначений, будем опускать первый индекс $ 0_{} $, т.е. записывать входной сигнал $ \{\delta_{0,n}\} $ в виде $ \{\delta[n] \} $, а импульсную характеристику — в виде $ \{h[n]\} $. С учетом этого упрощения, последнее равенство перепишем в виде $$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] \quad npu \quad n \in \mathbb Z \ , $$ и введем сейчас определение для этого действия.

Свёртка

Для произвольных последовательностей $ \{ x_n \} $ и $ \{ h_n \} $ последовательность $ \{y_n \} $, определяемая посредством последней формулы, называется (дискретной) свёрткой последовательностей $ \{ h_n \} $ и $ \{ x_n \} $, сама операция нахождения свертки обозначается $ \ast $: $$ \{y_n \} = \{ x_n \} \ast \{ h_n \} \ . $$

Чтобы прояснить себе смысл этой операции, «привяжем» ее к еще одному математическому разделу.

Пример. Вычислить свертку двух «конечных» последовательностей: $$ x_{n}=\left\{ \begin{array}{cc} a_n & npu \ n \in \{0,1,\dots,N\} , \\ 0 & npu \ n \not\in \{0,1,\dots,N\}; \end{array} \right. \quad \mbox{ и } \quad h_{n}=\left\{ \begin{array}{cc} b_n & npu \ n \in \{0,1,\dots,M\} , \\ 0 & npu \ n \not\in \{0,1,\dots,M\}; \end{array} \right. $$ «конечность» понимается в том смысле, что последовательности имеют ненулевые значения разве лишь при конечном наборе индексов.

Решение. Разобьем сумму, определяющую свертку, на три: $$ y_n=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x_kh_{n-k} =\sum_{k=-\infty}^{-1} x_kh_{n-k} + \sum_{k=0}^{N} x_kh_{n-k} + \sum_{k=N+1}^{\infty} x_kh_{n-k} \ . $$ Первая и третья сумма пропадают, поскольку для соответствующих значений индексов будет выполнено $ x_k=0 $. Оставшаяся сумма является конечной, но при $ n<0 $ и при $ n> M+N $ она обратится в нуль, поскольку, по предположению, соответствующие значения $ h_{} $ будут нулевыми. Распишем подробнее формулы для оставшихся ненулевых значений $ y_{n} $: $$ \begin{array}{lcl} y_0 &= & a_0b_0, \\ y_1 &= & a_0b_1+a_1b_0, \\ y_2 &=& a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0, \\ \vdots & & \vdots \\ y_{\ell} &= & a_0b_{\ell}+a_1b_{\ell-1}+\dots+a_{\ell}b_0, \\ \vdots & & \vdots \\ y_{N+M-1} & = & a_Nb_{M-1}+a_{N-1}b_M, \\ y_{N+M} & = & a_Nb_M. \end{array} $$ Видим, что эти формулы определяют коэффициенты произведения двух полиномов (одной переменной) $$ F(x)=a_0x^N+a_1x^{N-1}+\dots+a_N \qquad \mbox{ и } \qquad G(x)=b_0x^M+b_1x^{M-1}+\dots+b_M \ . $$ В «переводе на язык систем» можно дать следующую интерпретацию настоящему примеру. Наш «черный ящик» осуществляет умножение произвольного «входного» полинома на полином $ G(x) $. Очевидна линейность этой системы: $$ (\alpha_1 F_1(x)+\alpha_2 F_2(x))\times G(x)\equiv \alpha_1 (F_1(x)G(x))+\alpha_2 (F_2(x)G(x)) \ ; $$ однородность же заключается в том, что коэффициенты произведения $ xF(x) $ на $ G(x) $ — такие же, как и у произведения $ F(x) $ на $ G(x) $, с точностью до «сдвига». ♦

Возвращаясь к теории ЛС-систем, вычислим импульсные характеристики для примеров предыдущего пункта.

Пример. Идеальная система задержки:

$$ h[n]=\delta[n-n_d] \quad \mbox{ при } n\in \mathbb Z \quad \mbox{ и некотором фиксированном } n_d \ . $$ Скользящее среднее: $$ h[n]=\frac{1}{M_1+M_2+1} \sum_{k=-M_1}^{M_2} \delta[n-k] = \left\{ \begin{array}{cc} 1/(M_1+M_2+1) & npu \ n \in \{-M_1,-M_1+1,\dots,M_2-1,M_2\} , \\ 0 & npu \ n \not\in \{-M_1,-M_1+1,\dots,M_2-1,M_2\}; \end{array} \right. $$ Cумматор: $$ h[n]=\sum_{k=-\infty}^n \delta[k]= \left\{ \begin{array}{cc} 1 & npu \ n \ge 0 , \\ 0 & npu \ n < 0. \end{array} \right. $$ Правая разностная система: $$ h[n]=\delta[n+1]-\delta[n] \ ; $$ левая разностная система: $$ h[n]=\delta[n]-\delta[n-1] \ . $$

Теорема. Свертка обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности относительно сложения:

$$ \{x_n\} \ast \{h_n\} = \{h_n\} \ast \{x_n\} \quad ; \quad \{x_n\} \ast (\{h_n\}+\{g_n\})= \{x_n\} \ast \{h_n\}+\{x_n\} \ast \{g_n\} \ . $$

Каскадным (последовательным) соединением двух ЛС-систем называется система, получаемая при подаче входного сигнала на вход первой системы, выходного сигнала первой системы на вход второй системы; получившийся в результате выходной сигнал второй системы принимается за выход всего каскада.

Каскадное соединение ЛС-систем является ЛС-системой с импульсной характеристикой равной свертке импульсных характеристик соединяемых систем: $$ \{f_n\}= \{h_n\}\ast \{g_n\} \ . $$

Теорема. ЛС-система устойчива тогда и только тогда, когда ее импульсная характеристика является абсолютно суммируемой последовательностью, т.е. ряд $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} | h_{k}| $$ сходится.

Доказательство. Пусть входной сигнал ограничен: $ |x_n|\le B $ для любого $ n \in \mathbb Z $. Тогда $$ |y_n| = | \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_kh_{n-k} | \le \sum_{k=-\infty}^{\infty} |x_k|\cdot |h_{n-k} | \le B \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h_{n-k} | \ , $$ и при условии теоремы, отклик системы будет ограничен.

Если же ряд из условия теоремы расходится, то рассмотрим входную последовательность $$ x_n=\left\{ \begin{array}{cc} \overline{h_{-n}}/|h_{-n}| & npu \ h_{-n} \ne 0, \\ 0 & npu \ h_{-n} = 0, \end{array} \right. $$ и $ \overline{h_{-n}} $ означающем число комплексно сопряженное к $ h_{-n} $.

Последовательность $ x_{n} $, очевидно, ограничена: $ |x_n| \le 1 $; тем не менее, сумма $$ y_0= \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_kh_{-k} =\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{|h_{-k}|^2}{|h_{-k}|} $$ бесконечна. ♦

Система $ \mathcal A_{} $, чья импульсная характеристика имеет лишь конечное число ненулевых отсчетов, называются системой с конечной импульсной характеристикой (КИХ-системой); напротив, система $ \mathcal A_{} $, у которой импульсная характеристика имеет бесконечный набор ненулевых отсчетов, называется системой с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-системой).

Материал настоящего раздела тесно связан с разделом РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ И РЕКУРРЕНТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.

Важный подкласс линейных стационарных систем состоит из таких систем, у которых пара сигнал-отклик связана линейным разностным уравнением порядка $ N_{} $ с постоянными коэффициентами: $$ \sum_{k=0}^N a_ky_{n-k} = \sum_{m=0}^M b_mx_{n-m} \ . $$

Рассмотрим сначала вещественный сигнал непрерывный периодический по времени с периодом $ \omega $. Часто его можно представить в виде тригонометрического полинома $$ \begin{matrix} s(t)=a_0 & + & a_1 \cos \omega t + a_2 \cos 2\, \omega t+\dots + a_n \cos n\, \omega t + \\ \ &+&b_1 \sin \omega t + b_2 \sin 2\, \omega t+\dots + b_n \sin n\, \omega t = \end{matrix} $$ $$ =a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos\, k\omega t+ b_k \sin \, k \omega t) $$ или, в общем случае, ряда Фурье $$ s(t)=a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos\, k\omega t+ b_k \sin \, k \omega t) \ . $$ В этих представлениях частоты кратные $ \omega $ называются гармониками³⁾. Каждую из скобок под знаком $ \sum_{}^{} $ можно представить в эквивалентном виде $$ A_k \cos \, (k \omega t+ \varphi_k) \quad npu \quad A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}, \ \varphi_k = \operatorname{arctg}\frac{b_k}{a_k} \ ; $$ величина $ A_k $ называется амплитудой, а $ \varphi_k $ — фазой $ k_{} $-й гармоники.

Частотным спектром временнóго сигнала называется представление сигнала в области частот: по шкале абсцисс откладываются гармоники, а соответствующие им величины амплитуд или фаз представляется в виде вертикальных отрезков соответствующих длин.

Пример. Для сигнала

$$ s(t)=1+2\cos \,t - \sin \, t+3\cos 2\,t+ 8.5\, \sin \, 2\,t -7.5 \cos \,4\,t $$ амплитудный спектр состоит из последовательности $ 5 $ чисел $ \{1,\,\sqrt{2^2+1^2},\,\sqrt{3^2+8.5^2},\,0,\,7.5 \} $,

отложенной отрезками соответствуюих длин по шкале частот с интервалом $ 2\pi_{} $. Строго говоря, частотный спектр для сигнала $ s(t)_{} $ представляет последовательность $ \{A_k\}_{k=0}^{\infty} $, у которой все элементы равны нулю, кроме занумерованных индексами $ k\in\{ 0,1,2,4\} $. ♦

В теле- и радиокоммуникациях, частотный спектр может быть поделен между различными компаниями. Каждая передающая теле- и радиостанция передает волну в предписанном частотном диапазоне, называемом каналом. При наличии нескольких передающих станций, радиоспектр состоит из суммы всех составляющих его каналов. Каждый конкретный приемник сигнала определит единственную функцию амплитуды (напряжение) в ее зависимости от времени. Радио использует резонансный контур (тюнер) для выбора единственного канала или диапазона частот и детектирует или декодирует информацию от передатчика. Если сделать график мощности каждого канала в зависимости от частоты тюнера, то получим частотный спектр антенны.

Спектральным анализом называется процесс разложения сложного сигнала в более простые составляющие. Он может быть произведен как над полным сигналом, так и над его короткими фрагментами (фреймами). Преобразование Фурье, произведенное над функцией дает частотный спектр, содержащий всю информацию об исходном сигнале. Это означает, что исходная функция может быть полностью восстановлена (синтезирована) с помощью обратного преобразования Фурье. На практике, почти все электронные устройства, генерирующие частотный спектр, работают с быстрым преобразованием Фурье.

или сонограмма — изображение, показывающее как спектральная плотность сигнала изменяется во времени. Инструмент, генерирующий спектрограмму, называется спектрографом или сонографом. Наиболее распространенный вид — двумерный: по оси абсцисс — время, по оси ординат — частота; третье измерение, показывающее амплитуду конкретной частоты в конкретный момент времени представляется интенсивностью или цветом каждой точки изображения.

Пример. Осцилограмма звука [и]

и ее спектограмма

По горизонтали — время в секундах, по вертикали — частота в герцах.

Пример. Спектограммы звука блок-флейты — двумерная:

и «трехмерная»:

Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.Техносфера. 2009.