1. Будет ли линейным подпространством множество полиномов, имеющих заданный набор корней $ \{\lambda_1,\dots,\lambda_{n}\} $ ?

2. Будет ли линейным подпространством $ \mathbb R^n $ множество векторов, координаты которых имеют одинаковые знаки?

3. Проверить, что каждая из систем векторов $$ \left\{ \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 1 \end{array} \right] \right\} \quad u \quad \left\{ \left[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right],\ \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -6 \end{array} \right] \right\} $$ является базисной в $ \mathbb R^3 $, и найти координаты вектора $ X_{} $

(a) во втором базисе, если $ x_1=1,x_2=0,x_3=1 $ — его координаты в первом;

(b) в первом базисе, если $ {\mathfrak x}_1=1,{\mathfrak x}_2=-1,{\mathfrak x}_3=1 $ — его координаты во втором.

4. Будут ли параллельны многообразия $$ \mathbb M_1 = [1,1,1,1] + \mathcal L ( [1,2,1,1], [-1,0,0,1]) $$ и $$ \mathbb M_2 = [2,1,1,0] + \mathcal L ( [2,2,1,0], [0,1,1/2,1]) \ ? $$

5. Доказать, что для пространства полиномов степеней не выше $ 3_{} $ каждая из систем $$ {\mathfrak N}=\left\{1,\, x-x_1,\, (x-x_1)(x-x_2),\, (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \right\} $$ и $$ \begin{matrix} {\mathfrak L}&=&\big\{(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4),\, (x-x_1)(x-x_3)(x-x_4),\\ & &(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4),\, (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \big\} \end{matrix} $$ является базисной при всех различных $ x_1,x_2,x_3,x_4 $. Найти координаты произвольного полинома $ p(x) $ в этих базисах. Проиллюстрировать на примерах: $ x_1=0,x_2=1,x_3=2,x_4=3 $ и $ p(x)=x^3+x^2-3x+1 $, $ p(x)=x^3-x^2-x+1 $. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму.

Доказать, что матрица перехода от базиса $ \mathfrak L $ к базису $\{1,x,x^2\} $ имеет вид $$ \left( \begin{array}{ccc} 1/W^{\prime}(x_1) & x_1/W^{\prime}(x_1) & x_1^2/W^{\prime}(x_1) \\ 1/W^{\prime}(x_2) & x_2/W^{\prime}(x_2) & x_2^2/W^{\prime}(x_2) \\ 1/W^{\prime}(x_3) & x_3/W^{\prime}(x_3) & x_3^2/W^{\prime}(x_3) \end{array} \right) \quad \mbox{где} \ W(x):=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $$

6. Найти базис $ \mathbb V_1 \cap \mathbb V_2 $ при $$ \mathbb V_1={\mathcal L} \left( \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \ \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \right) $$ и $$ \mathbb V_2= \left\{ X\in \mathbb R^4 \left| \begin{array}{rrrrl} 3\,x_1&+2\,x_2&-x_3&-6\, x_4 &= 0, \\ 2\,x_1&&+8\,x_3 &+7\, x_4 &=0 \end{array} \right. \right\} \ . $$

7. Можно ли как-то осмысленно ввести понятие разности двух линейных подпространств?

8. Пусть $ \mathbb V=\mathbb V_1 \oplus \mathbb V_2 $. При каком условии проекция вектора $ X \in \mathbb V $ на $ \mathbb V_1 $ параллельно подпространству $\mathbb V_2 $ будет нулевым вектором?

9. Определить размерность пространства полиномов $ n $-й степени от $ \ell $ переменных.

10. Пусть матрица $ A_{} $ квадратная порядка $ n_{} $ и ее собственные числа все различны.

a) Доказать, что множество всех матриц $ X_{} $, коммутирующих с $ A_{} $, образует линейное подпространство.

б) Доказать, что размерность этого подпространства равна $ n_{} $.

в) Доказать, что $ \{ E,A_{},\dots, A^{n-1} \} $ — базис этого подпространства.